Xét một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của một dạng bài toán của phương trình vi phân thướng có nhiều ứng dụng trong thực tế.Đó là bài toán Cauchy hay còn gọi là bài toán với điều kiện ban đầu
(6.1)
Với y=y(x) là hàm cần tìm,khả vi trên đoạn [a,b], là giá tri ban đầu cho trước của hàm tại điểm x=a.
a) Công Thức Euler:
Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (6.1),ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước .Khi đó các điểm chia là .Giá trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm được ký hiệu là .Chúng ta sử dụng khai triển taylor để đưa ra công thức Euler.Giả sử y(x) là nghiệm duy nhất của bài toán (6.1),có đạo hàm đến cấp hai lien tục trên đoạn [a,b].Khi đó với mỗi k=0,1,2,….,n-1,ta có:
với nằm trong .vì y(x) thỏa mãn phương trình vi phân trong (6.1) và nên ta có:
Bỏ đi phần dư trong (6.2) và thay các giá trị gần đúng của hàm tại các điểm nút,ta được công thức Euler sau:
b) Công Thức Euler Cải Tiến:
Trong công thức (6.3)vai trò của chính là hệ số góc của đường cong tích phân tại điểm có hoành độ và hoàn toàn không có thông tin gì về đường cong tại điểm có hoành độ .Vì lý do đó,người ta hay vai trò của bởi trung bình cộng của các hệ số góc tại hai điểm .khi đó ta có công thức:
Công thức (6.4) được gọi là công thức Euler cải tiến.Ta thay giá trị ở vế phải công thức (6.4) bời giá trị xác định theo công thức (6.3),ta thu được:
c) Công Thức Runge-Kutta:
Ta có công thức xấp xỉ như sau: (6.6)
Trong đó các hệ số
(6.7)
Được xác định theo phương pháp sau.Đặt
Như là một hàm phụ thuộc váo bước h.Giá trị tuyệt đối của là sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng tại .ta có thể giả thuyết rằng nghiệm y(x),và do đó hàm ,có đạo hàm đến cấp m.Chú ý rằng ,khi đó ta có khai triển Maclaurin của như sau:
Các hệ số của (6.7) được xác định theo điều kiện: (6.8)
Khi đó .
Công thức taylor bậc 4: Trường hợp n=m=4
d) Hệ Phương trình Vi Phân Và Phương Trình Vi Phân Bậc Cao:
Xét bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân bậc nhất và phương trình vi phân bậc cao.Đối với phương trình vi phân bậc cao,ta giới hạn việc tìm nghiệm gần đúng bằng cách chuyển về hệ phương trình vipha6n bậc nhất.Hệ m phương trình vi phân bậc nhất có dạng:
(6.10)
,và thỏa các đia6ù kiện ban đấu (6.11)
Chia đoạn [a,b]thành n đoạn nhỏ bằng nhau có độ dài .Khi đó các điểm chia là .Giá trị gần đúng của hàm tại điểm .Ta có công thức sau với giả thuyết rằng các giá trị đã được tính.
Công thức Euler: (6.12) Công thức Euler cải tiến: (6.13)
Công thức Runge-Kutte bậc bốn: (6.14)
Với mọi .Chú ý trong khi tính,các giá trị phải được tình trước khi tính giá trị
Đối với phương trình vi phân bậc m
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});