Tiểu luận môn xác suất thống kê Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên

 ất Thống Kê LỜI MỞ ĐẦU Hiện nay, một trong những bộ phận quan trọng của toán học phải được nhắc đến đó là môn “Xác Suất Thống Kê ”. Đây là một bộ môn nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên được ứng dụng rộng rãi vào các ngành khoa hoc tự nhiên, khoa học xã hội, y học, sinh học…. Đặc biệt khi học “Xác Suất Thống Kê ”, bộ môn này còn trang bị cho sinh viên chúng ta một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất thống kê, để từ đó chúng ta có thể tiếp cận vào việc nghiên cứu lý thuyết vận dụng vào công tác phân tích số liệu, nghiên cứu phương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm đưa ra những kết luận hoặc những quyết định cần thiết. Nhận biết được những ưu điểm của bộ môn này , để có thể am hiểu và nhận thức ngày càng cao hơn về những ưu điểm đó. Hôm nay, được sự chỉ dẫn của thầy bộ môn Th.S Nguyễn Văn Phú, Sinh viên nhóm 4 chúng em đã tiến hành nghiên cứu và phân tích sâu hơn về “Xác Suất Thống Kê ” thông qua việc làm quyển bài tập lớn môn “Xác Suất Thống Kê” này nhằm để bổ sung thêm cho sự hiểu biết của chúng em. Quyển bài tập bao gồm có 7 chương:  Chương I: Đại cương về xác suất  Chương II: Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên  Chương III: Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên  Chương IV: Các quy luật phân phối  Chương V: Lý thuyết mẫu  Chương VI: Lý thuyết ước lượng  Chương VII: Kiểm định giả thuyết thống kê Nhóm sinh viên chúng em xin chân thành cảm ơn sự chỉ dẫn tận tâm của thầy trong suốt thời gian vừa qua, nhưng với sự hiểu biết và lượng kiến thức còn hạn hẹp, nhóm sinh viên chúng em vẫn chưa thể hoàn thành bài tập này một cách hoàn chỉnh nhất, vì vậy xin thầy thông cảm.Cuối cùng, nhóm sinh viên chúng em rất mong nhận được sự nhận xét và đánh giá của thầy cho quyển bài tập này của chúng em. Xin chân thành cảm ơn! TP.HCM, ngày 08 tháng 12 năm 2011 Sinh viên nhóm 04 1  ất Thống Kê CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT Cơ sở lý thuyết : I. Các quy tắc đếm. 1. Quy tắc cộng: Nếu 1 công việc được chia ra làm k trường hợp để thực hiện, trường hợp 1 có cách thực hiện xong công việc,…, trường hợp k có cách thực hiện xong công việc và không có bất kỳ một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với 1 cách thực hiện ở trường hợp khác, thì có cách thực hiện xong công việc. 2. Quy tắc nhân: Nếu một công việc chia làm k giai đoạn, giai đoạn 1 có cách thực hiện, giai đoạn 2 có cách thực hiện,…,giai đoạn k có cách thực hiện, thì có cách thực hiện xong công việc. 3. Chỉnh hợp: Một chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho: (k = 4. Chỉnh hợp lặp: Một chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử không cần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho: 5. Hoán vị: Một hoán vị từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm n phần tử khác nhau đã cho: 6. Tổ hợp: Một tổ hợp chập k từ n phần tử là một tập hợp con gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho: (k = 7. Công thức nhị thức Newton: II. Biến cố: 1. Phép thử ngẫu nhiên, biến cố: Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện những điều kiện đã đặt ra để nghiên cứu một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó. Mỗi kết quả của phép thử gọi là 1 biến cố. Có 3 loại biến cố:_Biến cố trống(Ф) _Biến cố chắc chắn(Ω) _Biến cố ngẫu nhiên 2. Biến cố bằng nhau: 2  ất Thống Kê Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra, ký hiệu A ⊂ B. Nếu đòng thời có A ⊂ B và B ⊂ A thì các biến cố A và B gọi là bằng nhau, ký hiệu A=B. 3. Các phép toán trên biến cố: Cho 2 biến cố A và B khi đó ta gọi: Tổng của A và B hay A cộng B là biến cố xảy ra khi A xảy ra hoặc B xảy ra, ký hiệu A + B. Hiệu của A và B hay A trừ B là biến cố xảy ra nếu A xảy ra nhưng B không xảy ra, ký hiệu A – B. Tích của A và B hay A nhân B là biến cố xảy ra nếu A và B đồng thời xảy ra, ký hiệu AB. Biến cố đối lập của A là biến cố xảy ra nếu A không xảy ra và không xảy ra nếu A xảy ra, ký hiệu . III. Định nghĩa xác suất: 1. Định nghĩa cổ điển: Ta gọi các trường hợp đồng khả năng là các trường hợp mà khả năng của chúng ngang bằng nhau. Ta gọi 1 trường hợp thuận lợi cho biến cố A nếu trường hợp này xảy ra thì A xảy ra. 2. Định nghĩa hình học: Ta gọi độ đo của 1 tập trên 1 đường là độ dài, trong một mặt là diện tích, trong không gian là thể tích của tập đó.Trong mặt phẳng các tập nằm trên 1 đường có độ đo bằng 0, trong không gian các tập nằm trên 1 mặt có độ đo bằng 0. 3. Định nghĩa thống kê: Giả sử trong n phép thử với điều kiện như nhau biến cố A xuất hiện k lần, khi đó ta gọi: là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử. 4. Định nghĩa theo tiên đề: thống nhất các định nghĩa trên ta được định nghĩa theo tiên đề có 3 tính chất sau: a. 0 P(A) 1 với mọi biến cố A b. P(Ω) = 1, P(Ф) = 0 c. Nếu A và B xung khắc thì: P(A+B) = P(A) + P(B). 5. Xác xuất của biến cố đối lập: Với mọi biến cố A ta có: 6. Các định lý cộng xác suất: a. Nếu là các biến cố đôi một xung khắc thì: b. Với các biến cố tùy ý A và B ta có: 3  ất Thống Kê P(A+B) = P(A) + P(B) P(AB) IV. Xác suất có điều kiện : 1. Định nghĩa và công thức tính: Cho 2 biến cố A và B. Ta gọi xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu . Công thức: 2. Định lý nhân xác suất, tính độc lập của các biến cố: a. Với các biến cố tùy ý A và B ta có: b. Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc vào xác suất xảy ra của biến cố kia, tức là: c. Nếu A và B độc lập thì: 3.Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayès: a. Công thức xác suất đầy đủ: Với mọi biến cố F ta có: b. Công thức Bayès: Với mỗi , ta có: 4. Công thức Bernoulli: Trong đó : p = P(A) q = 1 p 4  ất Thống Kê BÀI TẬP CHƯƠNG I Đề bài: 1.13 Có bao nhiêu cách sắp xếp 15 cuốn sách khác nhau vào 3 ngăn kéo sao cho ngăn thứ nhất có 6 cuốn,ngăn thứ 2 có 7 cuốn. 1.14 Có bao nhiêu người tham gia vào cuộc thi đấu cờ,nếu biết rằng cuộ đấu đó có tất cả 10 ván cờ và mỗi đấu thủ phải đấu với mỗi đấu thủ khác 1 ván? 1.15 Giải các phương trình: a)+ = 101 b) = 1 c) : : = 5 : 5 : 3 theo các biến m và n. 1.16 Trong 1 ngăn buồng trên xe lửa có 2 dãy ghế đối mặt nhau,mỗi dãy có 5 chỗ ngồi có đánh số. Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi, 3 người muốn quay mặt về hướng ngược lại. Hỏi có thể có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho họ sao cho các yêu cầu trên đều được thỏa? 1.17 Mô tả biến cố đối lập của các biến cố sau: 5  ất Thống Kê a)Hai mặt hình lật lên khi tung 2 đồng tiền kim loại. b)Được bi trắng khi rút 1 bi từ hộp gồm 2 bi trắng, 3 bi đen và 4 bi đỏ. c)Khi bắn 3 phát thì trúng cả 3. d)Ít nhất 1 phát trúng khi bắn 5 phát. e)Trúng không quá 2 phát khi bắn 5 phát. f)Đấu thủ thứ nhất thắng trong 1 ván cờ vua. 1.18 Bắn 3 phát vào bia.Gọi là phát thứ i trúng (i=1,2,3). Biểu diễn các biến cố sau qua các và các biến cố đối lập của chúng: a) Cả 3 phát đều trúng. b) Cả 3 phát đều trật. c) Ít nhất 1 phát trúng. d) Ít nhất 1 phát trật. e) Không ít hơn 2 phát trúng. f) Không quá 1 phát trúng. g) Trúng không sớm hơn phát thứ 3. 6  ất Thống Kê BÀI LÀM 1.13 Cách sắp xếp sách vào ngăn: 1 2 3 6 7 2 -Ngăn thứ I : Chọn 6 cuốn trong 15 cuốn => = 5005 (cách chọn) -Ngăn thứ II : Chọn 7 cuốn trong 9 cuốn => = 36 (cách chọn) -Ngăn thứ III : Chọn 2 cuốn trong 2 cuốn => = 1 (cách chọn) Vậy số cách sắp xếp sách vào ngăn là : x x = 5005 x 36 x 1= 180180 (cách chọn). 1.14 -Gọi số người tham gia vào cuộc đấu cờ là x. Mỗi đấu thủ phải thi đấu với 1 đấu thủ khác 1 ván. =>Số ván cờ bằng số cách chọn 2 trong x người tham gia ta được: = 10  = 10  - x – 20 = 0  Vậy số người tham gia vào cuộc đấu cờ là 5 người. 7  ất Thống Kê 1.15 Giải các phương trình : a) + = 101 (*) Điều kiện  2 x - 2 2  x = 4 Thay x = 4 vào phương trình (*) ta được : + = 101  2 + 1 = 101 ( vô lý) Vậy phương trình vô nghiệm. b) = 1 Điều kiện => 2 x 1 ( vô lý ) Vậy phương trình vô nghiệm c) : : = 5 : 5 : 3 Điều kiện =>m+1 n+1  m n Ta có : = =1  =  = (m+1)!(n-m)! = m!(n-m+1)!  (m+1).m!(n-m)! = m!(n-m+1).(n-m)!  m+1 = n-m+1  2m = n  2m-n = 0 (1) Và = 3 = 5  3 = 5  =  =  = 8  ất Thống Kê  5m = 3n-3m+6  8m-3n=6 (2) Từ (1) và (2) =>  (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình là: 1.16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Có tất cả 10 hành khách: Gọi 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi là : A ; B ; C ; D 3 người muốn quay mặt về hướng ngược lại là : E ; F ; G 3 người còn lại là : H ; I ; J + A có 5 cách chọn là { 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 }  B có 4 cách chọn  C có 3 cách chọn  D còn lại 2 cách chọn + E có 5 cách chọn là { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }  F có 4 cách chọn  G có 3 cách chọn + H ; I ; G ta sắp xếp vào 3 vị trí còn lại => có 3! cách chọn Vậy số cách sắp xếp chỗ ngồi là: 5 4 3 2 5 4 3 3! = 43200 ( cách chọn ). 1.17 Mô tả các biến cố đối lập: a) Gọi A là biến cố 2 mặt hình lật lên khi tung 2 đồng tiền kim loại =>biến cố đối :là biến cố xuất hiện 2 mặt chữ hoặc 1 mặt hình và 1 mặt chữ lật lên. b) Gọi B là biến cố được bi trắng khi rút 1 bi từ hộp gồm 2 bi trắng ,3 bi đen và 4 bi đỏ => biến cố đối là biến cố được bi đen hoặc bi đỏ khi rút 1 bi từ hộp 9 Hướng tàu đi  ất Thống Kê c) Gọi C là biến cố khi bắn 3 phát trúng cả 3 => biến cố đối là biến cố ít nhất có 1 phát trật d) Gọi D là biến cố có ít nhất 1 phát trúng khi bắn 5 phát => biến cố đối là biến cố cả 5 phát đều trật e) Gọi E là biến cố trúng không quá 2 phát khi bắn 5 phát => biến cố đối là biến cố trúng ít nhất 3 phát khi bắn 5 phát f) Gọi F là biến cố đấu thủ thứ nhất thắng trong 1 ván cờ vua => biến cố đối là biến cố đấu thủ đó thua hoặc hòa. 1.18 Gọi là phát thứ i trúng (i=1;2;3) Gọi là phát thứ I trật (i=1;2;3) a) Gọi A là biến cố cả 3 phát đều trúng => A=A 1 A 2 A 3 b) Gọi B là biến cố cả 3 phát đều trật => B= c) Gọi C là biến cố có ít nhất 1 phát trúng => C =A 1 +A 2 +A 3 d) Gọi D là biến cố có it61 nhất 1 phát trật => D = e) Gọi E là biến cố không ít hơn 2 phát trúng => E = A 1 .A 2 +A 2 .A 3 +A 1 .A 3 f) Gọi F là biến cố không quá 1 phát trúng => F= + A 1 +A 2 +A 3 g) Gọi G là biến cố trúng không sớm hơn phát thứ 3 => G = CHƯƠNG II ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. VECTƠ NGẪU NHIÊN Cơ sở lý thuyết I. Đại lượng ngẫu nhiên 1. Định nghĩa và phân loại: 10 [...]... Văn Phú ất Thống Kê Giả sử là 1 nhóm đầy đủ các biến cố Khi đó có 1 quy tắc X đặt mỗi biến cố với với 1 số gọi là 1 đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên còn gọi là biến ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên theo định nghĩa trên là đại lượng ngẫu nhiên bậc thang Đại lượng ngẫu nhiên tổng quát là giới hạn của 1 dãy các đại lượng ngẫu nhiên bậc thang 2 Bảng phân phối xác suất các đại lượng ngẫu nhiên rời... 1 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Đặt Khi đó ta được bảng phân phối xác suất của X: X P Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Hàm phân phối xác suất: Cho X là 1 đại lượng ngẫu nhiên Ta gọi hàm: II 1 là hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên có các tính chất sau: không giảm Nếu X là 1 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với thì hàm phân phối của X là: Nếu hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên. .. thì: 2 Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Cho X là 1 đại lượng ngẫu nhiên liên tục, có hàm phân phối F(x) là 1 hàm có đạo hàm Khi đó ta gọi hàm: là hàm mật độ xác suất của X có các tính chất sau: Vectơ ngẫu nhiên Khái niệm vectơ ngẫu nhiên: Cho các đại lượng ngẫu nhiên xác định trên kết quả của 1 phép thử Khi đó ta gọi: Z =( là vectơ ngẫu nhiên n chiều 2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2... của X và Y : Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu : e Hàm phân phối của (X,Y) Hàm và các phép toán trên các đại lượng ngẫu nhiên 1 Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên a Trường hợp rời rạc: Giả sử là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Bằng cách tính các giá trị ta tìm được các giá trị mà Y nhận Xác suất tương ứng để Y nhận là: IV b Trường hợp liên tục: Giả sử là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có... các xi, mỗi xi được tính với tỷ trọng pi Vậy : kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên là trung bình theo xác suất các giá trị có thể nhận của đại lượng ngẫu nhiên đó Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì vai trò của hàm mật độ xác suất f(x) giống như bảng phân phối xác xuất, tổng (1) tương ứng với tích phân Do đó : Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì kỳ vọng của X là số... chất của phương sai  Định lý : Với mọi đại lượng ngẫu nhiên X, Y và hằng số C ta có: (i) D(X) ≥ 0, D( C ) = 0 (ii) D(CX) = C2D(X) (iii) D(X) = E(X2) – ( E(X))2 (iv) D(X + Y) = D(X) + D(Y) nếu X và Y độc lập D(X + C) = D(X) III Một số đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên 1 Mốt của đại lượng ngẫu nhiên Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất : X x1 x2 … xn … p1 p2 pn … P Nếu... là số có khả năng nhất Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) Nếu f(x 0) = maxf(x) thì ta gọi mốt của X là : Mod(X) = x0 Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên Cho x là một đại lượng ngẫu nhiên Số m gọi là trung vị của X, ký hiệu là med(X) nếu : 2 17 GVHD:Nguyễễn Văn Phú ất Thống Kê (X < m) ≤ và P( X > m) ≤ 3 Momen trung tâm Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X) = a Ta gọi... với điều kiện của là: Y 12 GVHD:Nguyễễn Văn Phú d ất Thống Kê Điều kiện độc lập của X và Y: X và Y độc lập   e Hàm phân phối xác suất (X,Y) 3 Vectơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều: a Hàm mật độ đồng thời: Hàm mật độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên (X,Y) là hàm f(x,y) xác định trên toàn mặt phẳng có các tính chất: b Mật độ lề của X và Y: Cho vectơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đồng thời là khi đó : là mật... GVHD:Nguyễễn Văn Phú a ất Thống Kê Bảng phân phối xác suất đồng thời: Cho Đặt ; ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất đồng thời của Z = (X,Y): Y … X … … … … … … … … Ta có: và b Phân phối lề của X và Y: Đặt Ta được bảng phân phối xác suất lề của X: X Đặt Ta được bảng phân phối xác suất lề của Y: Y c Phân phối có điều kiện: Bảng xác suất của X với điều kiện của là: X Bảng xác suất của Y với điều... có hàm phân phối của Z: 3 Phép toán các đại lượng ngẫu nhiên: Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y Khi đó phân phối của X+Y chính là phân phối của; phân phối của XY chính là phân phối của Trường hợp X và Y rời rạc thì X+Y và XY có bảng phân phối xác suất lần lượt là: X+Y P Trong đó: BÀI TẬP CHƯƠNG II Đề Bài: 2.13 Cho biến đổi ngẫu nhiên X hàm mật độ: = Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần . 1 số gọi là 1 đại lượng ngẫu nhiên. Đại lượng ngẫu nhiên còn gọi là biến ngẫu nhiên. Đại lượng ngẫu nhiên theo định nghĩa trên là đại lượng ngẫu nhiên bậc thang. Đại lượng ngẫu nhiên tổng quát. 1 dãy các đại lượng ngẫu nhiên bậc thang. 2. Bảng phân phối xác suất các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Cho là 1 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Đặt Khi đó ta được bảng phân phối xác suất của X: X . P II. Hàm phân phối xác suất. Hàm mật độ xác suất 1. Hàm phân phối xác suất: Cho X là 1 đại lượng ngẫu nhiên. Ta gọi hàm: là hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên có các tính chất