Chuyên đề Hệ tọa độ Oxy – Trần Đình Sỹ (có lời giải)

Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 PHÂN LOẠI BÀI TOÁN : ĐƯỜNG -ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đối tượng đã ngiên cứu là : Điểm - tam giác , hình bình hành - hình vuông , hình chữ nhật , hình thoi , hình thang và hình tròn . Với đề thi đại học gần đây , Bộ ra đề tương đối tổng hợp . Các em cần phải nắm vững những kiến thức về các hình nói trên thì mới giải ngắn gọn được . Trong bài giảng này , tôi hệ thống theo các dạng : Tam giác - Hình vuông - Hình thoi - Hình chữ nhật . Mỗi một dạng tôi trình bày một số bài để các em tham khảo , một số bài hướng dẫn trên lớp và một số bài tập tương tự để các em tự luyện . I. VỀ TAM GIÁC A. VỀ KIẾN THỨC 1. Về véc tơ : - Cần phải biết được khái niệm hai véc tơ bằng nhau : Tọa độ tương ứng bằng nhau - Cách viết tọa độ của một véc tơ : Tọa độ ngọn trừ cho tạo độ gốc - Hai véc tơ song song nhau : tỷ số hai tọa độ bằng nhau 2. Về diện tích : Chủ yếu sử dụng hai công thức chính : 1 1 1 2 2 2 1 1 1 .sin .sin .sin 2 2 2 a b c S ah bh ch S ab C bc A ca B  = = =    = = =   3. Tính chất trọng tâm : Trọng tâm của tam giác chia các đường trung tuyến thành ba phần , cách đỉnh hai phần và cách đáy 1 phần . 4. Các khái niệm . Trực tâm - là giao ba đường cao . Trọng tâm - Giao ba đường trung tuyến . Tâm đường tròn ngoại tiếp - giao ba đường trung trực . Tâm đường tròn nội tiếp - Giao ba đường phan giác 5. Tính chất đường phân giác : Chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy 6. Thuộc công thức tính khoảng cách từ một điểm ( ) 0 0 ;M x y tới đường thẳng d: ax+by+c=0 . [ ] 0 0 2 2 ax ; by c d M d a b + + ⇒ = + 7. Công thức tính cos của góc giữa hai đường thẳng có : ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 . ; ; ; os n ; n n a a b b n a b n a b c n n n a b a b + = = ⇒ = = + + ur uur ur uur uur uur ur uur B.MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1.(KB-2011-KPB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : 4 0x y− − =V và d: 2x-y-2=0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại M thỏa mãn : OM.ON=8 Gợi ý +/ Nhận xét : hai đường thẳng này cắt nhau tại A(-2;-6) Gọi I là tâm đường tròn đi qua M,N có bán kính R . H là trung điểm MN +/ Nếu N thuộc d suy ra : ( ) ; 4N a a= − . Do đó M thuộc ( ) ;2 2N b b∆ ⇒ = − +/ Đường thẳng (ON) cắt ∆ tại M thì O,M,N thẳng hàng : ( ) 0OM kON k= ≠ uuuur uuur ( ) ( ) 2 4 2 4 4 2 2 4 2 2 a k a kb a kb k a k b kb k b b k = −  = =      ⇔ ⇔ ⇔ −    − = − − = − =       . Hay : 4 2 2 a a k b b − = = − Ôn thi cấp tốc -2013 Trang 1 Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 4 4 2 2 4 2 2 2 a a b ab a ab b a b b b − ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − − (1) +/ Theo giả thiết : 2 2 . 8 64OM ON OM ON= ⇔ = ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 64a a b b     ⇔ + − + − =     ( ) 2 2 2 2 4 8 8 2 2 64 2 2 b b b b b b   −       ⇔ + + − =    ÷  ÷   − −         ( ) ( ) 2 2 2 5 8 4 4 2b b b⇔ − + = − ( ) ( ) 2 2 0 5 6 5 10 8 0 6 5 b b b b b b =   ⇔ − − + = ⇒  =  Vậy có hai điểm N : ( ) 1 ; 2N = − và 2 6 2 ; 5 5 N   =  ÷   . Bài 2.(KB-2011-PB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh 1 ( ;1) 2 B . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các diểm D,E,F . Cho D(3;1) và đường thẳng EF có phương trình y-3=0 . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương Gợi ý . +/ Nhận xét : B và D có tung độ bằng 1 suy ra (BC) nằm trên đường thẳng y=1 suy ra BD= 5 2 . Do E và F thuộc đường thẳng y=a suy ra tọa độ chúng có dạng : E(a;3) và F(b;3) . Theo tính chất tiếp tuyến từ một điểm nằm ngoài đường tròn kẻ đến đường tròn ta có : BD=BE 2 2 2 2 1 5 2 2 0 2 2 a a a     ⇔ − + = ⇔ − − =  ÷  ÷     ( ) ( ) 1 2 1 1;3 2 2;3 a E a E = − → = − ⇒  = → =   . Ta có đường thẳng d qua D(3;1) và A vuông góc với (BC) nên có dạng : x=3 H là trung điểm EF có tạo độ H(3;3) suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 1 3 1;3 // ;2 // 3; 4 : 4 3 5 0 2 3 4 3 2 3 2;3 // ;2 // 3;4 : 4 3 1 0 2 3 4 x y E BE BE u BE x y x y E BE BE u BE x y  + −   = − → = − = − ⇒ = ⇔ + − =  ÷  −    ⇒  − −   = → = = ⇒ = ⇔ − + =   ÷    uuur r uuuur r . Ta lại có Đường thẳng qua A và vuông góc với BC tại D (3;1) : x = 3 Do đó ta tọa độ A : 1 2 7 7 4 3 5 0 3; 3 3 3 3 4 3 1 0 13 13 3; 3 3 3 3 y x y A x x x y y A x x   =      + − =  ⇒ = −   ÷       = =     ⇔ ⇔   − + =    =      ⇒ =  =   ÷        =   Ôn thi cấp tốc -2013 Trang 2 y O d:x-y-4=0 : 2 2 0x y ∆ − − = N M x -4 4 1 -2 A B() C D(3;1) E F y=1 y=3 H d Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài 3 (KD-2011-KPB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A có phương trình x-y-1=0 . Tìm tọa độ đỉnh A và C Gợi ý Gọi M là trung điểm của AC và E là điểm đối xứng với B qua phân giác (AD). Với G là trọng tâm 2BG GM⇒ = uuur uuuur (1) +/ Ta có : M(x;y) ( ) ( ) 1; 1 . 5;0GM x y BG⇒ = − − = uuuur uuur suy ra (1) ta có hệ : ( ) ( ) 7 5 2 1 7 ;1 2 2 0 2 1 1 x x M y y  = − =     ⇔ ⇔ ⇒    ÷ = −      =  +/ Gọi E(x;y) ( ) 4 1 ; ; 4; 1 2 2 x y I BE x y − +   ⇒ = = + −  ÷   uuur ( I là trung điểm của BE ). Với ( ) 1;1u = r . Nếu E đối xứng với B qua (AD): x-y-1=0 thì : ( ) ( ) ( ) 4 1 1 1 0 3 0 2 0 2; 5 4 1 7 0 5 1 0 2 2 x y x y x BEu E x y x y y I d + + − =   + + = =   =   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −     − + − − = = − ∈ − − =       uuurr +/ (AC) qua E(2;-5) có véc tơ chỉ phương ( ) ( ) ( ) 2 3 ; 6 // ' 1;4 : 5 4 2 x t ME u AC t R y t = +    = − − = ⇒ ∈   ÷ = − +    uuur ur +/ (AC) cắt d tại A : ( ) 2 2 5 4 5 4 4;3 1 0 2 x t x t y t y t A x y t = + = +     ⇔ = − + ⇔ = − + ⇔ =     − − = =   +/ C đối xứng với A qua M cho nên C : ( ) 7 2. 4 3 3; 1 2 2.1 3 1 C C x C y  = − =  ⇔ = −   = − = −  Bài 4.(KA-2010) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1 : 3 0d x y+ = và 2 : 3 0d x y− = . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với 1 d tại A và cắt 2 d tại B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B . Viết phương trình của (T) , biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương Gợi ý Ta thấy ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 1 1 3;1 ; 3; 1 os d ; os n ; 2.2 2 d n d n c d c n − ⊥ = ⊥ = − ⇒ = = = ur uur uuruur . Do đó ta thấy ¼ 0 60BOA = . (T) tiếp xúc với 1 d tại A và tam giác ABC vuông tại B suy ra AC là đường kính , do vậy AC 1 d⊥ tại A . Từ kết quả trên suy ra ¼ 0 60BAC = . Xét tam giác vuông OAB : 0 3 .sin 60 2 OA AB OA= = và tam giác vuông OAC : 0 .tan 60 . 3AC OA OA= = . Từ giả thiết : 0 1 3 1 3 3 . sin 60 3 2 2 2 2 2 ABC S AB AC OA OA= ⇔ = Hay : 2 4 2 3 3 OA OA= ⇔ = (1) Do A thuộc ( ) 2 2 2 2 1 ; 3 3 4d A t t OA t t t⇒ − ⇒ = + = . Từ (1): Ôn thi cấp tốc -2013 Trang 3 A B(-4;1) D C x-y-1=0 M E G(1;1) y x A B C O 0 60 0 30 Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 2 4 1 4 3 3 t t= ⇒ = ± . Vì A có hoành độ dương suy ra 1 3 t = Và 1 ; 1 3 A   = −  ÷   . Đường thẳng qua A vuông góc với 1 d ⇒ (AC): ( ) 1 3 3 1 x t t R y t  = +  ⇔ ∈   = − +  (AC) cắt 2 d tại C : 1 1 2 3 3 3 3 3 2 1 2 ; 2 3 1 3 0 x t x y t y C t x y   = + = − = −         ⇔ = − + ⇔ = − ⇒ = − −    ÷     = − − =       Tọa độ tâm I của (T) có tạo độ : 1 3 ; 2 2 3   − −  ÷   và bán kính IA= 1 1 .2 1 2 2 AC = = Do đó (T) có phương trình là : 2 2 1 3 1 2 2 3 x y     + + + =  ÷  ÷     Bài 5 . (KA-2010PB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6) ; đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình : x+y-4=0 . Tìm tọa độ đỉnh B và C biết điểm E nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho . Gợi ý +/ Đường thẳng (AD) qua A(6;6) và vuông góc với d suy ra H là giao của (AD) với d : ( ) ( ) 6 6 6 6 2;2 2; 2 4 0 4 x t x t y t y t H D x y t = + = +     ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = ⇒ = − −     + − = = −   ( Vì H là trung điểm của AD). Đường thẳng (BC) qua D(-2;-2) và song song với d : ( ) ( ) ( ) : 2 2 0 4 0BC x y x y⇒ + + + = ⇔ + + = . Điểm B thuộc (BC) suy ra ( ) ; 4C t t= − − và điểm C(-4-t;t). Ta có : ( ) ( ) 5 ; 3 ; 6; 10CE t t AB t t= + − − = − + uuur uuur . Vì E nằm trên đường cao kẻ từ C cho nên 0CE AB = uuuruuur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0; 4 ; 4;0 5 6 3 10 0 2 12 0 6 6;2 ; 2; 6 t B C t t t t t t t B C = ⇒ = − = − ⇔ + − + + + = ⇔ + = ⇒  = − ⇒ = − = −   . Bài 6.(KD-2010-KPB) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7) ; trực tâm H(3;-1) và tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) . Xác định tạo độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương Gợi ý * Cách 1. Từ tọa độ A(3;-7) và H(3;-1) suy ra A,H nằm trên đường thẳng : x=3 và ( ) 3 : 1 x AH y t =   = − +  . Đường thẳng (BC) vuông góc với (AH) nên (BC): y=3 , do đó nếu gọi M là trung điểm của BC thì thì IM//AH suy ra M nằm trên đường thẳng x=-2 . Vậy M(- 2;3) . Gọi C=( m;3 ) do C có hoành độ dương cho nên : m>0 . B đối xứng với C qua M cho nên B=( -4-m;3). Ta có : ( ) ( ) 7 ; 4 , 3;10BH m AC m= + − = − uuur uuur (BH) là đường cao ( ) ( ) 0 7 3 40 0BH AC BH AC m m⇒ ⊥ ⇔ = ⇔ + − − = uuuruuur Ôn thi cấp tốc -2013 Trang 4 A(6;6) d:x+y-4=0 B C E(1;-3) D H A(3;-7) H(3;-1) I(-2;0) B CM Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ( ) ( ) 2 2 65;3 2 65 0 4 61 0 65 2 2 65 0 2 65;3 C m m m m m B  = − +  = − − <  ⇔ + − = ⇔ ⇒ = − ⇔   = − + >  = − −    * Cách 2. +/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA : Với ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 7 0 74 : 2 74IA C x y= + + − − = ⇒ + + = +/ Phương trình (AH) : x=3 và BC AH⊥ suy ra (BC) có dạng y=a ( 7a ≠ − ) ví (BC) không qua A . Do đó B,C thỏa mãn phương trình : ( ) 2 2 2 2 2 74 4 74 0x a x x a+ + = ⇔ + + − = (1). Do vậu (1) có hai nghiệm khi 70a < Do C có hoành độ dương cho nên (1) : ( ) ( ) 2 2 2 74 ; 2 74B a C a= − − − = + − +/ Do ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 74 5 74 5 7 1 0AC AH AC AH a a a a⊥ ⇔ = ⇔ − − − + + + − − = uuuruuur 2 7 70 4 21 0 3 70 a a a a  = − < − ⇔ + − = ⇔  = <   . Do đó a=3 . Vậy ( ) 2 65;3C = − + Bài 7 (KD-2010-PB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(0;2) và d là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Viết phương trình đường thẳng d , biết khoảng cách từ H đền trục hoành bằng AH Gọi ý +/Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d thì H(a;b) hoctoancapba.com +/ Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2AH AE EH b a b a= + = − + = − + (1) + Nhứng H nằm trên đường tròn (C) có đường kính OA , có tâm I (0;1) là trung điểm của OA và bán kính bằng 2 OA =1. cho nên (C) có phương trình : ( ) 2 2 1 1x y+ − = từ đó suy ra : ( ) 2 2 1 1a b+ − = (2). Với HK= b và từ (1) và (2) ta có hệ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 b b a b b b b b a b a b a b    + − = + − = − − − = −    ⇔ ⇒ ⇔    + − = + − = + − =       ( ) ( ) 2 5 2; 5 1 ; 2 5 2; 5 1H H⇔ = − − ∨ = − − − . Vậy có hai đường thẳng d: ( ) 5 1 2 5 2 0x y− − − = hoặc : ( ) 5 1 2 5 2 0x y− + − = Chú ý : Ta còn có cách giải khác +/ Xét tam giác vuông OAH ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2OA OH AH a b b a b⇔ = + ⇔ = + + = + (1) ( do AH=HK ) +/ Xét tam giác vuông AEH : ( ) 2 2 2 2 2 2 2AH AE EH b b a= + ⇔ = − + (2) +/ Từ (1) và (2) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 0 2 4 2 2 4 2 2 4 a b b b b b b a b b b a a b   + =  + − = = − + −    ⇔ ⇔ ⇔    + = = − +  + =      Từ 2 2 4 0 1 5 1 5b b b b+ − = ⇒ = − + ∨ = − − * Với : 5 1b = − thay vào ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 2 5 1 4 12 4 5 4 5 2a b= − = − − = − + = − Ôn thi cấp tốc -2013 Trang 5 A B C H I y x O H K d A(0;2) E Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Suy ra : ( ) ( ) 1 2 2 5 2 2 5 2; 5 1 ; 2 5 2; 5 1a H H= ± − ⇔ − − − − − * Với : 1 5b = − − thay vào ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 2 5 1 4 12 4 5 4 5 2a b= − = − + = − − = − − (vô nghiệm ) +/ Ta cũng có kết quả trên Bài 8. (KB=2010) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh C(-4;1) , phân giác trong góc A có phương trình x+y-5=0 . Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương Gợi ý +/ Gọi C' là điểm đối xớng của C qua phân giác d thì C' phải nằm trên AB và tam giác AC'C vuông cân tại A . .Gọi d' là đường thẳng qua C(-4;1) và vuông góc với d : d' 4 5 0 1 x t x y y t = − +  ⇔ − + =  = +  . D' cắt d tại H thì tọa độ H là nghiệm của hệ : ( ) 4 4 1 1 0;5 5 0 4 x t x t y t y t H x y t = − + = − +     ⇔ = + ⇔ = + ⇒     + − = =   C' đói xứng với C qua H suy ra C'=(4;9). Vì A nằm trên d suy ra A(t;5-t ). Do hoành đọ A dương cho nên t>0. . Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 4 32; 4 4 2 16CH AC t t t= + = = + + − = + Xét tam giác vuông cân AHC : 2 2 2 2 2 16 2 32 16 32 16 4AC HC t t t t= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇒ = ( vì t>0) Với t=4 suy ra A(4;1). . Đường thẳng (BC') qua A(4;1) có ( ) ( ) ( ) 4 ' 0;8 // 0;1 ' : 1 x AC u AC y t =  = = ⇒  = +  uuuur r . B thuộc (AC') suy ra B(4;1+t) 2 2 0AB t t⇒ = + = . Và 2 2 8 0 8AC = + = +/ Từ giả thiết : ( ) 6 (4; 5) 1 24 . 48 8 6 6 4;7 2 ABC t B S AB AC t t t B = − → −  = = ⇔ = ⇒ = ⇒  = →  Do ,AB AC uuur uuur cùng hướng suy ra : với B(4;-5) thì ( ) ( ) 0; 6 , ' 0;5AB AC= − = uuur uuuur . Hai véc tơ ngược hướng cho nên B(4;-5) loại . Vậy B(4;7) và phương trình (BC) qua B(4;7) có véc tơ chỉ phương ( ) ( ) ( ) 4 7 8; 6 // 4;3 : 3 4 16 0 4 3 x y BC u BC x y − − = − − = ⇒ = ⇔ − + = uuur r Chú ý . Bài này còn có cách giải khác +/ Tìm C' đối xứng với C qua d x+y-5=0 suy ra C'(x;y) thỏa mãn : ( ) ( ) ( ) 4 1 0 ' 4;9 4 1 5 0 2 2 x y C x y + − − =   ⇒  − + + − =   \ . A thuộc đường tròn đường kính CC' nên tọa độ A(x;y) thỏa mãn : ( ) 2 2 5 0 5 32 x y x y + − =    + − =   . Với x>0 suy ra A(4;1) +/ B thuộc đường thẳng (AC') : x=4 suy ra tọa độ B(4;m) thỏa mãn : ( ) 2 1 36m − = ( ) ( ) 5 7 4; 5 ; 4;7m m B B⇒ = − ∨ = ⇔ − ∨ Ôn thi cấp tốc -2013 Trang 6 A B C(-4;1)d:x+y-5=0C' 0 45 0 45 H Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Như phần trên kiểm tra chọn B(4;7) . Việc lập (BC) như trên . Bài 9 (KB-2009-PB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B,C thuộc đường thẳng d: x-y-4=0 . Xác định tọa độ các đỉnh B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Gợi ý +/ Gọi d' là đường thẳng qua A(-1;4) và vuông góc với d thì d' có phương trình : 1 4 x t y t = − +   = −  . Đường thẳng d' cắt d tại H ( là trung điểm của BC- do tam giác ABC cân ) thì tọa độ của nó là nghiệm 1 1 7 1 4 4 ; 2 2 4 0 9 2 x t x t y t y t H x y t   = − + = − +      = − ⇔ = − ⇒ = −    ÷     − − =   =  +/ Khoảng cách từ A đến BC d(A;BC)=d(A;d)= 1 4 4 9 2 2 AH − − − = = +/ B,C thuộc d suy ra : B=(t;t-4 ) và C(7-t;3-t) . 2 2 7 7 7 2 2 2 2 BH t t t     ⇒ = − + − = −  ÷  ÷     (1) Theo giả thiết thì : 1 9 .2 . 18 . 2 2 2 2 S BH AH BH BH⇒ = ⇔ = ⇒ = (2) Từ (1) và (2) : 7 7 3 11 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t t− = ⇔ − = ⇔ = ∨ = +/ Với 3 3 5 11 3 ; ; ; 2 2 2 2 2 t B C     = ⇒ = − =  ÷  ÷     +/ Với 11 11 3 3 5 ; ; ; 2 2 2 2 2 t B C     = ⇒ = = −  ÷  ÷     Bài 10 (KD-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB . Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là : 7x-2y-3=0 và 6x-y-4=0 . Viết phương trình đường thẳng AC Gợi ý +/ Tọa đọ A thỏa mãn : ( ) 7 2 3 0 1;2 6 4 0 x y A x y − − =  ⇔ =  − − =  +/ Vì M là trung điểm AB suy ra B=(3;-2) +/ Đường thẳng BC qua B(3;-2) vuông góc với đường cao AH : ( ) ( ) 3 6 2 0 6 9 0x y x y− + + = ⇔ − + = +/ (BC) cắt đường trung tuyến (AN) tại N thỏa mãn hệ : 6 9 0 3 0; 7 2 3 0 2 x y N x y + + =    ⇔ ⇒ = −   ÷ − − =    . Vì C đối xứng với B qua N suy ra C=(-3;-1) Vậy (AC) qua A(1;2) có ( ) ( ) ( ) 1 2 4; 3 // 4;3 : 3 4 5 0 4 3 x y AC u AC x y − − = − − = ⇒ = ⇔ − + = uuur r HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP Ôn thi cấp tốc -2013 Trang 7 A(-1;4) B CH x-y-4=0 A B CH N M(2;0) 7x-2y-3=06x-y-4=0 Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình là 3 2 0x y− − = và hai điểm phân biệt ( ) 1; 3A và B không thuộc đường thẳng d . Lập phương trình đường thẳng AB . Biết rằng khoảng cách từ điểm B đến giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng d bằng hai lần khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d Bài 12.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trực tâm H(1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0;-2) và trung điểm cạnh AB là M(3;1) Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Đường thẳng AB có phương trình x-y=0 . Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AC Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABCvuông cân tại A . Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x+7y-31=0 , điểm 5 1; 2 N    ÷   thuộc đường thẳng AC , điểm M(2;-3) thuộc đường thẳng AB . Xác định tọa dộ các đỉnh tam giác Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung tuyến CM và đường phân giác trong BD . Biết H(-4;1), M 17 ;12 5    ÷   và (BD) : x+y-5=0 . Tìm tọa độ đỉnh A Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A , đỉnh B thuộc đường thẳng d: x-4y-2=0 . Cạnh AC song song với đường thẳng d . Đường cao kẻ từ A có phương trình : x+y+3=0 . Điểm M(1;1) nằm trên cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Bài 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16 . đỉnh A và B thuộc đường thẳng d có phương trình 2 2 2 2 0x y− − = . B và C thuộc Ox . Xác định tọa độ trọng tâm tam giác ABC Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Đường thẳng AB có phương trình x-y=0 . Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AC Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-3) và đường thẳng (BC) có phương trình : x-2y-2=0 . Tìm tọa độ B,C biết tam giác ABC vuông cân tại B Bài 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(5;-3), trọng tâm G(3;1) .Đỉnh B thuộc đường thẳng d có phương trình : 2x+y-4=0 . Tìm tọa độ các dỉnh B,C biết BC bằng 2 2 và B có tọa độ nguyên Bài 21*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 2x+y-1=0 , phương trình AC: 3x+4y+6=0 và điểm M(1;-3) nằm trên đường thẳng BC thỏa mãn 3MB=2MC . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC Bài 22*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ¼ 0 135BAC = , đường cao BH: 3x+y+10=0 , trung điểm cạnh BC là 1 3 ; 2 2 M   −  ÷   và trực tâm tam giác H(0;-10) . Biết tạo độ điểm B âm . Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 23 * . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình cạnh BC : x-y+4=0 , trung điểm cạnh AC là M(0;3) , đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm N(7;-1). Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Bài 24* . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(4;3). Các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm lần lượt là I(1;2) và 3 2; 2 K    ÷   a/ Lập phương trình đường thẳng BC hoctoancapba.com b/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC . . Ôn thi cấp tốc -2013 Trang 8 Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;4) ;B(1;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d có phương trình : x+2y+1=0 , có trọng tâm G . Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 , tìm tọa độ đỉnh C Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-2), đường cao CH , phân giác trong BK lần lượt có phương trình x-y+1=0; và 2x+y+5=0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho tam giác AMB cân tại M Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua M(0;-1) . Biết AB=2AM , đường phân giác trong AD có phương trình : x-y=0 và đường cao CH có phương trình là 2x+y+3=0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Bài 24*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng 1 2 : 2 0; : 2 2 0d x y d x y− − = + − = Giả sử 1 2 d d∩ tại I . Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;1) cắt 1 2 ;d d tại A và B sao cho AB=3IA Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có 5AB = ; C(-1;-1) . Cạnh AB có phương trình là : x-2y-3=0 , trọng tâm G thuộc đường thẳng d : x+y-2=0 . Tìm tọa độ các đỉnh A,B của tam giác ABC. Bài 26. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;5),B(5;1) . Viết phương trình đường thẳng d qua A sao cho khoảng cách từ B đến d bằng 3. Bài 27 Trong (Oxy) cho A(2;5) và đường thẳng d : 2x+3y+4=0. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d' qua A và tạo với d một góc bằng 0 45 . Bài 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d: x-2y+3=0 . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC=3BC . II. VỀ HÌNH CHỮ NHẬT A. KIẾN THỨC 1. Trong hình chữ nhật : Hai cạnh liên tiếp vuông góc nhau 2. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường 3. Hai cạch đối diện nhau bằng nhau 3. Theo tính chất hai đường thẳng // bị cắt bởi một cát tuyến : - Các góc so le bằng nhau - Các góc cùng phía bằng nhau B. CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1. (KD-2012 ) Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD . Các đường thẳng AC và AD có phương trình x+3y=0 và x-y+4=0 ., đường thẳng BD đi qua diểm 1 ;1 3 M −    ÷   . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật Gợi ý +/ AC cắt AD tại A có tọa độ : ( ) 3 0 1 3;1 4 0 3 x y y A x y x + = =   ⇔ ⇔ ⇒ = −   − + = = −   +/ Đường thẳng d' qua M song song với AD : x-y+m=0 ; 1 4 4 1 0 ': 0 3 3 3 m m d x y− − + = ⇒ = ⇔ − + = +/ d' cắt AC tại N 3 0 1 1 1; 3 4 3 0 1 3 x y y N x y x + =   = −     ⇔ ⇔ ⇔ = −    ÷ − + =     =   Ôn thi cấp tốc -2013 Trang 9 A B CD I A B CD I M N EK Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 +/ Gọi E là trung điểm MN 2 2 ; 3 3 E   ⇒ = −  ÷   . Đường thẳng qua E vuông góc với AD cắt AC tại I là tâm hình chữ nhật . Do đó 2 2 : 0 0 3 3 x y x y     ∆ + + − = ⇔ + =  ÷  ÷     . Suy ra tọa độ I ;K là nghiệm của hệ : ( ) 0 2 2;2 4 0 2 x y x K x y y + = = −   ⇔ ⇔ ⇔ = −   − + = =   . Và ( ) 0 0 0;0 3 0 0 x y x I x y y + = =   ⇔ ⇔ ⇔ =   + = =   Do tính chất đối xứng ta có tọa độ các đỉnh : ( ) ( ) ( ) 3; 1 ; 1;3 ; 1; 3C D B= − = − = − . Bài 2 .(KA-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) là giao điểm của của hai đường chéo AC và BD . Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ có phương trình x+y-5=0 . Viết phương trình đường thẳng AB Gợi ý +/ E thuộc d suy ra E(t;5-t) . Gọi F là điểm đối xứng với E qua I thì F thuộc AB và F(12-t;t-1 ). Khi đó : ( ) ( ) 11 ; 6 ; 6 ; 3MF t t IE t t= − − = − − uuur uur Theo tính chất hình chữ nhật : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 11 6 6 3 0MF IE MF IE t t t t⇒ ⊥ ⇔ = ⇔ − − + − − = uuuruur ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7 5;6 4;1 13 42 0 6 6;5 5;0 t F MF t t t F MF  = → = ⇔ =  ⇔ − + = ⇔  = → = ⇔ =  uuur uuur Vậy (AB) qua M(1;5) có MF uuur là chỉ phương : ( ) ( ) 1 5 : 4 19 0 4 1 1 5 : 5 5 0 x y AB x y x y AB y − −  = ⇔ − + =  ⇔  − −  = ⇔ =   Bài 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Giải - Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ : 2 1 0 21 13 ; 7 14 0 5 5 x y B x y − + =    ⇒   ÷ − + =    - Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương: ( ) ( ) ( ) 21 5 1; 2 2;1 : 13 2 5 BC x t u n BC y t  = +   = − ⇔ = ⇒   = −   r uuur . +/ Mặt khác : ( ) ( ) 2 2 2 7 2 1 os BD;BC os AC;BC 5.5 2 10 5 a b c c a b − + = = = = + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 7 8 0 7 10 5 a b a b a b a b a ab b b a a b = − +  ⇔ = ⇔ + = + ⇔ + + = ⇔  = − +  Ôn thi cấp tốc -2013 Trang 10 A B CD M(1;5) E F d:y+y-5=0 I(6;2) A B C D M(2;1) x-7y+14=0 x-2y+1=0 I [...]... 1 2 2 Bi 32 Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn ( C ) : x + y 6 x + 5 = 0 Tỡm im M trờn trc tung sao cho t ú k c hai tip tuyn ti (C) m gúc gia hai tip tuyn ú bng 600 Bi 34 Trong mt phng Oxy cho ng trũn (C): x 2 + y 2 + 2 x 4 y 20 = 0 v im A(5;-6) T A v hai tip tuyn AB,AC ti (C) vi B,C l hai tip im Tỡm ta tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC Bi 35 Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn (C) : x 2 + y 2... đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định HD xx yy Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2) Tiếp tuyến tại A có dạng : 1 + 1 = 1 4 3 x0 x1 y0 y1 + =1 Tiếp tuyến đi qua M nên : (1) 4 3 xx yy Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt : 0 + 0 = 1 4 3 4 xx0 4 yy0 4 xx0 y (12 3 x0 ) + = 4, + =4 do M thuộc nên 3x0 + 4y0 =12 4y0 =12-3x0 4 3 4 3 Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB đi qua... S(-3;-1) 2 5 2 Bi 4 Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn ( C ) : x ữ + ( y 1) = 2 Xỏc nh ta 4 cỏc nh ca hỡnh vuụng ABCD bit cỏc nh B,C thuc ng trũn (C), hai nh A,D thuc trc Ox v nh B cú tung dng BI TP T LUYN cos ( AB; BD ) = cos ( AB;AC ) = cos450 = ễn thi cp tc -2013 Trang 13 im -ng thng trong mt phng Nguyn ỡnh S -T: 0985.270.218 3 1 Bi 5 Trong mt phng ta Oxy cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm I ; ữ... TP HNG DN TRấN LP Bi 3 Trong mt phng Oxy cho ba ng thng d1 : 4 x + y 9 = 0, d2 : 2 x y + 6 = 0, d3 : x y + 2 = 0 Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh thoi ABCD, bit hỡnh thoi ABCD cú din tớch bng 15, cỏc nh A,C thuc d3 , B thuc d1 v D thuc d2 Bi 4.(KB-2012PB) hoctoancapba.com ễn thi cp tc -2013 Trang 15 im -ng thng trong mt phng Nguyn ỡnh S -T: 0985.270.218 Trong mt phng Oxy cho hỡnh thoi ABCD cú AC=2BD v ng... mt phng Nguyn ỡnh S -T: 0985.270.218 BI TP HNG DN TI LP Bi 11 Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn hai ng trũn : (C ) : x 2 + y 2 2 x 2 y + 1 = 0, (C ') : x 2 + y 2 + 4 x 5 = 0 cựng i qua M(1; 0) Vit phng trỡnh ng thng qua M ct hai ng trũn (C ), (C ') ln lt ti A, B sao cho MA= 2MB Bi 12 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): x 2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 cú tõm I v ng thng : mx + 4y... (C) i qua M tip xỳc vi d1 ct d 2 theo dõy cung AB=8 Bi 23 Trong mt phng ta Oxy cho ng thng d : x-y-1=0 v hai ng trũn : ( C1 ) : x 2 + y 2 6 x + 8 y + 23 = 0; ( C2 ) : x 2 + y 2 + 12 x 10 y + 53 = 0 Vit phng trỡnh ng trũn (C) cú tõm nm trờn ng thng d , tip xỳc trong vi ( C1 ) v tip xỳc ngoi vi ( C2 ) Bi 24 Trong mt phng ta Oxy cho im A(-2;6) v hai ng thng d : 2x-y-1=0 v d': 3x4y -19 =0 Vit phng... +/ Cỏc bc gii li nh phn sau ca cỏch gii trờn ( ) ( ) HNG DN TRấN LP Bi 4 Trong mt phng to Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú phng trỡnh hai ng Chộo (AC): 7x +y -4 = 0, phng trỡnh ng thng (BD): x y + 2 = 0, Vit phng trỡnh ng thng cha cnh hỡnh ch nht , bit ng thng ú i qua im M(-3;5) Bi 5 Trong mt phng vi h trc to Oxy cho hỡnh ch nht ABCD, cú din tớch bng 12, tõm I l giao im ca ng thng d1 : x y 3 = 0 v... DN TRấN LP Trang 26 ễn thi cp tc -2013 im -ng thng trong mt phng Nguyn ỡnh S -T: 0985.270.218 Bi 4 Trong mt phng vi h ta Oxy Cho elip (E) : x 2 + 4 y 2 4 = 0 Tỡm nhng im N trờn elip (E) sao cho : F1 NF2 = 600 ( F1 , F2 l hai tiờu im ca elip (E) ) x2 y 2 Bi 5 Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): + = 1 và đờng thẳng :3x + 4y =12 Từ điểm 4 3 M bất kì trên kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh... giao im ca d1 vi trc Ox Tỡm to cỏc nh ca hỡnh ch nht Bi 6 Trong mt phng ta Oxy ,cho hỡnh ch nht ABCD ,cnh (AB) cú phng trỡnh : xy+1=0 , ta tõm I(1;1) Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht , bit AB=3BC v A cú honh õm ễn thi cp tc -2013 Trang 11 im -ng thng trong mt phng Nguyn ỡnh S -T: 0985.270.218 BI TP T LUYN Bi 7 Trong mt phng ta Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 12 , giao im hai 9 3 ng chộo l I(... thoi ABCD cú AC=2BD v ng trũn tip xỳc vi cỏc cnh hỡnh thoi cú phng trỡnh x 2 + y 2 = 4 Vit phng trỡnh chớnh tc (E) i qua cỏc nh A,B,C,D ca hỡnh thoi Bit A thuc Ox BI TP T LUYN Bi 5 Trong mt phng ta Oxy , cho hỡnh thoi ABCD cú A(1;-2),B(-3;3) v giao im hai ng chộo nm trờn ng thng d: x-y+2=0 Tỡm ta C v D V V NG TRềN A KIN THC 2 2 1.ng trũn cú tõm I(a;b) cú bỏn kớnh R cú phng trỡnh : ( x a ) + ( . niệm hai véc tơ bằng nhau : Tọa độ tương ứng bằng nhau - Cách viết tọa độ của một véc tơ : Tọa độ ngọn trừ cho tạo độ gốc - Hai véc tơ song song nhau : tỷ số hai tọa độ bằng nhau 2. Về diện tích. trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình chữ nhật ABCD ,cạnh (AB) có phương trình : x- y+1=0 , tọa độ tâm I(1;1) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình. , tìm tọa độ đỉnh C Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-2), đường cao CH , phân giác trong BK lần lượt có phương trình x-y+1=0; và 2x+y+5=0 . Tìm tọa độ điểm