50 đề toán luyện thi đại học của thầy Trần Sĩ Tùng (có đáp án chi tiết)

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt C theo dây cung Câu VII.a 1 điểm: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba

Trang 2

Đề số 51

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: TOÁN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I Cho hàm số y x= 3+3 x mx2+ +1 có đồ thị là (Cm); ( m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các

tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau

Câu II

1) Giải phương trình:

x

x x

x

cos

1 cos cos

tan 2

độ các đỉnh của tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3)

Câu VIIa Cho z , 1 z là các nghiệm phức của phương trình 2 2 z2- 4 z + = Tính giá trị của biểu 11 0 thức :

D - + = và điểm A(–2; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng

D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D ’

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2 x + 2 y z + –3 0 = sao cho

Trang 3

êë2) Từ hệ PT Þ y¹ Khi đó ta có: 0

Câu IV: Gọi P,Q là trung điểm của BD, MN Chứng minh được: AC’^ PQ Suy ra AC ¢ ^ (BDMN)

Gọi H là giao của PQ và AC’ Suy ra AH là đường cao của hình chóp A.BDMN Tính được

Trang 4

Ta có: MA MB MCìí ÎîM =( )P = Û

x y z

237

ì =ï

=í

ï = î

02

Trang 5

Đề số 52

Môn thi: TOÁN

I PHẦN CHUNG (7 điểm)

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y=2x3+9mx2+12m x2 +1 (m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1

2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn:

1

+ +

=

+

Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a

Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) Tìm x theo a để thể tích

của khối chóp S.ABCD bằng

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1: 2 x y + –3 0 = ,

d2: 3 x + 4 y + = , d 5 0 3: 4 x + 3 y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d 2 0 1 và

và mặt phẳng (P): 2 x y z + - + = Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 0

A, cắt đường thẳng (D) và song song với (P)

Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt

chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1?

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng ( ) d : 2 x my + + - 1 2 = và 0 đường tròn có phương trình ( ) : C x2+ y2- 2 x + 4 y - = 4 0 Gọi I là tâm đường tròn ( ) C Tìm

m sao cho ( ) d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt A và B Với giá trị nào của m thì diện tích tam

giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0) Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho m n 1+ = và m > 0, n > 0 Tính khoảng cách từ A đến mặt

phẳng (SMN) Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định

Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình: ( x x ) x x21 x

2

+

> -Hết -

Trang 6

-Hướng dẫn Đề số 52 Câu I: 2) y ¢ = 6 x2+ 18 mx + 12 m2= 6( x2+ 3 mx + 2 ) m2

Hàm số có CĐ và CT Û y¢ = có 2 nghiệm phân biệt 0 x x1 2, Û D = m2 > 0 Û m 0¹

Trang 7

Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x 2 y 2 49

- = = + Û ï =

í

ï = - + î

Câu VI.b: 1) ( ) C có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3

(d) cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt A, B Û d I d ( , ) < R Û 2 2 - m + - 1 2 < 3 2 + m 2

Câu VII.b: BPT Û (4x - 2.2x - 3).log2x - > 3 2x+1- 4x Û (4x- 2.2x - 3).(log2x + > 1) 0

Û

x x

2 2 2 2

2

2.2 3 0 log 1 0

x x

2 2

êì <

-êîë

Û

x x x x

2

log 312log 3102

éì >ïêí

êï >

êî

êì <

ïêí

êï < <

êîë

x

2

log 310

Trang 8

Đề số 53

Môn thi: TOÁN

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x

x

2 1 1

-=

- 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần

lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB

-ïî

ï í

ì

= - + + + +

= - + + +

+

0 11 )

1 (

0 30 )

2 ( )

1 (

2 2

3 2

2 3

y y y x y x

xy y y

x y y x

Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = ò1 + +

01

1

dx x x

Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC.A ¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a,

cạnh bên AA¢ = a 2 M là điểm trên AA¢ sao cho AM 1 AA '

2

³ +

+ + +

+

b a

a c a c

c b c b

b a

II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm E(–1; 0) và đường tròn (C):

x2+y2 –8 – 4 –16 0x y = Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt (C) theo dây cung

Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai

lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần?

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường

thẳng AB, BC lần lượt là: x+2 –5 0y = và 3 –x y+ =7 0 Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; 3)-

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng D:

x 1 y 1 z

- Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho DMAB có diện tích nhỏ nhất

Câu VII.b (1 điểm): Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Trang 9

Hướng dẫn Đề số 53

Câu I: 2) Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y ( ; ) cắt Ox tại A và Oy tại B sao cho OA = 4OB 0 0

OA

1tan

4

4 hoặc

14

253

Câu II: 1) Điều kiện: cos2x¹0

PT Û - (sin x + cos ) x 2+ 2sin2 x + cos 22 x = 0 Û sin 22 x-sin2x= 0

21

++

ò = t t dt

t

1 2 0

Do đó BH là đường cao của hình chóp B.MA¢C¢ Þ BH = 2a

2 Từ giả thiết Þ MA¢ = a

Trang 10

Giả sử đường thẳng D đi qua E cắt (C) tại M và N Kẻ IH ^ D Ta có IH = d(I, D) ≤ IE

Như vậy để MN ngắn nhất thì IH dài nhất Û H º E Û D đi qua E và vuông góc với IE

Khi đó phương trình đường thẳng D là: x5( + +1) 2y = Û x0 5 +2y+ = 5 0

2) Giả sử (S): x2+y2 +z2-2ax-2by-2cz d+ = 0

· Từ O, A, B Î (S) suy ra: a

c d

120

ì =ï

=í

ï =î

-Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x a a a a a a a = 1 2 3 4 5 6 7 (a 1 ¹ 0)

Do DABC cân tại A nên các góc B và C đều nhọn và bằng nhau

ì = - +ï

= í

-ï =î

Câu VII.b: PT Û 25x-log5a=5x Û 52x-5x-log5a= Û 0 t x t

1log

é ³ê

=êêë

==========================

Trang 11

Đề số 54

Môn thi: TOÁN

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x = 4+ 2 m x2 2+ 1 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2) Chứng minh rằng đường thẳng y x 1 = + luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với

mọi giá trị của m

2log -4 3 log (+ +2) log (- -2) =4

Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x dx

3

2 0

Câu IV (1 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d đi

qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc bằng 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x x x x x

1 Theo chương trình chuẩn

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là (- 3;0) và đi qua điểm M 1;4 33

5

è ø Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E)

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d:

ì =

-ï = +í

ï =î

Hãy tìm trên đường thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều

Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh: 12 1C n+22 2C n+32 3C n+ + n C2 n n =(n n+ 2).2n-2, trong đó n là số tự nhiên, n ≥ 1 và C n k là số tổ hợp chập k của n

2 Theo chương trình nâng cao

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho uuur AE=2EB uuur

Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là

Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: x y y x

-Hết -

Trang 12

Hướng dẫn Đề số 54 Câu I: 2) Xét PT hoành độ giao điểm:

Mặt khác g(0) = –1 ¹ 0 Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 0

Vậy đường thẳng y x 1 = + luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m

Câu II: 1) Điều kiện: cosx¹0 Û x m

1–cosæç -p ö÷ 2sin –tan

è ø= Û1–sin2 x = tan (sin2 –1) x x Û x

p p

é

= +ê

ê

ê = - +êë

4 0

ì - >

ïí

2 2

log – 4 +3 log ( +2) log ( –2)- = 4

Û log (3 x+2)2+3 log (3 x+2)2 - = Û 4 0 ( log (3 x+2)2 +4)( log (3 x+2)2 - = 1 0)

Û log (3 x+2)2 = Û 1 ( x + 2)2= 3 Û x = - ± 2 3

Kiểm tra điều kiện (**) chỉ có x = - - 2 3 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x = - - 2 3

Câu III: Đặt t= 3 sin+ 2x= 4 cos- 2x Ta có: cos2x = 4 – t2và dt x x dx

3 4

t t

15 2 3

Câu IV: Ta có SA ^ (ABC) Þ SA ^ AB; SA ^ AC

Tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB Þ BC ^ AC Þ BC ^ SC Hai điểm A,C cùng nhìn đoạn

SB dưới góc vuông nên mặt cầu đường kính SB đi qua A,C Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC cũng chính là mặt cầu đường kính SB Ta có CA = CB = AB sin 450 = a 2 ; · SCA=600 là góc giữa

Trang 13

Theo định nghĩa của (E) suy ra :

Vậy tọa độ các đỉnh của (E) là: A1( –5; 0) ; A2( 5; 0) ; B1( 0; – 22 ) ; B2 ( 0; 22 )

