Bài toán góc và khoảng cách trong đề tham khảo THPTQG 2020 môn Toán

NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 NHÓM VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO NĂM HỌC 2019 - 2020 I PHÂN TÍCH – BÌNH LUẬN CÂU 37 =I Phân tích • Nhắc lại cánh tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH ĐỀ THAM KHẢO Cách 1: Dựng đoạn vng góc chung (thường dùng hai đường vừa chéo vuông góc) Cách : Quy khoảng cách từ đường đến mặt phẳng song song với chứa đường , cuối quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : Cách : Quy khoảng cách hai mặt phẳng song song mặt chứa đường • Câu 37 đề thi tham khảo: Là tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo hình chóp có đường cao cho trước Một mức độ Vận Dụng Có hai ý tưởng bật : ⊕ Thứ : Là tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo khơng vng góc với : Một đường nằm mặt phẳng đáy đường cạnh bên Nên giải vấn Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b : d (a, b) = d (a, ( P )) = d ( M , ( P )) với : ( P ) ⊃ b, ( P ) / / a, M ∈ a Vì tốn có chân đường cao cho trước nên : Đưa Về toán tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên ⊕ Thứ hai : Đáy hình chóp hình thang hay , đặc biệt : từ dẫn đến đường chéo vng góc với cạnh bên , rút ngắn cách tính khoảng cách Lời giải tham khảo Ngô Tú Hoa Thoa Nguyễn Câu 37: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang, AB = a , AD = DC = CB = a SA vng góc với đáy SA = 3a (minh họa hình đây) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC đề khoảng cách có lối mịn học sinh thường dùng cách : NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 A a B a C 13a 13 D 13 a 13 NHĨM TỐN VD – VDC Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SB DM Lời giải Chọn A NHĨM TỐN VD – VDC Cách Ta có DM / / ( SBC ) ⇒ d ( DM , SB ) = d ( DM , ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) Ta có MA = MB = MD = MC = a Suy tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm M , đường kính AB Suy tam giác ABC vuông C  BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAC )  BC ⊥ SA Như ta có  Trong mặt phẳng ( SAC ) Dựng AH ⊥ SC H suy BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) Nên d ( A, ( SBC ) ) = AH https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 AC = AB − BC = a ; SC = SA2 + AC = 3a ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) ) = a NHĨM TỐN VD – VDC ⇒ d ( M , ( SBC ) ) = SA AC = a SC Cách Gọi I = AC ∩ DM , N trung điểm đoạn thẳng SA Dễ dàng chứng minh ( SBC ) // ( MND ) ) ( ) ( NHĨM TỐN VD – VDC ( ) Do đó, d ( SB, DM ) = d ( SBC ) , ( MND ) = d B, ( MND ) = d A , ( MND ) Trong mp ( SAC ) kẻ AH ⊥ NI , mặt khác, ta chứng minh MI ⊥ ( SAC ) nên suy ra: AH ⊥ ( MND ) ( 1 3a = + ⇒ AH = 2 AH AN AI ) Vậy, d ( SB, DM ) = d A , ( MND ) = AH = 3a Hoặc Áp dụng cơng thức thể tích phần tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( ) ( ) d ( SB , DM ) = d ( SBC ) , ( MND ) = d M , ( SBC ) = II 3V 3a d A , ( SBC ) = S ABC = SSBC ( ) Ý TƯỞNG V HƯỚNG PHÁT TRIỂN =I Ý tưởng Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nằm hai mặt bên ,trong hình chóp có đường cao https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Câu Chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a Hình chiếu H S mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AB SH = a Gọi M , N trung điểm SC , MC Tính khoảng NHĨM TỐN VD – VDC cách hai đường thẳng chéo AM , BN A 15a 79 B 237 79 C a 237 79 D 15a 79 79 Lời giải Chọn C Do NHĨM TỐN VD – VDC + Gọi E trung điểm cạnh AC ; K hình chiếu N HC ⇒ NK / / SH ⇒ d ( AM ; BN ) = d ( A; ( BEN ) ) = d ( C ; ( BEN ) ) = d ( K ; ( BEN ) ) HC d ( C ; ( BEN ) ) CG Vì = = = d ( K ; ( BEN ) ) KG    −  HC 3 4 KN CN a + Ta có: = = ⇒ KN = SH SC 4 + Gọi I hình chiếu K BE ⇒ IK / / EC IK GK 5a = = ⇒ KI = EC GC 8 8 KN KI Vậy d ( AM ; BN ) = d ( K ; ( BEN ) ) = = 5 KN + KI a a 2a 237 = 79 a 25 + 3a 16 64 Ý tưởng Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo hình chóp có đường cao https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Câu Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC SA = AB = a Gọi M , N trung điểm BC SC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BN a 13 13 B a 13 C a3 13 13 D NHĨM TỐN VD – VDC A a 13 13 Lời giải Chọn A Gọi M ' trung điểm SC ⇒ MM '/ / BN Khi d ( AM , BN ) = d ( BN , ( AMM ' ) ) = d ( B, ( AMM ' ) ) = S ∆ABM = a SA = 4 NHĨM TỐN VD – VDC Do SC = 4M ' C nên d ( M ', ( ABC ) ) = 3.VB AMM ' S ∆AMN a2 a3 a Suy VM ' ABM = Tính AM = S ∆ABC = 96 Theo công thức độ dài đường trung tuyến tam giác ta có MM ' = AM ' = 1 BC + BS SC a + 2a 2a a BN = − = − = 2 2 AN + AC NC − = a2 + a2 a a 10 − = a3 a 13 a 39 Vậy d ( AM , BN ) = 96 = = 13 32 a 39 32 Suy S ∆AMM ' https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Ý tưởng Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo hình lăng trụ đứng có đường cao cho trước có giả thiết góc gữa mặt bên mặt đáy NHĨM TỐN VD – VDC Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC tam giác vuông A ' Biết AC = 3a , M trung điểm CC Góc mặt phẳng ( A′B′M ) mặt đáy 30 Khoảng cách hai đương thẳng AB B′M A 3a B 3a C 6a D 6a Lời giải Chọn A NHĨM TỐN VD – VDC Ta có: C ′A′M = (( A ' B ′M ) , ( A ' B ′C ′)) = 30 ⇒ CC ′ = 4a ⇒ C ′M = A′ C ′ tan 30 = 2a Kẻ AN ⊥ AM ( N ∈ A′C ) Gọi A′M ∩ AN = D Khi : d ( B′M , AB ) = d ( A, ( A′B′M ) ) = AD = A′A2 = AN ( Do A′N = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 16a = 3a 16 2 16a + a A′A.C ′M 3a = ) C ′A′ Trang NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Ý tưởng Câu Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AA ' = 2a, AB = a Gọi M , N trung điểm A ' B ' A ' C ' Tính khoảng cách đường thẳng AN BM A 4a 65 65 B 14a 65 65 C 4a 65 195 D 12a 65 65 Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo hình lăng trụ tam giác hình có đường cao cho trước Đưa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính phương pháp thể tích Chọn A NHĨM TỐN VD – VDC Gọi N ′ trung điểm BC , suy BM / / ( ANN ' ) Do d ( BM , AN ) = d ( BM , ( ANN ′ ) ) = d ( B, ( ANN ′ ) ) = Ta có: AN = AA′2 + A′N = Suy S ∆ANN ′ = Ta có VB ANN ′ = 3VB ANN ′ S ∆ANN ′ a 17 a a 17 , AN ′ = ; NN ' = BM = AN = 2 a 195 16 1 a a3 AA′.S ABN ′ = 2a = 3 12 a3 4a 65 Vậy d ( BM ; AN ) = 12 = 65 a 195 16 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Ý tưởng Phục dựng hình ẩn để tìm đường cao hình chóp, từ tính khoảng cách NHĨM TỐN VD – VDC Câu Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ AB, SB ⊥ BC , đáy ABC tam giác cạnh a Gọi M , N trung điểm SB, BC , biết d ( S , ( ABC ) ) = 2a Tính khoảng cách AM SN A 10a 20 B 10a 40 C 5a 40 D 5a 20 Lời giải Chọn B ⇒ hình chiếu M ( ABC ) tâm tam giác ABC , nên gọi G tâm tam d ( S , ( ABC ) ) = a Gọi E trung điểm BN ⇒ ME / / SN giác MG ⊥ ( ABC ) MG = d ( G, ( AME ) ) MG.GF ⇒ d ( AM , SN ) = d ( SN , ( AME ) ) = d ( N , ( AME ) ) = Kẻ GF ⊥ AE , F ∈ AE ⇒ d ( G , ( AME ) ) = Ta có MG + GF GF GA a ⇒ d (G, ( AME )) = = ⇒ GF = EN EA 39 39 + 39 a= a 10 3 10a ⇒ d ( AM , SN ) = a= 2 10 40 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Từ giả thiết ta có hai tam giác vng SAB SBC chung cạnh huyền SB SB ⇒ MA = MB = = MC NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Ý tưởng Phục dựng hình ẩn để tìm đường cao tốn tính khoảng cách mở rộng hình lăng trụ NHĨM TỐN VD – VDC Câu Cho lăng trụ tam giác ABC A′B ′C ′ biết độ dài cạnh bên 2a B ′C = a , B ′AB = 90 , AB = BC = a , BAC = 30 Tính khoảng cách d (CC ′, AB ′) A a 21 B a 21 C a D a 21 Lời giải Chọn B Nên gọi H hình chiếu S mp ( ABC ) H tâm đường trịn ngoại tiếp △ ABC Lại có △ ABC cân B, BAC = 30 ⇒ ABC = 120 ⇒ H đỉnh hình thoi ABCH △ AHB đều, nên kẻ HE ⊥ AB, E ∈ AB ⇒ EH = Và có SH = ( a 2 ) 2a − a = a d ( AB ′, CC ′) = d (C ′, ( SAB )) = d ( H , ( SAB )) = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc SH HE SH + HE = a 21 Trang NHĨM TỐN VD – VDC Tính △BB ′C vng C Nên gọi S trung điểm BB′ SA = SB = SC NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Ý tưởng Phát triển toán giả thiết khoảng cách hai đường thẳng chéo Phục dựng đường cao để xác định giả thiết Từ tính thể tích Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA = SB = a , khoảng cách hai đưởng thẳng AB SC a Tính thể tích khối chóp cho A 3a B 3a C 6a D 6a3 Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Câu Chọn B S a A a D M H 2a NHĨM TỐN VD – VDC B N O C Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Ta có SA = SB = a nên tam giác SAB cân S suy SM ⊥ AB Gọi N trung điểm đoạn thẳng CD suy MN ⊥ AB Do AB ⊥ ( SMN ) mà AB ⊂ ( ABCD ) nên ( SMN ) ⊥ ( ABCD ) Kẻ SH ⊥ MN ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Lại có SM = SA2 − AM = SA2 − AB = a ⇒ SM = AM = BM = a hay tam giác SAB vng cân S Mặt khác lại có AB / / ( SCD ) Nên d ( AB, SC ) = d ( A, ( SCD )) = d ( AB, ( SCD )) = d ( M , ( SCD )) = a = SM ⇒ SM ⊥ SN ⇒ SN = MN − SM = a https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 ax  sin 60  2 a  x   x x  2a  x  a 2 x2  a2 a x2  a2      x x  2a  x  a x  2a a3  DH  a Vậy VS ABC  SABC SD  Bình Luận cách 1: Đây cách truyền thống tính thể tích phương pháp thường gặp tốn góc hai mặt bên : Đó sử dụng khoảng cách tốn góc hai mặt phẳng Cách 2: N H Ó M T O Á N VD – VD C Dựng hình vng ABDC  SD   ABCD  Đặt SD  x, x  Kẻ DH  SB,  H  SB   DH   SAB  DH  Kẻ DK  SC,  K  SC   DK   SAC  DK  ax x a ax 2 x2  a2 Ta có SH SK SD x2 x2 x2     HK // BD  HK  BD  a SB SC SB x  a x  a2 x  a2 Ta có cos SAB , SAC   2 x2a2 2a x  x2  a2 x2  a2  x2a2 x2  a2 cos HDK  DH DK HK 2 DH DK  a2   x  a  SD  a x  a2 a2 a3 Lại có SABC  AB AC  Vậy VS ABC  SABC SD  2 Bình Luận cách 2: Đây cách truyền thống tính thể tích phương pháp thường gặp tốn góc hai mặt bên : Đó tìm hai đường đường vng góc với mặt ( PP dùng định nghĩa) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 Cách 3: S I D C B A Ta có hai tam giác vng SAB SAC chung cạnh huyền SA N H Ó M T O Á N VD – VD C Kẻ BI   SA  CI   SA Góc hai mặt phẳng  SAB   SAC  góc hai đường thẳng BI CI   BI ; CI   60 Có BC  a , BIC cân I Do BI  CI  AC  a  a  BC nên BIC không BIC 120 Từ AI  BI CI a a ; AB2  AI SA  SA  a 3 Dựng hình vng ABDC  SD   ABDC  Có : SD  SA2  AD  a; SABC  a  VS ABC  SABC SD  a3 Bình Luận cách 3: Đây cách truyền thống tính thể tích xác định góc : Một cách tốn góc Khi vai trò đối xứng hai tam giác hai mặt góc tạo thành Và bỏ vai trị cách tính tốn khó khăn nhiều sau dựng góc Cách trắc nghiệm: CƠNG THỨC TÍNH NHANH : Gọi D hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC   AB  SB  AB   SBD   AB  BD Ta có   AB  SD Tương tự, ta có AC  CD  ABDC hình vng cạnh a Đăt SD  h, h  cos a2 h a2 a h a 2 h a SD Từ tiếp tục tính thể tích  VS ABC  SABC SD  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc a a3 Trang NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 Bình Luận cách 4: Đây Cơng thức tính nhanh hữu hiệu , lại đòi hỏi giả thiết đủ điều kiện để thực công thức Nên thay đổi đáy cơng thức khó sử dụng Cách 5: Sau tính SA ta tính thể tích tứ diện cách ngắn BIC 120 Từ AI  BI CI a a ; AB2  AI SA  SA  a 1 VS ABC  SIBC  SI  AI   SIBC SA 3 Với SIBC  IB.IC.sin120  a2 a2 a3  VS ABC  a  6 N H Ó M T O Á N VD – VD C Bình Luận cách 5: Đây ý tưởng đặc sắc tốn thể tích : Đó chọn đường cao đáy phù hợp xác định tính tốn Cách 6: Sau tính BIC 120 Từ AI  BI CI a ; AB2  AI SA  SA  a 3 2 SSAC SSAB sin SA VABCD a CI SA sin 60 3SA 1 6a a 3 a3 Bình Luận cách 6: Đây cơng thức tính nhanh cho tốn thể tích cho góc Phát triển 1: Phát triển đáy từ tam giác vuông cân thành tam giác vuông không cân Sử dụng CT khoảng cách để tính góc – Ngồi áp dụng CT tính nhanh Câu 1: [PHÁT SAB TRIỂN ABC SCB ĐỀ THI 90 , AB THAM 10a, BC KHẢO] Cho hình chóp S ABC , có 3a góc hai mặt phẳng SAB SBC 45 Tính thể tích khối chóp S ABC A 15a B 15a 15a 15a C D P  Tác giả : Dung Ngô – Phản biện : Nguyễn Thị Hồng Gấm https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 Lời giải Chọn A Gọi góc cần tìm Ta phục dựng hình