ĐỀ THI SỐ PHỨC

THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC … …   SỐ PHỨC SỐ PHỨC   … … §1. SỐ PHỨC §1. SỐ PHỨC I> Khái niệm số phức:  Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2 i = –1. Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.  Tập hợp các số phức kí hiệu là £ = {a + b i / a, b∈ ¡ và 2 i = –1}. Ta có ¡ ⊂ £ .  Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a∈ ¡ ⊂ £  Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i  Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo.   VD: 2 – 3 i có phần thực là 2, phần ảo là –3, số 2 i có phần thực là 0, phần ảo là 2 . II> Số phức bằng nhau:  Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z′ ⇔ ' ' a a b b =   =    VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) (1) ⇔ 2 3 2 1 2 2 3 1 3 7 2 0 x y x y x y x x y y − = + − = =    ⇔ ⇔    − − = − + = =    III> Biểu diễn hình học của số phức:  Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b).  Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.   VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: A z = 1 + 4 i , B z = –3 + 0. i , C z = 0 –2 i , D z = 4 – i IV> Môđun của số phức:  Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM uuuur được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 2 2 z = a + bi = a + b   VD: z = 3 – 4 i có 2 2 3 4 3 ( 4)z i= − = + − = 5   Chú ý: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4z a b abi a b a b a b z= − + = − + = + = V> Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z a bi= − .  ⇔z = a + bi z = a - bi ; z z= , z = z  Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. VI> Cộng, trừ số phức:  Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i  Cho z a bi= + và ' ' 'z a b i= + . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i  Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực. VII> Phép nhân số phức:  Cho hai số phức z a bi= + và ' ' 'z a b i= + . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2 i = –1 và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i  k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 ∀z∈ £  z. z = (a + b i )(a – b i ) hay 2 2 2 z.z = a + b = z   VD: Phân tích 2 z + 4 thành nhân tử. 2 z + 4 = 2 z – 2 (2 )i = (z – 2 i )(z + 2 i ).  Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực. VIII> Phép chia số phức:  Số nghịch đảo của số phức z a bi= + ≠ 0 là -1 2 1 z z = = z z hay 2 2 1 a - bi = a + bi a + b Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 1 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC  Cho hai số phức z a bi = + ≠ 0 và ' ' 'z a b i = + thì 2 ' '.z z z z z = hay 2 2 a' + b'i (a' + b'i)(a - bi) = a + bi a + b   VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i . Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i ⇔ z = 2 2 i i− ⇔ (2 2 ) 2 2 1 1 4 4 8 4 4 i i i z z z i + − + = ⇔ = ⇔ = − + + IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k∈ N  4k 4k+ 1 4k+2 4k+3 i = 1; i = i; i = -1; i = -i   VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = 13 (2 2 )i− 6 2 6 6 6 19 19 (2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2z i i i i i i   = − − = − = − + = − +   Phần thực a = 19 2− , phần ảo b = 19 2 BÀI TẬP §1. BÀI TẬP §1. I> Bài tập SGK Cơ bản: 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết: a) z = 1 – πi; b) z = 2 i− ; c) z = 2 2 d) z = –7i  Hướng dẫn: a) 1; –πb) 2 ; –1 c) 2 2 ; 0 d) 0; –7 2) Tìm các số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; b) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i; c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;  Hướng dẫn: a) x = 3 2 , y = 4 3 b) x = 1 5 2 − , y = 1 3 3 + c) x = 0, y = 1. 3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: a) Phần thực của z bằng –2; b) Phần ảo của z bằng 3; c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2); d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].  Hướng dẫn: a) Là đường thẳng x = –2; b) Là đường thẳng y = 3; c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên; d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên; e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên. 4) Tính |z| với: a) z = –2 + i 3 ; b) z = 2 – 3i c) z = –5 d) z = i 3 .  Hướng dẫn: a) |z| = 7 b) |z| = 11 c) |z| = 5 d) |z| = 3 5) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: a) |z| = 1; b) |z| ≤ 1 c) 1 < |z| ≤ 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.  Hướng dẫn: a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b+ = , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1; b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b+ ≤ , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên; c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1 2a b< + ≤ , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên; 6) Tìm z , biết: a) z = 1 – i 2 b) z = – 2 + i 3 c) z = 5 d) z = 7i;  Hướng dẫn: a) z = 1 + i 2 ; b) z = – 2 – i 3 c) z = 5 d) z = –7i. 7) Thực hiện các phép tính sau: a) (3 – 5i) + (2 + 4i); b) (–2 – 3i) + (–1 – 7i); c) (4 + 3i) – (5 – 7i) d) (2 – 3i) – (5 – 4i). Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 2 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC  Hướng dẫn: a) 5 – i b) –3 –10i c) –1 + 10i d) –3 + i. 8) Tính α + β, α – β với: a) α = 3, β = 2i b) α = 1 – 2i, β = 6i c) α = 5i, β = –7i d) α = 15, β = 4 – 2i.  Hướng dẫn: a) 3 + 2i, 3 – 2i b) 1 + 4i, 1 – 8i c) –2i, 12i d) 19 – 2i, 11 + 2i. 9) Thực hiện phép tính sau: a) (3 – 2i)(2 – 3i) b) (–1 + i)(3 + 7i) c) 5(4 + 3i) d) (–2 – 5i)4i.  Hướng dẫn: a) –13i b) –10 – 4i c) 20 + 15i d) 20 – 8i 10) Tính 3 4 5 , ,i i i . Nêu cách tính n i với n∈N  Hướng dẫn: 3 i = – i , 4 i = 1, 5 i = i . Nếu n = 4q + r, 0 ≤ r < 4 thì n r i i= 11) Tính: a) 2 (2 3 )i+ b) 3 (2 3 )i+  Hướng dẫn: a) –5 + 12i b) –46 + 9i. 12) Thực hiện phép chia: a) 2 3 2 i i + − b) 1 2 2 3 i i + + c) 5 2 3 i i− d) 5 2i i −  Hướng dẫn: a) 4 7 13 13 i+ b) 2 6 2 2 3 7 7 i + − + c) 15 10 13 13 i− + d) 2 5i − − 13) Tìm nghịch đảo của số phức z, biết: a) z = 1 + 2i b) z = 2 – 3i c) z = i d) z = 5 + i 3  Hướng dẫn: a) 1 2 5 5 i− b) 2 3 11 11 i+ c) –i d) 5 3 28 28 i− 14) Thực hiện các phép tính sau: a) 2i(3 + i)(2 + 4i)b) 2 3 (1 ) (2 ) 2 i i i + − + c) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) d) 5 4 4 3 3 6 i i i + − + +  Hướng dẫn: a) –28 + 4i b) 32 16 5 5 i− − c) 32 + 13i d) 219 153 45 45 i− 15) Giải phương trình sau: a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c) (2 3 ) 5 2 4 3 z i i i + − = − −  Hướng dẫn: a) z = 1 b) z = 8 9 5 5 i− c) z = 15 – 5i. II> Bài tập SGK Nâng cao: 1) Cho các số phức 2 + 3i; 1 + 2i; 2 – i. a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức. b) Viết số phức đó dưới dạng liên hợp rồi biểu diễn trên mặt phẳng phức. c) Viết số đối của mỗi số phức đó rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức.  Hướng dẫn: a) ( ) 1 2;3M , ( ) 2 1;2M , ( ) 3 2; 1M − b) ( ) 1 2; 3N − , ( ) 2 1; 2N − , ( ) 3 2;1N c) ( ) 1 2; 3K − − , ( ) 2 1; 2K − − , ( ) 3 2;1K − 2) Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số sau: a) i + (2 – 4i) – (3 – 2i) c) ( ) ( ) 2 3 2 3i i+ − b) ( ) 2 2 3i+ d) i(2 – i)(3 + i).  Hướng dẫn: a) –1 – i b) 7 6 2i− + c) 13 d) 1 + 7i. 3) Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i. Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 3 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC  Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. cos ;sin 6 6 F π π    ÷   nên F biểu diễn số 3 1 2 2 i+ . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số 3 1 2 2 i− − . E đối xứng F qua Ox nên E biểu diễn số 3 1 2 2 i− . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số 3 1 2 2 i− + 4) Thực hiện phép tính: 1 1 3 2 3 4 ; ; ; 2 3 4 1 3 2 2 i i i i i i − − − − −  Hướng dẫn: 2 3 13 13 i+ ; 1 3 2 2 i+ ; 2 3i − − ; 16 13 17 17 i− 5) Cho 1 3 2 2 z i= − + . Hãy tính: 2 3 2 1 ; ; ;( ) ;1z z z z z z + + .  Hướng dẫn: Ta có 1z = nên 1 1 3 2 2 i z z = − − = ; 2 1 3 2 2 z i= − − ; 3 2 . 1z z z= = ; 2 1 0z z+ + = 6) Chứng minh rằng: a) Phần thực của số phức z bằng ( ) 1 2 z z+ , phần ảo của số phức z bằng ( ) 1 2 z z i − b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z z= − . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z= . d) Với mọi số phức z, z′, ta có ' ', ' . 'z z z z zz z z+ = + = và nếu z ≠ 0 thì ' 'z z z z   =  ÷    Hướng dẫn: ,z a bi z a bi= + = − (1) a) Lấy vế cộng vế ⇒ Phần thực của số phức z bằng ( ) 1 2 z z+ . Lấy vế trừ vế ⇒ phần ảo của số phức z bằng ( ) 1 2 z z i − . b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ⇔ 0z z z z+ = ⇔ = − . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ⇔ 0z z z z− = ⇔ = . d) 2 2 ; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b= + = + = + là số thực ' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z+ = + + + = + − + = − + − = + ' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z= − + + = − − + = − − = ' '. '. '. ' . . . z z z z z z z z z z z z z z z z     = = = =  ÷  ÷     7) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 4 4 1 4 2 4 3 1; ; 1; m m m m i i i i i i + + + = = = − = −  Hướng dẫn: Ta có 4 2 2 . 1i i i= = ( ) 4 4 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 3 1 1 . 1. . . 1 . 1. m m m m m m m m m i i i i i i i i i i i i i i i i i + + + + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − 8) Chứng minh rằng: a) Nếu u r của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | | |u z= r và từ đó nếu hai điểm 1 2 ,A A theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 ,z z thì 1 2 2 1 A A z z= − uuuur ; b) Với mọi số phức z, z′, ta có |z.z′| = |z|.|z′| và khi z ≠ 0 thì ' ' z z z z = c) Với mọi số phức z, z′, ta có ' 'z z z z+ ≤ +  Hướng dẫn: Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 4 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC a) z a bi= + thì 2 2 z a b= + , u r biểu diễn số phức z thì u r = (a; b) ⇒ 2 2 u a b= + r do đó | | | |u z= r 1 2 ,A A theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 ,z z thì 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 A A OA OA z z A A z z= − = − ⇒ = − uuuur uuuur uuur uuuur b) z a bi= + , ' ' 'z a b i= + , ( ) ( ) . ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i= − + + , 2 2 2 2 , ' ' 'z a b z a b= + = + Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 . ' ' 'z z a b a b= + + Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b= − + + = + + + = + + Vậy |z.z′| = |z|.|z′| Khi z ≠ 0 ta có 2 2 ' . ' . ' ' '. . z z z z z z z z z z z z z z = = = = c) u r biểu diễn z, 'u ur biểu diễn z′ thì 'u u+ r ur biểu diễn z + z′ và ' 'z z u u+ = + r ur Khi , ' 0u u ≠ r ur r , ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ' ' 2 ' cos , ' ' 2 ' 'u u u u u u u u u u u u u u+ = + + ≤ + + = + r ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur ⇒ ' 'u u u u+ ≤ + r ur r ur do đó ' 'z z z z+ ≤ + 9) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: a) 1z i− = b) 1 z i z i − = + c) 3 4z z i= − +  Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. a) Với z x yi= + ⇒ ( ) 2 2 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y− = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − = Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1. b) Với z x yi= + ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1) 1 1 0 z i x y i x y i x y x y y z i − = ⇔ + − = + + ⇔ + − = + + ⇔ = + Tập hợp các điểm M là trục thực Ox. c) Với z x yi= + ⇒ 2 2 2 2 3 4 ( 3) (4 ) ( 3) (4 )z z i x yi x y i x y x y= − + ⇔ + = − + − ⇔ + = − + − 6 8 25 0x y⇔ + − = . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 8 25 0x y+ − = 10) Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có 10 2 9 1 1 1 z z z z z − + + + + = −  Hướng dẫn: Với z ≠ 1, ( ) ( ) ( ) 2 9 2 9 10 2 9 10 1 1 1 1z z z z z z z z z z z z+ + + + − = + + + + − + + + + = − Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh. 11) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)? 2 2 ( )z z+ 3 3 ( ) z z z z − + 2 2 ( ) 1 z z zz − +  Hướng dẫn: Ta có ,z a bi z a bi= + = − , 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi= − + = − − Và 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 ( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i= − + − = − − − Vậy 2 2 2 2 ( ) 2( )z z a b+ = − là số thực; 3 3 3 2 ( ) 3 z z b i z z a ab − = + − là số ảo; 2 2 2 2 ( ) 4 1 . 1 z z ab i z z a b − = + + + là số ảo. 12) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: a) 2 z là số thực âm; b) 2 z là số ảo ; c) 2 2 ( )z z= d) 1 z i− là số ảo.  Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì 2 2 2 2 2 2 2 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi= + ⇒ = − + = − − a) 2 z là số thực âm khi xy = 0 và 2 2 0x y− < ⇔ x = 0 và y ≠ 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O b) 2 z là số ảo khi 2 2 0x y− = ⇔ y = ± x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ. c) 2 2 ( )z z= khi xy = 0 ⇔ x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ. Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 5 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC d) 1 z i− = 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) x y i x y i x y − − = + − + − là số ảo khi x = 0, y ≠ 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0; 1). Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 6 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC 13) Tìm nghiệm phức của phương trình sau: a) 2 0iz i + − = c) ( ) 2 4 0i z− − = e) 2 4 0z + = b) ( ) 2 3 1i z z+ = − d) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 3 0iz z i z i− + − + =  Hướng dẫn: a) 1 2z i = + b) 1 3 10 10 z i= − + c) 8 4 5 5 z i= − d) ; 3 ; 2 3i i i− − + e) 2z i = ± 14) a) Cho số phức z x yi= + (x, y∈R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i z i + − b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z i z i + − là số thực dương.  Hướng dẫn: a) Phần thực là 2 2 2 2 1 ( 1) x y x y + − + − , phần ảo 2 2 2 ( 1) x x y+ − b) Là số thực dương khi 0x = và 2 2 1 0x y+ − > ⇒ Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức ,i i− . 15) a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3 , ,z z z . Hỏi trọng tâm ∆ABC biểu diễn số phức nào? b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3 , ,z z z thỏa 1 2 3 z z z= = . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 1 2 3 0z z z+ + =  Hướng dẫn: a) Gọi G là trọng tâm ∆ABC, ta có ( ) ( ) 1 2 3 1 1 3 3 OG OA OB OC z z z= + + = + + uuur uuur uuur uuur vậy G biểu diễn số phức ( ) 1 2 3 1 3 z z z z= + + b) Vì OA OB OC= = uuur uuur uuur nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng O hay 1 2 3 0z z z+ + = . Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 7 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC §2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. §2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. I> Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả 2 z = w được gọi là căn bậc hai của w.   w là số thực: w = a∈ ¡  a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0  a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a  a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là .a i và – .a i   w là số phức: w = a + b i (a, b∈ ¡ , b ≠ 0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi 2 z w  = ⇔ ⇔   2 2 2 x - y = a (x + yi) = a + bi 2xy = b  Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.   VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i . Gọi z = x + y i là căn bậc hai của w. Ta có 2 2 2 2 3 ( ) 3 4 2 4 x y z w x yi i xy  − = − = ⇔ + = − + ⇔  =  ⇔ 2 2 4 2 2 3 3 4 0 4 2 2 2 x y y y y x x x y y y    − = − − − = =    ⇔ ⇔    = = =       ⇔ 2 1 y x =   =  hoặc 2 1 y x = −   = −  . Vậy có 2 căn bậc hai của w là 1 z = 1 + 2 i , 2 z = –1 – 2 i .   VD: Tính căn bậc hai của i . Gọi z = x + y i là căn bậc hai của i . Ta có 2 2 2 2 0 ( ) 2 1 x y z i x yi i xy  − = = ⇔ + = ⇔  =  ⇔ 2 2 2 4 1 0 1 4 0 2 1 1 1 2 2 2 y x y y x x x y y y    = − = − =     ⇔ ⇔    = =    =     ⇔ 2 2 2 2 y x  =     =   hoặc 2 2 2 2 y x  = −     = −   . Vậy có 2 căn bậc hai của i là 1 z = 2 2 + 2 2 i , 2 z = – 2 2 – 2 2 i . II> Phương trình bậc hai: 1) Phương trình bậc hai với hệ số thực: 2 2 0 ( 0), 4ax bx c a b ac+ + = ≠ ∆ = − .  ∆ ≥ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2 2 b x a − ± ∆ =  ∆ < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2 | |. 2 b i x a − ± ∆ =   VD: Giải phương trình 3 8 0x + = 3 3 3 2 2 2 8 0 2 0 ( 2)( 2 4) 0 2 4 0 (1) x x x x x x x x = −  + = ⇔ + = ⇔ + − + = ⇔  − + =  (1) có ∆′ = 1 – 4 = –3 = ( ) 2 3.i nên có 2 nghiệm phức 1,2 1 3.x i= ± . Do đó phương trình có 3 nghiệm 1 2 3 1 3. , 1 3. , 2x i x i x= + = − = − 2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: 2 2 0 ( 0), 4Ax Bx C A B AC+ + = ≠ ∆ = −  ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép 2 B x A − =  ∆ ≠ 0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2 2 B x A δ − ± = với δ là 1 căn bậc hai của ∆. Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 8 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC   VD: Giải phương trình: a) 2 1 02z iz− + = ; b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i+ − + − = a) 2 1 02z iz− + = có ∆ = –1 – 8 = – 9 = 2 (3 )i . Phương trình có 2 nghiệm phức 1 3 4 i i z i + = = , 2 3 1 4 2 i i z i − = = − b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i+ − + − = có ∆ = 2 2 (3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i− − − = − + − + = − + = 2 (1 4 )i+ Phương trình có 2 nghiệm phức 1 3 2 1 4 1 3 2 i i z i − + + + = = − + ; 2 3 2 1 4 2 2 i i z i − + − − = = − − BÀI TẬP §2. BÀI TẬP §2. I> Bài tập SGK Cơ bản: 1) Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: –7; –8; –12; –20; –121  Hướng dẫn: ±i 7 ; ±2i 2 ; ±2i 3 ; ±2i 5 ; ±11i. 2) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) 2 3 2 1 0z z− + − = b) 2 7 3 2 0z z+ + = ; c) 2 5 7 11 0z z− + =  Hướng dẫn: a) 1 2 3 i± b) 3 47 14 i− ± c) 7 171 10 i± 3) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) 4 2 6 0z z+ − = b) 4 2 7 10 0z z+ + =  Hướng dẫn: a) 2; 3i± ± b) 2; 5i i± ± 4) Cho a, b, c ∈ R, a ≠ 0, 1 2 ,z z là hai nghiệm phương trình 2 0az bz c+ + = . Hãy tính 1 2 z z+ và 1 2 z z theo các hệ số a, b, c.  Hướng dẫn: 1 2 z z+ = b a − , 1 2 z z = c a 5) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm.  Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0 ⇔ 2 ( ) 0x z z x zz− + + = . Với z + z = 2a, z z = 2 2 a b+ . Vậy phương trình đó là 2 2 2 2 0x ax a b− + + = II> Bài tập SGK Nâng cao: 1) Tìm các căn bậc hai của số phức sau: ; 4 ; 4; 1 4 3i i i− − +  Hướng dẫn: Căn bậc hai của i− là 2 / 2 2 / 2; 2 / 2 2 / 2i i− + − . Căn bậc hai của 4i là ( ) 2 2i± + . Căn bậc hai của –4 là 2i ± . Căn bậc hai của 1 4 3i+ là (2 3 )i± + 2) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z w=  Hướng dẫn: z a bi = + là một căn bậc hai của w ⇒ 2 2 2 z w z w z w z w= ⇔ = ⇔ = ⇔ = VD: ( ) 2 3 4 2i i− = − tức 2z i = − là một căn bậc hai của 3 4w i = − thì z w= 3) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: a) 2 1z z= + b) 2 2 5 0z z+ + = c) 2 (1 3 ) 2(1 ) 0z i z i+ − − + =  Hướng dẫn: a) 2 2 1 1 5 1 5 1 5 2. . 