2) d có VTCP u rd = - ( 1;2;0) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d

Câu VII.a: Xét khai triển: (1 + x )n = Cn0+ xCn1+ x C2 2n + x C3 3n+ + x Cn n n

Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n (1 + x )n-1= Cn1+ 2 xCn2+ 3 x C2 3n+ + nx Cn-1 n n

Nhân 2 vế cho x, rồi lấy đạo hàm lần nữa, ta được:

2) Gọi I là tâm của (S) I Î d Þ I(1 3 ; 1 ; )+ t - +t t Bán kính R = IA = 11t2- + 2 1t

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d I P( ,( )) 5 3t R

Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1 Suy ra I(1; –1; 0)

Vậy phương trình mặt cầu (S): (x-1)2+ +(y 1)2+z2 = 1

Câu VII.b: Từ (2) suy ra y2–5 x2= 4 (3) Thế vào (1) được: x3+ (y2– 5x y y2) = 3+ 16 x

x

2 2

Trang 14

Đề số 55

Môn thi: TOÁN

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x= 3-3x2+ 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

sin1

Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60 Trên cạnh SA lấy 0điểm M sao cho AM =a 3

1 Theo chương trình chuẩn

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao CH x y: - + = , 1 0phân giác trong BN: 2x y+ + = Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC 5 0

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :

= í

ï = î

-= +í

ï =î

a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d1 và d2

b) Cho điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) Tìm điểm I trên đường thẳng d1 sao cho IA + IB đạt giá trị

nhỏ nhất

Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức: z4 z3 z2 z 1 0

2

2 Theo chương trình nâng cao

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao

điểm của đường thẳng d x y1: - - = và d x y3 0 2: + - = Trung điểm của một cạnh là giao điểm của 6 0

d1 với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d x y z

ï = ¢î

a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau và viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2

b) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

Câu VII.b (1 điểm): Tính tổng: S C= 20090 +C20094 +C20098 + + C20092004+C20092008

Trang 15

bằng số giao điểm của y=(x2-2x-2)x-1 , ( ')C và đường thẳng y m x= , ¹ 1.

+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x= 1

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x = qua Ox 1

Dựa vào đồ thị ta có:

m < –2 m = –2 –2 < m < 0 m ≥ 0

Câu II: 1) PT 2 sin 2x 5 sin5 1

êë2) Điều kiện: x y+ >0, x y- ³ Hệ PT Û 0 x y x y

Trang 16

a a

Þ SH là đường cao của khối chóp SBCNM

Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM

SB = MS =

1

2 Vậy BM là phân giác của góc SBA Þ · SBH =300 Þ SH = SB.sin300 = a

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh

Câu VI.a: 1) Do AB CH^ nên phương trình AB: x y 1 0+ + =

· B = AB BNÇ Þ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: x y

î Û xì = -í =îy 34 Þ B(-4; 3)

· Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A'ÎBC

Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x-2y - = Gọi I5 0 =( )d ÇBN Giải hệ: x y

Trang 17

b) AB uuur=(2; 3; 4)

-Þ AB // d1 Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1

Ta có: IA + IB = IA1 + IB ³ A1B Do đó IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B Khi đó A1, I, B thẳng hàng Þ I là giao điểm của A1B và d Vì AB // d1 nên I là trung điểm của A1B

· Gọi H là hình chiếu của A lên d1 Tìm được H 36 33 15; ;

Câu VII.a: Nhận xét z= không là nghiệm của PT Vậy z0 ¹ 0

Chia hai vế PT cho z2 ta được: z z

z z

2 2

Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; –1)

2) a) d1 có VTCP u r1=(1; 1;2)- và đi qua điểm M( 2; 1; 0), d

2 có VTCP u r2= -( 2;0;1) và đi qua điểm N( 2; 3; 0)

Trang 18

Ta có: éëu u MN r r1 2, ùû.uuuur= -10 0¹

Þ d1 , d2 chéo nhau Gọi A (2 ;1 ;2 ) + t - t t d Î 1, B (2 2 ; 3; ) - t t¢ ¢ Î d2

AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 Û AB u

=ïî

uuur r uuur r Þ t

t

13' 0

ìï = í

-ï =î

ì = +

ï = +í

ï =î

Trang 19

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

Đề số 56

Môn thi: TOÁN

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x = 4+ (3 m + 1) x2- (với m là tham số) 3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= -1

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân

sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2

ò

Câu IV (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt

phẳng ( ABC ') tạo với đáy một góc 60 , khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC0 ( ') bằng

a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCC B ( ' ') bằng a Tính theo a thể tích khối lăng

trụ ABC A B C ' ' '

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực x y z , , thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x2+ y2- 2 y + + 1 y2+ z2- 2 1 z + + z2+ x2- 2 x + 1

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Câu VI.a (2,0 điểm)

1) Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d x y : 2 - - = và điểm I 2 0 (1;1) Lập phương trình các đường thẳng cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 0

45

2) Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d x : + 2 y - = và 3 0 D : x + 3 y - = Lập 5 0 phương trình đường tròn có bán kính bằng 2 10

5 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với D

Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: 2log (22 x - + 2) (4 x - 7)log (2 x - + 2) 2( x - 2) 0 =

Câu VI.b (2,0 điểm)

1) Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn C ( ) : ( x - 1)2+ - ( y 1)2 = 10 và đường thẳng

d x y : 2 - - = Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn C 2 0 ( ) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng dmột góc 45 0

2) Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d x : + 2 y - = và hai điểm A( 1;2) 3 0 - , B(2;1) Tìm

toạ độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2

2 2

log ( ) 1 log (7 ) log (1)

Trang 20

Hướng dẫn Đề số 56 Câu I: 2) y' 4= x3+2(3m+1)x; y' 0 x 0,x2 3m 1

1) Điều kiện: cosx¹0

PT Û (tan x - 1 )(tan2x - = 3 ) 0 Û tan x = 1 ; tan x = ± 3 ;

p k

é

= -

-= - - Û

0 4

2

0 2

xy y

x

xy y x

2 2 3

2

ïî

ï í

ì

-= -

= +

y x x

x x

y x

-ïî

ï

ï î

ïï í

25

6 8 22 25

6 8 22

ò Đặt t x e= x+ 1 Þ A =xe x+ -1 lnxe x+ + 1 C

Câu IV: Gọi H là hình chiếu của A trên BC ÞAH^(BCC'B') ÞAH a=

Gọi K là hình chiếu của C trên AC ' ÞCK^(ABC')ÞCK a=

-=+

a b

b 33a

é =

Û ê = -ë

Trang 21

· Với a= b Þ D: x y c3 + + = Mặt khác d I0 ( ; )D = 10 4 c

1010

2) Tâm I Î d Þ I( 2- +a 3; )a (C) tiếp xúc với D nên d I( , )D = R a 2 2 10

510

-=+

· Với y x= thế vào (2) ta được log (22 x- = Û = 2) 4 x 9 Þ x y 9= = , thoả (*)

· Với y=2x thế vào (2) ta được log (2 x- = -2) 4 2xÛ log (2 x- +2) 2x- = 4 0

y=log (2 x- +2) 2x- là hàm số đồng biến trên 4 (2;+¥ nên x 5)

ìï =í

ï =î

==========================

Trang 22

TRƯỜNG THPT MINH KHAI

Đề số 57

Môn thi: TOÁN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I Cho hàm số y m x3 ( m 2) x2 ( m 1) x 2

3

= + - + - + (Cm) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1< x2< 1

Câu III Tính giới hạn: x

-Câu IV Cho lăng trụ ABCA B C¢ ¢ ¢có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a, AA¢ vuông

góc với mặt phẳng (ABC) Góc giữa ( AB C ¢ và BB C ) ( ¢ bằng ) 60 Tính thể tích lăng trụ 0

Câu VIa Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A(0; 1), B(3; 4) nằm

trên parabol (P): y x = 2- 2 x + , tâm I nằm trên cung AB của (P) Tìm tọa độ hai đỉnh C, D sao 1 cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất

Câu VIIa Giải phương trình: log (3 x - 2) log ( = 4 x2- 4 x + 3)

Câu VIIIa Tìm hệ số của x trong khai triển x8 ( 3- 2 x2+ - x 2)6

Câu VIb Cho hình vuông ABCD có tâm I 5 5 ;

Câu VIIb Giải phương trình : 1 log + 2 x2- 4 x = 2log16é ë 4( x - 3)2ù û + log (28 + x )3

Câu VIIIb Với 4 chữ số a, b, 1, 2 đôi một khác nhau lập được 18 số có 3 chữ số khác nhau Biết

tổng của 18 số đó bằng 6440 Tìm các số a, b

-Hết -

Trang 23

Hướng dẫn Đề số 57 Câu I 2) y mx¢ = 2+2(m-2)x m + - ; y1 ¢ = Û0 mx2+2(m-2)x m+ - = (1) 1 0

Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1< x2< 1 khi m > 0 và (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1

Đặt t x= -1 Þ x t= +1, thay vào (1) ta được:

m t( 1)+ 2+2(m-2)( 1)t+ + - =m 1 0 Ûmt2+4(m-1) 4t+ m- = 5 0

(1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 Û (2) có 2 nghiệm âm phân biệt

m P S

0000

PT Ûcos2 (sinx 2x+sin cosx x-cos ) 02x =

Û éêcos2sin2x x=sin cos0 x x cos2x 0 (2)(1)

Trang 24

Câu VIa I nằm trên cung AB của ( P) nên I a a ( ; 2- 2 a + 1 ) với 0 < a <3

Do AB không đổi nên diện tích DIAB lớn nhất khi d I AB ( , ) lớn nhất

Câu VIIa Điều kiện: x> PT 3 Û log (3 x2-4x+4) log (= 2 x2-4x+ 3)

Đặt t x = 2- 4 x + 3, ta được log (3 t + = 1 ) log2t a = Û t a a

t

1 32

ìï + =í

=ïî

Trang 25

SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH

TRƯỜNG THPT CÔNG NGHIỆP

Đề số 58

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011–2012

Môn thi: TOÁN

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm y x= 3-3mx2+4m3 (1), với m là tham số thực

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường

-ïí

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,

AB BC a AD= = ; =2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SA = a Gọi E là trung điểm

của AD Tính thể tích khối chóp S.CDE và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE

Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương thoả a + b + c = 3

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C):

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn : z2+2 z z z+ 2 =8 và z z 2+ =

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: x + y – 1 = 0, các điểm A( 0; –1), B(2; 1)

Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên đường thẳng D Tìm tọa độ các điểm C, D

2) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), (1;0; 3), ( 1; 2; 3)B - C - - - và mặt cầu (S) có phương trình: x2+y2+z2-2x+2z- =2 0 Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: y x

-î

––––––––––Hết ––––––––––

Trang 26

Hướng dẫn Đề số 58

Câu I 2) Ta có: y’ = 3x2 - 6mx = 0 Û xé =ê =ëx 20m Hàm số có cực đại và cực tiểu khi m ¹ 0

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB uuur=(2 ; 4 )m- m3

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)

AB đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û AB d

sin cos

song song với SA Gọi K là trung điểm của AB thì KN //AM KN và D đồng phẳng suy ra KNÇ = D O

4

ì + + =ï

ï + = + = + =î

Trang 27

Dấu “=” xảy ra khi B = –C Chọn C = 1 Khi đó PT (P): x y z + – + = 3 0

Câu VIIa Gọi z x yi x y R = + ,( , Î ), ta có z= -x iy z; 2 = z2 =zz x= 2+y2

· Với a = 0 thì I(0; 1) Þ C(0;2) và D(–2;1) · Với a = 2 thì I(2; –1) Þ C(4; –1) và D(2; –3)

Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) và D(–2;1) hoặc C(4;–1) và D(2;–3)

2) (S) có tâm I(1; 0; –1), bán kính R 2 = PT mp(ABC): x2 -2y z+ + = 1 0

Ta có V ABCD 1 ( ;(d D ABC S)) ABC

3

Gọi D D1 2 là đường kính của (S) vuông góc với mp(ABC) Ta thấy với D là 1 điểm bất kỳ thuộc (S) thì

d D ABC( ;( )) max ( ;(£ d D ABC1 )); ( ;(d D ABC2 ))

Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2.

D D1 2 đi qua I(1;0;–1), và có VTCP là n r ABC =(2; 2;1)- Þ

Trang 28

SỞ GD&ĐT HÀ NAM

TRƯỜNG THPT A THANH LIÊM

Đề số 59

Môn thi: TOÁN

Câu I Cho hàm số y x = 3- 3 x2+ 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d y m x : = ( - - cắt đồ thị (C) tại 3 2) 2 điểm phân biệt A(2; –2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ nhất

Câu II

1) Giải phương trình: x x x

2cos (cos 1) 2(1 sin ) sin cos

+ 2) Giải bất phương trình: ( x + - 3 x - 1 ) ( x - + 3 x2+ 2 x - 3 ) ³ 4

Câu III Tính tích phân: I = x dx

p

+ ò

Câu IV Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC a BC = , = 2 , a ACB · = 1200và đường thẳng

A C' tạo với mặt phẳng ( ABB A ' ') góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách 0giữa hai đường thẳng A B CC ' , ' theo a

Câu V Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

( + 2)(2 + 1) ( + + 2)(2 + 1) ( + + 2)(2 + 1) 3 ³

Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, các đỉnh A, B thuộc đường thẳng d: y = 2, phương trình cạnh BC: 3 x y - + = Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết 2 0 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1, và mặt phẳng (P) với: d2 1:

Câu VII.a Giải phương trình: 8log4 x2- + 9 3 2log (4 x + 3)2 = 10 log ( + 2 x - 3)2

è ø thuộc đường thẳng CD Viết phương

trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 4; 1) Tìm toạ độ điểm

M thuộc mặt phẳng (P): x y z 1 0 - + - = để DMAB là tam giác đều

Câu VII.b Tính tổng S C = 20110 + 2 C12011+ 3 C20112 + + 2012 C20112011

Trang 29

p p

é

= - +ê

Û

ê = +ë

sin43

2 13

Trang 30

ì = ¹

í = +î

ï =î

1 2

ì = +

ï =í

ï = î

ì =

í = î

Trang 31

Đường thẳng AB đi qua M, N¢ có PT: x-3y+ = 2 0 Þ IH d I AB( , ) 3 9 2 4

ì =ï

= +í

ï =î

Trang 32

TRUNG TÂM THÀNH ĐẠT

Đề số 60

Môn thi: TOÁN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ):

Câu I Cho hàm số y x= 3-3x2+m2- + (1) m 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam giác ABC

-Câu III Tìm nguyên hàm: x

ò

Câu IV Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a Trên cạnh AB lấy

2

= , cạnh AC cắt MD tại H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =

a Tính thể tích khối chóp S HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a

Câu V Cho a, b, c là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

II PHẦN RIÊNG (3 điểm):

A Theo chương trình chuẩn:

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho DABC có tọa độ đỉnh B(3; 5) , phương trình đường cao hạ từ đỉnh A và đường trung tuyến hạ từ đỉnh C lần lượt là d1: 2x – 5y + 3 = 0 và d2: x + y – 5 = 0 Tìm tọa

độ các đỉnh A và C của tam giác ABC

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, A(1;0;0) , C( 1;2;0)- , D( 1;0;0)- , S(0;0; 3) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn SB và CD Chứng minh rằng hai đường thẳng AM và BN vuông góc với nhau và xác định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB

Câu VII.a Tìm số hạng chứa x19trong khai triển của biểu thức P=(2x-1) (9 x+2)n Biết rằng

n

C0+C1+C2+ + C =2048 và n là số nguyên dương

B Theo chương trình nâng cao:

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x-2)2+ -(y 3)2= và (C’): 2

x 2 y 2

( -1) + -( 2) = Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) 8

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại

A, đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) và tam giác ABC có diện tích bằng 5 Gọi M là trung điểm

của CC’ Biết rằng điểm A ¢(0; 0; 2) và điểm C có tung độ dương Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp

hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1

-Hết -

Trang 33

Hướng dẫn Đề số 60 Câu I 2) Ta có y' 3= x2-6x; y' 0= Û3x2-6x= Û =0 x 0;x= 2 Þ Hàm số luôn có CĐ, CT Các điểm CĐ, CT của đồ thị là: A m(0; 2- + , B m m 1) (2; 2- - , AB m 3) = 22+ -( 4)2 =2 5

Suy ra · ADH DCH=· , mà · · ADH HDC+ =90o Þ· DHC=90o

DADC vuông tại D: AC2 =AD2+DC2ÞAC a= 5

Trang 34

1) (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R= 2; (C¢) có tâm I¢(1; 2) và bán kính R' 2 2=

Ta có: II'= 2= -R R¢ Þ (C) và (C¢) tiếp xúc trong Þ Tọa độ tiếp điểm M(3; 4)

Vì (C) và (C¢) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường thẳng qua điểm

M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II uur¢ = - -( 1; 1)

Þ B¢(1; 2; 2) và M là trung điểm CC¢ nên M(–4; 2; 1)

PT mặt cầu (S) đi qua A, B’, C’ và M có dạng: ( ) :S x2+y2+z2+2x+2by+2cz d+ = 0

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( ) :S x2+y2+z2+3x-3y-3z=0

Câu VIIb PT hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

Trang 35

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ

Đề số 61

Môn thi: TOÁN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I Cho hàm số y x = 4- 2 mx2+ (1) , m là tham số m

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

2) Biết A là điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ bằng 1 Tìm m để khoảng cách từ điểm

Câu IV Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của

đỉnh S trên (ABCD) là trung điểm H của AB, đường trung tuyến AM của D ACD có độ dài

a 3

2 , góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 30

0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Câu V Cho x y z , , là các số thực dương thoả mãn x y z ³ ³ và x y z + + = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x z y

= + +

Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là

d x y : 3 + - = , điểm B(0;–3) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi biết diện tích hình 7 0 thoi bằng 20

2) Giải phương trình: log(10.5x + 15.20 )x = + x log25.

Câu VII.a Cho khai triển (1 + 2x)10 (x2 + x + 1)2 = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14 Hãy tìm giá trị của

a6

Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là

CD, đường thẳng AD có phương trình d1: 3 x y - = , đường thẳng BD có phương trình 0

d x : - y = , góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 450 Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương

2) Giải bất phương trình: 1 log + 2x + log (2 x + 2) log (6 > 2 - x )

Câu VII.b Cho số nguyên dương n Chứng minh rằng:

C20n- 2 C12n+ 3 C22n- 4 C23n+ + (2 n + 1) C22n n= 0

––––––––––Hết ––––––––––

Trang 36

GHB, GHS là các tam giác vuông bằng nhau nên GA = GB = GS Suy ra G tâm mặt cầu ngoại tiếp hình

-Dấu "=" xảy ra Û x y z = = = 1 Vậy min = P 5 khi x y z = = = 1

Trang 37

2) PT Û10.5x+15.20x =25.10x Û Û15.4x-25.2x+10 0= Û 2 1 2

2 3

x x

é = ê

ê = ë

Û

2

0 2 3

x

x log

é = ê

= ê ë

Trang 38

TRƯỜNG ĐAI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Đề số 62

Môn thi: TOÁN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I Cho hàm số y x = 3- 3( m + 1) x2+ 9 x m - , với m là tham số thực

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m 1=

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x1- x2 £ 2

2) Giải phương trình: 2log (35 x - + = 1) 1 log (235 x + 1)

Câu III Tính tích phân: I x dx

x x

5 2 1

Câu IV Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có AB = 1, CC ' = m m ( > 0) Tìm m biết

rằng góc giữa hai đường thẳng AB' và BC ' bằng 60 0

Câu V Cho các số thực không âm x y z , , thoả mãn x2+ y2+ z2= Tìm giá trị lớn nhất của biểu 3 thức : A xy yz zx

x y z

5

+ +

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

A Theo chương trình Chuẩn:

Câu VIa

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;6) , phương trình các đường

thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là d1: 2 x y - + 13 0 = và

d2: 6 x - 13 y + 29 0 = Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M(5;3; 1) - , P(2;3; 4) - Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng R x y z ( ) : + - - = 6 0.

Câu VIIa Cho tập E = { 0,1,2,3,4,5,6 } Từ các chữ số của tập E lập được bao nhiêu số tự nhiên

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A (1;0;0), (0;1;0), (0;3;2) và mặt B C

phẳng ( ) : a x + 2 y + = Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A B C 2 0 , , và mặt phẳng ( ) a

Câu VIIb Khai triển và rút gọn biểu thức 1 - + x 2(1 - x )2+ + n (1 - x )n thu được đa thức

n n

P x ( ) = a0+ a x1 + + a x Tính hệ số a8, biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn:

Trang 39

Hướng dẫn Đề sô 62 Câu I 2) Ta có y' 3= x2-6(m+1)x+ 9.

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 PT y' 0 = có hai nghiệm phân biệt là x x1, 2

1) Điều kiện: sinx¹0, sinx+cosx¹ 0

t t

2 2 4

2 2

.31

Trang 40

m n p

4672

ì = ï

ï = î

Định dạng
Số trang	156
Dung lượng	2,73 MB