ẩn chóp S ABCD : SAB , SBC Giả sử gọi D hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC  AB Ta có AB SA AB SD AD Tương tự, ta có BC Nên S ABCD hình chóp có SD Đăt SD ABCD hình chữ nhật CD ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật để tiện tính tốn Coi a h, h N H Ĩ M T O Á N VD – VD C Cách : Áp dung phương pháp khoảng cách để tính góc : d A, SBC d D, SBC d D, SBC d A, SB d A, SB d A, SB Ta có : d D, SBC SD.CD sin SA AB SB d A, SB h2 h2 h 13 h 10 Ta SD SD h2 10 h2 10 10 h2 h2 10 h2 13 h4 30 13h2 h2 h 2a 1 10a3 VS ABC 10h h2 10 10h CD 15a3 Cách : Chứng minh CT tính nhanh Áp dụng vào , ta có : h 10 h 10 h4 13h2 30 Kết tính tốn Bình Luận : Rõ ràng CT tính nhanh giúp giải trắc nghiệm hiệu https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 Phát triển : Phát triển đáy thành hình thang cân Phục dựng hình ẩn, Đưa tốn gốc – áp dụng CT tính nhanh Câu 2: [PHÁT TRIỂN ĐỀ THI THAM KHẢO] Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình thang 2a Biết SBA SCD 90 , góc hai mặt phẳng SAB SCD 60 Tính thể tích khối chóp S ABC cân có BC / / AD, BC AD 2a, AB a3 B 3a A CD 3a a3 C D 4 Tác giả : Dung Ngô – Phản biện : Nguyễn Thị Hồng Gấm Lời giải Chọn D Gọi SAB , SBC Gọi E AB CD BE SBE , SCE CE a BE CE BEC vuông cân đỉnh E BC Ta đưa tốn gốc Gọi H hình chiếu S ABCD , EB EB SB SH EB BH Tương tự EC CH Từ ta suy tứ giác HBEC hình vng cạnh a Gọi SH h, h Áp dụng cơng thức tính nhanh : a h 2 a h2 2a 2 S ABCD 3S AED VS ABCD a 2 3a a h a 3a a3 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang N H Ó M T O Á N VD – VD C NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 Phát triển : Phát triển hình đáy nửa lục giác : – Phục dựng hình ẩn để xác định đường cao - Áp dụng CT tính nhanh để tìm đường cao Câu 3: [PHÁT TRIỂN ĐỀ THI THAM KHẢO] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang AB / /CD , AB  2a , AD  DC  CB  a Biết SAD SBD 90 góc hai mặt phẳng SAD SBD , cho cos Tính thể tích khối chóp S ABCD A a3 B a3 a3 a3 D 12 Tác giả: Dung Ngô – Phản biện : Nguyễn Thị Hồng Gấm C Lời giải N H Ó M T O Á N VD – VD C Chọn B Gọi M trung điểm AB , Ta có MA  MB  MC  MD  a Suy tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm M , đường kính AB Suy tam giác ABD vuông D Đưa tốn sử dụng cơng thức tính nhanh Gọi H hình chiếu S ABCD BD BD SB SH BD SAH BD BH Nên ADBH hình chữ nhật H điểm đối xứng với D qua M Ta có HB Gọi SH h AD h Cho a a; HA h BD 2a a2 a Áp dụng cơng thức tính nhanh ta có : h4 Và tam giác AMD cạnh a 4h2 12 S ABCD https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc h2 3S AMD h 3a VABCD SH 2a 3a a a3 Trang 10 NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 Phát triển 4* - VDC : Phát triển hai ý tưởng : Phục dựng hình ẩn tìm đường cao Xác định góc giả thiết Dùng tính chất đối xứng điểm Câu 4: [PHÁT TRIỂN ĐỀ THI THAM KHẢO - VDC - Ngơ Tú Hoa ] Cho tứ diện ABCD có AB  BD  DA  2a, BC  3a, AC  7a Gọi M trung điểm AB N điểm đối xứng với M qua trung điểm cạnh AC , biết góc hai mặt phẳng DMN DBN 60 , tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2a B 2a a3 a3 C D 9 Tác giả : Ngô Tú Hoa – Phản biện : Nguyễn Thị Hồng Gấm Lời giải Chọn B Cách : Gọi góc hai mặt phẳng DMN DBN Ta có AB2  BC  AC  AB  BC MN / / BC    60 MN AB Phục dựng hình chóp D ABCE sau : Dựng hình chữ nhật ABCE Do ta có hình chóp D ABCE đáy hình chữ nhật ABCE Từ giả thiết DA  DB ta có hình chiếu H D đáy thuộc mặt phẳng trung trực đoạn AB mặt phẳng trung trực CE DN AB Nên H MN MN AB https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11 N H Ó M T O Á N VD – VD C NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 Tính DM DA2 MA2 a BC MN Nên tam giác DMN cân đỉnh M , Gọi I trung điểm DN DN MI DN BM DMN IB IM , IB MI MIB MA.cot 60 VD ABC VD ABN MIB 60 ( Do tam giác IMB vuông M ) a DI 2VD AMN 4VD AMI DM MI DI S AMI 2a 2 1 a 3 2a Bình luận : Phục dựng hình ẩn Tìm mặt phẳng chứa đường cao , xác định góc để sử dụng giả thiết góc hai mặt phẳng Qua phương pháp xác định góc chuyển chóp có đường cao diện tích tìm hồn thành tốn tính thể tích khối chóp Cách : Từ giả thiết DA  DB ta có hình chiếu H D đáy thuộc mặt phẳng trung trực đoạn AB Ta có AB2  BC  AC  AB  BC MN AB Hay BM MN Do M trung điểm AB N điểm đối xứng với M qua trung điểm cạnh AC nên AB DMN BM DMN Tính DM DA2 MA2 a Nên tam giác DMN cân đỉnh M , Gọi I trung điểm DN DN BM MI IM , IB MI S DMN Do S MIB MA.cot 60 2S DMN S ABC VABCD DMN BC DN MN IB MIB 60 ( Do tam giác IMB vuông M ) a DI MI DI a 2a 3 DM MI 2 2a 2a BMNC VD ABC VD.BMNC 2VD.BMN 2VB.DMN BM SDMN 2 2a a 3 2a Bình luận : Từ giả thiết quy hình cho chóp có đường cao, để dựng góc giả thiết https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12 N H Ó M T O Á N VD – VD C NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 Phát triển 5* : Phát triển thành tốn tính thể tích khối lăng trụ chưa có đường cao giả thiết góc hai mặt bên Rèn kỹ tìm góc tính thể tích lăng trụ theo khối tứ diện nằm lăng trụ Câu 5: [PHÁT TRIỂN ĐỀ THI THAM KHẢO - VDC - Ngô Tú Hoa ] Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a Mặt bên ABB A hình thoi, biết A AC 60 góc hai mặt phẳng A ACC A BC 30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C A 3a 16 B 3a 3 3a 3 2a C D 16 16 Tác giả : Ngô Tú Hoa – Phản biện : Nguyễn Thị Hồng Gấm Lời giải Chọn A Do đáy lăng trụ tam giác đều, mặt bên hình thoi nên tất mặt lăng trụ hình thoi Do A AC Thì ta có : AC CM AC BM Gọi AC ACC MO, MC CM 60 nên A CC Gọi M trung điểm A C B MC Gọi O A BC , A ACC Rõ ràng A C Do B M 60 A BC B C BC OM A BC , OM AC A ACC OMC 30 OMC 150 a https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13 N H Ó M T O Á N VD – VD C NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 B MC tam giác cân đỉnh M OM MC.sin 30 a MOC 90 OMC a BC Suy B MC có diện tích S VABC A B C 3VC A B C A C S 30 a 3 B MC a.3 3a 16 B MC 3a 16 3a3 16 Phát triển : Phát triển góc : Giả thiết cho góc hai mặt bên không tạo với đáy góc, kết luận tìm góc hai mặt bên Câu 6: [PHÁT TRIỂN ĐỀ THI THAM KHẢO – Chuyên KHTN Lần ] Cho hình chóp S ABC N H phẳng  ABC  Mặt phẳng  SAB   SAC  tạo với mặt phẳng  ABC  góc Ĩ 60 Gọi  góc hai mặt phẳng  SAB   SBC  Tính tan  M T 17 17 51 51 A B C D 17 17 O Lời giải Á Chọn B N S VD – VD C có đáy tam giác vng A với AB  a ; AC  2a Mặt phẳng  SBC  vng góc với mặt N A C M H B Kẻ SH  BC H TH1: H nằm B, C Vì mặt phẳng  SBC  vng góc với mặt phẳng  ABC  nên SH   ABC  Kẻ HM  AB M ; HN  AC N Khi tứ giác AMHN hình vng SAC , ABC SNH SAB , ABC SMH 60 ; 60 Đặt AM  x   x  a  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14 NHĨM TỐN VD – VDC Vì MH // AC nên PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 x ax 2a  x 2a a 2a 4a 17a SM  , SB  3 Cách 1: Phương pháp khoảng cách SH S ABC SH AB AC d A, SBC a SSBC SH BC  SH  tan 60.HM  SM AB SB d A, SB sin d A, SBC d A, SB SM AB SM 17 a 17 MB 51 tan Cách 2: Tọa độ hóa Chọn hệ trục Oxyz cho gốc tọa độ O  A hình vẽ z S N N H Ó M T O Á N VD – VD C y A C M H B x Chọn a  2 2 3 2  Khi A  0;0;0  ; B 1;0;0  ; C  0; 2;  ; H  ; ;0  ; S  ; ;  3  3 3  2 2 3 Ta có AS   ; ; phương với vectơ u  1;1;  3        Vectơ pháp tuyến  SAB  n1  i, u   0;  3;1  2 3 BC   1; 2;0  ; BS    ; ; phương với vectơ v  1; 2;  3        Vectơ pháp tuyến  SBC  n2   BC, v   3; 3; cos   cos   SAB  ;  SBC    n1.n2 n1 n2  6 60  15 10 85 sin  51  tan    10 cos  Cách 3: Phương pháp thể tích  sin   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15 NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 1 3a 3 a.2a  a Ta có VS ABC  SH S ABC  3 1 3a 15 1 4a SSBC  SH BC  a  a SSAB  SM AB  a  a 2 3 2 3 Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC  ,  SAB  51 2SSBC SSAB sin  17 Vậy tan    sin    cos   3.SB 5 TH2: H nằm B, C (làm tương tự trên, yếu tố thay đổi, đáp số không đổi) Từ công thức VSABC  Phát triển : Phát triển góc tốn cực trị Câu 7: [PHÁT TRIỂN ĐỀ THI THAM KHẢO – Phát triển Chun TN] Cho Cho hình chóp S ABCD cạnh a , chiều cao b thỏa mãn 6a  b  Biết O tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABCD Khi thể tích khối chóp lớn cos   OAB  ,  OBC   bao nhiêu? A 36 325 B 36 325 C 72 325 D 72 325 Lời giải  3 Ta tích khối chóp VS ABCD  a   6a   2a3  3a với a   0;   2 Từ ta tìm AB  1, SH  , SB  SB 19 38  Từ tính SO  R  2SH 12 Từ H kẻ HK  OB K https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16 N H Ó M T O Á N VD – VD C NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 suy góc hai mặt phẳng  OAB  với mặt phẳng  OBC  góc KA, KC 17 13 , KA  KC  , 38 19 36 36 cos AKC  cos   OAB  ,  OBC    325 325 Ta có HK  Phát triển : Bài tốn góc hay đề thi ĐH – 2003 Đề thi tham khảo Đề ĐH – 2003 : Cho hình lập phương ABCD A B C D Tính góc hai mặt phẳng BA C DA C A 60 B 30 C 45 D 90 Lời giải Chọn A Gọi BA C , DA C Gọi H AB Tương tự K Do HK BD AHK AB AD Gọi cạnh hình lập phương a H trung điểm A B ta có AD AK a , AH AH , AK DA C AB AH AB AH BA C AH , AK a 2 AK AHK AH 60 60 Bình luận : Đây tốn góc cổ điển mang đủ độ khó tốn góc Và để kết thúc nhanh gọn ta cần có nhìn quen thuộc hình lập phương Có nhiều cách giải khác nhau, nhanh gọn kết hợp tốn góc tính định nghĩa, sử dụng nhuần nhuyễn hình lập phương https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17 N H Ó M T O Á N VD – VD C NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 Phát triển : Bài tốn góc hay Đề thi tham khảo – 2018 BGD [ĐỀ THI THAM KHẢO 2017-2018 ] Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB  AA  Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, AC BC (tham khảo hình vẽ bên) N H Ó M T O Á N VD – VD C Cosin góc tạo hai mặt phẳng ( ABC) ( MNP) A 13 65 Lời giải Chọn B B 13 65 C A' 17 13 65 D 18 13 65 C' N M B' C A P B Dễ thấy AB C ; MNP AB C ; MNCB 1800 AB C ; A B C 1800 A BC ; ABC Ta có A BC ; ABC Và MNBC ; ABC SA  AA  MNBC ; A B C MNBC ; ABC A P; AP SP; AP arctan arctan , với S điểm đối xứng với A qua A, A PA SPA https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18 NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 13 arctan 3 65 Bình luận : Vẫn tốn giả thiết có đường cao u cầu tính góc, cách hỏi góc địi hỏi người làm tốn phải biết mở rộng mặt phẳng để góc cần tìm nhìn thấy rõ ràng Mặt khác bám vào tính chất đặc trưng lăng trụ tam giác , kết hợp kiến thức góc sâu giải nhanh toán Suy cos AB C ; MNP cos 1800 arctan Phát triển 10 : Bài tốn góc Đề thi THPTQG – 2018 BGD Câu 37: A [Mã 101- THPTQG-2018] Cho hình lập phương ABCD ABCD có tâm O Gọi I tâm hình vng ABCD M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ) Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng  MC D   MAB  85 85 B 85 85 17 13 65 Hướng dẫn giải C D N H Ó M T O Á N VD – VD C 13 65 Chọn B Khơng tính tổng quát, ta giả sử cạnh hình lập phương Gọi P, Q trung điểm DC  AB Khi ta có MP  IM  IP2  10, MQ  34, PQ  Áp dụng định lí cơsin ta MP MQ PQ 14 cos PMQ 2MP.MQ 340 Góc  góc hai mặt phẳng  MC D   MAB  ta có cos   14 85  85 340 Bình luận : Gắn kết quan hệ : Từ đề tham khảo đến đề thật : Ta thấy đường ý tưởng , góc lạ nhiều Rõ ràng phải hiểu sâu hình lập phương : Bản chất lăng trụ – nghĩa tốn có đường cao, có chút đặc biệt cạnh , dẫn đến lời giải ngắn gọn súc tích Và lần lại khẳng định : nắm vững kiến thức sở tốn góc học sinh giải tốn lạ quen https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19 ... TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4 /2020 NHĨM TỐN VD – VDC PHÂN TÍCH VÀ PHÁT TRIỂN CÂU 49 ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4 /2020 Ngô Tú Hoa – Dung Ngơ – Nguyễn Thị Hồng Gấm PHÂN TÍCH Ý TƯỞNG CÂU 49 ĐỀ THI THAM KHẢO... N VD – VD C NHĨM TỐN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4 /2020 Phát triển : Bài tốn góc hay Đề thi tham khảo – 2018 BGD [ĐỀ THI THAM KHẢO 2017-2018 ] Cho hình lăng trụ tam giác ABC... Luận cách 3: Đây cách truyền thống tính thể tích xác định góc : Một cách tốn góc Khi vai trị đối xứng hai tam giác hai mặt góc tạo thành Và bỏ vai trị cách tính tốn khó khăn nhiều sau dựng góc Cách