vhuyên đề toán tích phân

1 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thƣờng gặp Nguyên hàm của những hàm số thƣờng gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp Cxdx     1 1 1          C x dxx   0ln   xCx x dx Cedxe xx     10 ln   aC a a dxa x x Cxxd x   sincos Cxxdx   cossin Cxdx x   tan cos 1 2 Cxdx x   cot sin 1 2     Cbax a baxd   1       1 1 1 1           C bax a dxbax   0ln 1    xCbax abax dx Ce a dxe baxbax    1     Cbax a dxbax   sin 1 cos     Cbax a dxbax   cos 1 sin     Cbax a dx bax    tan 1 cos 1 2     Cbax a dx bax    cot 1 sin 1 2 Cudu     1 1 1          C u duu   0ln   uCu u du Cedue uu     10 ln   aC a a dxa u u Cuudu   sincos Cuudu   cossin Cudu u   tan cos 1 2 Cudu u   cot sin 1 2 I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 Để tính tích phân b / a f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau: Bƣớc 1. Đặt t = u(x) và tính / dt u (x)dx . Bƣớc 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) . Bƣớc 3. b / a f[u(x)]u (x)dx f(t)dt . Ví dụ 7. Tính tích phân 2 e e dx I x ln x . Giải Đặt dx t ln x dt x 2 x e t 1, x e t 2 2 2 1 1 dt I ln t ln 2 t . Vậy I ln2 . 2 Ví dụ 8. Tính tích phân 4 3 0 cos x I dx (sin x cos x) . Hƣớng dẫn: 44 3 3 2 00 cos x 1 dx I dx . (sin x cos x) (tan x 1) cos x . Đặt t tan x 1 ĐS: 3 I 8 . Ví dụ 9. Tính tích phân 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3 . Hƣớng dẫn: Đặt t 2x 3 ĐS: 3 I ln 2 . Ví dụ 10. Tính tích phân 1 0 3x I dx 1x . Hƣớng dẫn: Đặt 3 2 22 1 3 x t dt t8 1x (t 1) ; đặt t tan u ĐS: I 3 2 3 . Chú ý: Phân tích 1 0 3x I dx 1x , rồi đặt t 1 x sẽ tính nhanh hơn. 2. Đổi biến số dạng 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính () b a f x dx  ta thực hiện các bước sau: Bƣớc 1. Đặt x = u(t) và tính / ()dx u t dt . Bƣớc 2. Đổi cận: , x a t x b t        . Bƣớc 3. / ( ) [ ( )] ( ) ( ) b a f x dx f u t u t dt g t dt       . Ví dụ 1. Tính tích phân 1 2 2 0 1 I dx 1x . Giải Đặt x sin t, t ; dx cos tdt 22 1 x 0 t 0, x t 26 3 66 2 00 cos t cos t I dt dt cos t 1 sin t 6 6 0 0 dt t 0 66 . Vậy I 6 . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 4 x dx . Hƣớng dẫn: Đặt x 2 sin t ĐS: I . Ví dụ 3. Tính tích phân 1 2 0 dx I 1x . Giải Đặt 2 x tan t, t ; dx (tan x 1)dt 22 x 0 t 0, x 1 t 4 44 2 2 00 tan t 1 I dt dt 4 1 tan t . Vậy I 4 . Ví dụ 4. Tính tích phân 31 2 0 dx I x 2x 2 . Hƣớng dẫn: 3 1 3 1 22 00 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) . Đặt x 1 tan t ĐS: I 12 . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4x . ĐS: I 2 . Ví dụ 6. Tính tích phân 31 2 0 dx I x 2x 2 . ĐS: I 12 . 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lƣợng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2 23 0 I cos x sin xdx . Hƣớng dẫn: 4 Đặt t cos x ĐS: 2 I 15 . Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2 5 0 I cos xdx . Hƣớng dẫn: Đặt t sin x ĐS: 8 I 15 . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2 42 0 I cos x sin xdx . Giải 22 4 2 2 2 00 1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4 22 2 00 11 (1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx 16 4 22 2 00 11 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) 16 8 3 2 0 x 1 sin 2x sin 4x 16 64 24 32 . Vậy I 32 . Ví dụ 14. Tính tích phân 2 0 dx I cos x sin x 1 . Hƣớng dẫn: Đặt x t tan 2 . ĐS: I ln2 . Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t  : 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t        3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân 0 xdx I sin x 1 . Giải Đặt x t dx dt x 0 t , x t 0 0 0 ( t)dt t I dt sin( t) 1 sin t 1 sin t 1 00 dt dt II sin t 1 2 sin t 1 2 2 00 dt dt t tt 24 cos sin cos 24 22 2 0 0 t d 2 4 t tan 2 t 2 2 4 cos 24 . 5 Vậy I . Tổng quát: 00 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 . Ví dụ 16. Tính tích phân 2 2007 2007 2007 0 sin x I dx sin x cos x . Giải Đặt x t dx dt 2 x 0 t , x t 0 22 2007 0 2007 2007 2 sin t 2 I dx sin t cos t 22 2 2007 2007 2007 0 cos t dx J sin t cos t (1). Mặt khác 2 0 I J dx 2 (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4 . Tổng quát: 22 nn n n n n 00 sin x cos x dx dx ,n sin x cos x sin x cos x 4 . Ví dụ 17. Tính tích phân 6 2 0 sin x I dx sin x 3 cos x và 6 2 0 cos x J dx sin x 3 cos x . Giải I 3J 1 3 (1). 66 00 dx 1 dx I J dx 2 sin x 3 cos x sin x 3 Đặt t x dt dx 3  1 I J ln 3 4 (2). Từ (1) và (2) 3 1 3 1 1 3 I ln 3 , J ln 3 16 4 16 4 . Ví dụ 18. Tính tích phân 1 2 0 ln(1 x) I dx 1x . Giải Đặt 2 x tan t dx (1 tan t)dt x 0 t 0, x 1 t 4 44 2 2 00 ln(1 tan t) I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt 1 tan t . 6 Đặt t u dt du 4 t 0 u , t u 0 44 0 4 0 4 I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du 4 44 00 1 tan u 2 ln 1 du ln du 1 tan u 1 tan u 44 00 ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I 4 . Vậy I ln 2 8 . Ví dụ 19. Tính tích phân 4 x 4 cos x I dx 2007 1 . Hƣớng dẫn: Đặt xt ĐS: 2 I 2 . Tổng quát: Với a > 0 , 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn ; thì x 0 f(x) dx f(x)dx a1 . Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f( x) 2f(x) cos x . Tính tích phân 2 2 I f(x)dx . Giải Đặt 2 2 J f( x)dx , x t dx dt x t , x t 2 2 2 2 22 22 I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx 22 0 2 cos xdx 2 cos xdx 2 . 7 Vy 2 I 3 . 3.3. Cỏc kt qu cn nh i/ Vi a > 0 , hm s f(x) l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ a a f(x)dx 0 . ii/ Vi a > 0 , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ aa a0 f(x)dx 2 f(x)dx . iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim) 22 nn 00 (n 1)!! , n !! cos xdx sin xdx (n 1)!! ., n !! 2 neỏu n leỷ neỏu n chaỹn . Trong ú n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn: 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5; 6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10 . Vớ d 21. 2 11 0 10!! 2.4.6.8.10 256 cos xdx 11!! 1.3.5.7.9.11 693 . Vớ d 22. 2 10 0 9!! 1.3.5.7.9 63 sin xdx . . 10!! 2 2.4.6.8.10 2 512 . II. TCH PHN TNG PHN 1. Cụng thc Cho hai hm s u(x), v(x) liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú / / / / // uv u v uv uv dx u vdx uv dx b b b a a a d uv vdu udv d(uv) vdu udv b b b b bb aa a a a a uv vdu udv udv uv vdu . Cụng thc: bb b a aa udv uv vdu (1). Cụng thc (1) cũn c vit di dng: bb b // a aa f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx (2). 2. Phng phỏp gii toỏn Gi s cn tớnh tớch phõn b a f(x)g(x)dx ta thc hin Cỏch 1. 8 Bƣớc 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân / du u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân b a vdu phải tính được. Bƣớc 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: i/ Nếu gặp b b b ax a a a P(x)sin axdx, P(x)cos axdx, e .