PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THCS MỸ THÀNH Môn : TOÁN – Lớp 9 Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ ĐỀ NGHỊ (không kể thời gian phát đề) Bài 1 (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng số 2 3 5+ + là số vô tỉ b) Tính tổng: 2 3 1 ( 1) n n S p p p p với p= + + + + + ≠ Bài 2 (3,0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức : 2 3 111 222 ≤ ++ + + c c b b a a Bài 3 (3,0 điểm) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x 2 + y 2 = 4. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 1 1 = + + + ÷ ÷ E x y y x Bài 4 (2,0 điểm) Giải phương trình: x 4 + 2x 3 + 4x 2 +2x + 1 = 0 Bài 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích là S. Lấy các điểm M, N, P lần lượt trên các cạnh AB, BC, CA sao cho AM BN CP 1 BM CN AP 3 = = = . Tính diện tích tam giác MNP theo S Bài 6 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Chứng minh: a) 1 1 2 + = AB AC AD b) 1 1 2 - = AB AC AE Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài Nội dung Điểm 1 4đ a 2đ Giả sử 2 3 5+ + là số hữu tỉ. Đặt 2 3 5+ + = a Khi đó 2 2 2 2 3 5 ( 2 3) ( 5) 5 2 6 5 2 5a a a a+ = − ⇒ + = − ⇒ + = + − 4 2 2 4 4 2 2 6 5 4 6 5 ( 6 5) 6 5 2 30 30 2 4 4 2 a a a a a a a a a a − − ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + + = ⇒ = ( vì a ≠ 0) => 30 là số hữu tỉ, vô lý. Vậy 2 3 5+ + là số vô tỉ 1,0đ 1,0đ b 2đ Ta viết là S n dưới dạng sau: 2 3 1 1 (1 ) n n S p p p p p − = + + + + + + 2 3 1 1 (1 ) n n n n S p p p p p p p − = + + + + + + + − => 1 1 ( ) ( 1) 1 n n n n n S p S p S p p + = + − ⇒ − = − Vậy 1 1 1 n n P S p + − = − 1,0đ 1,0đ 2 3đ - Từ ( a – 1) 2 ≥ 0 => a 2 + 2a +1 ≥ 0 => a 2 +1 ≥ 2a => 2 1 1 1 2a a ≤ + - suy ra được : 2 1 1 2 ≤ + a a - Tương tự, suy ra được : 2 1 1 2 ≤ + b b 2 1 1 2 ≤ + c c - Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên được : 2 3 111 222 ≤ ++ + + c c b b a a 2,0đ 0,5đ 0,5đ 3 3đ Ta có: 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 x y E x y x y y x = + + + + + ÷ ÷ p dụng BĐT: 1 1 4 a b a b + ≥ + với a > 0; b > 0. Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 4 1 1 1 x y x y x y + ≥ ⇔ + ≥ ÷ + p dụng BĐT: 2 a b b a + ≥ với a > 0; b > 0. Ta có 2 2 4 x y x y y x y x + ≥ ⇔ + ≥ ÷ Vậy giá trò nhỏ nhất của biểu thức E = 9 dấu “=” xảy ra khi x = y = 2 0,5đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 4 2đ Ta có x 4 + 2x 3 + 4x 2 +2x + 1 = (x 2 + 1)(x + 1) 2 + 2x 2 Tổng hai số không âm này bằng 0 khi (x + 1) 2 = 0 và x 2 =0 (vì x 2 +1 ≠ 0), nghóa là đồng thời phải có x + 1= 0 và x = 0 . Điều này không thể xảy ra. Vậy PT đã cho vô nghiệm. 1,0đ 1,0đ 5 3đ Ta có: BMN ABN S BM = S AB (Hai tam giác BMN và ABN có chung đường cao hạ từ N) ABN ABC S BN = S BC (Hai tam giác ABN và ABC có chung đường cao hạ từ A) Mà: 4 3 AB BM 3 1 AB AM =⇒= 4 1 BC BN 3 1 CN BN =⇒= Suy ra: BMN ABN ABN ABC S S BM BN 3 1 3 . = . = . = S S AB BC 4 4 16 BMN ABC S 3 = S 16 ⇒ hay BMN 3 S = S 16 Tương tự ta có: AMP CNP 3 S =S = S 16 Vậy MNP BMN AMP CNP 9 7 S S (S +S +S )=S- S= S 16 16 = − 0,25đ 0,75đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 6 5đ a 2,5đ Vẽ DK ⊥ AC ⇒ AKDH là hình vuông Ta có: S ABC = S ADB + S ADC hay AB. AC = AB. DH + AC. DH Chia cả hai vế cho AB. AC. DH ta được: 1 1 1 + = AC AB DH mà DH = AD 2 . Vậy 1 1 2 + = AB AC AD 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ b 2,5đ S ABC = S AEC – S ABE hay 1 2 AB.AC = 1 2 EN.AC – 1 2 EM. AB AB. AC = EN.AC –EM. AB Chia cả hai vế cho AB. AC. EN ta được 1 1 1 - = AB AC EN mà EN = AE 2 1,0đ 1,0đ Vaäy 2 AE = 1 1 - AB AC 0,5ñ . PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THCS MỸ THÀNH Môn : TOÁN – Lớp 9 Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ ĐỀ NGHỊ (không kể thời gian phát đề) Bài 1 (4,0 điểm). ABC vuông tại A (AB < AC), phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Chứng minh: a) 1 1 2 + = AB AC AD b) 1 1 2 - = AB AC AE Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài Nội dung Điểm 1 4đ a 2đ Giả. 0 và x 2 =0 (vì x 2 +1 ≠ 0), nghóa là đồng thời phải có x + 1= 0 và x = 0 . Điều này không thể xảy ra. Vậy PT đã cho vô nghiệm. 1,0đ 1,0đ 5 3đ Ta có: BMN ABN S BM = S AB (Hai tam giác BMN và