2 4 4 2 4 2 2 z z z z   − + = ⇔ − = ⇔ = ±  ÷   b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i+ + = ⇔ + = − ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = − ± c) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 8 1 2 1i i i i∆ = − + + = = + Phương trình có hai nghiệm phức là 1 2 2 ; 1z i z i= = − + . 4) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 9 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai 2 0z Bz C+ + = (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?  Hướng dẫn: a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là ( ) 2 2 1,2 4 2 B z B AC A δ δ − ± = = ∆ = − nên 1 2 1 2 ; B C z z z z A A + = − = . b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình ( ) ( ) 2 4 5 1 0z i z i− − + − = Có ( ) 2 5 12 2 3i i∆ = − + = − nên hai số cần tìm là 1 2 3 ; 1 2z i z i= + = − . c) Phương trình 2 0z Bz C+ + = có hai nghiệm là ;z a bi z a bi= + = − thì ( ) 2B z z a= − + = − là số thực và 2 2 .C z z a b= = + là số thực. Điều ngược lại không đúng. 5) a) Giải phương trình sau: ( ) ( ) 2 2 2 1 0z i z iz+ − − = b) Tìm số phức B để phương trình 2 3 0z Bz i+ + = có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.  Hướng dẫn: a) ( ) ( ) 2 2 0z i z i+ − = có 3 nghiệm là 2 2 2 2 ; ; 2 2 2 2 i i i− − + . b) Ta có 1 2 1 2 ; . 3z z B z z i+ = − = nên ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 8 2 8 6 8 3 3z z z z z z B i B i B i+ = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = ± + 6) Tìm nghiệm của phương trình 1 z k z + = trong các trường hợp sau: a) k = 1; b) k = 2 ; c) k = 2i.  Hướng dẫn: 2 1 1 0z k z kz z + = ⇔ − + = có 2 nghiệm ( ) 2 2 1,2 4 2 k z k δ δ ± = = ∆ = − a) k = 1 thì 1,2 1 3 2 2 z i= ± b) k = 2 thì 1,2 2 2 2 2 z i= ± c) ( ) 1,2 2 1 2k i z i= ⇒ = ± 7) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: a) 3 1 0z + = ; b) 4 1 0z − = ; c) 4 4 0z + = ; d) 4 3 8 8 1z z z+ = +  Hướng dẫn: a) ( ) ( ) 3 2 1 3 1 3 1 0 1 1 0 1, , 2 2 2 2 z z z z z z i z i+ = ⇔ + − + = ⇔ = − = + = − . b) 4 4 2 1 0 1 1 1,z z z z z i− = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± = ± c) ( ) ( ) 4 4 2 4 0 4 2 1 , 1z z z i z i z i+ = ⇔ = − ⇔ = ± ⇔ = ± − = ± + d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 3 1 8 1 0 1 2 1 4 2 1 0 1, , 2 4 4 z z z z z z z z z i+ − = ⇔ + − + + = ⇔ = − = = − ± 8) a) Tìm các số thực b, c để phương trình 2 0z bz c+ + = nhận 1z i = + làm nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình 3 2 0z az bz c+ + + = nhận 1z i = + và z = 2 làm nghiệm.  Hướng dẫn: a) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 2 0 0 2 0 2, 2 vaøi b i c b c b i b c b b c+ + + + = ⇔ + + + = ⇔ + = + = ⇔ = − = b) Lần lượt thay 1z i= + và z = 2 vào phương trình, ta được 2 (2 2 ) 0 8 4 2 0 b c a b i a b c + − + + + =   + + + =  ⇔ 2 4 2 2 6 4 2 8 4 b c a a b b a b c c + = = −     + = − ⇔ =     + + = − = −   Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 10 [...]... – Bình Dương SỐ PHỨC §3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC I> Số phức dưới dạng lượng giác: 1) Acgumen của số phức z ≠ 0:  Cho số u r u zu a + b i ≠ 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Số đo (rađian) của phứcu r u u= góc ϕ = (Ox, OM ) được gọi là một acgumen của z  Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2π tức là có dạng ϕ + k2π (k∈ ¢ ) (z và nz sai khác nhau k2π với n là một số thực khác...    1 8) Cho số phức w = − 1 + 3i Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực Hỏi có số nguyên dương 2 m m để w là số ảo? 1 4π 4π 4nπ 4nπ + i sin ⇒ wn = cos + i sin  Hướng dẫn: w = − 1 + 3i = cos 2 3 3 3 3 4nπ = 0 , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3 W là số thực khi sin 3 ( ) ( ) ( Gv: Lê Hành Pháp ) Trang 13 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC Không có m nào để wm là số ảo 9) Viết dạng... THPT Bài 1 (Đề thi TN.THPT năm 2006) Giải phương trình 2 x 2 − 5 x + 4 = 0 trên tập số phức  Hướng dẫn: Ta có ∆ = 25 – 32 = –7 = ( 7i) 2 Phương trình có hai nghiệm là: 5 + 7i 5 7 5 − 7i 5 7 = + i ; x1 = = − i 4 4 4 4 4 4 Bài 2 (Đề thi TN.THPT năm 2007) a) Lần 1 (1 điểm): Giải phương trình x 2 − 4 x + 7 = 0 trên tập số phức b) Lần 2 (1 điểm): Giải phương trình x 2 − 6 x + 25 = 0 trên tập số phức  Hướng... Bình Dương SỐ PHỨC 8) Cho hai số phức z1 , z2 Biết rằng z1 + z2 , z1 z2 là hai số thực Chứng tỏ z1 , z2 là hai nghiệm một phương trình bậc hai với hệ số thực  Hướng dẫn: Đặt z1 + z2 = a, z1 z2 = b với a, b ∈ R Khi z1 , z2 là hai nghiệm phương trình ( z − z1 )( z − z2 ) = 0 hay z 2 − ( z1 + z2 ) z + z1 z2 = 0 ⇔ z 2 − az + b = 0 II> Bài tập SGK Nâng cao: 1) Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:... dẫn: 1 3 7 6 a) x = , y = ; b) x = − , y = − ; c) x = 0, y = 0 3 5 11 11 Bài 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ( x + yi ) 2 − 2( x + yi ) + 5 Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực  Hướng dẫn: Phần thực là x 2 − y 2 − 2 x − 5 , phần ảo là 2( xy − y ) Số phức trên là số thực khi y = 0 hoặc x = 1 Bài 3 Thực hiện các phép tính: a) (1 + 2i) 2 – (2 – 3 i )(3 + 2 i ); d) (1 + 2i... z1 + z2 = 6 z2 z1 Bài 6 Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4 3 7 3 7  Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là z1 = + i và z2 = − i 2 2 2 2 Bài 7 Tìm căn bậc hai của các số phức: a) 1 + 4 3i ; b) 17 + 20 2i ; c) 46 − 14 3i  Hướng dẫn: a) z1 = 2 + 3i; z2 = −2 − 3i d) b) z1 = 5 + 2 2i; z2 = −5 − 2 2i Bài 8 Giải các phương trình sau trên tập số phức: Gv: Lê Hành Pháp g) 21004...  III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: 1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) Gv: Lê Hành Pháp Trang 11 THPT Tân Bình – Bình Dương  SỐ PHỨC [ r(cosφ + isinφ)] = r n (cosnφ + isinnφ) (n∈ ¥ * ) n r = 1: ( cosφ + isinφ ) = cosnφ + isinnφ (n∈ ¥ * ) n  2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`  Mọi số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là φ φ ϕ ϕ  φ... hai nghiệm là: z1 = 4 4 2 Bài 5 (Đề thi TN.THPT năm 2010) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm): Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 − 3i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 − 2 z2 b) Chương trình Nâng cao (1 điểm): Cho hai số phức z1 = 2 + 5i và z2 = 3 − 4i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 z2  Hướng dẫn: a) z1 − 2 z2 = (1 – 4) + (2i + 6i) = –3 + 8i Phần thực là –3, ảo 8 b) z1 z2... thực là –3, ảo 8 b) z1 z2 = 6 – 8i + 15i – 20 i 2 = 26 + 7i Phần thực là 26, ảo 7 x1 = Gv: Lê Hành Pháp Trang 19 THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Bài 6 (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1 + i ) 2 (2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i) z Tìm phần thực và phần ảo của z 4 z − 3 − 7i = z − 2i trên tập £ b) Chương trình... Bình – Bình Dương SỐ PHỨC 2 b) z − ( 1 + i ) z + 6 + 3i = 0 có ∆ = (1 + i ) 2 − 4(6 + 3i ) = −24 − 10i = (1 − 5i) 2 1 + i + 1 − 5i 1 + i − 1 + 5i = 1 − 2i ; z2 = = 3i Do đó phương trình có 2 nghiệm: z1 = 2 2 Bài 11 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thỏa: z = 2 và z 2 là số thuần ảo  Hướng dẫn:  z = a 2 + b2  Gọi z = a + bi ⇒  2 Theo đề ta có: 2 2  z . Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC … …   SỐ PHỨC SỐ PHỨC   … … §1. SỐ PHỨC §1. SỐ PHỨC I> Khái niệm số phức:  Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả. Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC §2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. §2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. I> Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w, mỗi số phức. Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC §3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC §3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC I> Số phức dưới dạng lượng giác: 1) Acgumen của số phức z ≠ 0:  Cho số phức z = a + b i