Bài tập lớn môn phương pháp tính SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Mơn : Phương Pháp Tính ………… o0o………… Bài Tập Lớn GVHD : Th.S Nguyễn Văn Phú Nhóm SV thực : nhóm STT 410BK031 Đỗ Khánh Hòa 410BK051 Phạm Duy Hải 410BK250 Nguyễn Chí Luyến 410BK036 Nguyễn Chiến Thắng 410BK025 Võ Chí Cơng 410BK271 Trần Thị Trúc Linh 410BK231 Nguyễn Thảo Nguyên 410BK328 Nguyễn Thị Thanh Huệ 410BK157 Nguyễn Quốc Anh 10 410BK285 Hồ Trọng 11 Lớp Mã Số SV Họ Tên 410BK252 Phạm Đăng BK10HTĐ – Đại Học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh T.p Hồ Chí Minh, Ngày 09 tháng 12 năm 2011 Lời Mở Đầu Phương Pháp Tính Page Thăng Hiển Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Phương Pháp Tính mơn học quan trọng sinh viên ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế số ngành khoa học xã hội Môn cung cấp cho sinh viên khái niệm lý thuyết phương pháp tính Sinh viên hiểu việc vận dụng phương pháp tính để giải tốn Các kiến thức phương pháp tính học phải có tính thực tiễn để người học áp dụng vào thực tế ngành học Trang bị cho sinh viên khái niệm lý thuyết phương pháp tính tốn như: giải hệ phương trình, tìm sai số, tính gần đúng… Nâng cao khả tính tốn, phân tích sinh viên Trong làm chúng em khơng tránh khỏi sai sót,mong thầy cho ý kiến nhận xét , đánh giá để chúng em rút kinh cho lần sau Chúng em chân thành cảm ơn thầy! TPHCM, Ngày 09 tháng 12 năm 2011 Sinh Viên Nhóm 05 Nhận Xét Phương Pháp Tính Page Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Trong thời gian tuần vừa qua, nhóm chúng em cố gắng hồn thành tập lớn mơn “Phương Pháp Tính“ Trong q trình hồn thành tập lớn, chúng em rút nhiều kinh nghiệm kiến thức bổ ích, giúp chúng em hiểu biếc nhiều mơn “ Phương Pháp Tính“ Sinh viên nhóm Phương Pháp Tính Page Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Chương 1: SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ I - TÓM TẮT LÝ THUYẾT: I.1 Sai Số: Định nghĩa: số a gọi số gần số xác A, kí hiệu a A ( đọc a xấp xỉ A), a khác A không đáng kể dùng thay cho A tính tốn Đại lượng a gọi sai số thật số gần a Trong thực tế, so A, ta ước lượng đại lượng dương bé tốt thỏa điều kiện: | A – a| (1.1) Được gọi số gần a Từ cơng thức (1.1) ta có: A- A a+ (1.2) Tuy nhiên thực tế ta quy ước viết công thức (1.2) dạng : A=a Sai số tương đối số gần a so với A đại lượng tính theo cơng thức: Nếu khơng biết A, ta thay Gọi , ,, giá trị xác giá trị gần đối số hàm số Nếu f hàm khả vi liên tục || Trong đạo hàm riêng tính điểm trung gian Do liên tục bé ta xem: Phương Pháp Tính Page Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Là sai số tuyệt đối cần tìm hàm số ta có cơng thức tính sai số tương đối: II Bài tập ví dụ: Bt chương 1: Cho hình cầu bán kính R = 0.005 (m), , tính sai số tuyệt đối thể tích hình cầu Giải: Ta có : thể tích hình cầu tính cơng thức: Theo cơng thức : Ta có : Xem V hàm biến R, ta có: Vậy , = 3.14 x0.002 + 1.9033 Phương Pháp Tính Page Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Chương hai: a) phương trình phi tuyến Lí thút: a) Cách tìm khoảng cách li nghiệm: Cách1: tìm phương pháp giải tích Cách2: tìm phương pháp đồ thị b) Cơng thức đánh giá sai sơ: Định lí 2.2: giả sử hàm liên tục đoạn [a,b], khả vi (a,b) nghiệm gần nghiệm xác [a,b] Thế ta có cơng thức đánh giá sai số tổng quát sau c) Phương pháp chia đơi: Xét phương trình f(x)=0 (1) có nghiệm xác khoảng cách li nghiệm [a.b] Đặt: Tính Nếu =0 nghiệm cần tìm : Phương Pháp Tính Page Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Nếu đặt: Nếu đặt: d) Phương pháp lặp đơn: Tìm nghiệm gần phương trình (1) khoảng cách li nghiệm [a,b] Nội dung phương pháp lặp: Chuyển phương trình (1)về dạng tương ứng (2) Trong đoạn [a,b] Chọn giá trị tùy ý xây dựng dãy lặp {} theo công Lưu ý: nghiệm phương trình (2) cịn gọi điểm bất động hàm Định nghĩa2.1: hàm gọi hàm co đoạn [a,b] với tồn số Q cho (3) Số q bất đăng thức (3) gọi hệ số co Định lí 2.3: hàm co đoạn [a,b] liên tục [a,b] Định lí 2.4: hàm liên tục [a,b],khả vi [a,b] và1 cho la hàm co (a,b) với hệ số co Định lí 2.5: (nguyên lí ánh xạ co) giả sử hàm hàm co đoạn [a,b] với hệ số co q đồng thời, Khi với giá trị ban đầu [a,b], dãy lặp xác định theo công thức sẽ hội tụ điểm phương trình ) va ta có cơng thức đánh giá sai số Phương Pháp Tính Page Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Hoặc: e) Phương pháp newton: Định lí: giả sử hàm có đạo hàm đến cấp hai liên tục đạo hàm ; khônh đổi dấu đoạn [a,b] đạo hàm cấp 1và cung dấu chọn ngược dấu chọn Nghiện gần phương trình xác định theo cơng thức Ta có cơng thức đánh giá sai số: Với f) Phương pháp dây cung: Tìm nghiệm gần phương trình Giả sử liên tục khoảng cách li nghiệm [có đạo hàm đến cấp hai liên tục Khi nghiện gấn sẽ tính sau: Nếu ta xác định dãy lặp theo công thức Nếu ta xác định dãy lặp theo công thức : Đánh giá công thức sai số theo công thức : Với Phương Pháp Tính Page Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Bài tập 11:giải hệ phương trình sau đây, tìm ,theo phương pháp Newton: c)  x2 + y =  y = x F ( x0 , y0 ) = cho x0 = 0.5 , = 0.8 -0.11 δF Fx′( x0 , y0 ) = δ x ( x0 , y0 ) = δF (x , y ) = Fy′( x0 , y0 ) = δ y 0 Gx ( x0 , y0 ) = G ′ ( x0 , y0 ) = y 1.64 1.85 -0.675 δG ′ Gx ( x0 , y0 ) = δ x ( x0 , y0 ) Phương Pháp Tính y0 =-0.3 δG ( x0 , y0 ) δy =-0.875 Page Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm  Fx′ Fy′   1.64 1.85  J ( x0 , y0 ) =  ÷  ÷ y  Gx′ G ′   −0.3 −0.875  = Vậy : F ( x0 , y0 ) Fy′( x0 , y0 ) x1 = x0 − ′ J ( x0 , y0 ) Gx ( x0 , y0 ) G y ( x0 , y0 ) 0.5 − = −0.11 1.75  1.64 1.85  −0.675 −0.875  −0.3 −0.875 ÷   =1.9517 Fx′( x0 , y0 ) F ( x0 , y0 ) y1 = y0 − J ( x0 , y0 ) Gx′ ( x0 , y0 ) G ( x0 , y0 ) 0.8 − = 1.64 −0.11  1.64 1.85  −0.3 −0.675  −0.3 −0.875 ÷   = -0.49545 Bài tập 12: Vận tốc rơi vật tính theo cơng thức: Phương Pháp Tính Page 10 Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm V= gm ( − e −( c / m ) / t ) c Với g = 9,8 m/ Biết c = 13,5kg/s, xác định khối lượng m v = 36m/s thời điểm t = 6s Tính đến ba chữ số đáng tin sau dấu thập phân Giải: ta có V= 36 = 36 = gm ( − e −( c / m ) / t ) c 9,8.m ( − e−( 13.5/ m) /6 ) 13.5 98.m ( − e−81/ m ) 135 m = 75.2098 Phương Pháp Tính Page 11 Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm CHƯƠNG : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 3.1 PHƯƠNG PHÁP GAUS Xét hệ ptđstt ở dang ma trận AX = B A= X= B= A gọi ma trận hệ số X ma trận ẩn số B goi ma trận cột vế phải qua biến đổi sơ cấp - Nhân hàng cho số khác Đổi chỗ hai hàng cho Cộng hàng với hàng sau nhân hàng với số khác Ma trận bậc thang ma trận thỏa Các hang khác nằm hàng Trên hai hàng khác không phần tử khác ở hàng bên nằm bên phải cột chứa phần tử khác nằm ở hàng bên trái Để giải hệ phương trình : AX = B ta thực A/B Trong 3.2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TỬ LU Xét hệ AX = B A khác Nội dung phương pháp Phân tích A thành LU , L ma trận tam giác , U ma trận tam giác L = Phương Pháp Tính Page 12 Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm U= AX = B LUX= B Y= UX LY =B a/ Phương pháp Doolittle phương pháp A = LU L ma trận tam giác phần tử đường chéo phần tử L ,U tính theo công thức : u1j = a1j li1 = uij = aij - ik uki lij = ( aij -1 b/ phương pháp choleski Phương pháp choleski trường hợp riêng pp nhân tử LU áp dụng cho a ma trận xác định Định lý ma trận xác định dương: A= = = Ma trận A xác định dương tất định thức dương 3.4 chuẩn vectơ và ch̉n ma trận Xét khơng gian tuyến tính thực ch̉n vectơ x thuộc số thực Phương Pháp Tính Page 13 Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Định nghiã 3.1 : chuẩn ma trận tương ứng với chuẩn vectơ xác định theo công thức = max = 3.5 phương pháp lặp Kỹ thuật lặp dùng để giải hệ phương trình đại số tuyến tính tương tuwj phương pháp lặp xét chương muốn chuyển 3.3 dạng tương đương x=Tx + cvowis t ma trận vuông cấp n c vec tơ biết = T +c Với m = 1,2,3 ……… ta có định lí Định lí 3.6 : Nếu < dãy lặp vec tơ theo công thức ( 3.12 ) sẽ hội tụ nghiệm hệ với vec tơ lặp ban đầu Khi ta có cơng thức đánh giá sai số : Bây sẽ xét ma trận hệ số hệ phương trình Ax = b mà chuyển dễ dàng dạng x= Tx + c II BT ví dụ: 3.Sử dụng phương pháp nhân tử LU dể giải hệ phương trình sau: a) 2 x1 − x2 + x3 =  3x1 + 3x2 + x3 = 3x + x + x =  Ta có ma trận hệ số A= LU = Phương Pháp Tính Page 14 Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm U 33 = a11 = U12 = a12 = −5 U13 = a13 = a21 l21.u11 = a21 ⇒ l21 = = u11 l21.u12 + u22 = a22 ⇒ u22 = a22 − l21 u12 = − (−5) 21 = l21.u13 + u23 = a23 → u23 = a23 − l21.u13 = − = l31.u12 + l32 u22 = a32 − (−5) a − l u → l32 = 32 31 12 = = 21 u22 l31.u13 + l32 u23 + u33 = a33 → u33 = a33 − (l31.u13 + l32 u23 ) Phương Pháp Tính Page 15 Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm  −34 3 = −  + ÷ =  2 Y= LY=B =   1    −3  ⇒Y = 2  31    7 0 Y =1     −2    1 −2 −1  x1    = 0 1   x2  =        0   x2   −2       x = ( 2) d)  x1 + x2 − x3 + x4 =  x − x + x + 3x =   2 x1 − x2 + x3 + x4 = 2 x1 + x2 + x3 + x4 =  Phương Pháp Tính Page 16 Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Ta có ma trận hệ số 1 −1 1 −1 A= −1 2 32 43 32 1 l  21 A = LU = l31 l32  l41 l42 0 l43  u11 u12   u22  0  0  1  0 u11 = a11 = u12 = a12 = u13 = a13 = −1 u14 = a14 = l21.u11 = a21 → l21 = a21 =1 u11 l21.u12 + u22 = a22 → u22 = a22 − l21 u12 = −1 − 1.1 = −2 l21.u13 + u23 = a23 → u23 = a23 − l21.u13 = − 1.( −1) = Phương Pháp Tính Page 17 u13 u14  u23 u24   u33 u34   u44  Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm l21.u14 + u24 = a24 → u24 = a24 − l21.u14 = − 1.1 = l31.u12 + l32 u22 = a32 → l32 = a32 − l31 u12 −1 − 2.1 = = u22 −2 l31.u11 = a31 → l31 = a31 =2 u11 l31.u13 + l32 u23 + u33 = a33 → u33 = a33 − (l31.u13 + l32 u23 ) = − (2.(−1) + 1.5) = − l31.u14 + l32 u24 + u34 = a34 → u34 = a34 − (l31.u14 + l32 u24 ) = − (2.1 + 1.2) = −1 41 u11 + l42 u22 = a42 l41.u11 = a41 → l41 = Phương Pháp Tính a41 =2 u11 Page 18 Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm l41.u12 + l42 u22 = a42 → l42 = a42 − a42 − l41.u12 u22 − 2.1 = = −2 l41.u13 + l42 u23 + l43 u33 = a43 → l43 = a43 − (l41.u13 + l42 u23 ) = u33 l41.u14 + l42 u24 + l43 u34 + u44 = a44 → u44 = a44 − (l41.u14 + l42 u24 + l43 u34 ) −3 = − (2.1 + + 1) = 2 Phương Pháp Tính Page 19 Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm  y1  Y =  y2     y3    1 1  LY =    2   2 0   y1          y2  =   0  y3   3     y −3 1       0 1 1   Y =  −1  2    −1  4   1 0 −2  U X = Y = 0   0   Phương Pháp Tính −1 −7 1 1   x1          x2  =  −1  −1   x3        −3   x4   −1   14  7    Page 20 Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm  −4  3   1  3 →x=  −1   3 5   3 Phương Pháp Tính Page 21 ... môn “ Phương Pháp Tính? ?? Sinh viên nhóm Phương Pháp Tính Page Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Chương 1: SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ I - TÓM TẮT LÝ THUYẾT: I.1 Sai Số: Định nghĩa: số a gọi số gần số. .. gian Do liên tục bé ta xem: Phương Pháp Tính Page Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Là sai số tuyệt đối cần tìm hàm số ta có cơng thức tính sai số tương đối: II Bài tập ví dụ: Bt chương 1: Cho... Nhận Xét Phương Pháp Tính Page Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính Nhóm Trong thời gian tuần vừa qua, nhóm chúng em cố gắng hồn thành tập lớn mơn ? ?Phương Pháp Tính? ?? Trong q trình hồn thành tập lớn, chúng