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u P(x) . ii/ Nếu gặp b a P(x) ln xdx thì đặt u ln x . Cách 2. Viết lại tích phân bb / aa f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2). Ví dụ 1. Tính tích phân 1 x 0 I xe dx . Giải Đặt x x ux du dx dv e dx ve (chọn C0 ) 11 1 1 x x x x 0 0 00 xe dx xe e dx (x 1)e 1 . Ví dụ 2. Tính tích phân e 1 I x ln xdx . Giải Đặt 2 dx du u ln x x dv xdx x v 2 ee e 22 1 11 x 1 e 1 x ln xdx ln x xdx 2 2 4 . Ví dụ 3. Tính tích phân 2 x 0 I e sin xdx . Giải Đặt x x u sin x du cos xdx dv e dx ve 22 x x x 2 2 0 00 I e sin xdx e sin x e cos xdx e J . Đặt x x u cos x du sin xdx dv e dx ve 9 22 x x x 2 0 00 J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I 2 2 e1 I e ( 1 I) I 2 . Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx . Hƣớng dẫn: Đặt tx 2 0 I 2 t cos tdt 2 . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln x)dx . ĐS: (sin1 cos1)e 1 I 2 . III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phƣơng pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx , ta thực hiện các bước sau Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a 1 x 2 x b f(x) 0 0 Bƣớc 2. Tính 12 12 b x x b a a x x I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx . Ví dụ 9. Tính tích phân 2 2 3 I x 3x 2 dx . Giải Bảng xét dấu x 3 1 2 2 x 3x 2 0 0 12 22 31 59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx 2 . Vậy 59 I 2 . 10 Ví dụ 10. Tính tích phân 2 2 0 I 5 4 cos x 4 sin xdx . ĐS: I 2 3 2 6 . 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) g(x) dx , ta thực hiện Cách 1. Tách b b b a a a I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Cách 2. Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Ví dụ 11. Tính tích phân 2 1 I x x 1 dx . Giải Cách 1. 2 2 2 1 1 1 I x x 1 dx x dx x 1 dx 0 2 1 2 1 0 1 1 xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx 0 2 1 2 2 2 2 2 1 0 1 1 x x x x x x 0 2 2 2 2 . Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 +  + x – 1 – – 0 + 0 1 2 1 0 1 I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx 1 2 02 11 0 x x x x 0 . Vậy I0 . 3. Dạng 3 Để tính các tích phân b a I max f(x), g(x) dx và b a J min f(x), g(x) dx , ta thực hiện các bước sau: Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x) trên đoạn [a; b]. Bƣớc 2. + Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) f(x) và min f(x), g(x) g(x) . + Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) g(x) và min f(x), g(x) f(x) . [...]... 1 2 1 1 V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường b y f(x), x a, x b và trục hoành là S f(x) dx a Phƣơng pháp giải toán Bƣớc 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b] b f(x) dx Bƣớc 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân a Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn... 12 Tính tích phân I 1, 4x 2 dx 0 Đặt h(x) x 2 Giải 4x 1 x2 2 4x 3 Bảng xét dấu x h(x) 0 1 0 + 1 3 0 – 4 + 3 I x 2 4 1 dx 4x 0 x2 2 dx 1 80 3 1 dx 3 80 3 Vậy I 2 min 3x , 4 Ví dụ 13 Tính tích phân I x dx 0 Giải 4 x x Đặt h(x) 3 3x x 4 Bảng xét dấu x h(x) 1 1 0 – 2 3x dx I 0 + x 4 0 2 3 ln 3 x dx 1 1 0 2 ln 3 Vậy I 2 x2 2 4x 2 ln 3 1 5 2 5 2 IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phƣơng pháp giải toán 1 Dạng... vào bảng xét dấu tính tích phân g(x) dx a 2.2 Trƣờng hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x) là S f(x) g(x) dx Trong đó phương trình f(x) g(x) a b Phƣơng pháp giải toán Bƣớc 1 Giải phương trình f(x) g(x) Bƣớc 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn f(x) Bƣớc 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân là nghiệm nhỏ nhất... hàm số f(x)= sin x  cos x , biết rằng F      ln 2   sin x  cos x  4 2 Tính các tích phân sau: e A= 2 x  5 - 7 x dx 2  2 x 1 2 B=  x 2 -1 dx C= 2 x ln 2dx  -2 0 3 Tính các tích phân sau:  3 A= e3 cos x sin xdx  0 e 4 B=  ln xdx 1 C*= x 2 3  5 dx x x2  4 2 x dx x -1 1 1 D*=  4 Tính các tích phân sau:  e I=  sin(ln x) dx x 1 J= 10 4 K=  lg xdx dx  sin 2 x cot x  1 6  ln 5 L=... Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4x Giải Bảng xét dấu x 0 1 3 y – 0 + 0 1 3, x 0, x 3 S x 2 4x x2 3 dx 0 4x 3 dx 1 1 3 x 3 2x 2 x3 3 3x 0 Vậy S 8 (đvdt) 3 2 Diện tích hình phẳng 2.1 Trƣờng hợp 1 14 3 2x 2 3x 1 8 3 3 và Ox Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường b y f(x), y g(x), x b là S a, x f(x) g(x) dx a Phƣơng pháp giải toán Bƣớc... ln 5 L=  x dx x 3 ln 3 e  2e M= 2  0 cos x  4 sin x 2  2 C=  0 2 sin 2 xdx sin 2 x dx (1  cos 2 x)2 5 Tính các tích phân sau: 19 2 N=  1 dx x -9 2 1 dx A=  4 - x2 0 ln 2  D= B= 0 3  3 3 1- e x dx 1  ex 4 dx 2 x 3 C=  16 - x 2 dx 0 2 dx x 1 E=  2 2 6 Tính các tích phân sau: 0 ln x dx 2 1 x C*=  1  cos x D = cos(ln x)dx  1 x2  1  4 dx 1 1  x 1 3x 4  2 x E=  dx x3 1 2 e * 2... Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a x=1; x=e; y=0 và y= 1  ln x b y=2x; y=3x và x=0 x c y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=  3 9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 10 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D b Tính thể tích vật thể... y c; d ) quay quanh trục Oy là g(y) , y c và d f 2 (y) V g2 (y) dy c Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x quay quanh Oy 18 y2 5, x 3 y Giải y2 5 y2 Tung độ giao điểm 5 3 y y y 1 2 2 V 2 3 y 2 dy 1 2 y4 11y2 6y 16 dy 1 y5 5 2 11y3 3 3y 2 16y 1 153 5 153 (đvtt) 5 Vậy V VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 1 1 1 1 2 1 10 10 1 Tính I=  1  x  dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng... diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x3 , y 4x Giải 3 Ta có x 4x x 2 x 0 x 0 x3 4x dx 2 4x dx 0 0 4 x 4 2 4 x 2x 2x2 4 2 Vậy S 8 (đvdt) Ví dụ 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4 x Giải 2 Ta có x 4 x 3 0 t2 4t 3 t 1 x 1 x 2 t 3 x 3 8 0 3 và trục hoành 0, t 1 x 3 4x x 2 4 x 3 dx 2 3 3 dx 0 1 3 x 2 4x x2 3 dx 0 x3 3 4x 3 dx 1 1 2x2 x3 3 3x 0 3 2x2 3x 1 16 Vậy S (đvdt) 3 Ví dụ 7 Tính diện tích. .. Chú ý: Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY 1 Trƣờng hợp 1 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x) 0 x b x a và x b (a f 2 (x)dx b) quay quanh trục Ox là V a Ví dụ 9 Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x2 y2 R2 quay quanh Ox Giải R2 x R Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 2 2 . lấy tích phân từng phần. Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx . Hƣớng dẫn: Đặt tx 2 0 I 2 t cos tdt 2 . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln x)dx . ĐS: (sin1 cos1)e 1 I 2 . III. TÍCH. Tính tích phân 31 2 0 dx I x 2x 2 . Hƣớng dẫn: 3 1 3 1 22 00 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) . Đặt x 1 tan t ĐS: I 12 . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4x . ĐS: I 2 . Ví dụ 6. Tính tích phân. 2 1 42 x 2 1 . V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi