BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Nó bao gồm cơ sở lý thuyết, một số bài tập và bài giải được chúng tôi tổng hợp và trình bày một cách ngắn gọn, súc tích nhưng đầy đủ các khái niệm cốt lõi.. Nó giúp sinh viên rèn luyện c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN

LỜI NÓI ĐẦU

Đầu tiên nhóm xin trân trọng gởi lời cảm ơn chân thành đến giảng viên Nguyễn Văn Phú Người đã tạo điều kiện để nhóm có

cơ hội rèn luyện bản thân và nắm vững kiến thức hơn thông qua bài tập lớn.

Theo đà phát triển của máy tính điện tử, xu hướng mô hình hóa

và mô phỏng bằng máy tính đã trở thành một trong những kỹ thuật chủ đạo của các ngành khoa học kỹ thuật và kinh tế Điều này đòi hỏi việc xây dựng những thuật toán đơn giản, hiệu quả, giải đến kết quả bằng số các bài toán thực tế khác nhau Đó cũng là mục tiêu của môn học phương pháp tính giảng, dạy ở các trường đại học kỹ thuật.

Bài tập lớn này dựa trên giáo trình môn phương pháp tính được giảng dạy tại đại học bách khoa tp.HCM Nó bao gồm cơ sở

lý thuyết, một số bài tập và bài giải được chúng tôi tổng hợp và trình bày một cách ngắn gọn, súc tích nhưng đầy đủ các khái niệm cốt lõi Nó giúp sinh viên rèn luyện các kỹ năng tổng hợp các kiến thức đã học, kỹ năng làm việc nhóm qua đó có thể trao đổi cũng

cố kiến thức của bản thân, rèn luyện tính tự chủ và tinh thần trách nhiệm trong công việc.

Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên thiếu sót là điều không thể tránh khỏi Mong nhận được ý kiến đóng góp để nhóm có thể hoàn thiện hơn.

TP.HCM, ngày 05/12/2011

Lớp BK10HTD - TP.HCM, ngày 05 tháng 12 năm 2011

CHƯƠNG I SAI SỐ VÀ SỐ GẦN ĐÚNG

I Sai số

Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai

số.

Số a được gọi là số gần đúng của số chính xác A,ký hiệu a≈A,nếu a

khác A không đáng kể ,được thay thế cho A.Khi đó ∆=|a− A| được gọi

là sai số thật sự của số gần đúng a.Vì không biết giá trị của A ta ướclượng 1 đại lượng ∆a thoả điều kiện:

Sai số tuyệt đối của a´ so với A:

| ´a− A|≤|a−a´ | + |a−A|≤θ´a+∆ a=∆´a

Cho a≈A với sai số tuyệt đối ∆a được gọi là đáng tin nếu:

δa = ¿a∨ ∆ a¿¿

=>∆ a=δa×|a| =0.12% ×1.85=0.00222

Bài tập 6:Cho hàm ƒ ( x )=¿3x5 − ¿2x2 +7 và x = 1.234 ±0.00015.Tính ∆f

I Bài toán

Mục đích của chương này là tìm nghiệm gần đúng của pt:f(x)=0 (2.1) liên tục [a , b]

trong khoảng [a , b] ∃ duy nhất nghiệm của phương trình (2.1) được gọi

là khoản cách ly nghiệm Ta được f(a).f(b) ≤ 0.Để tìm nghiệm củaphương trình (2.1) ta tiến hành theo 2 bước:

II Phương pháp chia đôi

Xét phương trình f(x)=0 có nghiệm chính xác ´x trong khoản cách lynghiệm [a , b] và f(a).f(b)<0.Ta đặt;

III Phương pháp lặp đơn

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)= 0 (2.2) trong đoạncách ly nghiệm [a,b]

Chuyển phương trình f(x)= 0 về phương trình dạng tương đương trong[a,b] g(x) = (x) (2.3)

 Chọn một giá trị x0 ∈ [a.b] tuỳ ý,xây dựng dãy lặp {x n}n=1 ∞ theocông thức lặp

x n=g(x n−1)∀ n=1,2,3 …

 Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) điểm bất động của hàmg(x)

 Định nghĩa 2.1

Hàm f(x) được gọi là hàm co trong đoạn [a,b] nếu tồn tại một số q :

∀ x1, x2∈[a , b],|g(x1)−g(x2)|≤ q|x1−x2|(2.4 )

 Định lý 2.3

Nếu f(x) là hàm co trên [a.b] thì nó liên tục trên đó

x n=x n−1−f (x n−1)

f '(x n−1)∀ n=1,2,3 …

Ta có công thức đánh giá sai số :

|x n− ´x|≤ M2

2 m|x n−x n−1|2

Với |f ' '(x )|≤ M2,|f '(x)|≥ m1; ∀ x ∈[a , b]

V Phương pháp dây cung

Cho phương trình f(x)= 0 Tìm nghiệm gần đúng của phương trìnhf(x)= 0,giả sử f(x) liên tục trên khoảng cách ly nghiệm [a,b]

Đạo hàm cấp 2 liên tục f’(x),f’’(x) không đổi dấu và f’’(x) > 0 trên[a,b].Khi đó nghiệm gần đúng được tính:

Nếu f(a) > 0,ta xay dựng dãy lặp {x n}n=1 ∞ theo công thức:

Bài Tập chương II

Câu 2: sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghi m gần đúng ở lầm ệm gần đúng ở lầm lăp thứ 5(x5 ) của phương trình √x – cos x=0 trong [0,1] Sử dụng công thức đánh giá sai số tổng quát, tính sai số của nó và so sánh với sai số tính công thức đánh giá sai số của phương pháp chia đôi

f¿

f(a0)=f (0)=√0−cos o=−1<0

f(b0)=f (1)=√1−cos1=1.5230 ×10−4>0

→ f(12)f (1)<0

1

3 4

5 8

x3=

5

3 4

11 16

f(1116)=√1116−cos

11

→ f(1611)f(58)< 0

*đ t: ặt { a4= 5

8

b4 = 11 16

x4=

5

11 16

21 32

x5= 41 64

∆ x5= 0.5

→ f(575128)f ( 4.5)<0

b) 2+cos(e x¿ −2)−ex¿ = 0 trong đoạn [0,5: 1,5]Đặt:

 Đổi chỗ n hàng cho nhau

 Cộng hàng với 1 hàng khác sau khi đã nhân với 1 số khác 0

II Phương pháp nhân tử LU

Xét hệ A.X = B trong đó |A| khác 0

 Định lý 3.1:

Nếu A là ma trận không suy biến thì sao giờ cũng tồn tại 1 matrận PA phân tích được thành tích của ma trận tam giác dưới L và matrận ∆ trên U,tức PA = LU

Phân tích A thành LU , L là ma trận tam giác dưới

l33

l43

0 0 0

l44]

U= [u11

0

⋮ 0

1] và U = [u11

0

⋯ 0

Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp nhân tử LU vàđược dùng cho trường hợp ma trận hệ số A là đối xứng và xác địnhdương.

Ma trận A được gọi là xác định dương nếu với mọi vecto x ≠ 0 taluôn luôn có xT Ax > 0 trong đó:

Ma trận A là đối xứng và xác định dương khi và chỉ khi tồn tại 1

ma trận B tam giác dưới,khả đảo sao cho A = B.BT

Trong Rn có rất nhiều chuẩn ,ta xét 3 chuẩn cơ bản sau:

Ta xây dựng dãy các vecto {x(m)

Bài Tập chương III

Câu 10: lặp lại bài tập 9 sử dụng phương pháp Gauss – Seidel

CHƯƠNG IV

ĐA THỨC NỘI SUY

Xét hàm số cho dưới dạng bảng

(4.1)

Trong đó n ∈ N0 , xk ,k = o ,n´ được gọi

là các móc nội suy hay các nút nội suy

yk = f(x) là giá trị của hàm cho trước tại xk

Hãy xác định 1 đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n

Pn(x) = an.xn + an-1.xn-1 + …….a1.x + a0 thỏa điều kiện:

Pn(xk) = yk , k= 0, n´

I Đa thức nội suy lagrange.

Xét hàm số y = f(x) được cho dưới dạng bảng (4.1) ,n ≥ 1.Xác định

đa thức lagrange Ln(x) thỏa các điều kiện sau:

⍵(x): tích các phần tử nằm trên đường chéo:

II Đa thức nội suy Newton

Giả sử hàm số y = f(x) được cho bởi số

x X0 x1 … xk ….xn

y Y0 y1 ….yk …yn

Người ta gọi đại lượng: f[xk , xk+1] = y k+1−y k

x k+1−x k là tỉ sai phân cấp 1của hàm f(x) trên đoạn [xk,xk+1]

Người ta gọi đại lượng sau đây là tỉ sai phân của hàm số f(x) trênđoạn [xk,xk+p]

f[xk,xk+1,….xk+p] = f[x k+1 , x k +2 … x k+ p]−f [x0, x k +1 … x k + p−1]

x p +k−x k

 Công thức Newton tiến xuất phát từ điểm nút x0

N n1(x ) = y0 + f[x0,x1](x – x0) + f[x0,x1,x2](x – x0)(x –x1) +f[x0,x1 xn](x – x0)(x – x1 – (x – xn-1)]

 Công thức Newton lùi xuất phát từ điểm nút xn

N n2

(x ) = yn + f[xn-1,xn].(x – xn)+f[xn-2,xn-1,xn](x – xn-1,xn)(x – xn-1)(x– xn) + f[x0,x1,….xn](x –x1)….(x – xn)

Xét hàm số y = f(x) trong đoạn [a,b] Khi đó các nút nội suy thỏamãn

A = x0 < x1 <……<xn = b

Phép chua như thế gọi là 1 phân hoạch đoạn [a,b],nếu độ dài củamỗi đoạn [xk,xk+1] bằng nhau thì ta gọi phân hoạch đó là phân hoạchtrong đều.Ta có:

III Công thức nội suy spline bậc ba

Việc xây dựng một đa thức đi qua các điểm nội suy cho trước trong

trường hợp n lớn nhất là rất khó khăn và khó ứng dụng Một trong

những cách khắc phục là trên từng đoạn lien tiếp của các đặc điểmnút nội suy ta nối chúng lại bởi các đường cong đơn giản nhất la

các đoạn thẳng Đường cong như vậy được gọi là đường spline

g(x) có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên [a, b]

Trên mỗi đoạn con [ x k , x k+1], k = 0, n−1´ , g(x) ≡ g k(x) là một đa thứcbậc ba

g(x k)=f(x k), ∀ k = ´ 0 , n

Thỏa mãn trong các điều kiện biên sau đây :

i g (x} rsub {0} )=g(x n)=0 (điều kiệnbiêntự nhiên) ¿

ii g '(x0)= ¿ f'(x0), g'

¿) = f'(xn) (điều kiện biên ràng buộc)

Tóm tắt lại giải thuật spline biên tự nhiên

Bước 2: Tính A k , B k theo công thức :

⟹Do đó đường thẳng cần tìm : ,f(x)=0.5743+0.8904x.

⟹Do đó đường thẳng cần tìm : ,f(x)=−10.9193+1.2004x.

c) .

I TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM

Trong phần này ta đưa ra cac công thức xấp xỉ đạo hàm cấp một

và cấp hai của hàm y=f(x) dựa trên các giá trị rời rạc của hàm tại cácđiểm nút x k.ta xây dựng đa thức nội Lagrange £(x) xấp xỉ hàm f(x)trong một đoạn nào đó và khi đó f’(x) ≈ £’(x) và f”(x)≈ £”(x)

Trước tiên ta xét trường hợp bảng số có hai điểm nút:

x x0 x1

y y0 y1

với y0 = f(x0) và y1 = f(x1) = f(x0+h).Đa thức nội suy có dạng: £ ( x )= x−x0

h y1 −x−x1

h y0 Với h = x1−x0.Do đó với mọi x trên [x0−x1] ta có

f(x) là hàm xác định và khả tích trên [a,b].ý tưởng xuất phát từ việc

xấp xỉ hàm f(x) trên đoạn [a,b] bởi đa thức nội suy Lagrange £ n(x) và

Ta chia đoạn [a,b] thành n = 2m đoạn nhỏ bằng nhau với

bước chia H= b−a

2m và sử dụng công thức (5.3) cho từng cặp đoạn nhỏliền nhau,ta thu được công thức Simpson mở rộng:

Ý tưởng của công thức cầu phương Gauss là xấp xỉ tích phân

Trong đó 2n hệ số B1, B2, … , B n , x1, x2,… , x n được xác định theo điều

kiện:công thức (5.4) trở thành công thức đúng với mọi đa thức có bậc

nhỏ hơn 2n.khi đó cho f ( x )=x m , m=0,1 , … ,2n−1 và thay dấu ≈ bởi dấu=¿

trong công thức (5.4),ta sẽ thu được 2n phương trình để giải cho 2n ẩn

B1, B2, … , B n , x1, x2, … , x n .

Tuy nhiên chúng ta có thể giảm số ẩn và số phương trình bằng

cách xác định trước các điểm nút x1, x2, … , x nvà xét tích phân (5.1)trong

đoạn [-1,1] nhò vào đa thức Legendre.Đa thức legendre p n(x ) xác định

theo công thức truy hồi sau

thực phân biệt nằm trong đoạn [-1;1] và đối xứng qua gốc tọa độ

Thuật toán tìm các đa thức Legengre được thể hiện trong phương

trình

f ( {x} rsub {0} )= {f left ({x} rsub {0} +h right ) -2f left ({x} rsub {0} right ) +f( {x} rsub {0} -h)} over {{h} ^ {2}

.

Tham số đưa vào là bậc n của đa thức cấn tìm.Hàm trả về đa thức

Legendre bậc n và các nghiệm thực của nó trong đoạn [-1,1]

B k f (x k) (5.5)

Và chọn x1, x2, … , x n theo thứ tự là nghiệm của đa thức Legendre

p n(x ) thì các hệ số B1, B2, … , B n sẽ là nghiệm của hệ phương trình đại sốtuyến tính sau:

¿

Định thức của ma trận hệ số của hệ phương trình(5.6) là định thứcVandermonde và do x1, x2, … , x n là n nghiệm phân biệt của đa thứcLegendre nên định thức khác không.Như vậy tồn tại duy nhất các hệ số

B1, B2, … , B n .trong trường hợp n=3 từ công thức (5.5) ta có công thứcGauss bậc bas au:

x= b−a

b+a

2Khi đó

I BÀI TOÁN CAUCHY;

Xét một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của một dạng bàitoán của phương trình vi phân thướng có nhiều ứng dụng trong thựctế.Đó là bài toán Cauchy hay còn gọi là bài toán với điều kiện ban đầu

{y '(x )=f (x , y (x )), a ≤ x ≤ b

y ( a)= y0 (6.1)Với y=y(x) là hàm cần tìm,khả vi trên đoạn [a,b],y0 là giá tri banđầu cho trước của hàm tại điểm x=a

a) Công Thức Euler:

Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (6.1),ta chia đoạn [a,b] thành

n đoạn nhỏ bằng nhau với bước h= b−a

n Khi đó các điểm chia là

x0=a; x k=x0+kh , k=0,1,2 , … , n ;x n=b.Giá trị gần đúng cần tìm của hàm tạiđiểm x k được ký hiệu là y k ≈ y (x k).Chúng ta sử dụng khai triển taylor để

đưa ra công thức Euler.Giả sử y(x) là nghiệm duy nhất của bài toán(6.1),có đạo hàm đến cấp hai lien tục trên đoạn [a,b].Khi đó với mỗik=0,1,2,….,n-1,ta có:

Bỏ đi phần dư trong (6.2) và thay các giá trị gần đúng của hàm tại

các điểm nút,ta được công thức Euler sau:

y(x k+1)≈ y k+1+hf(x k , y k), k=0,1,2 , … , n−1(6.3)

b) Công Thức Euler Cải Tiến:

Trong công thức (6.3)vai trò của f (x k , y k) chính là hệ số góc của đường cong tích phân tại điểm có hoành độ x k và hoàn toàn không có thông tin gì về đường cong tại điểm có hoành độ x k+1.Vì lý do đó,người

ta hay vai trò của f (x k , y k) bởi trung bình cộng của các hệ số góc tại hai điểm x k và x k+1.khi đó ta có công thức:

y k +1=y k+h f(x k , y k)+f (x k +1 , y k+ 1)

2 , k =0,1,2 , … ,n−1(6.4)

Công thức (6.4) được gọi là công thức Euler cải tiến.Ta thay giá

trị y k +1 ở vế phải công thức (6.4) bời giá trị xác định theo công thức(6.3),ta thu được:

φ (0 )=0,khi đó ta có khai triển Maclaurin của φ (h) như sau:

φ (h )=φ '

2φ (0) {h} ^ {2} +…+ {1} over {m!} {φ} ^ {(m)} (0) {h} ^ {m} +0( {h} ^ {m} } ^ {(m)} (0) {h} ^ {m} +0( {h} ^ {m} Các hệ số của (6.7) được xác định theo điều kiện:

với a ≤ x ≤b,và thỏa các đia6ù kiện ban đấu

Với mọi i=1,2 , … , m.Chú ý trong khi tính,các giá trị K i ,1 , K i ,2 , … , K i , m

phải được tình trước khi tính giá trị K i+ 1, j , ∀ j=1,2 , …, m

Đối với phương trình vi phân bậc m

y(m)

(x )=f¿

II BÀI TÓAN BIẾN TUYẾN TÍNH CẤP HAI:

Trong phần này chugn1 ta chi xét bài toán biên của phương trình

vi phân thương tuyến tính cấp hai với điều kiện biên được cho ở haiđiểm có dạng

¿ (6.15)

Chọn số tự nhiên n>0.Chia đoạn [a,b] thành n đoạn bởi các điểmchia x0=a; x k=x0+kh , k=1,2 , … , n−1 ; x n=b với h= b−a

n là bước chia.Tại cácđiểm nút x k , k=1,2 , … , n−1bên đoạn [a,b],sử dụng các công thức sai phânhướng tâm ta có:

tại các điểm chia x k , k=1,2 , … , n−1ta thu được các phương trình

p k y k+1−2 yk+y k−1

h2 +q k y k +1−y k−1

2 h +r k y k , ∀ k =1,2, …, n−1

với p k=p(x k), q k=q(x k), r k=r(x k), f k=f (x k).Bổ sung vào hệ phương trình các

điều kiện biên y (a)=α , y (n)=β sau khi biến đổi ta thu được phương trình

III PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIP:

Xét bài toán tìm hàm u(x,y) xác định trên miền chữ nhật

D={c < y <d a< x <b} và thỏa mãn phương trình Poisson cùng với các điều kiệnbiên sau:

m Các điểm chia:y0=c , y j=y0+j ∆ y , y m=d.Điểm có tọa

độ (x i , y j¿ được gọi là điểm nút

IV PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC:

Tìm hàm u(x,t) phụ thuộc vào biến không gian x và biến thờigian t,xác định trong miến D={a< x <b , t>0} và thỏa phương trinh truyềnnhiệt cùng với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu sau:

Ta chia đều [a,b] tành n đoạn với bước không gian ∆ x= b−a

n bởicác điểm chia x0=a , x i=x0+i ∆ x , x n=b.Chọn bước thời gian ∆ t và đặt t j=j ∆ t

.Tập các điểm nút (x i ,t j) cũng tạo thành lưới của miền D

a) Công thức sai phân tiến:∂u

Bài 5 : Xét bài toán biên

y - y '- 2 y = cos {x} , 0 ≤ x ≤ {π} over {2} over {2

y0=−0.3 , y(π2)=−0.1

Có nghiệm y ( x )=−0.1(sin x +3 cos x).Sử dụng phương pháp sai phânhữu hạn xấp xỉ nghiệm gần đúng và so sánh với nghiệm chính xáctrong các trường hợp sau

a) Với h= π

6b) Với h= π

-0,3-0,3102106906-0,2363194834-0,1

-0,3-0,3098076211-0,2366025404

-0,1

00,00040306950,000283057

0