PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ THẮNG Năm học 2010 – 2011 Đề chính thức Môn: TOÁN, LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi: 7 – 10 – 2010 Câu 1: (4,0 điểm) Chứng minh rằng số có dạng n 6 – n 4 +2n 3 + 2n 2 trong đó n ∈ N và n>1 không phải là số chính phương. Câu2 :( 4,0 điểm) Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn a+b+c =3 . Chứng minh rằng 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c b c a + + ≥ + + + Câu 3:( 3,0 điểm) Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức P = 3xy +yz+3zx –xyz trong đó x,y,z là ba số dương thoả mãn x 3 +y 3 +z 3 =3 Câu 4:( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 4 a b b c c a a b c + + + > + + Câu 5 : (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn thẳng IH , IK , IL lần lượt vuông góc với BC, CA, AB . Tìm vò trí của I sao cho AL 2 + BH 2 + CK 2 nhỏ nhất . Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác đều cạnh a, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng : MA +MB + MC > 3 2 a ĐÁP ÁN. Câu Đáp án điểm Câu 1: (4,0 điểm) Ta có: n 6 – n 4 +2n 3 + 2n 2 = n 2 (n 4 – n 2 + 2n +2) = n 2 .[ n 2 (n-1)(n+1) + 2(n+1) ] =n 2 [ (n+1)(n 3 – n 2 + 2) ] = n 2 (n+1).[ (n 3 +1) – (n 2 -1) ] = n 2 ( n+1 ) 2 .( n 2 – 2n+2) Với n ∈ N, n >1 thì n 2 -2n+2 = (n - 1) 2 + 1 > ( n – 1 ) 2 và n 2 – 2n + 2 = n 2 – 2(n - 1) < n 2 Vậy ( n – 1) 2 < n 2 – 2n + 2 < n 2 ⇒ n 2 – 2n + 2 Không phải là số chính phương. 1,0 1,0 1,0 1,0 Câu 2: (4,0 điểm) 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c b c a + + ≥ + + + (1) (1) < => (a+b+c) –( 2 2 2 ) 1 1 1 a b c b c a + + + + + < 3 3 2 − => 2 2 2 1 1 1 (1 ) (1 (1 ) 1 1 1 a b c b c a − + − + − + + + < 3 2 Mặt khác 1+b 2 >2b; 1+c 2 > 2c; 1+a 2 > 2a Nên 2 2 2 1 1 1 (1 ) (1 (1 ) 1 1 1 a b c b c a − + − + − + + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ab bc ca b c a + + ≤ + + + 1 ( ) 2 ab bc ca+ + Mà ab+bc+ca < (a 2 +b 2 +c 2 ) nên 3(ab+bc+ca) < (a+b+c) 2 = 9 => ab+bc+ca < 3 Vậy ta suy ra điều cần chứng minh . Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c =1 1,5 1,0 1,0 0,5 Câu 3: (3,0 điểm) p dụng bất đẳng thức Cosy cho ba số dương ta có x 3 +1+1 ≥ 3x ; y 3 +1+1 ≥ 3y ; z 3 +1+1 ≥ 3z Suy ra x 3 +y 3 +z 3 +6 ≥ 3(x+y+z) (1) Lại có x 3 +y 3 +z 3 -3xyz = (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx) (2) Chú ý vế trái của (2)không âm , từ(1) vàØ (2) suy ra 1- xyz ≤ x 2 +y 2 +z 2 – xy-yz-zx (3) . Từ (3) và (1) dẫn đến P ≤ x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2zx -1 = (x+y+z) 2 -1 ≤ 3 2 - 1 =8 Vậy P =8 => y=z =1 Vậy giá trò của P =8 1,0 0,75 1,0 0,25 Câu 4: (3,0 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 4 a b b c c a a b c + + + > + + (1) (1) <=> 4(a+b)(b+c)(c+a) > (a+b+c) 3 <=> a 2 (b+c) + b 2 (c+a)+c 2 (a+b)+2abc > a 3 + b 3 + c 3 Mặt khác b+c>a => a 2 (b+c) > a 3 ; c+a > b => b 2 (c+a)>b 3 a+b>c =>c 2 (a+b)>c 3 Vậy a 2 (b+c) + b 2 (c+a)+c 2 (a+b)+2abc > a 3 + b 3 + c 3 ( vì 2abc > 0) 1,0 1,0 1,0 Câu 5: (3,0 điểm) - Vẽ hình đúng. Ta có AI 2 = AL 2 + LI 2 ; AI 2 = AK 2 + KI 2 . Suy ra AL 2 + LI 2 = AK 2 + KI 2 . Tương tự BH 2 + HI 2 = BL 2 + LI 2 và CK 2 + KI 2 = CH 2 + HI 2 Cộng (1) ; (2) và (3) ta có : AL 2 + BH 2 + CK 2 = AK 2 + BL 2 + CH 2 . Do đó AL 2 + BH 2 + CK 2 = 1 2 [(AL 2 + BL 2 ) + (BH 2 + CH 2 ) + (CK 2 + AK 2 ) ] ≥ 2 2 2 1 ( ) 4 AB BC AC+ + Ta có AL 2 + BH 2 +CK 2 ≥ 1 4 (AB 2 + BC 2 + AC 2 ) ( không đổi ) . Dấu “ = “ xảy ra <=> AL = BL, BH = BL , CK = AK <=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ 0,25 1,0 1,0 0,75 Câu 6: (3,0 điểm ) - Vẽ hình đúng MH ⊥ AB( H ∈ AB ) ; MK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ; MI ⊥ AC ( I ∈ AC ) => MA > MH ; MB > MK ; MC > MI => Do đó : MA +MB + MC > MH +MK +MI (1) Mặt khác : MH + MK + MI = 2 2 2 2 2 2 MBC MAC MBC MAC MAB MAB S S S S S S AB BC AC a a a + + = + + = ( ) 2 2 2 2 3 3 . . 4 2 MAB MBC MAC ABC a a S S S S a a a + + = = = ( đpcm) 0,25 0,75 1,0 1,0 . PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ THẮNG Năm học 2010 – 2011 Đề chính thức Môn: TOÁN, LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi: . nhất . Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác đều cạnh a, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng : MA +MB + MC > 3 2 a ĐÁP ÁN. Câu Đáp án điểm Câu 1: (4,0 điểm) Ta có: n 6 –. (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx) (2) Chú ý vế trái của (2)không âm , từ(1) và (2) suy ra 1- xyz ≤ x 2 +y 2 +z 2 – xy-yz-zx (3) . Từ (3) và (1) dẫn đến P ≤ x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2zx -1 = (x+y+z) 2