Câu 60.. Do hình chóp S ABC. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng MH.. Gọi là hình chiếu của trên mặt đáy. Suy ra hình bình hành nội tiếp trong đường tròn tâm. [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ
GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH MỤC LỤC
PHẦN A CÂU HỎI
Dạng Góc
Dạng 1.1 Góc đường thẳng với mặt phẳng
Dạng 1.2 Góc đường thẳng với đường thẳng
Dạng 1.3 Góc mặt với mặt
Dạng Khoảng cách
Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Dạng 2.2 Khoảng cách đường thẳng với đường thẳng 11
Dạng 2.3 Khoảng cách đường với mặt 15
PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 15
Dạng Góc 15
Dạng 1.1 Góc đường thẳng với mặt phẳng 15
Dạng 1.2 Góc đường thẳng với đường thẳng 25
Dạng 1.3 Góc mặt với mặt 27
Dạng Khoảng cách 39
Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 39
Dạng 2.2 Khoảng cách đường thẳng với đường thẳng 51
Dạng 2.3 Khoảng cách đường với mặt 71
PHẦN A CÂU HỎI Dạng Góc
Dạng 1.1 Góc đường thẳng với mặt phẳng
Câu1 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng C,
ACa, BC 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy
A. 60 B. 90 C. 30 D. 45
Câu2 (Mã đề 102 BGD&ĐTNĂM 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA
vng góc với mặt phẳng đáy SA 2a Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy
A. 45 B. 60 C. 30 D. 90
Câu3 (Mã102-BGD-2019)Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC, SA2a
(2)Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC
A. 30 B. 60 C. 45 D. 90
Câu4 (Mã đề 101 BGD&ĐTNĂM 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA
vng góc với mặt phẳng đáy SB2a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy
A. 45 B. 60 C. 90 D. 30
Câu5 (Mã103-BGD-2019)Cho hình chóp S ABC cóSAvng góc với mặt phẳng ABC SA 2a
Tam giácABC vuông cân B ABa( minh họa hình vẽ bên)
Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC
A. 45 B. 60 C. 30 D. 90
Câu6 (Mãđề101-BGD-2019)Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC, SA2a
, tam giác ABC vuông B, ABa BCa (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC
và mặt phẳng ABCbằng:
A. 45 B. 30 C. 60 D. 90
Câu7 (ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐT2018)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh
a Gọi M trung điểm SD (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng B M mặt phẳng ABCD
A C
(3)A.
2 B.
3
3 C.
2
3 D.
1
Câu8 (Mãđề104-BGD-2019)Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC, SA2a
, tam giác ABCvuông cân B ABa (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC
A. 30o B. 90o C. 60o D. 45o
Câu9 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAABCD
a
SA Tính góc
SC mặt phẳng ABCD?
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
Câu10 (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S ABCD có đáy
ABCD hình vng cạnh a SAABCD Biết
a
SA Tính góc SC ABCD
A. 30 B. 60 C. 75 D. 45
Câu11 (THPTTHIỆUHĨA–THANHHĨANĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD , đáy
ABCD hình vng cạnh a SAABCD Biết SAa Tính góc SC ABCD
A. 45 B. 30 C. 60 D. 75
Câu12 (SỞGIÁODỤCĐÀOTẠOVĨNHPHÚCNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp tứ giác
S ABCD có tất cạnh 2a Gọi M trung điểm SD Tính tancủa góc đường thẳng BM
và mặt phẳng ABCD
A.
2 B.
3
3 C.
2
3 D.
1
Câu13 (CỤMLIÊNTRƯỜNGHẢIPHỊNGNĂM2018-2019)Cho khối chóp S ABC có SAABC
, tam giác ABC vng B, AC2a, BCa, SB2a Tính góc SA mặt phẳng SBC
A. 45 B. 30 C. 60 D. 90
A
B C
D S
M
A C
(4)Câu14 (CHUNHÙNGVƯƠNGGIALAINĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có đáy
ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SAa Gọi góc SD SAC Giá trị sin
A.
4 B.
2
2 C.
3
2 D.
2
Câu15 (SỞGD&ĐTBẮCGIANGNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác cạnh a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SCtạo với mặt phẳng đáy góc 60, gọi M trung điểm BC Gọi góc đường thẳng SM mặt phẳng
ABC Tính cos
A. cos
3
B. cos
3
C. cos
10
D. cos
10
Câu16 (THPTCHUYÊNBẮCNINHLẦN01NĂM2018-2019)Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vng 1và B ABBCa AD, 2a Biết SA vng góc với đáy (ABCD)và SAa Gọi M N,
lần lượt trung điểm SB CD, Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng (SAC)
A. 5 B. 55 10 C. 10 D. 5
Câu17 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác
S ABCDcó ABa, O trung điểm ACvà SO b Gọi đường thẳng qua C, chứa mặt phẳng ABCD khoảng cách từ O đến 14
6
a
Giá trị lượng giác cosSA ,
A.
2
2
3
a b a
B.
2
2
3
a a b
C.
2
3
a a b
D.
2
3
a b a
Câu18 (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,
,
ABa ADa Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Cosin góc đường thẳng SD mặt phẳng SBC
A. 13 B. C. 5 D.
Câu19 (SỞGD&ĐTHÀNỘINĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng C,
CH vng góc với AB H, I trung điểm đoạn HC Biết SI vng góc với mặt phẳng đáy,
90
ASB Gọi O trung điểm đoạn AB, O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI Góc tạo đường thẳng OO mặt phẳng ABC
A. 60 B. 30 C. 90 D. 45
Câu20 (SỞGD&ĐTBẮC NINHNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC 60 Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng ABCDtrùng với trọng tâm tam giác ABC, gọi góc đường thẳng SB mặt phẳng SCD, tính sin biết SBa
A. sin
2
B. sin
4
C. sin
2
D. sin
2
(5)Câu21 (ĐỀTHAM KHẢOBGD&ĐT 2018)Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với OAOB OC Gọi M trung điểm B C ( tham khảo hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng O M AB
A. 450 B. 900 C. 300 D. 60
Câu22 (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện ABCD với
3
, 60 ,
2
AC AD CABDAB CD AD Gọi góc hai đường thẳng AB CD Chọn khẳng định góc
A.
4
cos B. 300 C. 600 D.
4 cos
Câu23 (TRƯỜNGTHPTHOÀNGHOATHÁMHƯNGYÊNNĂM2018-2019)Cho hình hộp chữ nhật
ABCD A B C D , biết đáy ABCD hình vng Tính góc A C BD
A. 90 B. 30 C. 60 D. 45
Câu24 (CHUYÊNKHTNNĂM2018-2019LẦN01) Cho tứ diện ABCD cóABCD2a GọiM , N trung điểm ADvà BC Biết MN a 3, góc hai đường thẳng AB CD
A. 450 B. 900 C. 600 D. 300
Câu25 (CHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNHPHÚYÊNNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình lập phương
ABCD A B C D ; gọi M trung điểm B C Góc hai đường thẳng AM BC
A. 45 B. 90 C. 30 D. 60
Dạng 1.3 Góc mặt với mặt
Câu26 (ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐT2018)Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có AB2 AA 2 Gọi M N P, , trung điểm cạnh A B A C , B C (tham khảo hình vẽ bên) Cơsin góc tạo hai mặt phẳng AB C MNP
A D
C B
A' D'
(6)A. 17 13
65 B
18 13
65 C
6 13
65 D
13 65
Câu 27 (Mãđề102BGD&ĐTNĂM2018)Cho hình lập phương ABCD A B C D có tâm O Gọi I tâm hình vng A B C D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho
2
MO MI (tham khảo hình vẽ) Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng (MC D ) (MAB)
A 7 85
85 B
6 85
85 C
17 13
65 D
6 13 65
Câu 28 (Mãđề101BGD&ĐTNĂM2018)Cho hình lập phương ABCD A B C D có tâm O Gọi I tâm hình vng A B C D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO2MI (tham khảo hình vẽ) Khi cơsin góc tạo hai mặt phẳng (MC D ) (MAB)
A 7 85
85 B
17 13
65 C
6 13
65 D
6 85 85
Câu 29 (SỞGD&ĐTBẮCGIANGNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, ADSA2a, SAABCD Tính tang góc hai mặt phẳng SBD
(ABCD)
A
2 B C
1
5 D
2
Câu 30 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có cạnh AB2, AD3;AA4 Góc hai mặt phẳng AB D A C D Tính giá trị gần góc ?
P
N M
C'
B' A'
C
(7)A. 45, 2 B. 38,1 C. 53, 4 D. 61, 6
Câu31 (KSCLTHPT NGUYỄN KHUYẾNLẦN05 NĂM2018-2019) Cho hình chóp SABCD có đáy
ABCD hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng ABCD Biết ABSBa,
6 a
SO Tìm số đo góc hai mặt phẳng SAB SAD
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
Câu32 (TRƯỜNGTHPTLƯƠNGTÀISỐ2NĂM2018-2019)Cho lăng trụ tam giác ABC A B C
có diện tích đáy 3a2(đvdt), diện tích tam giác A BC 2a2 (đvdt) Tính góc hai mặt phẳng
A BC ABC?
A. 120 B. 60 C. 30 D. 45
Câu33 (SỞGD&ĐTQUẢNGNINHNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD
là hình vng có độ dài đường chéo a SA vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi góc hai mặt phẳng SBD ABCD Nếu tan góc S AC SBC
A. 30 B. 90 C. 60 D. 45
Câu34 (THPTGIALỘCHẢIDƯƠNGNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp SABCDcó đáy hình
thang vuông ABCD A D, cạnh bên A vng góc với mặt phẳng đáy SAa Cho biết
2 2
AB AD DC a Tính góc hai mặt phẳng SBA SBC
A. 300 B. 600 C. 450 D. arcsin
4
Câu35 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình hộp chữ nhật
' ' ' '
ABCD A B C D có mặt ABCD hình vng, ' AB
AA Xác định góc hai mặt phẳng A BD'
và C BD'
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
Câu36 (THPTGANGTHÉPTHÁINGUYÊNNĂM2018-2019)Cho hình lập phương ABCD A B C D
Góc hai mặt phẳng (ADC B ) (BCD A )
A. 30 B. 45 C. 90 D. 60
Câu37 (ĐỀ 01ĐỀ PHÁT TRIỂNĐỀ THAM KHẢOBGD&ĐT NĂM2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có đáy ABCD hình vng, AC a Gọi P
mặt phẳng qua AC cắt BB DD, M N, cho tam giác AMN cân A có
MN a Tính cos với P , ABCD
A.
2 B.
1
2 C.
1
3 D.
3
Câu38 (THPTHÀMRỒNGTHANHHÓANĂM2018-2019LẦN1)Cho lặng trụ đứng ABC A B C có diện tích tam giác ABC Gọi M,N ,P thuộc cạnh AA,BB,CC, diện tích tam giác
MNP Tính góc hai mặt phẳng ABC MNP
(8)Dạng Khoảng cách
Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Câu39 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng đỉnh B,
ABa, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC
A.
5
a
B a
C 2
a
D 5 a
Câu 40 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng đỉnh B, ABa, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC
A.
3 a
B 2 a
C
2
a
D a
Câu 41 (Mã103-BGD-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ
D đến mặt phẳng SACbằng
A 2 a
B 21
7 a
C 21
14 a
D 21
28 a
Câu 42 (Mãđề101-BGD-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD
A
B
D
(9)A. 21 14
a
. B 21
7 a
C
2 a
D 21 28 a
Câu 43 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD 60o, SAa SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến SCD bằng?
A 21
a
B 15
3 a
C 21
7 a
D 15
7 a
Câu 44 (Mã102-BGD-2019)Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)
A. 21
14 a
B
a
C 21
a
D 21 28
a
Câu 45 (MĐ103BGD&ĐTNĂM2017-2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC
A.
6 a
B 3 a
C a
D a
Câu 46 (THPTCHUYÊNVĨNHPHÚCNĂM2018-2019LẦN01)Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD
A a
B
3 a
C 3
2 a
D 2a
Câu 47 (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp SABCD có D
SA ABC , đáy ABCDlà hình chữ nhật Biết AD2a,SAa Khoảng cách từ A đến SCD bằng: A 3a
7 B
3a
2 C
2a
5 D
2a 3
Câu 48 (THPTCHUNLAMSƠNTHANHHĨANĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chop S ABC
(10)A. 57
19
a
B. 57
19
a
C.
19
a
D. 38
19
a
Câu49 (THPT HÙNGVƯƠNGBÌNH PHƯỚC NĂM2018-2019LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác
S ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Tính khoảng cách d từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên theo a
A.
3 a
d B.
2 a
d C.
2 a
d D.
3 a d
Câu50 (CHUNTRẦNPHÚHẢIPHỊNGNĂM2018-2019LẦN02)Cho khối chóp S ABCD có đáy
ABCD hình vng cạnh a, SAABCD SAa 2 Gọi M trung điểm cạnhSC Khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng SBD
A. a B. 10 10 a C. 2 a D. 10 a
Câu51 (THPTGANG THÉPTHÁI NGUYÊNNĂM2018-2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC
là tam giác vuông A, AB a, AC a 3; SA vng góc với đáy, SA2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC
A.
7 a
B.
7 a
C.
19 a
D.
19 a
Câu52 (THPTCHUYÊNSƠNLANĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SAa SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
SBC bằng:
A.
2 a
B.
7 a
C. 21
7 a
D. 15
5 a
Câu53 (THPTLÊVĂNTHỊNH BẮCNINHNĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABCD , cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD
A. a B. a C. a D. a
Câu54 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM2018-2019 LẦN01) Cho hình chóp S ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD với SAa Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD
A. a B. a C.
2 a
D.
2 a
Câu55 (THPTMINHCHÂU HƯNGYÊNNĂM2018–2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD
là hình thang vng Avà B, ABBCa, AD2 a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AD
2 a
SH Tính khoảng cách d từ Bđến mặt phẳng SCD
A.
8 a
d B. d a C.
4 a
d D. 15
(11)Câu56 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện
O ABC có OA OB OC, , đơi vng góc với OAOBOC Khoảng cách từ O đến mp ABC( )
là
A.
3 B.1 C.
1
2 D.
1
Câu57 (THPT CẨM GIÀNG2 NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC60 Cạnh bên SA vng góc với đáy, SC2a Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD
là
A. 15
5 a
B.
2 a
C.
5 a
D. 30
3 a
Câu58 (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
S ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, góc BAD60, SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc
với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ Bđến mặt phẳng SCD
A.
2 a
B.
2
a
C.
2 a
D. a
Câu59 (KTNLGVTHUẬNTHÀNH 2BẮCNINHNĂM2018-2019)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O; mặt phẳng SAC vng góc với mặt phẳng SBD Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB , SBC , SCD 1; 2; Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng SAD
A. 19
20
d B. 20
19
d C. d D. 2 d
Dạng 2.2 Khoảng cách đường thẳng với đường thẳng
Câu60 (ĐỀTHAM KHẢOBGD&ĐT2018) Cho lập phương ABCD A B C D có cạnh a ( tham
khảo hình vẽ bên ).Khoảng cách hai đường thẳng BD A C
A.
2 a
B. 2a C. 3a D. a
Câu61 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ình chữ nhật,
, ,
ABa BC a SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Khoảng cách hai đường thẳng AC
SB
A.
2 a
B.
3 a
C. a
(12)Câu62 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, ABa,
BC a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Khoảng cách hai đường thẳng BD, SC
A. 21
21 a
B. 21
21 a
C. 30
12 a
D. 30
6 a
Câu63 (Mã đề104 BGD&ĐTNĂM 2018)Cho tứ diện O ABC có OA OB OC, , đơi vng góc với nhau,OAa OBOC 2a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng OM
AB
A.
3 a
B. a C.
5 a
D.
2 a
Câu64 (MĐ103BGD&ĐT NĂM2017-2018)Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OAOBa, OC2a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng
OM AC
A.
5 a
B.
2 a
C.
3 a
D.
3 a
Câu65 (GKITHPTVIỆTĐỨCHÀNỘINĂM2018-2019)Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC
là tam giác vuông A với ACa Biết BC hợp với mặt phẳng AA C C góc 30o hợp với mặt phẳng đáy góc cho sin
4
Gọi M N, trung điểm cạnh BB vàA C Khoảng cách MN AC là:
A.
4 a
B.
6 a
C.
4 a
D. a
Câu66 (THPTCHUNLAMSƠNTHANHHĨANĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABC , có SASBSC, đáy tam giác cạnh a Biết thể tích khối chóp S ABC
3
3
a
Khoảng cách hai đường thẳng SA BC bằng:
A.
7 a
B. 13
13
a
C.
7 a
D.
4
a
Câu67 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a (tham khảo hình vẽ)
Khoảng cách hai đường thẳng BD A C' '
D A
C B
D' B'
(13)A. a B. 2a C.
2 a D. 3a
Câu68 (CHUNLÊQĐƠNQUẢNGTRỊNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có
SA ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật với ACa BC a Tính khoảng cách SD
BC
A.
2 a
B. a C.
3 a
D.
4 a
Câu69 (THPTLÊVĂNTHỊNHBẮCNINHNĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD
là hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với mặt phẳng ABCD SOa Khoảng cách SC
AB
A.
15 a
B.
5 a
C.
15 a
D.
5 a
Câu70 (THPTLÊ VĂNTHỊNHBẮCNINH NĂM2018-2019)Cho lăng trụ tam giác ABC A B C
có tất cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng BC AB
A. 21
7 a
B.
2 a
C.
4 a
D.
2 a
Câu71 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S ABCD có đáy
ABCD hình thoi cạnh a, ACa Tam giác SAB cân Svà nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC, biết góc đường thẳng SD mặt đáy 60
A. 906
29 a
B. 609
29 a
C. 609
19 a
D. 600
29 a
Câu72 (KTNLGIABÌNHNĂM2018-2019)Cho hình chóp , đáy hình bình hành có
4,
AB BC ,SA SB SCSD6 hình chiếu vng góc xuống Tính độ dài d đoạn vng góc chung
A. 119
11 B.
4 229
13 C.
259
5 D.
4 119 15
Câu73 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ tam giác
ABC A B C có ABa, AA 2 a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB A C
A.
2 a
B.
5 a C. a D.
2 17 17 a
Câu74 (THPTLÊQUYĐƠNĐIỆNBIÊNNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh bẳng 4, góc SC mặt phẳng ABC 45 Hình chiếu S lên mặt phẳng
ABC điểm H thuộc cạnh AB cho HA2HB Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC
S ABCD ABCD
K B AC
(14)A. 210 45
d B. 210
5
d C. 210
15
d D. 210
15
d
Câu75 (SỞGD&ĐTNINH BÌNHLẦN01NĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC
vuông B, C 60, AC 2, SAABC, SA1 Gọi M trung điểm AB Khoảng cách d
SM BC
A. 21
7
d B.
7
d C.
3
d D.
3
d
Câu76 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho khối chóp tứ giác
S ABCD tích
2
3
a b
với ABa Gọi Glà trọng tâm tam giác SCD, cạnh AB SD, lấy điểm ,E F cho EFsong song BG Khoảng cách hai đường thẳng DG EF
A.
2 2
ab b a
B.
2 2
ab b a
C.
2
2
3 a b b a
D.
2
ab b a
Câu77 (TRƯỜNGTHPTHOÀNGHOATHÁMHƯNGNNĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a 3, mặt bên SAB tam giác cân với ASB120 nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , BN
A. 327 79
a
B. 237
79 a
C. 237
79 a
D. 237
316 a
Câu78 (CHUYÊNBẮCNINHNĂM2018-2019LẦN03)Cho tứ diện đềuABCD có cạnh cm Gọi
M trung điểm CD Khoảng cách AC BM là:
N M
C
B A
(15)A. 11
11 cm B.
3 22
11 cm C.
3
11 cm D.
2 11 cm
Câu79 (TRƯỜNGTHPTLƯƠNGTÀISỐ2NĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SASBSC11, SAB30, SBC60 SCA 45 Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB SD?
A. d 4 11 B. d 2 22 C. 22
2
d D. d 22
Câu80 (THCS-THPTNGUYỄNKHUYẾNNĂM2018-2019LẦN01)Cho tứ diện ABCD có cạnh
, ,
AB AC AD vuông góc với đơi AD 2AC 3AB a Gọi đường thẳng chứa mặt
(BCD) cho khoảng cách từ điểm A đến nhỏ khoảng cách lớn hai đường thẳng
và AD d Khẳng định sau đúng?
A. 14
14
d a B. 3ad 4 a C.
14
a a
d
D. d 4 a
Câu81 (THPTNGƠGIATỰVĨNHPHÚCNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành SASBSC11, SAB 30 ,0 SBC 600 SCA45 Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB SD?
A. d 4 11 B. d 2 22 C. 22
2
d D. d 22
Câu82 (THPTNĂM2018-2019LẦN04)Cho hình hộp ABCDA B C D có tất cạnh góc phẳng đỉnh A 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB A C
A. 22
11 B.
2
11 C.
2
11 D.
3 11 Dạng 2.3 Khoảng cách đường với mặt
Câu83 (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚCLẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D, SD vng góc với mặt đáy ABCD,AD2 ,a SDa 2 Tính khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng SAB
A. a
2 B. a C.
2a
3 D.
a
Câu84 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA2a Gọi M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB mặt phẳng ACM
A.
2
a
d B. d a C.
3
a
d D.
3
a d PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng Góc
Dạng 1.1 Góc đường thẳng với mặt phẳng
(16)Có SAABC nên AB hình chiếu SA mặt phẳngABC
SB ABC, SB AB, SBA
Mặt khác có ABC vuông C nên AB AC2BC2 a
Khi tan
3
SA SBA
AB
nên SB ABC, 30
Câu Chọn A
Do SAABCD nên góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy góc SCA Ta có SA 2a, AC 2a tanSCA SA
AC
1SCA45 Vậy góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45
Câu Chọn C
Vì SA vng góc với mặt phẳng ABC, suy góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC bằngSCA
Mà
2
2
tan
3
SA a
SCA
AC a a
Vậy SCA 45
Câu Chọn B
D A
B C
S
D A
B C
(17)Do SAABCD nên góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy góc SBA Ta có cosSBA AB
SB
2
SBA60
Vậy góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60
Câu Chọn A
Ta có AC hình chiếu vng góc SC mặt phẳng ABC Suy góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC bằngSCA Ta có AC a ,SAa 2nên tam giác SAC vuông cân A 450
Câu Chọn A
Ta có SA ABC nên AC hình chiếu SC lên mặt phẳng ABC Do SC ABC, SC AC, SCA
Tam giác ABC vuông B, ABa BCa nên AC AB2BC2 4a2 2a Do tam giác SAC vng cân A nên
45
SCA Vậy SC ABC, 450
Câu Chọn D
Gọi O tâm hình vng Ta có SOABCD
2
2
2
a a SO a
Gọi M trung điểm OD ta có MH / /SO nên H hình chiếu M lên mặt phẳng ABCD
1
2
a MH SO
Do góc đường thẳng B M mặt phẳng (ABCD) MBH
O A
B C
D S
M
(18)Khi ta có
2 tan
3
4 a MH MBH
BH a
Vậy tang góc đường thẳng B M mặt phẳng ABCD Câu Chọn D
Ta có SAABC nên đường thẳngAC hình chiếu vng góc đường thẳng SC lên mặt phẳng ABC
Do đó, SC, ABCSC AC, SCA (tam giác SAC vuông A) Tam giác ABC vuông cân B nên ACAB 2a
Suy tanSCA SA 1
AC nên 45 o
Câu
2
AC a ,
AClà hình chiếu vng góc SC ABCDSC ABCD, SC AC; SCA
: tan : 30
3
SA a
SAC SCA a SCA
AC
Câu 10 Chọn A
Ta có ACa
Vì AC hình chiếu SC lên ABCD nên góc SC ABCDlà góc SC AC
a 2
C
B a
a a 6
3
D A
(19)Xét SAC vuông A, ta có:
6 3
tan
3 a SCA
a
Suy SCA 300
Câu 11 Chọn A
Vì SAABCDSC ABCD; SC AC; SCA Ta có AC AB2BC2 a
tan 45
2
SA a
SAC SCA
AC a
Câu 12
Trong tam giác SOD dựng MH SO H// , OD ta có MH ABCD Vậy góc tạo BMvà mặt phẳng ABCD MBH
Ta có 1 2 2 2
2 2
a
MH SO SD OD a a
3 3
2
4
a
BH BD a
Vậy tan
3 MH MBH
BH
H M
O
C
A D
B
(20)Câu 13
Trong SAB kẻ AH SB HSB
Vì SA BC BC SAB BC AH
AB BC
Mà SBAH cách dựng nên AH SBC, hay H hình chiếu A lên SBC suy góc SA
và SBC góc ASH hay góc ASB
Tam giác ABC vng B AB AC2BC2 a
Tam giác SAB vuông A sin 30
2 AB
ASB ASB
SB
Câu 14
Gọi O ACBD Ta có:
DO AC
DO ABCD DO SA SA ABCD
SO
hình chiếu SD lên mặt phẳng SACSD SAC; SD SO; DSO Xét SAD vuông A: 2
3
SD a a a
Xét SOD vng O: có SD2a, sin sin
2
a DO
OD DSO
SD
A
B
C S
(21)Câu 15
Gọi H trung điểm AB dễ thấy SH ABC
SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 suy SCH 60
Có tan
2
a a
HC SH HC SCH
Dễ thấy SMH, 10 cos
2 2 10
a a HM
HM AC SM
SM
Câu 16 Chọn C
Ta gọi E F, trung điểm SC AB
Ta có ME/ /NF( song song với BC Nên tứ giác MENF hình thang,
và / ( )
( )
MF ISA
MF ABCD SA ABCD
hay tứ giác MENF hình thang vng M F,
Gọi K NFAC I, EKM I MN(SAC)
Ta có: NC AC NC (SAC)
NC SA
hay Elà hình chiếu vng góc N lên (SAC)
Từ ta có được, góc MNvà (SAC)là góc MNvà CI
Suy ra, gọi Qlà góc MNvà (SAC)thì sin CN IN
1
D
2
a
NC C ; 2
3
IN KN
IN MN
M ME
2
2 10
3
a
MF FN
Vậy sin
10 CN
IN
M H
A C
(22)Câu 17
Gọi đường thẳng qua A song song với Hạ OH ' H ' Do O trung điểm
của AC // ' nên d O , ' d O , hay 14
6 a
OH
Do S ABCD hình chóp tứ giác nên đáy ABCDlà hình vng SOABCD Do AH OH AH SO nên, suy AH SH
Do ABCD hình vng cạnh a nên ACa 2, suy
2
a OA
Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vng AHO ta có OA2 OH2AH2, suy
2
2 2 14
2
a a a
AH OA OH
Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vng SAO ta có SA2 OA2SO2, suy
2
2 2 2
2
a a b
SA OA SO b
Do // ' nên
2
2
cos , cos , cos
3
AH a
SA SA SAH
SA a b
Câu 18
Gọi H M, trung điểm AB SB, ; O tâm hình chữ nhật ABCD Ta có MO/ /SD
Dễ thấy BC SABBC AM , mà SB AM nên AM SBC
O M
H A
D
C B
(23)Xét tam giác AMO, có:
3 a
AM ;
2
1
3
2
AO AC a a a;
2 2
2 2 2
1 1
3
2 2 2
a a
MO SD SH HD SH HA AD a a
AMO
cân O
2
2
2
; 4 16 13
sin
4
a AM
a MO
d O AM AMO
OM OM a
13
cos ; sin
4
SD SBC AMO
Câu 19
Do ASB90 nên tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI nằm đường thẳng d qua trung điểm
O đoạn thẳng AB d SAB 1 Trong mặt phẳng SCH kẻ IK SH K
Theo giả thiết SI ABC suy SI AB Từ SI AB ABCH suy ABSCHABIK Từ IK SH ABIK ta có IKSAB 2
Từ 1 2 ta có IKd Bởi OO';ABCd;ABCIK;ABC
Vì SCH ABC nên IH hình chiếu vng góc IK mặt phẳng ABC Bởi
IK; ABC IK IH, HIKHSI
Do tam giác ABC vuông C SAB vuông S nên
2 AB COSO
d
O I
C B
A S
(24)Xét hai tam giác vuông CHO SHO có COSO, cạnh OH chung nên CHO SHOc.g.c,
CH SH
Xét tam giác SIH vng I có
2
CH SH
IH , ta có sin 30
2 IH
HSI HSI
SH
Vậy OO';ABC30
Câu 20
Cách 1:
● Gọi O trọng tâm tam giác ABC Dựng đường thẳng d qua O d//SB, d cắt SD K Khi góc SB SCDchính góc OK SCD
● Vì SO(ABCD)SOCD
Ta lại có: ABC ( ABC cân B BAC60)
ABCOCDCO
( ) ( ) ( )
CD SCO SCD SCO
Gọi H hình chiếu O SC, ta có:
OH SC
OH SCD
OH CD Do góc SB mặt phẳng SCD là:
OKH
Ta có: sinsinOKH OH OK
● Tứ diện S ABC tứ diện cạnh a nên ta tính được:
3 a
OC ,
3 a
SO
3 OH a
Vì //
3 OK DO
OK SB
SB DB
2
3
OK SB a
Vậy: sin
2 OH
OK
(25)Trước hết ta chứng minh sin (SB;(SCD))d B SC( , ( D))
SB (như hình trên)
Gọi O trọng tâm tam giác ABC Khi ta có COCD
Dựng OH SCsuy OH (SCD) Ta tính 3,
3 3
a a a
OC SO OH
Khi ( , ( )) ( , ( )) 3a a
3
2
2
2
d B SCD d O SCD OH
Vậy
2 sin ( ; ( ))
2
SB SCD a
a
Dạng 1.2 Góc đường thẳng với đường thẳng
Câu 21 Chọn D
Đặt OAa suy OB OC a ABBCAC a Gọi N trung điểm AC ta có MN / /AB
2 a MN
Suy góc OM AB, OM MN, Xét OMN
Trong tam giác O M N có
2 a
ONOM MN nên O M N tam giác Suy OMN600 Vậy OM AB, OM MN, 600
(26)Ta có AB CD AB AD. AC AB AD AB AC AB AD cos 600AB AC cos 600
0
60 60
2
AB AD cos AB AD cos AB AD
, 1
4
AB CD
cos AB CD cos
AB CD
Câu 23 Vì ABCD hình vng nên BD AC
Mặt khác AAABCDBD AA
Ta có
'
BD AC
BD AA C BD A C BD AA
Do góc A C BD 90
Câu 24
Gọi P trung điểmAC, ta có PM CD// vàPN AB// , suy AB CD, PM PN,
Dễ thấy PM PN a
Xét PMN ta có
2 2 2
3
cos
2
PM PN MN a a a MPN
PM PN a a
(27) 1200 , 1800 1200 600
MPN AB CD
Câu 25
Giả sử cạnh hình lập phương a0
Gọi N trung điểm đoạn thẳng BB Khi đó, MN BC// nên AM BC, AM MN, Xét tam giác A B M vuông B ta có: A M 2
A B B M
2 a a
2 a
Xét tam giác AA M vng A ta có: AM AA2A M
2
4
a a
2
a
Có
2 a
AN A M ;
2
BC a
MN
Trong tam giác AMN ta có:
cosAMN
2 2
2
MA MN AN
MA MN
2 2
9
4 4
3
2
2
a a a
a a 2
4
a a
2
Suy AMN 45
Vậy AM BC, AM MN, AMN45
Dạng 1.3 Góc mặt với mặt
Câu 26 Chọn D
Gọi ,P Q trung điểm B C B C ; I BMAB J, CNAC E, MNA Q
Suy ra, MNP AB C MNCB AB C IJ gọi K IJPEKAQ với E trung điểm
M N (hình vẽ)
AA QP IJ AQIJ PE, IJ MNP , AB C AQ PE,
Ta có 3, 13 13;
3
AP PQ AQ QK 5
2
PE PK
2 13
cos cos
2 65
(28)Cách2
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ
0;0; , 3;0; , 0; 3;0 , 0; 3; , 3;0; , 0; 3; , 0; 3; 2
P A B C A B C
nên 3; 3; , 3; 3;
2 2
M N
Ta có vtpt mpAB C 1 , 2; 0; 3
2
n AB AC
vtpt mpMNP n2 4; 0; 3
Gọi góc hai mặt phẳng AB C mpMNP os os 1, 2 13 65 13 25
c c n n
Cách3
K E Q
J
I
P
N M
C'
B' A'
C
(29)Gọi Q trung điểm AA', mặt phẳng AB C' ' song song với mặt phẳng MNQ nên góc hai mặt phẳng AB C' ' MNP góc hai mặt phẳng MNQ MNP
Ta có:
; ;
;
MNP MNQ MN
PE MNP PE MN MNP MNQ PEQ QE MNQ QE MN
MNP ; MNQ1800PEQ
Tam giác ABC có cạnh 3AP3
Tam giác APQ vuông A nên ta có: PQ AP2AQ2 3212 10 Tam giác A QE' vng A' nên ta có:
2
2 13
' '
2
QE A E A Q
Tam giác PEF vng F nên ta có:
2
2 2
2
2
PE FP FE Áp dụng định lý hàm số côsin vào tam giác PQE ta có:
2
25 13
10 13
4
cos
2 13 65
2
2
EP EQ PQ PEQ
EP EQ
Do đó: 13
cos ; ' ' cos 180 cos
65
MNP AB C PEQ PEQ
(30)Khơng tính tổng quát ta đặt cạnh khối lập phương
Chọn hệ trục tọa độ cho A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0) A(0; 0;1)(như hình vẽ) Khi ta có: 1 1; ;
2 M
Suy ra: (1; 0; 0), 1; ; 2 AB MA
1
, 0; ; (0; 4;3)
3
AB MA n
VTPT mặt phẳng (MAB)
2
1 1 1
(1; 0; 0), ; ; , 0; ; (0; 2; 3)
2 3
D C MD D C MD n
VTPT mặt phẳng (MC D )
cosin góc hai mặt phẳng (MAB)và (MC D ) bằng:
1 2 2 2 2 2 2
1
0.0 4.2 3.( 3) 17 13
cos( , )
0 ( 4) 3 0 2 ( 3) 65
n n n n
n n
(31)Giao tuyến (MAB) (MC D ) đường thẳng KH hình vẽ
Gọi J tâm hình vng ABCD L N, trung điểm C D AB Ta có: C D (LIM)C D LM LM KH
Tương tự AB(NJM) ABMN MN KH
Suy góc hai mặt phẳng (MAB) (MC D ) góc đường thẳng (MN ML, ) Gọi cạnh hình lập phương Ta có 10
6
LM , 34
6
MN , NL
Ta có:
2 2
7 85 cos
2 85
MN ML NL
LMN
MN ML
Suy cosin góc hai mặt phẳng (MAB) (MC D ) 85
85
Câu 29
Ta có:
SBD(ABCD)BD Hạ AH BDtại H
Ta có AH BD BD (SAH) BD SH
BD SA
SBD ; (ABCD) HA HS,
B' A'
N J
O
K
H M
I L
C' D'
D
C B
(32) tanSHA SA
AH
Xét ABDvng Acó:
2 2
1 1
AH AB AD
AH
tan
2 5
SA a
SHA
AH a
Câu 30 Cách 1: Hai mặt phẳng AB D A C D có giao tuyến EF hình vẽ Do EF AB// mà A D A ABB nên A D AB ' '
/ / EF A D
Từ A kẻ vng góc lên giao tuyến EFtại Hthì '
A H EF EFA D H EF D H Khi đó, góc hai mặt phẳng cần tìm góc hai đường thẳng AH D H
Tam giác '
D EF có 13
2
D B
D E ,
2
D A
D F ,
2 B A
EF
Theo Hê-rơng ta có: '
61
D EF
S Suy 305
10
DEF
S D H
EF
Dễ thấy ' '
A EF D EF
' '
A H D H
Tam giác D A H có:
2 2
29 cos
2 61
HA HD A D
A HD
HA HD
Do A HD 118, 4 hay A H D H , 180118,4 61,6
Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật ABCD A B C D vào hệ trục tọa độ hình vẽ Khi A0;0;0 , B2;0;0 ,
0;3;0 ,
D C2;3;0 , A0;0; , B2;0;4 , D0;3;4 , C2;3;4
(33)1 2
29 cos
61
n n n n
Vậy giá trị gần góc 61, 6
Cách
Do hai mặt phẳng AB D A C D chứa hai đường AB C D song song với nên giao tuyến chúng song song hai đường
Kẻ A H AB, HAB, dựng hình bình hành A HKD có tâm Inhư hình vẽ
Do A D A ABB nên A D ABsuy ABA HKD góc hai mặt phẳng AB D
A C D góc AK D H
Trong tam giác vuông AAB có AH đường cao nên
2 2
1 1 1
4 16 16 A H A B AA
Vậy
5 A H
Xét tam giác A IH có cosI cosAH cos cos sin sin 29 61
A H A H
Vậy góc hai mặt phẳng AB D A C D gần 61, 6
(34)Gọi M trung điểm SA Ta có SAB cân B BM SA (1)
Vì SOABCDSOBD, lại có O trung điểm BD SBD cân S nên SDSBa SAD
cân D nên DM SA (2)
Lại có SAB SADSA (3)
Từ (1); (2); (3)SAB , SADBMD SAB , SAD180 BMD
Xét 3
3
a a
SOB OB BD
Xét
3 a
AOB OA OC
Xét 3
3
a a
SOC SC OM SC BD
Do BMD vng tạiM, vậySAB , SADBMD90, chọn D
Câu 32 Chọn C
Ta có A BC cân A Gọi I trung điểm BC
A BC' ; ABC AI A I; A IA
Theo đề ta suy
2
2
2
BC a A I a
a AI
(35)Xét tam giác vuông A AI có cos 30
'
AI A I
Vậy A BC' ; ABC30
Câu 33
Gọi O tâm đáy, K hình chiếu vng góc O SC
Do BD AC BD SAC BD SO
BD S A
, suy góc hai mặt phẳng SBD ABCDlà góc
SOA Ta có tan SA SA OA a OA
Do SC BD SC BK
SC OK
nên góc hai mặt phẳng S AC SBC BKO Ta có
2
2
2
2
2 2
tan
1 1 2
,
BO BO BO
BKO
SA AC
OK d A SC
SA AC
suy BKO600
Câu 34
Ta có tam giác ABC vng C nên BC AC 1
Vì SA ABCD BC SA 2
BC ABCD
Từ 1 , BCSAC
Trong SAC vẽ AH SC H
Ta có: AH BC BC SAC,AH SAC AH SBC
AH SC
O
C
B A
S
D
(36) AH SBC SB AH SB SBC
Trong SAB vẽ AK SB K
SB AH SB AHK SB AK
mà HK AHK nên SBHK
Ta có:
; ;
SB AK SB HK
AK SAB SBA SBC AK HK AKH
HK SBC
SB SAB SBC
SAC
vng A có đường cao AH:
2 2
2 2
1 1 1
2
AH SA AC AH a a
2 1 AH a AH a SAB
vng A có đường cao AK:
2 2
2 2
1 1 1
2
AK SA AB AK a a 2
1
4 a AK AK a AHK
vuông H:
2
2 2 2
3 3
a a a
AK AH HK Pytago a HK HK HK
AHK
vuông H cos 600
2 2 a HK AKH AKH a AK Câu 35
+ Gọi Olà giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD
Đặt ; '
2
x
AB x BC x A A
(37)2
6 10
' ' '
2
x x
A B A D x A BDcân A O' BD
2
6 10
' ' '
2
x x
C B C D x C BDcân C O' BD
+ A BD' C BD' BD
' , ' '
A O BD A O A BD
' , ' '
C O BD C O C BD
góc hai mặt phẳng A BD' và C BD' góc A O' C O' + Tính A OC' '
2
2 10
' ' '
2
x x
A O C O A B BO x
' ' A C x
A OC' ' A OC' '600
Vậy góc hai mặt phẳng A BD' và C BD' 600
Cách khác: Gắn hệ trục tọa độ Oxyzvào hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' để tìm góc hai mặt phẳng A BD' và C BD'
Câu 36
Cách 1: Gọi I A B B A ; J C D D C Ta có IJ(ADB C )(BCD A ) (1) Theo giả thiết, ta có: IJ(DCC D ) C D IJ (2)
Từ (1) (2) C D (BCD A ) (ADC B )(BCD A ) Vậy góc hai mặt phẳng (ADC B ) (BCD A ) 90
Cách 2: Mặt phẳng (DCC D ) vng góc cắt hai mặt phẳng (ADC B ) (BCD A ) theo hai giao tuyến DCvà D C
(38)Câu 37
Ta cóAMC N hình bình hành, mà tam giác AMN cân A nên MN AC Ta có ' '
BDD B cắt ba mặt phẳng ABCD, ' ' ' '
A B C D , '
AMC N theo ba giao tuyến
' '
/ / / /
BD B D MN
Hai mặt phẳng P ABCD có điểm chung A chứa hai đường thẳng song song MN, BD
nên giao tuyến chúng đường thẳng d qua A song song với MN BD,
Trên hai mặt phẳng P ABCDlần lượt có hai đường thẳng AC AC vng góc với d nên góc hai mặt phẳng P ABCD góc AC AC, góc CAC Xét tam giác C CA'
vng C có:
2
cos
2
AC BD MN a AC AC AC a
Cách 2:
Theo chứng minh MN BD// MN BD a
Đa giác AMC N nằm mặt phẳng P có hình chiếu mặt ABCD hình vng ABCD nên:
2
2
2 cos
1
2
ABCD AMC N
BD
S AB
S
AC MN AC MN
Câu 38
Do ABC A B C ' ' 'là hình lăng trụ đứng nên ta có: SABC SMNP.cosMNP , ABC
3
cos ,
4
ABC MNP S
MNP ABC
S
MNP , ABC300
N
P M
B
C A
C' B'
(39)Dạng Khoảng cách
Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Câu 39 Chọn A
Ta có BC AB BC SAB
BC SA
Kẻ AH SB Khi AH BC AH SBC AH khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC
Ta có 2 12 12 12 12 52
4
AH SA AB a a a
2
2
5
a a
AH AH
Câu 40 Chọn B
S
A
B
C H
Kẻ AH SB mặt phẳng SBC
Ta có: BC AB BC SAB
BC SA
BC AH
Vậy AH BC AH SBC
AH SB
1
,
2
a
d A SBC AH SB
Câu 41 Chọn B
a 2a
A C
B S
(40)* Gọi O ACBD G trọng tâm tam giác ABD, I trung điểm AB ta có
SI ABCD
;
2 ; ;
;
d D SAC DG
d D SAC d I SAC
IG
d I SAC
* Gọi K trung điểm AO, H hình chiếu I lên SK ta có IK AC IH; SAC
; ;
d D SAC d I SAC IH
* Xét tam giác SIK vuông I ta có: 3;
2
a BO a
SI IK
2 2 2
1 1 16 28
3
a IH IH SI IK a a a
; ; 21
7 a
d D SAC d I SAC IH
Câu 42 Chọn B
Gọi H trung điểm AB Khi đó, SH ABCD
Gọi O giao điểm AC BD suy ACBD Kẻ HK BD K(Klà trung điểm BO) Kẻ HI SH I Khi đó: d A SBD , 2d H SBD , 2HI
Xét tam giác SHK,có: 3, a
SH
2
a HK AO
Khi đó: 12 12 2 282 21
3 14
a HI HI SH HK a
O G I
A
B
D
C S
O A
C S
I
K H
O
C
D S
A
B K
(41)Suy ra: , 21 a d A SBD HI
Câu 43 Chọn C
CÁCH 1:
Ta có AB/ /CDd B SCD ; dA;SCD
Kẽ MACD M CD,kẽ AH SM SH SCDd A SCD , SH
SAa;
2 ACD ABCD
S S a
AM
CD CD
12 12 2 21
7
SM a
SH SA AM
CÁCH 2: Ta có / / ; A; A 21
2
S BCD S BCD SCD SCD
V V a
AB CD d B SCD d SCD
S S
( SCD SD; a 2;SC2 ; CDa a ) Câu 44 Chọn C
Gọi Hlà trung điểm ABSH ABSH (ABCD)
Từ H kẻ HM BD, M trung điểm BI I tâm hình vng
Ta có: BD HM BD (SHM)
BD SH
D
B C
S
A
(42)Từ Hkẻ HK SM HK BD ( Vì BD(SHM))
( ) d(H;(SBD)) HK
HK SBD
Ta có:
2 4
AI AC a
HM
2 a SH
2 2
2
4 2 21
14
2
4
a a
HM HS a
HK
HM HS a a
21 21
( ; ( )) ( ; ( )) ( ; ( )) 2
14
a a
d C SBD d A SBD d H SBD HK
Vậy: ( ; (d C SBD)) 21
a
Câu 45 Chọn D
Ta có: BC AB
BC SA
BCSAB
SAB SBC
SAB SBC SB
Trong mặt phẳng SAB: Kẻ AH SB AH d A SBC ;
2 2
1 1
AH SA AB 2
1
3
a a
42
3a
;
2 a
d A SBC AH Chọn D
Câu 46 Chọn B
Gọi , ,E F G trung điểm BD CD, trọng tâm tam giác BCD
Tam giác BCD nên suy 3
2
BC a
CE
2
3
a CG CE
Tam giác ACG vng G nên ta có
2
2 2 2
3 3
a a a
AG AC CG a AG
Vậy ,
(43)Câu 47 Chọn C
Gọi H hình chiếu A lên SD ta chứng minh AH SCD
2 2
1 1 2a
D AH
AH SA A
Câu 48 Chọn B
Ta có 2 2 12 12 12 12 12 12 12 192
3 12
AK AH AS AB AC AS a a a a
Suy
19 a
AK hay ( , ( )) 57
19
(44)Câu 49
S ABCD hình chóp tứ giác nên ABCD hình vng SOABCD Vẽ OH vng góc với CD H H trung điểm CD,
2 a OH
Dễ thấy CDSOHSCD SOH nên kẻ OK vuông góc với SH K OK SCD
,
d O SCD
OK
Tam giác vng SOH có OK đường cao nên
2 2
2
2
2
3
4
a a
OS OH a
OK
OS OH a
a
Vậy ,
3
a d O SCD
Câu 50
Do M trung điểm SC nên ; ; ;
2
d M SBD d C SBD d A SBD
Gọi H hình chiếu A lên mp SBD d A SBD ; AH
H O
D S
B
C
(45)Lại có AS AB AD, , đơi vng góc nên
2
2 2 2 2
1 1 1 1
2
2
AH AS AB AD a a a a
10 10
;
5 10
a a
AH d M SBD
Câu 51
Ta có
SA ABC
SA BC BC ABC
Trong ABC, kẻ AH BC, mà BCSABCSAHBC SH
Trong SAH, kẻ AK SH, mà SH BC AK SBC hay d A SBC ; AK Vì ABC vng Anên BC AB2AC2 2a
Mặt khác có AH đường cao nên
2
AB AC a AH
BC
Vì SAH vng A nên 2 19
2
a SH SA AH
Vậy có AK đường cao
19
SA AH a
AK
SH
Nhận xét Trong thực hành làm toán trắc nghiệm ta nên áp dụng toán sau:
Cho tứ diện OABC có OA OB OC đơi vng góc với H hình chiếu , , O lên mặt phẳng ABC Khi 2 12 12 12
OH OA OB OC
Câu 52
Gọi Mlà trung điểm BC Kẻ AH SM H
Ta có AM BCvà SABC nên BCSAMBC AH 1
A C
B S
H K
M A C
B S
(46)Mà AH SM 2
Từ 1 2 suy AH SBC Do d A SBC , AH
Xét tam giác SAM vuông A, có
2 2
1 1
AH AM AS 2
1
3
a a
2 3a
7 AH a
21
7 a
Câu 53 Chọn C
* Ta có:
;
2 ;
d B SCD BD
OD
d O SCD d B SCD ; 2.d O SCD ; 2OH Trong H hình chiếu
vng góc O lên SCD
* Gọi I trung điểm CD ta có:
; ; 60
SI CD SCD ABCD OI SI S
SCD ABCD C
D
D
IO OI C
Xét tam giác SOI vuông O ta có: tan 60 a
SOOI
Xét SOI, ta có 2 12 12 42 42 162
3
OH OI OS a a a
3
;
4
a a
OH d B SCD
Câu 54 Chọn C
60
O I
A
B C
D S
(47)Từ giả thiết suy ra:
2 AD
ABBCCD a, ACa Gọi EABCD, suy tam giác ADE
Khi C trung điểm ED ACED
Dựng AHSC AH SCD, suy d A SCD , AH Xét tam giác SAC vng A, có AH đường cao
Suy ra: 2 12 12 AH 2a
AH SA AC
Mà , ,
2 2
a
d B SCD d A SCD AH
Câu 55 Chọn C
Gọi M trung điểm củaCD, K hình chiếu H lên SM Tam giác HCD vng H có CDa
2 a HM Ta có BH / /CDd B SCD , d H SCD , HK Tam giác SHM vng H có
2
4
HM HS a HK
HM HS
(48)Câu 56 Chọn B
Gọi A' chân đường cao kẻ từ A lên BC,C' chân đường cao kẻ từ C lên AB
Gọi H giao AA’ với CC’ suy H trực tâm tam giácABC Ta dễ dàng chứng minh OH (ABC)
Do đó: d O ABC( ; ( ))OH Tính OH
Ta có: Tam giác OAA' vng O, có OH đường cao Suy : 2 12 2 '
OH OA OA (1) Lại có: Tam giác OBC vng ,B có OA' đường cao Suy ra: 2 12 2
'
OA OB OC (2) Từ (1) (2) suy ra: 2 12 12 12
OH OA OB OC Thay OAOBOC vào, ta được:
1 1
1
3 3
OH
OH
Vậy ( ; (d O ABC))OH 1
Câu 57 Cách 1: Sử dụng kiến thức lớp 11
ABCD hình thoi cạnh a, ABC60 ABC, ACD tam giác cạnh a Xét SAC vng A có: SA SC2AC2 4a2a2
(49)Kẻ AH CDHCD Suy H trung điểm cạnh CD,
2 a
AH
Kẻ AK SH KSH 1
Ta có: CD AH CD SA CD SAH
CD AK 2
Từ (1) (2) suy ra: AKSCDd A SCD , AK Xét SAH vuông A: 2 2 12
AK AH SA 2
4
3a 3a
52
3a 15 a AK
Vậy , 15
5 a
d B SCD
Cách 2: Tính khoảng cách thơng qua tính thể tích
ABCD hình thoi cạnh a, ABC60 ABC, ACD tam giác cạnh a Xét SAC vng A có: SA SC2AC2 4a2a2 a
Vì AB //DC nên AB//SDC Do , , SACD SCD V
d B SCD d A SCD
S SACD ACD V SA S
2 3 a a a
Xét SAC SAD có: AD ACa, SA chung, SACSAD90
Do SAC SADSCSD SCD cân S Gọi H trung điểm CD SH CD
Xét SHC vuông H: SH SC2 CH2
2 4 a a
15
2 a SCD
S SH CD 15
2 a a 15 a ,
d A SCD
3 15 a a 15 a
Vậy , 15
5 a
d B SCD
(50)2 3
a
SO a doSO đường cao tam giác cạnh 2a
Từ giả thiết suy tam giác BCD tam giác ABD tam giác CDOD
Ta có: CD OD CD SOD
CD SO
Trong tam giác SOD kẻ OH SD H
OH SD
OH SCD OH CD
Do ABSCDsuy d B SCD , d O SCD , OH
Nhận thấy tam giác SOD tam giác vuông cân O với ODa
2
1
3
2 2
a
OH SD a a
Câu 59 Chọn B
Gọi p q u v, , , khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB , SBC , SCD , SDA
Trong mặt phẳng SAC dựng đường thẳng qua O vng góc với đường thẳng SO cắt hai đường thẳng
,
SA SC A C', '
Trong mặt phẳng SBD dựng đường thẳng qua O vng góc với đường thẳng SO cắt hai đường thẳng
,
SB SD B D', '
Do SAC SBD , SAC SBDSO A C, ' 'SO nên A C' 'SBD
' ' ' '
A C B D
Khi tứ diện OSA B' ' có OS OA OB, ', ' đơi vng góc nên ta chứng minh
2 2
1 1
1
' '
p OS OA OB
Chứng minh tương tự: 12 12 2 2 2
' '
q OS OB OC ;
2 2
1 1
3
' '
u OS OC OD
2 2
1 1
4
' '
v OS OD OA
O
D'
C'
B' A'
D
C B
A
(51)Từ 1 , , , ta có 12 12 12 12 p u q v
Với
2
2 2
1 1 1 19 20
1; 2;
1 5 20 19
p q u d v
v v
Dựng mặt phẳng qua O, vng góc với SO, cắt đường thẳng SA SB SC SD, , , A B C D, , ,
SO A B C D
Vì SAC SBD A C B D Ta có:
2 2
1 1
1
,
d O SA B
SO OA OB 1
2 2
1 1 1
4
,
d O SB C
SO OB OC 2
2 2
1 1 1
5
,
d O SC D
SO OC OD 3
2 2
1 1 1
,
d O SD A
SO OD OA d 4 1 , , , 1 12
5 d
20
19
d
Dạng 2.2 Khoảng cách đường thẳng với đường thẳng
Câu 60 Chọn D
Ta có khoảng cách hai đường thẳng chéo BD A C khoảng cách mặt phẳng song song ABCD A B C D thứ tự chứa BD A C Do khoảng cách hai đường thẳng BD
A C a
(52)Từ B kẻ Bx AC// AC//SB Bx,
Suy d AC SB , d AC SB Bx , , d A SB Bx , , Từ A kẻ AK Bx K Bx AH SK
Do AK Bx Bx SAK Bx AH
SA Bx
Nên AH SB Bx, d A SB Bx , , AH
Ta có BKA đồng dạng với ABC hai tam giác vng có KBABAC (so le
Suy 2
5
5
AK AB AB CB a a a AK
CB CA CA a
Trong tam giác SAK có 2 12 2 12 52 92
4
a AH AH AS AK a a a
Vậy ,
3 a d AC SB
Câu 62 Chọn B
Gọi O tâm hình chữ nhật M trung điểm SA, ta có:SC//BMD Do d SC BD , d SC BMD , d S BMD , d A BMD , h
Ta có: AM AB AD, , đơi vng góc nên
x O
C D
B A
S
K H
O M
D
C B
(53)2 2 2 2
1 1 1
4 h AM AB AD a a a
Suy ra: 21
21 a
h
Câu 63 Chọn A
Ta có OBC vng cân O,M trung điểm BC OM BC
Dựng hình chữ nhật OMBN, ta có
/ /
/ /
OM BN
OM ABN
BN ABN
, , ,
d AB OM d OM ABN d O ABN
Gọi H hình chiếu vng góc O AN ta có:
BN ON
BN OAN BN OA
OH BN
mà OH AN
OH ABN
d O ABN , OH OAN
vuông O, đường cao OH
2 2
1 1
OH OA ON
12 2
OA BM
12 42
OA BC
12 2 2
OA OB OC
2 2
1
4
a a a a
2 2
3
a OH
3 a OH
,
3
a d AB OM OH
Nhận xét:
M A
O
B
C
(54)Chọn hệ trục tọa độ Oxyznhư hình vẽ, O0;0;0,B2 ; 0; 0a ,C0; ;0a ,A0; 0;a M trung điểm BC M a a ; ; 0
Ta có OMa a; ; 0;OB0; ; 0a ;AB2 ; 0;a a
2 2
, ; ;
OM AB a a a
,
,
,
OM AB OB d AB OM
OM AB
3
4 4
2
3
a a
a a a
Câu 64 Chọn C
Gọi N trung điểm BC suy MN//AC AC//OMN
;
d OM AC
d C OMN ; d B OMN ;
3
1 1
.2
3
A OBC
V a a a a
;
;
M OBC OBN A OBC OBC
d M ABC
V S
V d A ABC S
1 1 2
.
12 M OBC
V a
Xét tam giác vuông cân AOB:
2
OM AB a
M A
O
B
C
H
N M
O A
C
(55)Xét tam giác vuông BOC: 1 2 2
2 2
ON BC a a a
Xét tam giác BAC: 1 2
2
2 2
MN AC a a a
Trong tam giác cân OMN, gọi H trung điểm OM ta có NH 2
NM HM a
Suy
2
OMN
S OM NH a
Vậy
;
3 M OBN
OMN V
d B OMN a
S
Câu 65 Chọn A
+) Ta có: ,AA 30o C C
BC BC A
+) Mặt khác BC, AB CC BC
+) Gọi ABxBC 3a2x2
2 3 tan
5
a x
CC BC
ACAB.cot 30o 3x
+) Mặt khác ta có: AC2CC2 AC2 x a 2CCa 3AC'a +) Gọi P trung điểm củaB C , ta có: Do mặt phẳng MNP / / ABC nên
, , , ,
2
d MN AC d MN ABC d N ABC d A ABC
+) Kẻ A H ACA H ABC ,
2
a d A ABC A H
,
4 d MN AC a
(56)Do hình chóp S ABC nên SG đường cao hình chóp (G trọng tâm tam giác đềuABC ) Kẻ
MH SAtại Hthì MH đoạn vng góc chung SA vàBC Vậy khoảng cách hai đường thẳng SA BC MH Ta có
2
1 3
4
3
S ABC
a a
V SG SG a, 3
a AG ,
2
2
16
9
a a
SA AG SG a Ta
có 3.4
7
2.7
SG AM a a a SA MH SG AM MH
SA a
Câu 67 Chọn A
Ta có:
/ / ' ' ' '
; ' ' [ ; ' ' ' ' ] '
' ' ' ' ' '
ABCD A B C D
BD ABCD d BD A C d ABCD A B C D AA a A C A B C D
Câu 68
Ta có
/ /
/ / , , ,
BC AD
BC SAD d BC SD d BC SAD d B SAD
BC SAD
Có SAABCDSAAB
A
S
C
B
M G
(57)Ta có ,
BA AD
BA SA BA SAD d B SAD BA SA AD A
Xét tam giác vuôngBAC BA, AC2BC2 5a22a2 a Vậy d B SAD , a 3d BC SD , a
Câu 69 Chọn D
Gọi M N, trung điểm cạnhAB CD, ; H hình chiếu vng góc O SN Vì AB CD// nênd AB ,SCd AB SCD , ( )d M SCD , ( )2d O SCD , ( ) (vì O trung điểm đoạn
MN)
Ta có CD SO CD (SON) CD OH
CD ON
Khi CD OH OH (SCD) d O SCD ; ( ) OH
OH SN
Tam giác SON vuông O nên 2 12 12 12 12 52
5
a OH a
OH ON OS a a
Vậy ,SC 2
5 a
d AB OH
Câu 70 Chọn A
Ta có BC B C// BC//AB C
I
A C
B
C'
B' A'
H
S
B
A D
C O
M N
(58)Gọi I H hình chiếu vng góc A B C AI
Ta có B C A I B C A A nên B C A AI B C A H mà AIA H Do AB C A H
Khi d A ,AB C A H
2
A A A I A A A I
2
2 a a
a a
21 a
Vậy khoảng cách cần tìm 21
7 a
Câu 71 Chọn B
Khơng tính tổng quát, giả sử a1
Gọi H trung điểm AB Kẻ HM BC M BC; HN SM NSM
Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy nên SH ABCD
Áp dụng định lý hàm số cos : 2 1
2 cos120 2.1
4 2
DH DA AH DA AH
2 DH
Theo đề bài: SDH 60 tan 60 21
2
SH DH
Lại có: sin 60 3
2
HM HB
Ngoài ra: BC SHMBCHN HN SBC; 2 12 2 116
21
HN SH HM
609
58 HN
Chú ý AD//SCB nên khoảng cách AD SC khoảng cách A mặt phẳng SBC, lần khoảng cách từ H (theo định lý Ta-let), 609
29 d HN
(59)Gọi hình chiếu mặt đáy Vì nên HAHBHCHD Suy hình bình hành nội tiếp đường trịn tâm Vì hình chữ nhật
Kẻ vng góc với (1)
Ta có (2)
Từ (1) (2) ta có:
Kẻ vng góc với
Ta có:
Ta có:
Câu 73 Chọn D
Gọi I AB'A B' ; H trung điểm BC
// ' ' // ( ' )
IH A C A C B AH
A C AB' ; ' A B AH';( ' ) B B AH;( ' )
d d d
Kẻ , với
H S SA SB SCSD6
ABCD H ABCD
KP SA P
BK AC
BK SAC BK KP
BK SH
( , )
d SA BK KP
HQ SA Q
2 2
1 119
,
2 2
AH AC AB BC SH SA AH
119
24 SH HA
HQ
SA
2
2
32
.2
25
KP KA KA AC KA AC AB
HQ HA AC HA AC AC
32 119
( , )
25 15
d SA BK KP HQ
(60)Chứng minh: ;( ' )
2 2
2
' 2
( ' )
17 '
(2 )
B B AH
a a
B B BH a
BK B AH d BK
B B BH a
a
Vậy ( ' ; ')
17 A C AB
a
d
Câu 74 Chọn B
; 45
SC ABC SCH
Ta có:
3
BH AB
2 4
2 cos .4.cos 60
3 3
CH BH BC BH BC HBC
2 34 tan 45
3
SH CH
Dựng hình thoiACBD(với D đỉnh thứ hình thoi)
/ / / /
AD BC BC SAD
Vậy ; ; ; ;
2
d SA BC d BC SAD d B SAD d H SAD
Gọi M trung điểm ADBMAD(ΔDAB đều) Từ H dựngHI/ /BMHIAD
Ta có: AD HI AD SIH SAD SIH
AD SH
Từ H dựng HKSIHKSAD
Vậy d H SAD ; HK
Ta có:
8
3
/ /
4
AH HI BM AH
HI BM HI
AB BM AB
2 2
4
3 3 210
15
4
3
SH IH SH IH
HK
SI SH HI
(61) ; BC 210
2
d SA HK
Câu 75 Ta có
, SA AB
SAB SA AB SAB
SA A BC BC
B B
C A
Trong SAB, dựng BH SM cắt SM H Ta có
,
BH SM
d SM BC BH d BH
BH BC
Ta có BMH SMA BH BM BH SA BM 1
SA SM SM
∽
Xét ABC vng B có sinB A AB AB sin 600 AC
C
3
AM BM
Xét SAM vng A có
2
2 2
2
7
4
1
SM SA AM SM
Thế vào 1 , ta có
3
3 21
2 .
7
7
2 SA BM BH
SM
Cách 2: (Nguyễn Văn Thịnh)
(62)Gọi N trung điểm AC
Ta có BC//SMNd BC SM , d BC SMN , d B SMN , d A SMN , Kẻ AHSM , HSM , ta có AHSMNd A SMN , AH
Ta có AB AC.sinC2.sin 60 3
2
AM
Xét tam giác SAM vuông A có AH đường cao, suy
2
21
7 SA AM
AH
SA AM
Vậy , 21
d BC SM
Câu 76
Gọi M trung điểm CD, Olà trung điểm BD Do S ABCD khối chóp tứ giác nên ABCDlà hình vng SOABCD
Do
2
3 3
ABCD S ABCD
S SO a SO a b
(63)
BE // CD BE // SCD
BE // GF BEFG SCD GF
mà BE// CDGF // CD Do G trọng tâm SCD nên
3
SG
SM mà GF CD// nên
2
GF SF SG DM SD SM
Trên tia đối tia DClấy điểm Nsao cho
DN GF DM Từ ta có DNFG BENDlà hai hình
bình hành BDG // NEF
Trên đoạn thẳng OD lấy điểm K cho
KD DF
OD SD , từ ta có FK SO// mà SOABCD suy
( )
FK ABCD
Hạ KPEN KH PF , FK (ABCD) nên FK KP
Do EN KP EN FKP EN KH
EN FK
mà KH PF suy KH NEF
Khi đó: d DG , EFd DG NEF , dBDG , NEFd K ,NEFKH
Ta có: 2
3 3
CD CD a BE GF MD
Do FK SO// nên
FK DF
SO DS , suy
1
3
b FK SO
Hạ EJBD Do // , , EJ BD KP sin 45 2
3
a a
EN BD KPEN EJ BE Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông FKP với đường cao KH ta có:
2
2
2 2 2 2 2
9
1 1 1
3 2
3 6
b a ab
KH
KH KF KP b a a b b a
Vậy
2 , EF ab d DG b a
Câu 77 Cách 1:
Gọi H trung điểm AB
Vì SAB ABC nên SH ABC
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với OH , HBOx, HCOy, HSOz
(64)Ta có: 2 HC AC AH a;
tan
AH
SH a
ASH
Khi đó: H0 ; ; 0, S0 ; 0;a, Aa ; 0; 0, B a ; 0; 0, C0 ;3 ; 0a , 0;3 ; 2
a a M
,
9 0; ;
4 a a N
Suy ra: ;3 ;
2 a a AM a
, ;9 ;
4 a a BN a
, AB2a ; 0; 0,
2 2
3 3 15
, ; ;
4 4
a a a
AM BN
Khoảng cách hai đường thẳng AM BN,
3 3
, 2 237
2 , 79 711 , a
AM BN AB a
d AM BN
a AM BN Cách 2:
Gọi P trung điểm AC, G trọng tâm tam giác ABC Kẻ NK/ /SH, KHC; EK/ /AC, EBP
Suy ra: NP/ /AM AM/ /NPBd AM BN , d M ,NPBd C ,NPB
Ta có: NK/ /SH nên
1
1 4
5
8
a NK SH NK KC CN
GK SH CH CS
GC / /
EK AC nên 5
8 8
EK GK a
EK PC
PC GC
2 79
8 a
NE NK EK ; BPHC3a
Vì: KN BP BO NPB BP EN
KE BP
Diện tích tam giác NBP là: 79
2 16
NBP
a
S NE BP
Thể tích tứ diện N CPB là:
3
1 1 1
, SH PC a 3a a
3 24
N CPB CBP
a
V d N ABC S BP
(65)Khoảng cách từ C đến NBP là: 237 ,
79 N CPB
NBP
V a
d C NBP
S
Vậy khoảng cách hai đường thẳng AM BN, 237 79 a
Cách 3:
Kẻ KI NE, INE
Khi đó: / / / / , , , ,
5
NP AM AM NPB d AM BN d M NPB d C NPB d K NPB Ta có: KI NE KI NPB d K ,NPB KI
KI BP
Suy ra: / / / / ,
5
NP AM AM NPB d AM BN KI
Trong tam giác vng NKE ta có: 12 12 12 12642 237 , 237
75 316 79
a a
KI d AM BN
KI KN KE a
Câu 78
Gọi ,I G trung điểm AC trọng tâm tam giác ABC Ta có DGABC
3
ABCD ABC
V DG S
Gọi N trung điểm AD MN||AC AC||BMN
, , , ,
d AC BM d AC BMN d A BMN d N BMN h
Gọi K trung điểm MN, ta có 1 2 11
2 16
BMN
S BK MN BM MK MN
Ta có: DACB 2.2.1 DNMB
V DA DC DB
V DN DM DB
1
4VDACB VDBMN
16 h SBMN
9 11 22
16 h 16 h 11
(66)Gọi H trung điểm AB, vẽ HECD E, HK SE K Ta có SBC nên BC11, SAC vng cân S nên AC11 Trong SAB, AB2 SA2SB22SA SB .cos120AB11
ABC
có AB2 AC2BC2 nên ABC vng C, từ H tâm đường tròn ABC
SH ABCD
CDSHECDHK HK SCD Ta có d AB SD , AB SCD, H,SCDHK
Ta có HEd A CD ,
2
AC AD AC AD
2
11 2.11 11 2.11 11
, 11
2
SA
SH
2
SH HE HK
SH HE
11 11
2 22
121 121.2
4
Vậy d AB SD , 22
Câu 80
Gọi H hình chiếu vng góc A lên (BCD) Khi ta có H trực tâm tam giác BCD
Với đường thẳng nằm (BCD) ( ; )d A AH.Do đường thẳng thỏa mãn phải qua
điểm H
Kẻ HK AD K( AD)khi H K, hai điểm cố định nằm &AD A
B
C
D
H
(67)Hiển nhiên, khoảng cách &AD độ dài đoạn vng góc chung chúng nên ( ;d AD)HK Dấu xảy HK
Ta có 2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 14
( ) ( )
3
a a
AH AB AC AD a a 14
a AH
Ta có: cos sin 13 sin 13
14
14 14
AH a
HAK HAK HK HA HAK
AD
3
14
a a
d
Câu 81 Chọn D
Do SBSC11
60
SBC nên SBC đều, BC11
Ta lại có, SA SC11 SCA450 nên SAC
vuông cân S, hay AC11
Mặt khác, SA SB11 SAB 300 nên 11
AB
Từ đó, ta có AB2 BC2 AC2 suy ABC vuông C
Gọi H trung điểm AB Khi đó, H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Vì SA SB SC nên
( ) SH ABC
Gọi M điểm CD cho HM AB, suy
HM CD Gọi N chân đường vng góc hạ từ C xuống AB Khi đó, HM/ /CN HM CN Do
ABC
vng C nên theo cơng thức tính diện tích ta có:
2
11
3 CA CB
HM CN
CA CB
Ta lại có, 11
2
CH AB nên 2 11
SH SC CH
Trong tam giác vuông SHM, dựng đường cao HI (ISM), suy HI (SCD) Khi đó,
2
( , ) ( , ( )) ( , ( )) SH HM 22
d AB SD d AB SCD d H SCD HI
SH HM
Vậy d AB SD( , ) 22 Câu 82
(68)1. Vẽ hình hộp, yếu tố vẽ hình quan trọng, giúp bạn tư “nét” cho tốn Các cạnh hình hộp góc phẳng đỉnh A 60 cho ta thêm kiện hình hộp xiên có đáy hình thoi
2. Kiến thức khoảng cách hai đường thẳng chéo a b
Cách 1: Là độ dài đoạn vng góc chung a b
HK a; HK bd a b( , )HK a
Cách 2: Là khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại / /a
, bI, P b,d a b , d a P , d A P , AH
Cách 3: Là khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng cho
, , ,
(69)Trong trình dẫn dắt lời giải toán ta giới thiệu cách xác định khoảng cách
Cách sử dụng tốn cách Tính khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song với đường thẳng
3 Kiến thức khoảng cách từ điểm đến đến mặt phẳng Không xác định trưc tiếp khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng mà xác định gián tiếp từ điểm khác mà ta nhìn khoảng cách dễ dàng hơn, gọi
đổi điểm.
; ;
d A C AB d A C ACB d C ;ACBd B ACB ;
4. Thu gọn tốn tính u tố hình hộp xiên sang tính yếu tố hình tứ diện Hay ta có tốn đơn giản có nhiều cách giải
Tính chiều cao hạ từ đỉnh B tứ diện BACB biết góc đỉnh B CBB 60,
120
B BA ABC cạnh bên BABCBBa
(70)Định lí hàm số cosin:
Cho ABC có ABc, ACb, BCa với góc tam giác A,B,C ta có:
2 2
2 cos
a b c bc A
Các cơng thức tính diện tích tam giác:
1
4
ABC a abc
S h a
R
(ha chiều cao tam giác hạ từ đỉnh A; R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC ), từ tính chiều cao tứ diện
Sau phân tích tốn, học sinh tự trình bày lời giải sau:
Có AC/ /A C A C / /AB C ; ;
d A C AB d A C ACB
d C ;ACBd B ACB ; Xét tứ diện B ACB có
+) BABC BB1 nên điểm B nằm trục đường tròn ngoại tiếp ACB Suy BOACB tâm O đường tròn ngoại tiếp ACB
+) CBB 60, B BA ABC120 nên áp dụng định lý hàm số cosin tam giác B BA ABC ta có AB AC
;
(71)
4
ACB
AB CB AC AH B C S
R
1
3 4
4R
11
R
11 11
BO
22 11 BO
; d A C AB OB
Vậy khoảng cách hai đường thẳng AB A C 22 11 Đáp án cần chọn A
Nhận xét
Bài toán giúp người học ôn lại
+) Kiến thức khoảng cách không gian +) Hệ thức lượng tam giác giải tam giác
Và quan trọng biết chuyển từ tốn hình hộp xiên sang hình tứ diện, biết độ dài cạnh Khai thác tốn
Vẫn với hình vẽ phần lời giải toán ban đầu, số toán tương tự với hướng dẫn kèm theo cho học sinh ôn luyện
Dạng 2.3 Khoảng cách đường với mặt
Câu 83 Ta có: AB AD
AB SD
nên ABSAD
Kẻ DH SAtại H Do DH SAD nên ABDH Ta có: DH SA DH SAB
DH AB
Do DC/ /AB nên DC/ /SAB
Vậy khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng SABlà DH Xét SAD vuông D có: 2 12 2
DH SD AD 2 2
1
4
2 a a
a
2 a DH
Khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng SABlà a
(72)Gọi O tâm hình vng Ta có: MO/ /SBSB/ /(ACM) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))
d SB ACM d B ACM d D ACM
( O trung điểmBD)
Gọi I trung điểm AD / / ( )
( , ( )) ( , ( ))
MI SA MI ABCD d D ACM d I ACM
Trong (ABCD)kẻ IK ACtại K Trong (MIK)kẻ IH MKtại H (1)
Ta có: ACMI AC, IK AC(MIK) ACIH(2)
Từ (1) & (2) IH (ACM)d I( , (ACM))IH
Trong tam giác MIK ta có:
2
IM.IK IH=
IM +IK
Biết
2
2
2 4
,
2 4
8
a a
SA OD BD a a
MI a IK IH
a a
Vậy: ( , ( ))