Các dạng toán góc và khoảng cách thường gặp trong kỳ thi THPTQG

Câu 60.. Do hình chóp S ABC. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng MH.. Gọi là hình chiếu của trên mặt đáy. Suy ra hình bình hành nội tiếp trong đường tròn tâm. [r]

CHUYÊN ĐỀ

GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

MỤC LỤC

PHẦN A CÂU HỎI

Dạng Góc

Dạng 1.1 Góc đường thẳng với mặt phẳng

Dạng 1.2 Góc đường thẳng với đường thẳng

Dạng 1.3 Góc mặt với mặt

Dạng Khoảng cách

Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Dạng 2.2 Khoảng cách đường thẳng với đường thẳng 11

Dạng 2.3 Khoảng cách đường với mặt 15

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 15

Dạng Góc 15

Dạng 1.1 Góc đường thẳng với mặt phẳng 15

Dạng 1.2 Góc đường thẳng với đường thẳng 25

Dạng 1.3 Góc mặt với mặt 27

Dạng Khoảng cách 39

Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 39

Dạng 2.2 Khoảng cách đường thẳng với đường thẳng 51

Dạng 2.3 Khoảng cách đường với mặt 71

PHẦN A CÂU HỎI Dạng Góc

Dạng 1.1 Góc đường thẳng với mặt phẳng

Câu1 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng C,

ACa, BC 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy

A. 60 B. 90 C. 30 D. 45

Câu2 (Mã đề 102 BGD&ĐTNĂM 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA

vng góc với mặt phẳng đáy SA 2a Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy

A. 45 B. 60 C. 30 D. 90

Câu3 (Mã102-BGD-2019)Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng



ABC



, SA2a

Góc đường thẳng SC mặt phẳng



ABC



A. 30 B. 60 C. 45 D. 90

Câu4 (Mã đề 101 BGD&ĐTNĂM 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA

vng góc với mặt phẳng đáy SB2a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy

A. 45 B. 60 C. 90 D. 30

Câu5 (Mã103-BGD-2019)Cho hình chóp S ABC cóSAvng góc với mặt phẳng



ABC



SA 2a

Tam giácABC vuông cân B ABa( minh họa hình vẽ bên)

Góc đường thẳng SC mặt phẳng



ABC



A. 45 B. 60 C. 30 D. 90

Câu6 (Mãđề101-BGD-2019)Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng



ABC



, SA2a

, tam giác ABC vuông B, ABa BCa (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC

và mặt phẳng



ABC



bằng:

A. 45 B. 30 C. 60 D. 90

Câu7 (ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐT2018)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh

a Gọi M trung điểm SD (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng B M mặt phẳng



ABCD



A C

A.

2 B.

3

3 C.

2

3 D.

1

Câu8 (Mãđề104-BGD-2019)Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng



ABC



, SA2a

, tam giác ABCvuông cân B ABa (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng



ABC



A. 30o B. 90o C. 60o D. 45o

Câu9 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA



ABCD



a

SA Tính góc

SC mặt phẳng



ABCD



?

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Câu10 (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD hình vng cạnh a SA



ABCD



Biết

a

SA Tính góc SC



ABCD



A. 30 B. 60 C. 75 D. 45

Câu11 (THPTTHIỆUHĨA–THANHHĨANĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD , đáy

ABCD hình vng cạnh a SA



ABCD



Biết SAa Tính góc SC



ABCD



A. 45 B. 30 C. 60 D. 75

Câu12 (SỞGIÁODỤCĐÀOTẠOVĨNHPHÚCNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp tứ giác

S ABCD có tất cạnh 2a Gọi M trung điểm SD Tính tancủa góc đường thẳng BM

và mặt phẳng



ABCD



A.

2 B.

3

3 C.

2

3 D.

1

Câu13 (CỤMLIÊNTRƯỜNGHẢIPHỊNGNĂM2018-2019)Cho khối chóp S ABC có SA



ABC



, tam giác ABC vng B, AC2a, BCa, SB2a Tính góc SA mặt phẳng



SBC



A. 45 B. 30 C. 60 D. 90

A

B C

D S

M

A C

Câu14 (CHUNHÙNGVƯƠNGGIALAINĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SAa Gọi  góc SD



SAC



Giá trị sin

A.

4 B.

2

2 C.

3

2 D.

2

Câu15 (SỞGD&ĐTBẮCGIANGNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác cạnh a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SCtạo với mặt phẳng đáy góc 60, gọi M trung điểm BC Gọi  góc đường thẳng SM mặt phẳng



ABC



Tính cos

A. cos

3

  B. cos

3

  C. cos

10

  D. cos

10

 

Câu16 (THPTCHUYÊNBẮCNINHLẦN01NĂM2018-2019)Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vng 1và B ABBCa AD, 2a Biết SA vng góc với đáy (ABCD)và SAa Gọi M N,

lần lượt trung điểm SB CD, Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng (SAC)

A. 5 B. 55 10 C. 10 D. 5

Câu17 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác

S ABCDcó ABa, O trung điểm ACvà SO b Gọi

 

 đường thẳng qua C,

 

 chứa mặt phẳng



ABCD



khoảng cách từ O đến

 

 14

6

a

Giá trị lượng giác cos





SA

  

, 



A.

2

2

3

a b  a

B.

2

2

3

a a  b

C.

2

3

a a  b

D.

2

3

a b  a

Câu18 (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,

,

ABa ADa Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Cosin góc đường thẳng SD mặt phẳng



SBC



A. 13 B. C. 5 D.

Câu19 (SỞGD&ĐTHÀNỘINĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng C,

CH vng góc với AB H, I trung điểm đoạn HC Biết SI vng góc với mặt phẳng đáy,

 90

ASB  Gọi O trung điểm đoạn AB, O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI Góc tạo đường thẳng OO mặt phẳng



ABC



A. 60 B. 30 C. 90 D. 45

Câu20 (SỞGD&ĐTBẮC NINHNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC 60 Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng



ABCD



trùng với trọng tâm tam giác ABC, gọi  góc đường thẳng SB mặt phẳng



SCD



, tính sin biết SBa

A. sin

2

 B. sin

4

  C. sin

2

  D. sin

2 

Câu21 (ĐỀTHAM KHẢOBGD&ĐT 2018)Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với OAOB OC Gọi M trung điểm B C ( tham khảo hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng O M AB

A. 450 B. 900 C. 300 D. 60

Câu22 (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện ABCD với

 

3

, 60 ,

2

AC AD CABDAB CD AD Gọi  góc hai đường thẳng AB CD Chọn khẳng định góc 

A.

4

cos B. 300 C. 600 D.

4 cos

Câu23 (TRƯỜNGTHPTHOÀNGHOATHÁMHƯNGYÊNNĂM2018-2019)Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D   , biết đáy ABCD hình vng Tính góc A C BD

A. 90 B. 30 C. 60 D. 45

Câu24 (CHUYÊNKHTNNĂM2018-2019LẦN01) Cho tứ diện ABCD cóABCD2a GọiM , N trung điểm ADvà BC Biết MN a 3, góc hai đường thẳng AB CD

A. 450 B. 900 C. 600 D. 300

Câu25 (CHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNHPHÚYÊNNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình lập phương

ABCD A B C D   ; gọi M trung điểm B C  Góc hai đường thẳng AM BC

A. 45 B. 90 C. 30 D. 60

Dạng 1.3 Góc mặt với mặt

Câu26 (ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐT2018)Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có AB2 AA 2 Gọi M N P, , trung điểm cạnh A B A C ,   B C (tham khảo hình vẽ bên) Cơsin góc tạo hai mặt phẳng



AB C 





MNP



A D

C B

A' D'

A. 17 13

65 B

18 13

65 C

6 13

65 D

13 65

Câu 27 (Mãđề102BGD&ĐTNĂM2018)Cho hình lập phương ABCD A B C D     có tâm O Gọi I tâm hình vng A B C D    M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho

2

MO MI (tham khảo hình vẽ) Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng (MC D ) (MAB)

A 7 85

85 B

6 85

85 C

17 13

65 D

6 13 65

Câu 28 (Mãđề101BGD&ĐTNĂM2018)Cho hình lập phương ABCD A B C D     có tâm O Gọi I tâm hình vng A B C D    M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO2MI (tham khảo hình vẽ) Khi cơsin góc tạo hai mặt phẳng (MC D ) (MAB)

A 7 85

85 B

17 13

65 C

6 13

65 D

6 85 85

Câu 29 (SỞGD&ĐTBẮCGIANGNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, ADSA2a, SA



ABCD



Tính tang góc hai mặt phẳng



SBD



(ABCD)

A

2 B C

1

5 D

2

Câu 30 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có cạnh AB2, AD3;AA4 Góc hai mặt phẳng



AB D 





A C D 



 Tính giá trị gần góc



?

P

N M

C'

B' A'

C

A. 45, 2 B. 38,1 C. 53, 4 D. 61, 6

Câu31 (KSCLTHPT NGUYỄN KHUYẾNLẦN05 NĂM2018-2019) Cho hình chóp SABCD có đáy

ABCD hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng



ABCD



Biết ABSBa,

6 a

SO Tìm số đo góc hai mặt phẳng



SAB





SAD



A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Câu32 (TRƯỜNGTHPTLƯƠNGTÀISỐ2NĂM2018-2019)Cho lăng trụ tam giác ABC A B C   

có diện tích đáy 3a2(đvdt), diện tích tam giác A BC 2a2 (đvdt) Tính góc hai mặt phẳng



A BC





ABC



?

A. 120 B. 60 C. 30 D. 45

Câu33 (SỞGD&ĐTQUẢNGNINHNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

là hình vng có độ dài đường chéo a SA vng góc với mặt phẳng



ABCD



Gọi  góc hai mặt phẳng



SBD





ABCD



Nếu tan  góc



S AC





SBC



A. 30 B. 90 C. 60 D. 45

Câu34 (THPTGIALỘCHẢIDƯƠNGNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp SABCDcó đáy hình

thang vuông ABCD A D, cạnh bên A vng góc với mặt phẳng đáy SAa Cho biết

2 2

AB AD DC a Tính góc hai mặt phẳng



SBA





SBC



A. 300 B. 600 C. 450 D. arcsin

4      

Câu35 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

ABCD A B C D có mặt ABCD hình vng, '  AB

AA Xác định góc hai mặt phẳng



A BD'



và



C BD'



A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Câu36 (THPTGANGTHÉPTHÁINGUYÊNNĂM2018-2019)Cho hình lập phương ABCD A B C D    

Góc hai mặt phẳng (ADC B ) (BCD A )

A. 30 B. 45 C. 90 D. 60

Câu37 (ĐỀ 01ĐỀ PHÁT TRIỂNĐỀ THAM KHẢOBGD&ĐT NĂM2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có đáy ABCD hình vng, AC a Gọi

 

P

mặt phẳng qua AC cắt BB DD,  M N, cho tam giác AMN cân A có

MN a Tính cos với 



  

P , ABCD





A.

2 B.

1

2 C.

1

3 D.

3

Câu38 (THPTHÀMRỒNGTHANHHÓANĂM2018-2019LẦN1)Cho lặng trụ đứng ABC A B C    có diện tích tam giác ABC Gọi M,N ,P thuộc cạnh AA,BB,CC, diện tích tam giác

MNP Tính góc hai mặt phẳng



ABC





MNP



Dạng Khoảng cách

Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Câu39 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng đỉnh B,

ABa, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng



SBC



A.

5

a

B a

C 2

a

D 5 a

Câu 40 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng đỉnh B, ABa, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng



SBC



A.

3 a

B 2 a

C

2

a

D a

Câu 41 (Mã103-BGD-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ

D đến mặt phẳng



SAC



bằng

A 2 a

B 21

7 a

C 21

14 a

D 21

28 a

Câu 42 (Mãđề101-BGD-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng



SBD



A

B

D

A. 21 14

a

. B 21

7 a

C

2 a

D 21 28 a

Câu 43 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD 60o, SAa SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến



SCD



bằng?

A 21

a

B 15

3 a

C 21

7 a

D 15

7 a

Câu 44 (Mã102-BGD-2019)Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)

A. 21

14 a

B

a

C 21

a

D 21 28

a

Câu 45 (MĐ103BGD&ĐTNĂM2017-2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Khoảng cách từ A đến mặt phẳng



SBC



A.

6 a

B 3 a

C a

D a

Câu 46 (THPTCHUYÊNVĨNHPHÚCNĂM2018-2019LẦN01)Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng



BCD



A a

B

3 a

C 3

2 a

D 2a

Câu 47 (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp SABCD có



D



SA ABC , đáy ABCDlà hình chữ nhật Biết AD2a,SAa Khoảng cách từ A đến



SCD



bằng: A 3a

7 B

3a

2 C

2a

5 D

2a 3

Câu 48 (THPTCHUNLAMSƠNTHANHHĨANĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chop S ABC

A. 57

19

a

B. 57

19

a

C.

19

a

D. 38

19

a

Câu49 (THPT HÙNGVƯƠNGBÌNH PHƯỚC NĂM2018-2019LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác

S ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Tính khoảng cách d từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên theo a

A.

3 a

d  B.

2 a

d  C.

2 a

d  D.

3 a d 

Câu50 (CHUNTRẦNPHÚHẢIPHỊNGNĂM2018-2019LẦN02)Cho khối chóp S ABCD có đáy

ABCD hình vng cạnh a, SA



ABCD



SAa 2 Gọi M trung điểm cạnhSC Khoảng cách từ

điểm M đến mặt phẳng



SBD



A. a B. 10 10 a C. 2 a D. 10 a

Câu51 (THPTGANG THÉPTHÁI NGUYÊNNĂM2018-2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC

là tam giác vuông A, AB a, AC a 3; SA vng góc với đáy, SA2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng



SBC



A.

7 a

B.

7 a

C.

19 a

D.

19 a

Câu52 (THPTCHUYÊNSƠNLANĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SAa SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng



SBC



bằng:

A.

2 a

B.

7 a

C. 21

7 a

D. 15

5 a

Câu53 (THPTLÊVĂNTHỊNH BẮCNINHNĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABCD , cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng



SCD



A. a B. a C. a D. a

Câu54 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM2018-2019 LẦN01) Cho hình chóp S ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD với SAa Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD

A. a B. a C.

2 a

D.

2 a

Câu55 (THPTMINHCHÂU HƯNGYÊNNĂM2018–2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD

là hình thang vng Avà B, ABBCa, AD2 a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AD

2 a

SH  Tính khoảng cách d từ Bđến mặt phẳng



SCD



A.

8 a

d  B. d a C.

4 a

d  D. 15

Câu56 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện

O ABC có OA OB OC, , đơi vng góc với OAOBOC Khoảng cách từ O đến mp ABC( )

là

A.

3 B.1 C.

1

2 D.

1

Câu57 (THPT CẨM GIÀNG2 NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC60 Cạnh bên SA vng góc với đáy, SC2a Khoảng cách từ B đến mặt phẳng



SCD



là

A. 15

5 a

B.

2 a

C.

5 a

D. 30

3 a

Câu58 (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp

S ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, góc BAD60, SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc

với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ Bđến mặt phẳng



SCD



A.

2 a

B.

2

a

C.

2 a

D. a

Câu59 (KTNLGVTHUẬNTHÀNH 2BẮCNINHNĂM2018-2019)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O; mặt phẳng



SAC



vng góc với mặt phẳng



SBD



Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng



SAB

 

, SBC

 

, SCD



1; 2; Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng



SAD



A. 19

20

d  B. 20

19

d  C. d  D. 2 d 

Dạng 2.2 Khoảng cách đường thẳng với đường thẳng

Câu60 (ĐỀTHAM KHẢOBGD&ĐT2018) Cho lập phương ABCD A B C D     có cạnh a ( tham

khảo hình vẽ bên ).Khoảng cách hai đường thẳng BD A C 

A.

2 a

B. 2a C. 3a D. a

Câu61 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ình chữ nhật,

, ,

ABa BC a SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Khoảng cách hai đường thẳng AC

SB

A.

2 a

B.

3 a

C. a

Câu62 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, ABa,

BC  a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Khoảng cách hai đường thẳng BD, SC

A. 21

21 a

B. 21

21 a

C. 30

12 a

D. 30

6 a

Câu63 (Mã đề104 BGD&ĐTNĂM 2018)Cho tứ diện O ABC có OA OB OC, , đơi vng góc với nhau,OAa OBOC 2a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng OM

AB

A.

3 a

B. a C.

5 a

D.

2 a

Câu64 (MĐ103BGD&ĐT NĂM2017-2018)Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OAOBa, OC2a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng

OM AC

A.

5 a

B.

2 a

C.

3 a

D.

3 a

Câu65 (GKITHPTVIỆTĐỨCHÀNỘINĂM2018-2019)Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC

là tam giác vuông A với ACa Biết BC hợp với mặt phẳng



AA C C 



góc 30o hợp với mặt phẳng đáy góc  cho sin

4

 Gọi M N, trung điểm cạnh BB vàA C  Khoảng cách MN AC là:

A.

4 a

B.

6 a

C.

4 a

D. a

Câu66 (THPTCHUNLAMSƠNTHANHHĨANĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABC , có SASBSC, đáy tam giác cạnh a Biết thể tích khối chóp S ABC

3

3

a

Khoảng cách hai đường thẳng SA BC bằng:

A.

7 a

B. 13

13

a

C.

7 a

D.

4

a

Câu67 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a (tham khảo hình vẽ)

Khoảng cách hai đường thẳng BD A C' '

D

A

C

B

D'

B'

A. a B. 2a C.

2 a D. 3a

Câu68 (CHUNLÊQĐƠNQUẢNGTRỊNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có





SA ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật với ACa BC a Tính khoảng cách SD

BC

A.

2 a

B. a C.

3 a

D.

4 a

Câu69 (THPTLÊVĂNTHỊNHBẮCNINHNĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

là hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với mặt phẳng



ABCD



SOa Khoảng cách SC

AB

A.

15 a

B.

5 a

C.

15 a

D.

5 a

Câu70 (THPTLÊ VĂNTHỊNHBẮCNINH NĂM2018-2019)Cho lăng trụ tam giác ABC A B C   

có tất cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng BC AB

A. 21

7 a

B.

2 a

C.

4 a

D.

2 a

Câu71 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD hình thoi cạnh a, ACa Tam giác SAB cân Svà nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC, biết góc đường thẳng SD mặt đáy 60

A. 906

29 a

B. 609

29 a

C. 609

19 a

D. 600

29 a

Câu72 (KTNLGIABÌNHNĂM2018-2019)Cho hình chóp , đáy hình bình hành có

4,

AB BC  ,SA SB SCSD6 hình chiếu vng góc xuống Tính độ dài d đoạn vng góc chung

A. 119

11 B.

4 229

13 C.

259

5 D.

4 119 15

Câu73 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ tam giác

ABC A B C   có ABa, AA 2 a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB A C

A.

2 a

B.

5 a C. a D.

2 17 17 a

Câu74 (THPTLÊQUYĐƠNĐIỆNBIÊNNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh bẳng 4, góc SC mặt phẳng



ABC



45 Hình chiếu S lên mặt phẳng



ABC



điểm H thuộc cạnh AB cho HA2HB Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC

S ABCD ABCD

K B AC

A. 210 45

d B. 210

5

d C. 210

15

d D. 210

15

d

Câu75 (SỞGD&ĐTNINH BÌNHLẦN01NĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC

vuông B, C 60, AC 2, SA



ABC



, SA1 Gọi M trung điểm AB Khoảng cách d

SM BC

A. 21

7

d  B.

7

d  C.

3

d  D.

3

d 

Câu76 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho khối chóp tứ giác

S ABCD tích

2

3

a b

với ABa Gọi Glà trọng tâm tam giác SCD, cạnh AB SD, lấy điểm ,E F cho EFsong song BG Khoảng cách hai đường thẳng DG EF

A.

2 2

ab b a

B.

2 2

ab b a

C.

2

2

3 a b b a

D.

2

ab b a

Câu77 (TRƯỜNGTHPTHOÀNGHOATHÁMHƯNGNNĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a 3, mặt bên SAB tam giác cân với ASB120 nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , BN

A. 327 79

a

B. 237

79 a

C. 237

79 a

D. 237

316 a

Câu78 (CHUYÊNBẮCNINHNĂM2018-2019LẦN03)Cho tứ diện đềuABCD có cạnh cm Gọi

M trung điểm CD Khoảng cách AC BM là:

N M

C

B A

A. 11

11 cm B.

3 22

11 cm C.

3

11 cm D.

2 11 cm

Câu79 (TRƯỜNGTHPTLƯƠNGTÀISỐ2NĂM2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SASBSC11, SAB30, SBC60 SCA 45 Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB SD?

A. d 4 11 B. d 2 22 C. 22

2

d D. d 22

Câu80 (THCS-THPTNGUYỄNKHUYẾNNĂM2018-2019LẦN01)Cho tứ diện ABCD có cạnh

, ,

AB AC AD vuông góc với đơi AD 2AC 3AB a Gọi  đường thẳng chứa mặt

(BCD) cho khoảng cách từ điểm A đến  nhỏ khoảng cách lớn hai đường thẳng 

và AD d Khẳng định sau đúng?

A. 14

14

d a B. 3ad 4 a C.

14

a a

d

  D. d 4 a

Câu81 (THPTNGƠGIATỰVĨNHPHÚCNĂM2018-2019LẦN01)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành SASBSC11, SAB 30 ,0 SBC 600 SCA45 Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB SD?

A. d 4 11 B. d 2 22 C. 22

2

d D. d  22

Câu82 (THPTNĂM2018-2019LẦN04)Cho hình hộp ABCDA B C D    có tất cạnh góc phẳng đỉnh A 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB A C 

A. 22

11 B.

2

11 C.

2

11 D.

3 11 Dạng 2.3 Khoảng cách đường với mặt

Câu83 (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚCLẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D, SD vng góc với mặt đáy



ABCD



,

AD



2 ,

a SD



a

2

Tính khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng



SAB



A. a

2 B. a C.

2a

3 D.

a

Câu84 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA2a Gọi M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB mặt phẳng



ACM



A.

2

a

d  B. d a C.

3

a

d D.

3

a d 

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO

Dạng Góc

Dạng 1.1 Góc đường thẳng với mặt phẳng

Có SA



ABC



nên AB hình chiếu SA mặt phẳng



ABC











SB ABC,





SB AB,



SBA

  

Mặt khác có ABC vuông C nên AB AC2BC2 a

Khi tan

3

SA SBA

AB

  nên



SB ABC,







30

Câu Chọn A

Do SAABCD nên góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy góc SCA Ta có SA 2a, AC  2a tanSCA SA

AC

  1SCA45 Vậy góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45

Câu Chọn C

Vì SA vng góc với mặt phẳng



ABC



, suy góc đường thẳng SC mặt phẳng



ABC



bằngSCA

Mà 

2

2

tan

3

SA a

SCA

AC a a

  



Vậy SCA 45

Câu Chọn B

D A

B C

S

D A

B C

Do SAABCD nên góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy góc SBA Ta có cosSBA AB

SB



2

 SBA60

Vậy góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60

Câu Chọn A

Ta có AC hình chiếu vng góc SC mặt phẳng



ABC



Suy góc đường thẳng SC mặt phẳng



ABC



bằngSCA Ta có AC a ,SAa 2nên tam giác SAC vuông cân A 450

Câu Chọn A

Ta có SA 



ABC



nên AC hình chiếu SC lên mặt phẳng



ABC



Do



SC ABC,











SC AC,



SCA

Tam giác ABC vuông B, ABa BCa nên AC  AB2BC2  4a2 2a Do tam giác SAC vng cân A nên 

45

SCA Vậy



SC ABC,







450

Câu Chọn D

Gọi O tâm hình vng Ta có SO



ABCD



2

2

2

a a SO a  

Gọi M trung điểm OD ta có MH / /SO nên H hình chiếu M lên mặt phẳng



ABCD



1

2

a MH  SO

Do góc đường thẳng B M mặt phẳng (ABCD) MBH

O A

B C

D S

M

Khi ta có 

2 tan

3

4 a MH MBH

BH a

  

Vậy tang góc đường thẳng B M mặt phẳng



ABCD



Câu Chọn D

Ta có SA



ABC



nên đường thẳngAC hình chiếu vng góc đường thẳng SC lên mặt phẳng



ABC



Do đó,  



SC,



ABC









SC AC,



SCA (tam giác SAC vuông A) Tam giác ABC vuông cân B nên ACAB 2a

Suy tanSCA SA 1

AC nên  45 o

Câu

2

AC a ,

AClà hình chiếu vng góc SC



ABCD







SC ABCD,











SC AC;



SCA









: tan : 30

3

SA a

SAC SCA a SCA

AC

      

Câu 10 Chọn A

Ta có ACa

Vì AC hình chiếu SC lên



ABCD



nên góc SC



ABCD



là góc SC AC

a 2

C

B a

a a 6

3

D A

Xét SAC vuông A, ta có: 

6 3

tan

3 a SCA

a

  Suy SCA 300

Câu 11 Chọn A

Vì SA



ABCD







SC ABCD;











SC AC;



SCA Ta có AC AB2BC2 a

 

tan 45

2

SA a

SAC SCA

AC a

     

Câu 12

Trong tam giác SOD dựng MH SO H// , OD ta có MH 



ABCD



Vậy góc tạo BMvà mặt phẳng



ABCD



MBH

Ta có 1 2 2 2

2 2

a

MH  SO SD OD  a  a 

3 3

2

4

a

BH  BD a 

Vậy tan

3 MH MBH

BH  

H M

O

C

A D

B

Câu 13

Trong



SAB



kẻ AH SB



HSB



Vì SA BC BC



SAB



BC AH

AB BC

 

    

 



Mà SBAH cách dựng nên AH 



SBC



, hay H hình chiếu A lên



SBC



suy góc SA

và



SBC



góc ASH hay góc ASB

Tam giác ABC vng B AB AC2BC2 a

Tam giác SAB vuông A sin  30

2 AB

ASB ASB

SB

     

Câu 14

Gọi O ACBD Ta có:













DO AC

DO ABCD DO SA SA ABCD

  

 



 

 

SO

 hình chiếu SD lên mặt phẳng



SAC







SD SAC;











SD SO;



DSO Xét SAD vuông A: 2

3

SD a a  a

Xét SOD vng O: có SD2a, sin sin

2

a DO

OD DSO

SD 

    

A

B

C S

Câu 15

Gọi H trung điểm AB dễ thấy SH 



ABC



SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 suy SCH 60

Có tan

2

a a

HC SH HC SCH 

Dễ thấy  SMH, 10 cos

2 2 10

a a HM

HM AC SM

SM



      

Câu 16 Chọn C

Ta gọi E F, trung điểm SC AB

Ta có ME/ /NF( song song với BC Nên tứ giác MENF hình thang,

và / ( )

( )

MF ISA

MF ABCD SA ABCD



 

  

hay tứ giác MENF hình thang vng M F,

Gọi K NFAC I, EKM I MN(SAC)

Ta có: NC AC NC (SAC)

NC SA

 

 

  

hay Elà hình chiếu vng góc N lên (SAC)

Từ ta có được, góc MNvà (SAC)là góc MNvà CI

Suy ra, gọi Qlà góc MNvà (SAC)thì sin CN IN  

1

D

2

a

NC  C  ; 2

3

IN KN

IN MN

M  ME   

2

2 10

3

a

MF FN

  

Vậy sin

10 CN

IN

  

M H

A C

Câu 17

Gọi

 

 đường thẳng qua A song song với

 

 Hạ OH  

 

'



H 

 

'



Do O trung điểm

của AC

   

 // ' nên d O



,

 

'



d O



,

 





hay 14

6 a

OH 

Do S ABCD hình chóp tứ giác nên đáy ABCDlà hình vng SO



ABCD



Do AH OH AH SO nên, suy AH SH

Do ABCD hình vng cạnh a nên ACa 2, suy

2

a OA

Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vng AHO ta có OA2 OH2AH2, suy

2

2 2 14

2

a a a

AH  OA OH      

   

Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vng SAO ta có SA2 OA2SO2, suy

2

2 2 2

2

a a b

SA OA SO    b  

 

Do

   

 // ' nên





  







  





2

2

cos , cos , cos

3

AH a

SA SA SAH

SA a b



     



Câu 18

Gọi H M, trung điểm AB SB, ; O tâm hình chữ nhật ABCD Ta có MO/ /SD

Dễ thấy BC 



SAB



BC AM , mà SB AM nên AM 



SBC



O

M

H

A

D

C

B

Xét tam giác AMO, có:

3 a

AM  ;

2

1

3

2

AO AC  a  a a;

2 2

2 2 2

1 1

3

2 2 2

a a

MO SD SH HD  SH HA AD       a a    

 

AMO

  cân O







2

2

2

; 4 16 13

sin

4

a AM

a MO

d O AM AMO

OM OM a

 

    











 13

cos ; sin

4

SD SBC AMO

  

Câu 19

Do ASB90 nên tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI nằm đường thẳng d qua trung điểm

O đoạn thẳng AB d 



SAB



 

1 Trong mặt phẳng



SCH



kẻ IK SH K

Theo giả thiết SI 



ABC



suy SI  AB Từ SI  AB ABCH suy AB



SCH



ABIK Từ IK SH ABIK ta có IK



SAB



 

2

Từ

 

1

 

2 ta có IKd Bởi



OO';



ABC









d;



ABC









IK;



ABC





Vì



SCH

 

 ABC



nên IH hình chiếu vng góc IK mặt phẳng



ABC



Bởi







IK; ABC







IK IH,



HIKHSI

Do tam giác ABC vuông C SAB vuông S nên

2 AB COSO

d

O I

C B

A S

Xét hai tam giác vuông CHO SHO có COSO, cạnh OH chung nên CHO SHO



c.g.c



,

CH SH

Xét tam giác SIH vng I có

2

CH SH

IH   , ta có sin  30

2 IH

HSI HSI

SH

    

Vậy



OO';



ABC





30

Câu 20

Cách 1:

● Gọi O trọng tâm tam giác ABC Dựng đường thẳng d qua O d//SB, d cắt SD K Khi góc SB



SCD



chính góc OK



SCD



● Vì SO(ABCD)SOCD

Ta lại có: ABC ( ABC cân B BAC60)

ABCOCDCO

( ) ( ) ( )

CD SCO  SCD  SCO

Gọi H hình chiếu O SC, ta có:





 

 



 

OH SC

OH SCD

OH CD Do góc SB mặt phẳng



SCD



là:



OKH

Ta có: sinsinOKH OH OK

● Tứ diện S ABC tứ diện cạnh a nên ta tính được:

3  a

OC ,

3 a

SO

3 OH a

Vì //

3 OK  DO 

OK SB

SB DB

2

3

OK SB a

Vậy: sin

2 OH 

OK

Trước hết ta chứng minh sin (SB;(SCD))d B SC( , ( D))

SB (như hình trên)

Gọi O trọng tâm tam giác ABC Khi ta có COCD

Dựng OH SCsuy OH (SCD) Ta tính 3,

3 3

a a   a

OC SO OH

Khi ( , ( )) ( , ( )) 3a a

3

2

2

2

   

d B SCD d O SCD OH

Vậy

2 sin ( ; ( ))

2

 

SB SCD a

a

Dạng 1.2 Góc đường thẳng với đường thẳng

Câu 21 Chọn D

Đặt OAa suy OB OC a ABBCAC a Gọi N trung điểm AC ta có MN / /AB

2 a MN 

Suy góc



OM AB,







OM MN,



Xét OMN

Trong tam giác O M N có

2 a

ONOM MN  nên O M N tam giác Suy OMN600 Vậy



OM AB,







OM MN,



600

Ta có     AB CD AB AD.



AC



  AB AD AB AC  AB AD cos 600AB AC cos 600

0

60 60

2

AB AD cos AB AD cos  AB AD

  



,



1

4

AB CD

cos AB CD cos

AB CD 



   

   

Câu 23 Vì ABCD hình vng nên BD AC

Mặt khác AA



ABCD



BD AA

Ta có





'

BD AC

BD AA C BD A C BD AA

 

 

   

  

Do góc A C BD 90

Câu 24

Gọi P trung điểmAC, ta có PM CD// vàPN AB// , suy



AB CD,







PM PN,



Dễ thấy PM PN a

Xét PMN ta có 

2 2 2

3

cos

2

PM PN MN a a a MPN

PM PN a a

   

 1200



,



1800 1200 600

MPN AB CD

     

Câu 25

Giả sử cạnh hình lập phương a0

Gọi N trung điểm đoạn thẳng BB Khi đó, MN BC// nên



AM BC,  

 

AM MN,



Xét tam giác A B M  vuông B ta có: A M 2

A B  B M

  2 a a

 

2 a 

Xét tam giác AA M vng A ta có: AM  AA2A M

2

4

a a

 

2

a



Có

2 a

AN A M  ;

2

BC a

MN  

Trong tam giác AMN ta có:



cosAMN

2 2

2

MA MN AN

MA MN

 



2 2

9

4 4

3

2

2

a a a

a a    2

4

a a



2 

Suy AMN 45

Vậy



AM BC,  

 

AM MN,



 AMN45

Dạng 1.3 Góc mặt với mặt

Câu 26 Chọn D

Gọi ,P Q trung điểm B C B C ; I BMAB J, CNAC E, MNA Q

Suy ra,



MNP

 

 AB C 

 

 MNCB

 

 AB C 



IJ gọi K IJPEKAQ với E trung điểm

M N (hình vẽ)



AA QP



 IJ AQIJ PE, IJ 





MNP

 

, AB C 









AQ PE,





Ta có 3, 13 13;

3

AP PQ  AQ QK  5

2

PE PK

 2 13

cos cos

2 65

Cách2

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ



0;0; ,





3;0; ,





0; 3;0 ,

 

0; 3; ,





3;0; ,





0; 3; ,

 

0; 3; 2



P A B C A B C

  

nên 3; 3; , 3; 3;

2 2

M  N  

   

   

Ta có vtpt mp



AB C 



1 ,



2; 0; 3



2

n  AB AC 

 

  

vtpt mp



MNP



n2 



4; 0; 3



Gọi  góc hai mặt phẳng



AB C 



mp



MNP



os os



1, 2



13 65 13 25

c  c n n 

     

Cách3

K E Q

J

I

P

N M

C'

B' A'

C

Gọi Q trung điểm AA', mặt phẳng



AB C' '



song song với mặt phẳng



MNQ



nên góc hai mặt phẳng



AB C' '





MNP



góc hai mặt phẳng



MNQ





MNP



Ta có:



 













 





 



; ;

;

MNP MNQ MN

PE MNP PE MN MNP MNQ PEQ QE MNQ QE MN

 

 

   

 

 









MNP

 

; MNQ





1800PEQ

Tam giác ABC có cạnh 3AP3

Tam giác APQ vuông A nên ta có: PQ AP2AQ2  3212  10 Tam giác A QE' vng A' nên ta có:

2

2 13

' '

2

QE  A E A Q        

Tam giác PEF vng F nên ta có:

2

2 2

2

2

PE FP FE        Áp dụng định lý hàm số côsin vào tam giác PQE ta có:

 2

25 13

10 13

4

cos

2 13 65

2

2

EP EQ PQ PEQ

EP EQ

 

 

   

Do đó:







 











 13

cos ; ' ' cos 180 cos

65

MNP AB C  PEQ   PEQ

Khơng tính tổng quát ta đặt cạnh khối lập phương

Chọn hệ trục tọa độ cho A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0) A(0; 0;1)(như hình vẽ) Khi ta có: 1 1; ;

2 M 

 

Suy ra: (1; 0; 0), 1; ; 2 AB MA  

 

 

1

, 0; ; (0; 4;3)

3

AB MA   n

      

   

  

VTPT mặt phẳng (MAB)

2

1 1 1

(1; 0; 0), ; ; , 0; ; (0; 2; 3)

2 3

D C  MD  D C MD    n  

 

   

    

VTPT mặt phẳng (MC D )

cosin góc hai mặt phẳng (MAB)và (MC D ) bằng:

1 2 2 2 2 2 2

1

0.0 4.2 3.( 3) 17 13

cos( , )

0 ( 4) 3 0 2 ( 3) 65

n n n n

n n

  

  

     

   

Giao tuyến (MAB) (MC D ) đường thẳng KH hình vẽ

Gọi J tâm hình vng ABCD L N, trung điểm C D  AB Ta có: C D (LIM)C D LM LM KH

Tương tự AB(NJM) ABMN MN KH

Suy góc hai mặt phẳng (MAB) (MC D ) góc đường thẳng (MN ML, ) Gọi cạnh hình lập phương Ta có 10

6

LM  , 34

6

MN  , NL

Ta có: 

2 2

7 85 cos

2 85

MN ML NL

LMN

MN ML

  

 

Suy cosin góc hai mặt phẳng (MAB) (MC D ) 85

85

Câu 29

Ta có:



SBD



(ABCD)BD Hạ AH BDtại H

Ta có AH BD BD (SAH) BD SH

BD SA

 

   



 







SBD ; (ABCD)





HA HS,



 











B' A'

N J

O

K

H M

I L

C' D'

D

C B

 tanSHA SA

AH 

Xét ABDvng Acó:

2 2

1 1

AH AB AD

AH

 

 



tan

2 5

SA a

SHA

AH a

  

Câu 30 Cách 1: Hai mặt phẳng



AB D 





A C D 



có giao tuyến EF hình vẽ Do EF AB//  mà A D 



A ABB 



nên A D AB ' '

/ / EF A D 

Từ A kẻ vng góc lên giao tuyến EFtại Hthì '

A H  EF



EF



A D H 



EF D H Khi đó, góc hai mặt phẳng cần tìm góc hai đường thẳng AH D H

Tam giác '

D EF có 13

2

D B

D E    ,

2

D A

D F    ,

2 B A

EF   

Theo Hê-rơng ta có: '

61

D EF

S  Suy 305

10

DEF

S D H

EF

  

Dễ thấy ' '

A EF D EF

   ' '

A H D H

 

Tam giác D A H  có: 

2 2

29 cos

2 61

HA HD A D

A HD

HA HD

     

    

 

Do A HD  118, 4 hay



A H D H , 



180118,4 61,6

Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật ABCD A B C D    vào hệ trục tọa độ hình vẽ Khi A



0;0;0 ,



B



2;0;0 ,





0;3;0 ,



D C



2;3;0 ,



A



0;0; ,



B



2;0;4 ,



D



0;3;4 ,



C



2;3;4



1 2

29 cos

61

n n n n

 



  Vậy giá trị gần góc



61, 6

Cách

Do hai mặt phẳng



AB D 





A C D 



chứa hai đường AB C D song song với nên giao tuyến chúng song song hai đường

Kẻ A H AB, HAB, dựng hình bình hành A HKD có tâm Inhư hình vẽ

Do A D 



A ABB 



nên A D ABsuy AB



A HKD 





góc hai mặt phẳng



AB D 





A C D 



góc AK D H

Trong tam giác vuông AAB  có AH đường cao nên

2 2

1 1 1

4 16 16 A H  A B   AA   

Vậy

5 A H 

Xét tam giác A IH có cosI cos



AH



cos cos sin sin 29 61

A H A H

   

Vậy góc hai mặt phẳng



AB D 





A C D 



gần 61, 6

Gọi M trung điểm SA Ta có SAB cân B BM SA (1)

Vì SO



ABCD



SOBD, lại có O trung điểm BD  SBD cân S nên SDSBa  SAD

cân D nên DM SA (2)

Lại có



SAB

 

 SAD



SA (3)

Từ (1); (2); (3)







SAB

 

, SAD





BMD







SAB

 

, SAD





180 BMD

Xét 3

3

a a

SOB OB BD

    

Xét

3 a

AOB OA OC

    Xét 3

3

a a

SOC SC OM SC BD

      

Do BMD vng tạiM, vậy







SAB

 

, SAD





BMD90, chọn D

Câu 32 Chọn C

Ta có A BC cân A Gọi I trung điểm BC



 





A BC' ; ABC





AI A I; 



A IA

    

Theo đề ta suy

2

2

2

BC a A I a

a AI



 

 

  



  

Xét tam giác vuông A AI có cos 30

'

AI A I

      

Vậy





A BC'

 

; ABC





30

Câu 33

Gọi O tâm đáy, K hình chiếu vng góc O SC

Do BD AC BD



SAC



BD SO

BD S A

 

   

  

, suy góc hai mặt phẳng



SBD





ABCD



là góc



SOA Ta có tan SA SA OA a OA

     

Do SC BD SC BK

SC OK

 

 

  

nên góc hai mặt phẳng



S AC





SBC



BKO Ta có







2

2

2

2

2 2

tan

1 1 2

,

BO BO BO

BKO

SA AC

OK d A SC

SA AC



    



suy BKO600

Câu 34

Ta có tam giác ABC vng C nên BC AC

 

1

Vì SA ABCD BC SA

 

2

BC ABCD

 

 

  

Từ

   

1 , BC



SAC



Trong



SAC



vẽ AH SC H

Ta có: AH BC BC





SAC



,AH



SAC





AH



SBC



AH SC

   



 

   

O

C

B A

S

D









AH SBC SB AH SB SBC         

Trong



SAB



vẽ AK SB K





SB AH SB AHK SB AK       

mà HK 



AHK



nên SBHK

Ta có:











 





 

;





;





SB AK SB HK

AK SAB SBA SBC AK HK AKH

HK SBC

SB SAB SBC

                    SAC

 vng A có đường cao AH:



 

2



2

2 2

1 1 1

2

AH  SA  AC  AH  a  a

2 1 AH a AH a     SAB

 vng A có đường cao AK:





2

 

2

2 2

1 1 1

2

AK  SA  AB  AK  a  a 2

1

4 a AK AK a     AHK

 vuông H:





2

2 2 2

3 3

a a a

AK  AH HK Pytago  a HK HK  HK 

AHK

 vuông H  cos







 600

2 2 a HK AKH AKH a AK      Câu 35

+ Gọi Olà giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD

Đặt ; '

2

    x

AB x BC x A A

2

6 10

' ' '

2

 

       

 

 

x x

A B A D x A BDcân A O' BD

2

6 10

' ' '

2

 

       

 

x x

C B C D x C BDcân C O' BD

+



A BD'

 

 C BD'



BD





'  , '  '

A O BD A O A BD





'  , '  '

C O BD C O C BD

góc hai mặt phẳng



A BD'



và



C BD'



góc A O' C O' + Tính A OC' '

2

2 10

' ' '

2

   

        

   

x x

A O C O A B BO x

' ' A C x

A OC' '  A OC' '600

Vậy góc hai mặt phẳng



A BD'



và



C BD'



600

Cách khác: Gắn hệ trục tọa độ Oxyzvào hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' để tìm góc hai mặt phẳng



A BD'



và



C BD'



Câu 36

Cách 1: Gọi I  A B B A ; J C D D C Ta có IJ(ADB C )(BCD A ) (1) Theo giả thiết, ta có: IJ(DCC D ) C D IJ (2)

Từ (1) (2) C D (BCD A ) (ADC B )(BCD A ) Vậy góc hai mặt phẳng (ADC B ) (BCD A ) 90

Cách 2: Mặt phẳng (DCC D ) vng góc cắt hai mặt phẳng (ADC B ) (BCD A ) theo hai giao tuyến DCvà D C

Câu 37

Ta cóAMC N hình bình hành, mà tam giác AMN cân A nên MN  AC Ta có



' '



BDD B cắt ba mặt phẳng



ABCD



,



' ' ' '



A B C D ,



'



AMC N theo ba giao tuyến

' '

/ / / /

BD B D MN

Hai mặt phẳng

 

P



ABCD



có điểm chung A chứa hai đường thẳng song song MN, BD

nên giao tuyến chúng đường thẳng d qua A song song với MN BD,

Trên hai mặt phẳng

 

P



ABCD



lần lượt có hai đường thẳng AC AC vng góc với d nên góc hai mặt phẳng

 

P



ABCD



góc AC AC, góc CAC Xét tam giác C CA'

vng C có:

2

cos

2

AC BD MN a AC AC AC a

    

  

Cách 2:

Theo chứng minh MN BD// MN BD a

Đa giác AMC N nằm mặt phẳng

 

P có hình chiếu mặt



ABCD



hình vng ABCD nên:

2

2

2 cos

1

2

ABCD AMC N

BD

S AB

S

AC MN AC MN





 

 

 

   

 

Câu 38

Do ABC A B C ' ' 'là hình lăng trụ đứng nên ta có: SABC SMNP.cos





MNP

 

, ABC







 







3

cos ,

4

ABC MNP S

MNP ABC

S

    





MNP

 

, ABC





300

N

P M

B

C A

C' B'

Dạng Khoảng cách

Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Câu 39 Chọn A

Ta có BC AB BC



SAB



BC SA

 

 

  

Kẻ AH SB Khi AH BC AH 



SBC



 AH khoảng cách từ A đến mặt phẳng



SBC



Ta có 2 12 12 12 12 52

4

AH SA  AB  a a  a

2

2

5

a a

AH AH

   

Câu 40 Chọn B

S

A

B

C H

Kẻ AH  SB mặt phẳng



SBC



Ta có: BC AB BC



SAB



BC SA

 

 

  

BC AH

 

Vậy AH BC AH



SBC



AH SB

 

 

 











1

,

2

a

d A SBC AH SB

   

Câu 41 Chọn B

a 2a

A C

B S

* Gọi O ACBD G trọng tâm tam giác ABD, I trung điểm AB ta có





SI  ABCD

































;

2 ; ;

;

d D SAC DG

d D SAC d I SAC

IG

d I SAC    

* Gọi K trung điểm AO, H hình chiếu I lên SK ta có IK  AC IH; 



SAC









;





;







d D SAC d I SAC IH

  

* Xét tam giác SIK vuông I ta có: 3;

2

a BO a

SI  IK  

2 2 2

1 1 16 28

3

a IH IH  SI IK  a  a  a  







;





;







21

7 a

d D SAC d I SAC IH

   

Câu 42 Chọn B

Gọi H trung điểm AB Khi đó, SH 



ABCD



Gọi O giao điểm AC BD suy ACBD Kẻ HK BD K(Klà trung điểm BO) Kẻ HI SH I Khi đó: d A SBD



,







2d H SBD



,







2HI

Xét tam giác SHK,có: 3, a

SH 

2

a HK  AO

Khi đó: 12 12 2 282 21

3 14

a HI HI  SH  HK  a  

O G I

A

B

D

C S

O A

C S

I

K H

O

C

D

S

A

B

K

Suy ra:



,







21 a d A SBD  HI 

Câu 43 Chọn C

CÁCH 1:

Ta có AB/ /CDd B SCD



;







d



A;



SCD





Kẽ MACD M



CD



,kẽ AH SM  SH 



SCD



d A SCD



,







SH

SAa;

2 ACD ABCD

S S a

AM

CD CD

   12 12 2 21

7

SM a

SH SA  AM  

CÁCH 2: Ta có / /



;









A;







A 21

2

S BCD S BCD SCD SCD

V V a

AB CD d B SCD d SCD

S S

    

( SCD SD; a 2;SC2 ; CDa a ) Câu 44 Chọn C

Gọi Hlà trung điểm ABSH  ABSH (ABCD)

Từ H kẻ HM BD, M trung điểm BI I tâm hình vng

Ta có: BD HM BD (SHM)

BD SH

 

 

  

D

B C

S

A

Từ Hkẻ HK SM HK BD ( Vì BD(SHM))

( ) d(H;(SBD)) HK

HK SBD

   

Ta có:

2 4

AI AC a

HM   

2 a SH 

2 2

2

4 2 21

14

2

4

a a

HM HS a

HK

HM HS a a

  

    



   

   

21 21

( ; ( )) ( ; ( )) ( ; ( )) 2

14

a a

d C SBD d A SBD  d H SBD  HK  

Vậy: ( ; (d C SBD)) 21

a 

Câu 45 Chọn D

Ta có: BC AB

BC SA

  

 

 BC



SAB







 





 



SAB SBC

SAB SBC SB

 

 

 

 

Trong mặt phẳng



SAB



: Kẻ AH SB  AH d A SBC



;







2 2

1 1

AH  SA  AB 2

1

3

a a

  42

3a 





;







2 a

d A SBC AH  Chọn D

Câu 46 Chọn B

Gọi , ,E F G trung điểm BD CD, trọng tâm tam giác BCD

Tam giác BCD nên suy 3

2

BC a

CE 

2

3

a CG CE

Tam giác ACG vng G nên ta có

2

2 2 2

3 3

a a a

AG AC CG a    AG

Vậy



,







Câu 47 Chọn C

Gọi H hình chiếu A lên SD ta chứng minh AH 



SCD



2 2

1 1 2a

D AH

AH  SA  A  

Câu 48 Chọn B

Ta có 2 2 12 12 12 12 12 12 12 192

3 12

AK  AH  AS  AB  AC  AS a  a  a  a

Suy

19 a

AK  hay ( , ( )) 57

19

Câu 49

S ABCD hình chóp tứ giác nên ABCD hình vng SO



ABCD



Vẽ OH vng góc với CD H H trung điểm CD,

2 a OH 

Dễ thấy CD



SOH







SCD

 

 SOH



nên kẻ OK vuông góc với SH K OK 



SCD







,

d O SCD

   OK

Tam giác vng SOH có OK đường cao nên

2 2

2

2

2

3

4

a a

OS OH a

OK

OS OH a

a

  





Vậy ,





3

a d O SCD 

Câu 50

Do M trung điểm SC nên



;









;









;







2

d M SBD  d C SBD  d A SBD

Gọi H hình chiếu A lên mp SBD





d A SBD



;







AH

H O

D S

B

C

Lại có AS AB AD, , đơi vng góc nên





2

2 2 2 2

1 1 1 1

2

2

AH  AS  AB  AD  a a  a  a









10 10

;

5 10

a a

AH d M SBD

   

Câu 51

Ta có









SA ABC

SA BC BC ABC

 

 



 

Trong



ABC



, kẻ AH  BC, mà BCSABC



SAH



BC SH

Trong



SAH



, kẻ AK  SH, mà SH  BC  AK 



SBC



hay d A SBC



;







 AK Vì ABC vng Anên BC  AB2AC2 2a

Mặt khác có AH đường cao nên

2

AB AC a AH

BC

 

Vì SAH vng A nên 2 19

2

a SH  SA AH 

Vậy có AK đường cao

19

SA AH a

AK

SH

 

Nhận xét Trong thực hành làm toán trắc nghiệm ta nên áp dụng toán sau:

Cho tứ diện OABC có OA OB OC đơi vng góc với H hình chiếu , , O lên mặt phẳng



ABC



Khi 2 12 12 12

OH OA OB OC

Câu 52

Gọi Mlà trung điểm BC Kẻ AH SM H

Ta có AM BCvà SABC nên BC



SAM



BC AH

 

1

A C

B S

H K

M A C

B S

Mà AH SM

 

2

Từ

 

1

 

2 suy AH 



SBC



Do d A SBC



,







 AH

Xét tam giác SAM vuông A, có

2 2

1 1

AH  AM  AS 2

1

3

a a

 

 

 

 

2 3a



7 AH a

  21

7 a 

Câu 53 Chọn C

* Ta có:

















;

2 ;

d B SCD BD

OD

d O SCD   d B SCD



;







2.d O SCD



;







2OH Trong H hình chiếu

vng góc O lên



SCD



* Gọi I trung điểm CD ta có:



 





 





;





;



 60

SI CD SCD ABCD OI SI S

SCD ABCD C

D

D

IO OI C

 

     



 



 

Xét tam giác SOI vuông O ta có: tan 60 a

SOOI 

Xét SOI, ta có 2 12 12 42 42 162

3

OH OI OS a  a  a









3

;

4

a a

OH d B SCD

   

Câu 54 Chọn C

60

O I

A

B C

D S

Từ giả thiết suy ra:

2 AD

ABBCCD a, ACa Gọi EABCD, suy tam giác ADE

Khi C trung điểm ED ACED

Dựng AHSC AH SCD, suy d A SCD



, 



AH Xét tam giác SAC vng A, có AH đường cao

Suy ra: 2 12 12 AH 2a

AH  SA  AC  

Mà



, 





, 



2 2

a

d B SCD  d A SCD  AH 

Câu 55 Chọn C

Gọi M trung điểm củaCD, K hình chiếu H lên SM Tam giác HCD vng H có CDa

2 a HM  Ta có BH / /CDd B SCD



,







d H SCD



,







HK Tam giác SHM vng H có

2

4

HM HS a HK

HM HS

 

Câu 56 Chọn B

Gọi A' chân đường cao kẻ từ A lên BC,C' chân đường cao kẻ từ C lên AB

Gọi H giao AA’ với CC’ suy H trực tâm tam giácABC Ta dễ dàng chứng minh OH (ABC)

Do đó: d O ABC( ; ( ))OH Tính OH

Ta có: Tam giác OAA' vng O, có OH đường cao Suy : 2 12 2 '

 

OH OA OA (1) Lại có: Tam giác OBC vng ,B có OA' đường cao Suy ra: 2 12 2

'  

OA OB OC (2) Từ (1) (2) suy ra: 2  12  12  12

OH OA OB OC Thay OAOBOC  vào, ta được:

1 1

1

3 3

    OH 

OH

Vậy ( ; (d O ABC))OH 1

Câu 57 Cách 1: Sử dụng kiến thức lớp 11

ABCD hình thoi cạnh a, ABC60 ABC, ACD tam giác cạnh a Xét SAC vng A có: SA SC2AC2  4a2a2

Kẻ AH CD



HCD



Suy H trung điểm cạnh CD,

2 a

AH 

Kẻ AK SH



KSH



 

1

Ta có: CD AH CD SA     





CD SAH

  CD AK

 

2

Từ (1) (2) suy ra: AK



SCD



d A SCD



,







 AK Xét SAH vuông A: 2 2 12

AK  AH SA 2

4

3a 3a

  52

3a  15 a AK  

Vậy



,







15

5 a

d B SCD 

Cách 2: Tính khoảng cách thơng qua tính thể tích

ABCD hình thoi cạnh a, ABC60  ABC, ACD tam giác cạnh a Xét SAC vng A có: SA SC2AC2  4a2a2 a

Vì AB //DC nên AB//



SDC



Do



,









,







SACD SCD V

d B SCD d A SCD

S   SACD ACD V  SA S

2 3 a a  a 

Xét SAC SAD có: AD ACa, SA chung, SACSAD90

Do SAC  SADSCSD SCD cân S Gọi H trung điểm CD SH CD

Xét SHC vuông H: SH  SC2 CH2

2 4 a a

  15

2 a  SCD

S  SH CD 15

2 a a  15 a 







,



d A SCD

3 15 a a  15 a 

Vậy



,







15

5 a

d B SCD 

2 3

a

SO a doSO đường cao tam giác cạnh 2a

Từ giả thiết suy tam giác BCD tam giác ABD tam giác CDOD

Ta có: CD OD CD



SOD



CD SO

 

 

  

Trong tam giác SOD kẻ OH SD H





OH SD

OH SCD OH CD

 

 

  

Do AB



SCD



suy d B SCD



,







d O SCD



,







OH

Nhận thấy tam giác SOD tam giác vuông cân O với ODa

2

1

3

2 2

a

OH  SD a  a 

Câu 59 Chọn B

Gọi p q u v, , , khoảng cách từ O đến mặt phẳng



SAB

 

, SBC

 

, SCD

 

, SDA



Trong mặt phẳng



SAC



dựng đường thẳng qua O vng góc với đường thẳng SO cắt hai đường thẳng

,

SA SC A C', '

Trong mặt phẳng



SBD



dựng đường thẳng qua O vng góc với đường thẳng SO cắt hai đường thẳng

,

SB SD B D', '

Do



SAC

 

 SBD

 

, SAC

 

 SBD



SO A C, ' 'SO nên A C' '



SBD



' ' ' '

A C B D

 

Khi tứ diện OSA B' ' có OS OA OB, ', ' đơi vng góc nên ta chứng minh

 

2 2

1 1

1

' '

p OS OA OB

Chứng minh tương tự: 12 12 2 2

 

2

' '

q OS OB OC ;

 

2 2

1 1

3

' '

u OS OC OD

 

2 2

1 1

4

' '

v OS OD OA

O

D'

C'

B' A'

D

C B

A

Từ

       

1 , , , ta có 12 12 12 12 p u q v

Với

 

2

2 2

1 1 1 19 20

1; 2;

1 5 20 19

p q u d v

v v

           

Dựng mặt phẳng qua O, vng góc với SO, cắt đường thẳng SA SB SC SD, , , A B C D, , , 





SO A B C D   

 

Vì



SAC

 

 SBD



 A C B D  Ta có:









2 2

1 1

1

,

d O SA B

SO OA OB    

 

1









2 2

1 1 1

4

,

d O SB C

SO OB OC    

 

2









2 2

1 1 1

5

,

d O SC D

SO OC OD    

 

3









2 2

1 1 1

,

d O SD A

SO OD OA     d

 

4

       

1 , , , 1 12

5 d

    20

19

d

 

Dạng 2.2 Khoảng cách đường thẳng với đường thẳng

Câu 60 Chọn D

Ta có khoảng cách hai đường thẳng chéo BD A C  khoảng cách mặt phẳng song song



ABCD





A B C D   



thứ tự chứa BD A C  Do khoảng cách hai đường thẳng BD

A C  a

Từ B kẻ Bx AC// AC//



SB Bx,



Suy d AC SB



,



d AC SB Bx



,



,





d A SB Bx



,



,





Từ A kẻ AK Bx K



Bx



AH SK

Do AK Bx Bx



SAK



Bx AH

SA Bx

 

   

  

Nên AH 



SB Bx,



d A SB Bx



,



,





AH

Ta có BKA đồng dạng với ABC hai tam giác vng có KBABAC (so le

Suy 2

5

5

AK AB AB CB a a a AK

CB CA   CA  a 

Trong tam giác SAK có 2 12 2 12 52 92

4

a AH AH  AS  AK  a  a  a  

Vậy



,



3 a d AC SB 

Câu 62 Chọn B

Gọi O tâm hình chữ nhật M trung điểm SA, ta có:SC//



BMD



Do d SC BD



,



d SC BMD



,







d S BMD



,







d A BMD



,







h

Ta có: AM AB AD, , đơi vng góc nên

x O

C D

B A

S

K H

O M

D

C B

2 2 2 2

1 1 1

4 h  AM  AB  AD  a a  a

Suy ra: 21

21 a

h

Câu 63 Chọn A

Ta có OBC vng cân O,M trung điểm BC OM BC

 

Dựng hình chữ nhật OMBN, ta có









/ /

/ /

OM BN

OM ABN

BN ABN

 

 

  



,





,









,







d AB OM d OM ABN d O ABN

  

Gọi H hình chiếu vng góc O AN ta có:





BN ON

BN OAN BN OA

 

 

  

OH BN

  mà OH  AN





OH ABN

  d O ABN



,







OH OAN

 vuông O, đường cao OH

2 2

1 1

OH OA ON

   12 2

OA BM

  12 42

OA BC

  12 2 2

OA OB OC

 



2 2

1

4

a a a a

  



2 2

3

a OH

 

3 a OH

 



,



3

a d AB OM OH

  

Nhận xét:

M A

O

B

C

Chọn hệ trục tọa độ Oxyznhư hình vẽ, O



0;0;0



,B



2 ; 0; 0a



,C



0; ;0a



,A



0; 0;a



M trung điểm BC M a a



; ; 0



Ta có OM



a a; ; 0



;OB



0; ; 0a



;AB



2 ; 0;a a





2 2



, ; ;

OM AB a a a

 

   





,

,

,

OM AB OB d AB OM

OM AB

 

 

 

 

 

    

3

4 4

2

3

a a

a a a

 

 

Câu 64 Chọn C

Gọi N trung điểm BC suy MN//AC AC//



OMN





;



d OM AC

 d C OMN



;







d B OMN



;







3

1 1

.2

3

A OBC

V  a a a a

















;

;

M OBC OBN A OBC OBC

d M ABC

V S

V  d A ABC S

1 1 2

  .

12 M OBC

V a

 

Xét tam giác vuông cân AOB:

2

OM  AB a

M A

O

B

C

H

N

M

O

A

C

Xét tam giác vuông BOC: 1



2



2

2 2

ON  BC a a  a

Xét tam giác BAC: 1





2

2

2 2

MN AC a  a  a

Trong tam giác cân OMN, gọi H trung điểm OM ta có NH 2

NM HM a

  

Suy

2

OMN

S  OM NH  a

Vậy





;

3 M OBN

OMN V

d B OMN a

S

 

Câu 65 Chọn A

+) Ta có:



,



AA





 30o C C

BC   BC A 

+) Mặt khác



BC, AB



C





C BC 

+) Gọi ABxBC 3a2x2





2 3 tan

5

a x

CC BC  

    ACAB.cot 30o  3x

+) Mặt khác ta có: AC2CC2 AC2 x a 2CCa 3AC'a +) Gọi P trung điểm củaB C , ta có: Do mặt phẳng



MNP

 

/ / ABC



nên



,





,









,









,







2

d MN AC d MN ABC d N ABC  d A ABC

+) Kẻ A H  ACA H 



ABC





,







2

a d A ABC A H

  



,



4 d MN AC a 

Do hình chóp S ABC nên SG đường cao hình chóp (G trọng tâm tam giác đềuABC ) Kẻ

MH SAtại Hthì MH đoạn vng góc chung SA vàBC Vậy khoảng cách hai đường thẳng SA BC MH Ta có

2

1 3

4

3

S ABC

a a

V  SG SG a, 3

a AG ,

2

2

16

9

a a

SA AG SG   a  Ta

có 3.4

7

2.7

SG AM a a a SA MH SG AM MH

SA a

    

Câu 67 Chọn A

Ta có:



 

















 



/ / ' ' ' '

; ' ' [ ; ' ' ' ' ] '

' ' ' ' ' '

 

    

 

 

ABCD A B C D

BD ABCD d BD A C d ABCD A B C D AA a A C A B C D

Câu 68

Ta có





























/ /

/ / , , ,

BC AD

BC SAD d BC SD d BC SAD d B SAD

BC SAD

 

   

   

Có SA



ABCD



SAAB

A

S

C

B

M G

Ta có







,







BA AD

BA SA BA SAD d B SAD BA SA AD A

  

    



  



Xét tam giác vuôngBAC BA,  AC2BC2  5a22a2 a Vậy d B SAD



,







a 3d BC SD



,



a

Câu 69 Chọn D

Gọi M N, trung điểm cạnhAB CD, ; H hình chiếu vng góc O SN Vì AB CD// nênd AB



,SC



d AB SCD



, ( )



d M SCD



, ( )



2d O SCD



, ( )



(vì O trung điểm đoạn

MN)

Ta có CD SO CD (SON) CD OH

CD ON

 

   

  

Khi CD OH OH (SCD) d O SCD



; ( )



OH

OH SN

 

   

  

Tam giác SON vuông O nên 2 12 12 12 12 52

5

a OH a

OH ON OS  a  a  

Vậy



,SC



2

5 a

d AB  OH 

Câu 70 Chọn A

Ta có BC B C//   BC//



AB C 















 











 













 





I

A C

B

C'

B' A'

H

S

B

A D

C O

M N

Gọi I H hình chiếu vng góc A B C  AI

Ta có B C A I B C A A nên B C 



A AI



B C A H mà AIA H Do



AB C 



A H

Khi d A



,



AB C 





A H

2

A A A I A A A I

  

  

2

2 a a

a a



        

21 a



Vậy khoảng cách cần tìm 21

7 a

Câu 71 Chọn B

Khơng tính tổng quát, giả sử a1

Gọi H trung điểm AB Kẻ HM BC M



BC



; HN SM



NSM



Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy nên SH 



ABCD



Áp dụng định lý hàm số cos : 2 1

2 cos120 2.1

4 2

DH DA AH  DA AH        

2 DH

 

Theo đề bài: SDH 60 tan 60 21

2

SH DH

    

Lại có: sin 60 3

2

HM HB   

Ngoài ra: BC 



SHM



BCHN HN 



SBC



; 2 12 2 116

21

HN SH HM

    609

58 HN

 

Chú ý AD//



SCB



nên khoảng cách AD SC khoảng cách A mặt phẳng



SBC



, lần khoảng cách từ H (theo định lý Ta-let), 609

29 d  HN 

Gọi hình chiếu mặt đáy Vì nên HAHBHCHD Suy hình bình hành nội tiếp đường trịn tâm Vì hình chữ nhật

Kẻ vng góc với (1)

Ta có (2)

Từ (1) (2) ta có:

Kẻ vng góc với

Ta có:

Ta có:

Câu 73 Chọn D

 Gọi I  AB'A B' ; H trung điểm BC

// ' ' // ( ' )

IH A C A C B AH

 

A C AB' ; ' A B AH';( ' ) B B AH;( ' )

d d d

  

 Kẻ , với

H

S

SA SB SCSD6

ABCD

H

ABCD

KP

SA

P





BK AC

BK SAC BK KP

BK SH

 

   

  

( , )

d SA BK KP

HQ

SA

Q

2 2

1 119

,

2 2

AH  AC  AB BC  SH  SA AH 

119

24 SH HA

HQ

SA

  

2

2

32

.2

25

KP KA KA AC KA AC AB

HQ  HA  AC HA  AC  AC 

32 119

( , )

25 15

d SA BK KP HQ

Chứng minh:  ;( ' )

2 2

2

' 2

( ' )

17 '

(2 )

B B AH

a a

B B BH a

BK B AH d BK

B B BH a

a

     

  

    

Vậy ( ' ; ')

17 A C AB

a

d 

Câu 74 Chọn B











; 45

SC ABC SCH 

Ta có:

3

BH AB



2 4

2 cos .4.cos 60

3 3

CH BH BC  BH BC HBC         

 

2 34 tan 45

3

SH CH

   

Dựng hình thoiACBD(với D đỉnh thứ hình thoi)





/ / / /

AD BC BC SAD

 

Vậy



;





;









;









;







2

d SA BC d BC SAD d B SAD  d H SAD

Gọi M trung điểm ADBMAD(ΔDAB đều) Từ H dựngHI/ /BMHIAD

Ta có: AD HI AD



SIH

 

SAD

 

SIH



AD SH

 

    

 



Từ H dựng HKSIHK



SAD



Vậy d H SAD



;







HK

Ta có:

8

3

/ /

4

AH HI BM AH

HI BM HI

AB BM AB

     

2 2

4

3 3 210

15

4

3

SH IH SH IH

HK

SI SH HI

    

    

 

   

   

 



; BC



210

2

d SA HK

  

Câu 75 Ta có









, SA AB

SAB SA AB SAB

SA A BC BC

B B

C A

  

  



 

 

  

Trong



SAB



, dựng BH SM cắt SM H Ta có



,



BH SM

d SM BC BH d BH

BH BC

 

   



 

Ta có BMH SMA BH BM BH SA BM

 

1

SA SM SM



 ∽    

Xét ABC vng B có sinB A AB AB sin 600 AC

C     

3

AM BM

  

Xét SAM vng A có

2

2 2

2

7

4

1

SM SA AM     SM  



  



Thế vào

 

1 , ta có

3

3 21

2 .

7

7

2 SA BM BH

SM  

   

Cách 2: (Nguyễn Văn Thịnh)

Gọi N trung điểm AC

Ta có BC//



SMN



d BC SM



,



d BC SMN



,







d B SMN



,







d A SMN



,







Kẻ AHSM , HSM , ta có AH



SMN



d A SMN



,







 AH

Ta có AB AC.sinC2.sin 60  3

2

AM

 

Xét tam giác SAM vuông A có AH đường cao, suy

2

21

7 SA AM

AH

SA AM

 



Vậy



,



21

d BC SM 

Câu 76

Gọi M trung điểm CD, Olà trung điểm BD Do S ABCD khối chóp tứ giác nên ABCDlà hình vng SO



ABCD



Do

2

3 3

ABCD S ABCD

S SO a SO a b







 



BE // CD BE // SCD

BE // GF BEFG SCD GF



 



   mà BE// CDGF // CD Do G trọng tâm SCD nên

3

SG

SM  mà GF CD// nên

2

GF SF SG DM  SD  SM 

Trên tia đối tia DClấy điểm Nsao cho

DN GF  DM Từ ta có DNFG BENDlà hai hình

bình hành



BDG

 

// NEF



Trên đoạn thẳng OD lấy điểm K cho

KD DF

OD  SD  , từ ta có FK SO// mà SO



ABCD



suy

( )

FK  ABCD

Hạ KPEN KH PF , FK (ABCD) nên FK  KP

Do EN KP EN



FKP



EN KH

EN FK

 

   



  mà KH PF suy KH 



NEF



Khi đó: d DG



, EF



d DG NEF



,







d





BDG

 

, NEF





d K



,



NEF





KH

Ta có: 2

3 3

CD CD a BE GF  MD  

Do FK SO// nên

FK DF

SO  DS  , suy

1

3

b FK  SO

Hạ EJBD Do // , , EJ BD KP sin 45 2

3

a a

EN BD KPEN   EJ BE   Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông FKP với đường cao KH ta có:



2



2

2 2 2 2 2

9

1 1 1

3 2

3 6

b a ab

KH

KH KF KP b a a b b a

                    

Vậy





2 , EF ab d DG b a  

Câu 77 Cách 1:

Gọi H trung điểm AB

Vì



SAB

 

 ABC



nên SH 



ABC



Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với OH , HBOx, HCOy, HSOz

Ta có: 2 HC AC AH  a;

tan

AH

SH a

ASH

 

Khi đó: H



0 ; ; 0



, S



0 ; 0;a



, A



a ; 0; 0



, B a



; 0; 0



, C



0 ;3 ; 0a



, 0;3 ; 2

a a M 

 ,

9 0; ;

4 a a N 

 

Suy ra: ;3 ;

2 a a AM  a 

 



, ;9 ;

4 a a BN   a 

 



, AB



2a ; 0; 0



,

2 2

3 3 15

, ; ;

4 4

a a a

AM BN  

     

   

 

 

Khoảng cách hai đường thẳng AM BN,





3 3

, 2 237

2 , 79 711 , a

AM BN AB a

d AM BN

a AM BN                 Cách 2:

Gọi P trung điểm AC, G trọng tâm tam giác ABC Kẻ NK/ /SH, KHC; EK/ /AC, EBP

Suy ra: NP/ /AM  AM/ /



NPB



d AM BN



,



d M



,



NPB





d C



,



NPB





Ta có: NK/ /SH nên

1

1 4

5

8

a NK SH NK KC CN

GK SH CH CS

GC               / /

EK AC nên 5

8 8

EK GK a

EK PC

PC  GC    

2 79

8 a

NE  NK EK  ; BPHC3a

Vì: KN BP BO



NPB



BP EN

KE BP         

Diện tích tam giác NBP là: 79

2 16

NBP

a

S  NE BP

Thể tích tứ diện N CPB là:









3

1 1 1

, SH PC a 3a a

3 24

N CPB CBP

a

V  d N ABC S  BP  

Khoảng cách từ C đến



NBP



là:









237 ,

79 N CPB

NBP

V a

d C NBP

S

 

Vậy khoảng cách hai đường thẳng AM BN, 237 79 a

Cách 3:

Kẻ KI NE, INE

Khi đó: / / / /







,





,









,









,







5

NP AM AM NPB d AM BN d M NPB d C NPB  d K NPB Ta có: KI NE KI



NPB



d K



,



NPB





KI

KI BP  

   

  

Suy ra: / / / /







,



5

NP AM  AM NPB d AM BN  KI

Trong tam giác vng NKE ta có: 12 12 12 12642 237



,



237

75 316 79

a a

KI d AM BN

KI  KN KE  a    

Câu 78

Gọi ,I G trung điểm AC trọng tâm tam giác ABC Ta có DG



ABC



3

ABCD ABC

V  DG S 

Gọi N trung điểm AD MN||AC  AC||



BMN





,





,









,









,







d AC BM d AC BMN d A BMN d N BMN h

    

Gọi K trung điểm MN, ta có 1 2 11

2 16

BMN

S  BK MN  BM MK MN 

Ta có: DACB 2.2.1 DNMB

V DA DC DB

V  DN DM DB 

1

4VDACB VDBMN

 

16 h SBMN

 

9 11 22

16 h 16 h 11

   

Gọi H trung điểm AB, vẽ HECD E, HK SE K Ta có SBC nên BC11, SAC vng cân S nên AC11 Trong SAB, AB2 SA2SB22SA SB .cos120AB11

ABC

 có AB2 AC2BC2 nên ABC vng C, từ H tâm đường tròn



ABC







SH ABCD

  CD



SHE



CDHK HK 



SCD



Ta có d AB SD



,







AB SCD,











H,



SCD





HK

Ta có HEd A CD



,



2

AC AD AC AD



 2

11 2.11 11 2.11 11

 



, 11

2

SA

SH  

2

SH HE HK

SH HE

 



11 11

2 22

121 121.2

4

 



Vậy d AB SD



,



 22

Câu 80

Gọi H hình chiếu vng góc A lên (BCD) Khi ta có H trực tâm tam giác BCD

Với đường thẳng  nằm (BCD) ( ; )d A   AH.Do đường thẳng  thỏa mãn phải qua

điểm H

Kẻ HK  AD K( AD)khi H K, hai điểm cố định nằm &AD A

B

C

D

H

Hiển nhiên, khoảng cách &AD độ dài đoạn vng góc chung chúng nên ( ;d  AD)HK Dấu xảy HK  

Ta có 2 2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 14

( ) ( )

3

a a

AH  AB  AC  AD   a a 14

a AH

 

Ta có: cos sin 13 sin 13

14

14 14

AH a

HAK HAK HK HA HAK

AD

      

3

14

a a

d

  

Câu 81 Chọn D

Do SBSC11 

60

SBC  nên SBC đều, BC11

Ta lại có, SA SC11 SCA450 nên SAC

vuông cân S, hay AC11

Mặt khác, SA SB11 SAB 300 nên 11

AB

Từ đó, ta có AB2 BC2 AC2 suy ABC vuông C

Gọi H trung điểm AB Khi đó, H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Vì SA SB SC nên

( ) SH  ABC

Gọi M điểm CD cho HM AB, suy

HM CD Gọi N chân đường vng góc hạ từ C xuống AB Khi đó, HM/ /CN HM CN Do

ABC

 vng C nên theo cơng thức tính diện tích ta có:

2

11

3 CA CB

HM CN

CA CB

  



Ta lại có, 11

2

CH  AB nên 2 11

SH  SC CH 

Trong tam giác vuông SHM, dựng đường cao HI (ISM), suy HI (SCD) Khi đó,

2

( , ) ( , ( )) ( , ( )) SH HM 22

d AB SD d AB SCD d H SCD HI

SH HM

    



Vậy d AB SD( , ) 22 Câu 82

1. Vẽ hình hộp, yếu tố vẽ hình quan trọng, giúp bạn tư “nét” cho tốn Các cạnh hình hộp góc phẳng đỉnh A 60 cho ta thêm kiện hình hộp xiên có đáy hình thoi

2. Kiến thức khoảng cách hai đường thẳng chéo a b

Cách 1: Là độ dài đoạn vng góc chung a b

HK a; HK bd a b( , )HK a

Cách 2: Là khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại / /a

 ,  bI,

  

P  b,



d a b



,



d a P



,

 



d A P



,

 



 AH

Cách 3: Là khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng cho



,





   

,





,

 



Trong trình dẫn dắt lời giải toán ta giới thiệu cách xác định khoảng cách

Cách sử dụng tốn cách Tính khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song với đường thẳng

3 Kiến thức khoảng cách từ điểm đến đến mặt phẳng Không xác định trưc tiếp khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng mà xác định gián tiếp từ điểm khác mà ta nhìn khoảng cách dễ dàng hơn, gọi

đổi điểm.



;





;







d A C AB   d A C  ACB d C



;



ACB





d B ACB



;







4. Thu gọn tốn tính u tố hình hộp xiên sang tính yếu tố hình tứ diện Hay ta có tốn đơn giản có nhiều cách giải

Tính chiều cao hạ từ đỉnh B tứ diện BACB biết góc đỉnh B CBB 60,

  120

B BA  ABC  cạnh bên BABCBBa

Định lí hàm số cosin:

Cho ABC có ABc, ACb, BCa với góc tam giác A,B,C ta có:

2 2

2 cos

a b c  bc A

Các cơng thức tính diện tích tam giác:

1

4

ABC a abc

S h a

R

   (ha chiều cao tam giác hạ từ đỉnh A; R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC ), từ tính chiều cao tứ diện

Sau phân tích tốn, học sinh tự trình bày lời giải sau:

Có AC/ /A C  A C / /



AB C





;





;







d A C AB   d A C  ACB

  d C



;



ACB





d B ACB



;







Xét tứ diện B ACB có

+) BABC BB1 nên điểm B nằm trục đường tròn ngoại tiếp ACB Suy BO



ACB



tâm O đường tròn ngoại tiếp ACB

+) CBB  60, B BA ABC120 nên áp dụng định lý hàm số cosin tam giác B BA ABC ta có AB AC







;



4

ACB

AB CB AC AH B C S

R 



  

 

1

3 4

4R



 

11

R

 

11 11

BO

   

22 11 BO

 



;



d A C AB   OB

 

Vậy khoảng cách hai đường thẳng AB A C  22 11 Đáp án cần chọn A

Nhận xét

Bài toán giúp người học ôn lại

+) Kiến thức khoảng cách không gian +) Hệ thức lượng tam giác giải tam giác

Và quan trọng biết chuyển từ tốn hình hộp xiên sang hình tứ diện, biết độ dài cạnh Khai thác tốn

Vẫn với hình vẽ phần lời giải toán ban đầu, số toán tương tự với hướng dẫn kèm theo cho học sinh ôn luyện

Dạng 2.3 Khoảng cách đường với mặt

Câu 83 Ta có: AB AD

AB SD

  

 

nên AB



SAD



Kẻ DH SAtại H Do DH 



SAD



nên ABDH Ta có: DH SA DH



SAB



DH AB

 

 

  

Do DC/ /AB nên DC/ /



SAB



Vậy khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng



SAB



là DH Xét SAD vuông D có: 2 12 2

DH SD  AD





2

 

2

1

4

2 a a

a

  

2 a DH

  Khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng



SAB



là a

Gọi O tâm hình vng Ta có: MO/ /SBSB/ /(ACM) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))

d SB ACM d B ACM d D ACM

   ( O trung điểmBD)

Gọi I trung điểm AD / / ( )

( , ( )) ( , ( ))

MI SA MI ABCD d D ACM d I ACM

 

  

 

Trong (ABCD)kẻ IK ACtại K Trong (MIK)kẻ IH MKtại H (1)

Ta có: ACMI AC, IK AC(MIK) ACIH(2)

Từ (1) & (2)  IH (ACM)d I( , (ACM))IH

Trong tam giác MIK ta có:

2

IM.IK IH=

IM +IK

Biết

2

2

2 4

,

2 4

8

a a

SA OD BD a a

MI a IK IH

a a



       



Vậy: ( , ( ))