GIẢI NHANH bài TOÁN TÍCH PHÂN TRONG đề THI đại học

TranTuanAnh858@gmail.com Năm 2013 Trần Tuấn Anh Page 1 GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A, A 1 , B, D Câu 1: Tính tích phân 2 2 2 1 1 ln x I xdx x    . (ĐH khối A, A 1 - 2013) Cách giải thông thường Cách 1: 2 2 2 2 22 1 1 1 11 .ln ln ln x I xdx xdx xdx xx           . Ta xét : + 2 1 1 lnI xdx  . Đặt 1 lnu x du dx x    ; dv dx v x   . 22 1 11 2 ln ln 2ln2 1. 1 x I xdx x x dx x       + 2 2 2 1 1 lnI xdx x       Đặt 1 lnu x du dx x    ; 2 11 dv dx v xx        . 2 2 2 2 22 1 1 1 2 1 1 1 1 ln ln ln 1 I xdx xd x dx x x x x                     22 1 1 1 1 ln ln 2 . 11 22 x xx     Vậy   12 1 1 1 2ln 2 1 ln 2 5ln 2 3 2 2 2 I I I        . Cách 2: 22 2 22 11 11 .ln 1 ln x I xdx xdx xx         www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com TranTuanAnh858@gmail.com Năm 2013 Trần Tuấn Anh Page 2 Đặt ln t t x x e   và t dx e dt . Đổi cận: 10xt   ; 2 ln2xt   .     ln2 ln2 ln2 2 0 0 0 1 1 t t t t t t I te dt e e tdt td e e e                  ln2 0 ln 2 0 t t t t t e e e e dt               ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 ln 2 ln2. 00 t t t t t e e e e e e e e             11 ln 2. 2 2 22                   1 5ln 2 3 2  . Vậy   1 5ln 2 3 2 I  . Cách giải nhanh Cách 3: các bạn để ý quan hệ giữa 1 x và 2 1 x là : 2 11 dx d xx      ; quan hệ giữa x và 1 là : 1dx dx . Do đó, ta có : 2 22 1 1 1 1 x dx dx d x x x x                     . Vậy ta có thể giải nhanh bài toán trên như sau : 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 .ln 1 ln ln x I xdx xdx xd x x x x                      2 1 2 1 1 1 ln . 1 x x x dx x x x                  2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 ln . 1 ln . 1 1 1 x x dx x x x x x x x                                    1 5ln 2 3 . 2  Lời giải thật nhanh gọn so với hai cách trên ! Câu 2: Tính tích phân 1 2 0 2I x x dx  (ĐH khối B - 2013) Cách giải thông thường Cách 1: Do dấu hiệu “ 2 2 x ” nên ta chọn ẩn phụ 2 sinxt . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com TranTuanAnh858@gmail.com Năm 2013 Trần Tuấn Anh Page 3 Đặt 2sin 2 cosx t dx tdt   , ; 22 t      . Đổi cận : 0 0; 1 4 x t x t        . Ta có: 44 22 00 2 sin 2 2sin . 2 cos 2 2 sin .cos . 1 sinI t t tdt t t tdt       4 4 4 22 0 0 0 2 2 sin .cos . cos 2 2 sin .cos 2 2 sin cost t tdt t tdt t tdt          . Xét tích phân 4 2 0 2 2 sin cosJ t tdt    . Đặt cos sinu t du tdt    . Đổi cận : 2 0 1; 42 t u t u        . Ta có : 2 1 3 2 22 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2. 2 33 2 u J u du u du        . Vậy 2 2 1 3 I   . Cách 2: Theo kinh nghiệm thì thấy căn thức ta đặt căn thức là ẩn phụ ! Đặt 2 2 2 22t x t x tdt xdx        . Đổi cận: 0 2; 1 1x t x t      . Ta có: 12 3 22 1 2 2 2 1 2 33 1 t I t dt t dt        . Cách giải nhanh www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com TranTuanAnh858@gmail.com Năm 2013 Trần Tuấn Anh Page 4 Cách 3: Các bạn để ý quan hệ giữa x và 2 x là:     22 11 2 22 xdx d x d x    . Nên việc ta chọn ẩn phụ 2 2tx (ở cách 2) là hoàn toàn tự nhiên ! không mang tính áp đặt của kinh nghiệm trong suy nghĩ là : “thấy có căn thức thì đặt căn thức là ẩn phụ” . Chúng ta có thể giải nhanh như sau :       3 2 11 2 1 2 2 2 2 00 2 1 11 2 2 2 . 3 0 22 2 x I x x dx x d x           2 2 1 3  . Lời giải thật nhanh gọn ! Câu 3: Tính tích phân   2 1 2 0 1 1 x I dx x     (ĐH khối D - 2013) Cách giải thông thường Cách 1: Ta có :   2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 x x x x x I dx dx dx dx dx x x x x                  Xét tích phân 1 2 0 2 1 x J dx x    . Đặt 2 12t x dt xdx    . Đổi cận : 0 1; 1 2x t x t      . Ta được 2 1 2 ln ln 2 1 dt Jt t     . Vậy 1 ln2I  . Cách 2: Ta có :   2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 x x x x x I dx dx dx dx dx x x x x                  Xét tích phân 1 2 0 2 1 x J dx x    . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com TranTuanAnh858@gmail.com Năm 2013 Trần Tuấn Anh Page 5 Đặt   2 2 1 tan 1 tan cos x t dx dt t dt t      . Đổi cận : 0 0; 1 4 x t x t        . Ta được     4 4 4 2 2 0 0 0 2tan sin 1 1 tan 2 2 cos 2ln cos 4 tan 1 cos cos 0 tt I t dt dt d t t t t t                1 2ln 2  . Vậy 1 1 2ln 1 ln 2 2 I     . Cách giải nhanh Cách 3: Các bạn để ý quan hệ giữa x và 2 x là:     22 21xdx d x d x   . Nên việc ta chọn ẩn phụ 2 1tx (ở cách 1) là hoàn toàn tự nhiên ! Chúng ta có thể giải nhanh như sau :   2 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 1 x x x x I dx dx dx dx x x x                1 2 2 0 1 1 1 0 1 x d x x      2 11 ln 1 1 ln 2 00 xx     . Lời giải thật nhanh gọn ! Tác giả bài viết: Trần Tuấn Anh Mail: TranTuanAnh858@gmail.com (trích từ cuốn GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN, nhà xuất bản ĐHQG TP.Hồ Chí Minh) www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com . Tuấn Anh Page 1 GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A, A 1 , B, D Câu 1: Tính tích phân 2 2 2 1 1 ln x I xdx x    . (ĐH khối A, A 1 - 2013) Cách giải thông thường. 2 00 xx     . Lời giải thật nhanh gọn ! Tác giả bài viết: Trần Tuấn Anh Mail: TranTuanAnh858@gmail.com (trích từ cuốn GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN, nhà xuất bản ĐHQG. d x           2 2 1 3  . Lời giải thật nhanh gọn ! Câu 3: Tính tích phân   2 1 2 0 1 1 x I dx x     (ĐH khối D - 2013) Cách giải thông thường Cách 1: Ta có :   2 1