tiểu luận Sự hình thành và nội dung cơ bản của logic toán

Sau gần hai thế kỷ, ý tưởng trên của Lépnit đã được thực hiện một phần bởicông trình nghiên cứu của nhà toán học Bulơ trong việc sử dụng các công cụ đại số để diễn đạt các tư tưởng của l

CHƯƠNG 1

SỰ HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA LOGIC TOÁN

1.1 Các hướng cải cách logic hình thức của Arixtốt và sự ra đời của logic toán

1.1.1 Các hướng cải cách logic học Arixtốt

Logic hình thức từ thời Arixtốt đã ở dạng khá hoàn chỉnh Ba quy luật cơbản của tư duy logic hình thức là quy luật đồng nhất, quy luật cấm mâu thuẫnlogic và quy luật loại trừ cái thứ ba đã được trình bày một cách khá rõ ràng trong

bộ Orgamôn Trong tác phẩm Orgamôn, tuy chưa có sự trình bày về quy luật lý

do đầy đủ, nhưng thực chất Arixtốt đã nắm vững quy luật này khi ông giảng dạycho học trò về các tình thái logic và quan hệ nhân quả Các phương pháp suyluận cũng đã được thể hiện một cách có hệ thống Tuy nhiên, do hiểu biết củacon người về tự nhiên và xã hội ở thời kỳ cổ đại còn khá ngây thơ nên logic hìnhthức cũng mang tính trực quan và sơ cấp Trải qua rất nhiều thế kỷ, logic hìnhthức không có một bước đột phá nào đáng kể mà nó còn bị Thiên chúa giáo làmbiến dạng để có thể cùng đi trên một con đường với triết học kinh viện thờiTrung cổ

Đến thời kỳ Phục Hưng, nhiều phát hiện mới trong toán học và khoa học tựnhiên xuất hiện làm thay đổi đáng kể thế giới quan của con người Logic học(với tư cách là tư duy cấp hai) đã bộc lộ một số hạn chế so với tư duy khoa họcđương thời Nhiều ý tưởng cải cách logic hình thức của Arixtốt, xây dựng mộtkiểu của logic học mới đã xuất hiện Xét trong phạm vi phát triển của logic hìnhthức, có thể chia các ý tưởng cải cách này thành hai xu hướng chính: Xu hướngthứ nhất là xây dựng logic quy nạp mà tiêu biểu là Bêcơn (1561-1626); Xuhướng thứ hai là xây dựng logic diễn dịch mà tiêu biểu là Đềcác và Lépnít

Hướng xây dựng logic quy nạp được trình bày trong tác phẩm “Công cụmới” của Ph.Bêcơn Trong tác phẩm “Công cụ mới”, logic hình thức của Arixtốtđược xem xét như một thứ logic học chỉ biết nghiên cứu tới luận ba đoạn Với tư

cách vừa là nhà triết học, vừa là nhà khoa học thực nghiệm, Bêcơn cho rằng cầnphải tiến hành thí nghiệm để làm phong phú những hiểu biết của con người thaycho việc tranh giành chân lý bằng lý luận; nếu cứ lao vào luận ba đoạn vớinhững dạng thức suy diễn được xây dựng trên nó thì không thể tìm kiếm đượcchân lý, bởi vì sự vận động và tương tác trong thế giới thực hiện là muôn hìnhmuôn vẻ Bêcơn cho rằng Arixtốt đã tuyệt đối hóa cách suy diễn theo kiểu luận

ba đoạn, logic hình thức của Arixtốt đã thoát ly hoàn toàn với trực giác và thựctiễn, thiếu hụt nội dung hiện thực Ông mong muốn xây dựng một logic học mới

có khả năng định hướng cho tư duy của con người và ông đã phát triển logic quynạp, làm cơ sở cho phương pháp thực nghiệm khoa học - Một phương pháp cóchức năng kép, một mặt có nhiệm vụ kiểm tra, xác minh chân lý khách quan,mặt khác tạo khả năng phát minh bằng cách khái quát các sự kiện thực nghiệm”

Ở đây Bêcơn đã đánh giá đúng đắn tầm quan trọng của suy luận quy nạp, nhưngông lại gạt bá vai trò của suy luận diễn dịch Hướng nghiên cứu của Bêcơn saukhoảng ba trăm năm mới được Milơ tiếp tục phát triển Milơ đã vạch ra một sốhạn chế khác trong logic hình thức của Arixtốt Theo Milơ thì cách suy diễntrong logic hình thức của Arixtốt là sự thỏa hiệp giữa những nhận định này vớinhững nhận định khác chứ không nhằm mục đích đạt tới chân lý Nhưng chínhMilơ cũng cho rằng mục tiêu thực sự của logic học không phải là tìm kiếm chân

lý, mà là nghiên cứu độ tin cậy của những luận đề được ruít ra theo phương phápchứng minh Ông đã khá thành công với những công trình logic học mang màusắc thực chứng, mà trong đó đóng góp quan trọng nhất là việc hoàn thiện cácphương pháp quy nạp nhằm xác định mối liên hệ nhân quả trong hiện thực Hướng xây dựng logic diễn dịch bắt đầu từ Đềcác với tác phẩm “Phươngpháp luận” nổi tiếng Trong tác phẩm này, một số tư tưởng về logic học củaArixtốt cũng bị phê phán Trước hết Đềcác đồng tình với ý kiến của Bêcơn chorằng phương pháp luận ba đoạn thực chất là một phương pháp suy luận đã bịkinh viện hóa Ông cho rằng luận ba đoạn chỉ có tác dụng giải thích cho ngườikhác những tri thức mà nhân loại đã biết Theo Đềcác thì nhiệm vụ quan trọng

hơn của logic học là phải giúp con người nghiên cứu giới tự nhiên Đềcác chorằng những nguyên lý và phương pháp trong logic hình thức của Arixtốt đã bộc

lộ một số hạn chế và ông đã đề ra nhiệm vụ phải xây dựng những phương phápnhận thức sâu sắc hơn nữa Vận dụng triệt để toán học và triết học đương thời,ông đã hoàn thiện và phát triển logic diễn dịch làm cơ sở cho phương pháp lýthuyết khoa học Con đường của Đềcác sau này được nhà logic học người ĐứcLepnit nhiệt tình ủng hộ và tiếp bước Lepnit cũng là người đưa ra quy luật lý dođầy đủ và hoàn thiện hệ thống bốn quy luật cơ bản của tư duy logic hình thức

Nh vậy Đềcác và Lépnít là đại diện cho hướng xây dựng và phát triển logic diễndịch Cũng chính hai ông là những người có những ý tưởng đầu tiên về việc xâydựng logic toán

1.1.2 Sự hình thành và phát triển của logic toán.

Trong đà phát triển mạnh mẽ của khoa học tư nhiên cuối thế kỷ 17, người

ta nhận thấy vai trò đắc lực của toán học trong việc phát hiện các quy luật vậnđộng của thế giới vĩ mô và thế giới vi mô Các nhà triết học, logic học cũng tìmcách sử dụng toán học để nghiên cứu các thao tác của tư duy logic Nổi lên trongtrào lưu này trước hếtd phải kể đến lépnít Ông cho rằng cần phải xây dựng logichọc theo các nguyên tắc toán học Một mặt ông đánh giá cao tính chặt chẽ vàchính xác của toán học Mặt khác ông cho rằng logic học có nhiều điểm tươngđường với toán học Theo ông thì bất kỳ suy luận nào, kể cả suy luận trong toánhọc và suy luận ngoài toán học đều có thể thực hiện dưới hình thức các phéptoán Ông hy vọng với các phép toán như vậy, việc nghiên cứu về tư duy trongphạm vi của logic học sẽ được giải quyết một cách đầy đủ và chính xác Phươngpháp của Lépnít là gán cho mỗi khái niệm cơ bản một ký hiệu riêng, đồng thờixây dựng quy tắc liên kết các ký hiệu này dựa trên quan hệ giữa các khái niệmđược ký hiệu hóa Khi đó các thao tác logic của tư duy sẽ được thể hiện dướihình thức các biểu thức tương tự các biểu thức toán học Với phương pháp này,các hình thức và các thao tác của tư duy sