SKKN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC

Trong năm học 2010 - 2011, tôi đã hệ thống những kinh nghiệm soạn đề và phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức với hy vọng học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện và tự tin hơn khi ti

GV: Dương Thị Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 0

PHẦN MỞ ĐẦU I.BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI

Kể từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung

“ Số phức” vào chương trình lớp 12 cho học sinh dạng đại trà Đây là vấn đề khá mới lạ đối với không ít giáo viên và học sinh bậc THPT (do thời lượng chương trình và tài liệu nghiên cứu không nhiều), mặc dù nội dung này chiếm một tỉ lệ nhất định trong các đề thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Vì thế, việc dạy và học nội dung “ Số phức” có hiệu quả thật sự là vấn đề cần nghiên cứu Qua quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy một ít kinh nghiệm cho nội dung này Trong năm học 2010 - 2011, tôi đã hệ thống những kinh nghiệm soạn đề và phương pháp giải một số dạng bài

tập về số phức với hy vọng học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện và tự tin hơn khi tiếp cận

các vấn đề liên quan đến số phức

II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Lý do chọn đề tài của tôi xuất phát từ những trải nghiệm sau:

* Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên đa phần khi vận dụng còn ảnh hưởng bởi tính chất của tập hợp số thực đã học từ các lớp dưới Vì vậy thường tỏ ra lúng túng khi đối mặt chúng trong các đề thi

* Trong nhiều trường hợp, có thể vận dụng phương pháp“ Dùng cái phức để giải quyết cái thực” một cách hữu hiệu

* Nghiên cứu dạng toán này còn giúp cho học sinh kết hợp phương pháp đại số và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải quyết một số dạng toán nâng cao

* Đặc biệt, nhằm ứng dụng hiệu quả kiến thức tiếp thu qua các lớp tập huấn về công nghệ thông tin và bồi dưỡng thường xuyên, bên cạnh việc hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay trong việc tính toán số phức, bản thân còn ứng dụng phần mềm Maple để chủ động biên soạn các đề bài toán số phức phù hợp mục tiêu từng dạng bài

Từ những suy nghĩ trên, tôi mạn phép trao đổi cùng các anh chị đồng nghiệp và các

em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “KINH NGHIỆM SOẠN ĐỀ VÀ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC” nhằm góp phần

nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn toán ở trường THPT

III PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

• Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp và Cao đẳng - Đại học

• Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:

* Một số dạng bài tập thường gặp về số phức

* Ứng dụng số phức tìm để giải quyết một số bài toán về số thực

* Các bài toán tham khảo qua các kì thi

* Minh họa một số đề bài toán được biên soạn bởi sự hỗ trợ phần mềm Maple

IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục tiêu:

GV: Dương Thị Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 2

* Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức

* Bản thân rèn luyện chuyên mơn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm

* Ứng dụng CNTT trong việc đổi mới phương pháp dạy và học ở trường phổ thơng

* Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chuyên Bến Tre và của Cơng Đồn ngành Giáo dục phát động

V ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

* SKKN này đã hệ thống tĩm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức

* Qua SKKN nầy, học sinh được nắm được phương pháp giải một số dạng tốn về

số phức và các kỹ thuật tính tốn đại số.Cụ thể là:

+ Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài tốn định tính

+ Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức

+ Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

+ Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai

+ Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức

+ Dạng 6: Nhị thức Niu-tơn và số phức

* SKKN này cịn khai thác ý nghĩa hình học về các phép tốn cộng, trừ của số phức

và ứng dụng dạng lượng giác của số phức

* SKKN này đưa ra nhiều bài tốn mẫu và các bài tập tương tự nhằm mục tiêu giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính tốn và phát triển tư duy trước mỗi dạng bài

* Qua SKKN này, học sinh sẽ tích lũy thành kinh nghiệm cho bản thân để cĩ thể sáng tạo giải quyết các bài tốn nâng cao và tổng hợp khác

* Đặc biệt, điểm mới cần lưu ý trong SKKN này là bản thân đã khai thác ứng dụng phần mềm Maple trong việc sáng tác các bài tốn và kiểm tra kết quả theo mục tiêu bài học

PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:

* Các kiến thức cơ bản về số phức

* Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

* Một số kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của máy tính cầm tay

* Một số lệnh cơ bản của Maple

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Trong suốt 12 năm học từ bậc tiểu học đến bậc THPT, hầu hết thời gian làm tốn số của học sinh là yêu cầu giải quyết trên tập số thực Riêng năm học lớp 12 học sinh được tiếp cận với tập số phức với thời lượng nhất định để nghiên cứu các dạng tốn liên quan Vì thế, nếu khơng cĩ sự hướng dẫn đầy đủ và cụ thể của giáo viên thì học sinh thường cĩ sự nhầm lẫn trong tính tốn và khơng nắm vững phương pháp giải từng

dạng bài Đồng thời, học sinh cũng khơng cảm nhận hết“ cái đẹp” của số phức cũng như khơng thấy rõ mối liên quan giữa các kiến thức tốn học

Do vậy, việc giải các bài tốn liên quan đến số phức địi hỏi cĩ sự kết hợp khéo léo

và vận dụng linh hoạt, sáng tạo giữa các kiến thức tốn Sau đây, tơi xin giới thiệu một

số phương pháp thường dùng để giải các dạng tốn nĩi trên

III CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Mỗi là một biểu thức dạng với

, và 1 Kí hiệu số phức đó là z và viết

được gọi là đơn vị ảo, được gọi là phần thực và được

Đây là cơ sở của việc ứng dụng số phức để giải quyết các bài toán trong tập hợp số t

Chú ý:

hực

Sau khi học xong công thức Moivre(Moa- vrơ), có thể tính được

cos , sin như sau:

Với 3, xét = cos3 sin3 (1)

∗

= ++

iỨng với mỗi số có duy nhất một điểm

Biểu diễn hình học của số phư

( ; )/ mp và ngược lạ

x z

y i

iCác điểm trên trục hoành biểu diễn các số thực; Các điểm trên trục tung biểu diễn các số ảo

GV: Dương Thị Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 4

Cho có vectơ biểu diễ

của ca

n là ( ; ) có vectơ biểu d

ùc phép toán cộng, trừ s

Định nghĩa phép nhân số phức:

Tích của hai số phức va

Phép chia số phức:

Số phức liên hợp của là -

Mođun của số phức z là

Phép chia cho số phức khác kh

z

z z

Có thể chứng minh đư

" Căn bậc hai của số phức là số phức sao cho "

Mỗi số phức 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số

ợc kết quả

Không được dùng kí hiệu để chỉ căn bậc hai của một số phức

( không được viết a bi )

Chú ý phương pháp tìm căn bậc hai của số phức :

Giả sử là căn bậc hai của

Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

Đặc biệt, số thực dương có hai căn bậc hai là a a và - ; số thực a a

,

trong đó là một căn bậc hai của

0 thì pt (1) có nghiệm kép:

GV: Dương Thị Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 6

Phần 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

PP tìm dạng lượng giác của số phức

Định nghĩa dạng lượng giác của số phức:

khác 0Bước 1:Tìm = (mođun cu

Đặc biệt khi 1:

Số phức có hai căn bậc hai là

Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

(cos sin ), 0 (cos + sin ) và

Trên đây là những điểm trọng tâm và những điều cần lưu ý của nội dung kiến thức làm cơ sở nghiên cứu SKKN Qua đĩ, ta cĩ thể phân loại các dạng bài tập vận dụng như sau:

Dạng 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH

Yêu cầu cần đạt:

- Nắm vững các khái niệm và rèn luyện kỹ năng tính tốn

- Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả

Một số bài tốn minh họa

i

2 2

1/ Cho số phức thỏa điều kiện: 2 3 4 (1 3 ) Tìm phần thực và phần ảo của số phư (CĐ-A,B,D-2010)

i z

− Tìm mo

1 (ĐH -A- 201 )0

i

GV: Dương T hị Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 8

4 18

Dạng 2: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

êu cầu bài tốn thường cho

t phẳng Oxy (mặt phẳng phức)

ước

1) Biểu diễn hình học các số phức trong mặ

2) Tìm điểm (tập hợp điểm) biểu diễn số phức z thỏa một hoặc vài điều kiện cho tr

ột số bài tốn minh họa

1) Chứng minh tam giác vuông cân

2) Tìm số phức có điểm biểu

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa

trong các điều kiện sau:

GV: Dương Thị Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 10

−

−

⇔

Gọi là điểm biểu diễn số phức ,

điểm biểu diễn số 2,

điểm biểu diễn số phức

Vậy tập hợp điểm cần tìm là

đường trung trực ( ) của đoạn ,

với ( ): 4 2 3 0

A MB M

Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳ

Dạng 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬ C HAI

Yêu u bài tốn cầ thường cho dưới dạng:

ố thực âm, căn bậc hai của số phứ2) Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phứ

Một số bài tốn minh họa

GV: Dương Thị Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 12

Dạng 4: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp:

ho mẫu thức rồi sau đĩ biến đổi phương trình quy về bậc hai

ng trình trên thuộc dạng cĩ ẩn dưới mẫu, khi giải phả

2 2

Đặt , phương trình trở thành:

6

4 12 0

2Phương trình đã cho tương đương với

2

6 0

12cho có bốn nghiệm

z z

z z

= −

⎡+ − = ⇔ ⎢ =⎣

Gọi ( , ) là một căn bậc ha

Ta có hệ phươ

z i

x y

2

3(1) thỏa điều kiện

1 2Vậy pt (1) có hai nghiệm: 3 và 1 2

Để giải phương trình bậc bốn trên, ta cĩ thể đặt ẩn phụ quy về phương trình

ậc hai Trong nhiều trường hợp, cĩ thể dùng phương pháp giải phương trình đối ứng hoặc tựa đối xứng như trong tập số thực Bài tập sau đây minh họa cho trường

Dạng 5: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Yêu cầu bài tốn thường cho dưới dạng:

1) Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượ

2) Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượ

3) Bài tốn ứng d

Một số bài tốn minh họa

ng giác và ngược lại

pt đã cho tương đương:

1 1 1

21

1)Vì 0 không là nghiệm phương trình,

nên

1 5 0 (1)2

Để giải được dạng bài tập trên, ngoài việc nắm vững định nghĩa dạng lượng giác

ối liên quan đặc biệt

z

π ϕ−

GV: Dương Thị Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 16

Thực chất bài tập trên là yêu cầu viết dạng lượng giác của số phức Bài tập sau

ây cũng mang ý nghĩa như trên nhưng ở mức độ nâng cao hơn

Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn z, giải pt điều kiện tìm z

Bước 2: Áp dụng cơng thức Moa-vrơ để tìm w

Bước 3: Kết luận phần thực và phần ảo của w

( KQ: Phần thực của w bằng -1, phần ảo của w bằng 0.)

Trong bài tập trên cĩ thể thay số mũ 2008 bởi số khác sẽ được bài tương tự Khi đĩ

cĩ th vận dụng cơng thức cung liên kết của lượng giác để hỗ trợ tính tốn

2Tìm số phức biết: z z + =z 0; K Q: z=0,z i= và z= −i

a) Cho số phức thỏa: (2 ) 10 và 25 Hãy tìm

5 2

3(1 )2)

ằng nếu , , thẳng hàng thì tỉ số

33

GV: Dương Thị Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 18

3) MINH HỌA VIỆC ỨNG DỤNG MAPLE BIÊN SOẠN CÁC ĐỀ TỐN VỀ

• Sau đĩ dùng lệnh giải phương trình:

• Hoặc thay cả hai lệnh trên bởi lệnh:

• Từ đĩ dễ dàng kiểm tra phần thực và phần ảo của z

c sinh cĩ thể dùng MTCT để tính ở bước cuối rồi kết luận ( tr 7) Với cú pháp

n, GV nhanh chĩng tìm được đáp số Ngồi ra cĩ thể thay bởi số k

• Tương tự VD1 hoặc dùng lệnh gán:

Ví dụ 3:

• Ta có thể thực hiện lần lượt các lệnh sau:

• Hoặc để kiểm tra kết quả, ta dùng lệnh gộp sau:

1 (ÑH -A- 2010)

i

i

GV: Dương Thị Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 20

• Dùng lệnh solve như sau:

Chú ý: Trong các bài tốn trên, nếu thay đổi số liệu ta dễ dàng cĩ đề bài và đáp số tương ứng Ngồi ra, cĩ thể dùng lệnh expand để lập phương trình bậc hai nếu biết hai nghiệm (cĩ thể phức) của nĩ Chẳng hạn thực hiện các bước:

- Lập pt bậc hai biết hai nghiệm là 1+2i và 3-4i:

c) Dạng : Khai triển hàm lượng giác

Ví dụ 8: Biểu diễn sin6x và cos6x lần lượt theo sinx và cosx

Nhận xét:

Ví dụ trên minh họa cho việc ứng dụng Maple để chứng minh công thức dạng biểu diễn lần lượt sinnx, cosnx theo sinx, cosx Đồng thời thể hiện quan

thực” trong toán học

IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Bằng việc hệ thống kiến thức trọng tâm và phương pháp một số dạng bài tập về số phức như trên, tôi đã trang bị cho các em học sinh một chuẩn kiến thức cần thiết để g i

bài kiểm tra và bài thi của học sinh khối 12 và lớp 11 chuyên toán, có khoảng học sinh cho lời giải khá tốt Điều này chứng tỏ các em đã có sự tiến bộ về nhận thức và kĩ năng vận dụng phương pháp giải các dạng toán nói trên Từ đó, học sinh chủ động sáng tạo hơn trong việc học toán và thêm yêu thích bộ môn

Việc ứng dụng phần mềm Maple để sáng tác đề và kiểm tra kết quả các bài tập về số phức thật sự đã mang lại hiệu quả đáng kể hờ đấy, GV có trong tay một lượng bài tập pho khac nhau hay tương đồng giúp cho HS có nhiều cơ hội rèn luy n và phát triển tư duy Đồng thời, GV có thể tổ chức cho HS kiểm tra nhiều mã đề khác nhau cùng mộ lúc với chất lượng đề tương đương Như thế đảm khả năng tiếp thu của HS một cách khách quan và công b ng

điểm “Dùng cái phức để giải quyết cái

GV: Dương Thị Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 22

PHẦN KẾT LUẬN BÀI HỌC KINH NGHIỆM

I

Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh nghiệm trong cơng tác chuyên mơn là: Để học sinh nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập về

số phức, giáo viên cần phải cĩ sự gia cơng hệ thống các k n thức trọng tâm và phương

p

p về số phức Đồng thời, SKKN này

n phương pháp thích hợp và i bài tốn Chuyên đề “Kinh nghiệm soạn đề và phương i tập về số phức” cĩ thể dùng

viên dạy tốn THPT bổ sung kinh nghiệm ra đề và giả

Thành phố Bến Tre, ngày 25 tháng 2 năm 2011

iếháp giải một số dạng bài về số phức Đồng thời, giáo viê

tậ đa dạng minh họa cho từng dạng bài nhờ sự hỗ trợ của phần mềm Maple Đặc biệt, giáo viên phải là người tạo động cơ để học sinh cùng tham gia giải quyết các vấn đề đặt

ra Sau cùng, giáo viên cịn phải kiểm tra, đánh giá và rút kinh nghiệm cho các em về việc vận dụng các phương pháp này

II Ý NGHĨA CỦA SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm trên đã giúp cho giáo viên chủ động giảng dạy cho học sinh một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tậ

cịn giúp cho học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kĩ năng giải tốn Từ đĩ học sinh cĩ cái nhìn tồn diện và tự tin hơn khi tiếp cận dạng tốn này

III KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG, TRIỂN KHAI

SKKN này đã được trình bày theo chuyên đề và thiết kế dưới dạng giáo án điện tử dùng giảng dạy cho các em học sinh lớp 11 chuyên tốn và khối 12 ơn thi Tốt nghiệp, Cao đẳng – Đại học Được học chuyên đề này, học sinh sẽ dễ dàng cĩ sự lựa chọ

vận dụng sáng tạo cho mỗ

pháp giải một số dạng bà

làm tài liệu tham khảo cho giáo

ng dạy dạng tốn này

IV KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT

Qua việc trình bày nội dung chuyên đề trên, chúng tơi thật sự muốn chia sẻ với quý anh chị đồng nghiệp cùng các em học sinh một vài kinh nghiệm mà bản thân đã gĩp nhặt trong quá trình giảng dạy Rất mong nhận được sự trao đổi, gĩp ý cho chuyên đề

từ các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh Hy vọng SKKN này sẽ gĩp phần nâng cao chất lượng dạy và học tốn ở trường THPT

Người viết

Dương Thị Xuân An