CÁC BÀI TOÁN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH LÝ THUYẾT VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP I. CÁC BÀI TOÁN GÓC: 1. Góc giữa 2 vecto: ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; ;a a a a b b b b= = uur uur ,gọi ( ) ;a b ϕ = uur uur thì góc ϕ được xác định bởi công thức: . os ; (0 ) . a b c a b ϕ ϕ π = ≤ ≤ uur uur uur uur * Chú ý: + và a b uur uur cùng phương 0 hay ϕ ϕ π ⇒ = = + 2 a b π ϕ ⊥ ⇔ = uur uur . 2. Góc giữa 2 đt: cho đt d có vtcp là a uur , đt d’ có vtcp là b uur . Gọi ϕ là góc giữa 2 đt, thì góc ϕ được xác định bởi công thức: . os ; (0 ) 2 . a b c a b π ϕ ϕ = ≤ ≤ uur uur uur uur * Chú ý: ' 0; ' ' 2 d d d d d d π ϕ ϕ + ⇒ = + ⊥ ⇒ = ≡ P 3. Góc giữa 2 mp: cho mp α có pvt là n α uur , mp β có pvt là n β uur . Gọi ϕ là góc giữa 2mp, thì góc ϕ được xác định bởi công thức: . os ; (0 ) 2 . n n c n n α β α β π ϕ ϕ = ≤ ≤ uur uur uur uur * Chú ý: 0; 2 α β π ϕ α β ϕ α β + ⇒ = + ⊥ ⇒ = ≡ P 4. Góc giữa đt và mp: cho mp α có pvt là n uur , đt d có vtcp là a uur . Gọi ϕ là góc giữa α và d , thì góc ϕ được xác định bởi công thức: . sin ; (0 ) 2 . n a n a π ϕ ϕ = ≤ ≤ uur uur uur uur * Chú ý: 0; 2 d d d α π ϕ α ϕ α + ⇒ = + ⊥ ⇒ = ⊂ P Công thức 1 1 2 2 3 3 . . . .a b a b a b a b = + + uur uur 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 ;a a a a b b b b = + + = + + uur uur VD1: cho ( ) ( ) 2;3;1 ; 1;2; 3a b= − = − uur uur ( ) ( ) 1;2; 4 ; 0; 2;1c d= − = − uur uur . Tính góc giữa các vecto và a b uur uur ; và a c uur uur ; và a d uur uur ; và c b uur uur ; và d b uur uur ; và c d uur uur VD2: cho 2 đt d: 1 1 2 2 2 3 ; : 1 2 3 4 x t x t y t d y t z t z t = − = − + = + = − + = = − . Tính góc giữa các đt: d và d 1 ; d và Ox; d và Oy; d 1 và Ox VD3: cho 2 mp : 2 3 1 0x y z α − − + = ; : 2 4 3 0x y z β + − + = . Tính góc giữa các mp: α và (Oxy); α và β ; α và ( Oxz); β và ( Oyx). VD4:cho đt d: 1 2 2 3 ; x t y t z t = − = + = mp : 2 4 0x y z α + − = . Tính góc giữa đt d và α ; d và ( Oxy); Ox và α ; d và ( Oxz); Oy và α . II. CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH: 1. Khoảng cách giữa 2 điểm: Cho ( ) ( ) ; ; ; ; ; A A A B B B A x y z B x y z thì khoảng cách giữa 2 điểm A,B được xác định bởi công thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A AB x x y y z z = − + − + − 2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp: VD5: cho các điểm ( ) ( ) 2;3;1 ; 1;2; 3A B− − ; ( ) ( ) 1;2; 4 ; 0; 2;1C D− − . a.Tính độ dài các đoạn thẳng AB; AC; BC; BD; CD; OA; OB b. Tìm Ox : 2M MA ∈ = Cho điểm ( ) 0 0 0 ; ;M x y z và mp α có pt: 0Ax By Cz D+ + + = . Gọi H hc M MH α α = ⇔ ⊥ , thì đoạn MH đgl khoảng cách từ M đến α và: ( ) 0 0 0 2 2 2 ; Ax By Cz D MH d M A B C α + + + = = + + * Chú ý: ( ) ( ) ( ) ( ) d ; ; ; ; ; ; d M M d d M M α β α β β α α α α + ⇒ = ∀ ∈ +∆ ⇒ ∆ = ∀ ∈∆ P P + Có thể tính khoảng cách từ M đến mp α như sau: - Xác định tọa độ điểm H hc M α = - Tính độ dài đoạn thẳng MH. 3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đt: Cho điểm ( ) 0 0 0 ; ;M x y z và đt ∆ pt: 1 1 1 2 1 3 x x a t y y a t z z a t = + = + = + . Gọi H hc M MH ∆ = ⇔ ⊥ ∆ , thì đoạn MH đgl khoảng cách từ M đến ∆ và : ( ) ; ; ; a MN MH d M N a = ∆ = ∈∆ uur uuuuur uur * Chú ý: Có thể tính khoảng cách từ M đến đt ∆ như sau: - Xác định tọa độ điểm H hc M ∆ = - Tính độ dài đoạn thẳng MH. 4. Khoảng cách giữa 2 đt: Cho đt ∆ có vtcp là a uur , đt 1 ∆ có vtcp là b uur . Ta có các trường hợp sau: + Nếu 1 và ∆ ∆ cắt nhau ⇒ không xét k/c. + Nếu ( ) 1 1 ; 0d∆ ≡ ∆ ⇒ ∆ ∆ = ( ) ( ) 1 1 1 d ; ; ;d M M+ ∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ = ∆ ∀ ∈∆P + Nếu 1 và ∆ ∆ chéo nhau thì: * Cách 1: Tính ( ) 1 ; ?d ∆ ∆ = b.1: Viết pt mp α chứa 1 1 : α ∆ ∆P . b.2: ( ) ( ) ( ) 1 ; ; ; ;d d d M M α α ∆ ∆ = ∆ = ∀ ∈∆ * Cách 2: Dùng công thức ( ) 1 1 ; . ; ; ; ; a b MN d M N a b ∆ ∆ = ∈∆ ∈∆ uur uur uuuuur uur uur VD6: Cho ( ) ( ) 2; 3;1 ; 1;2; 3A B− − − − và mp α có pt: 2 4 5 0x y z+ − − = . a. Tính: d( A; α ); d( B; α ) , d( O; α ); d( A; (Oxy)); d( B; (Oxy)); d( A; (Oxz)); d( A; (Oyz));… b. Tìm M: độ dài MA ngắn nhất VD7: cho 2 mp có pt : 2 4 0x y z α + − = ; mp : 2 4 8 7 0x y z β + − + = ; đt ∆ 1 2 2 3 x t y t z t = − = + = . Tính d( α ; β ); d( ∆ ; α ). VD8: cho điểm ( ) ( ) 1;2; 4 ; 0; 2;1A B− − và đt ∆ có pt: 1 2 2 3 x t y t z t = − = + = . Tính d(A; ∆ ),d(B; ∆ ),d(O; ∆ ). VD9: cho 2 đt ∆ 1 2 2 3 x t y t z t = − = + = ; đt 1 ∆ 1 2 2 3 2 x t y t z t = + = − + = − . Tính các khoảng cách sau: d( ∆ ; 1 ∆ ), d( ∆ ;Ox), d( ∆ ;Oz), d(Oy; 1 ∆ ). . CÁC BÀI TOÁN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH LÝ THUYẾT VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP I. CÁC BÀI TOÁN GÓC: 1. Góc giữa 2 vecto: ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; ;a a a. Tính góc giữa các đt: d và d 1 ; d và Ox; d và Oy; d 1 và Ox VD3: cho 2 mp : 2 3 1 0x y z α − − + = ; : 2 4 3 0x y z β + − + = . Tính góc giữa các mp: α và (Oxy); α và β ; α và (. β và ( Oyx). VD4:cho đt d: 1 2 2 3 ; x t y t z t = − = + = mp : 2 4 0x y z α + − = . Tính góc giữa đt d và α ; d và ( Oxy); Ox và α ; d và ( Oxz); Oy và α . II. CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG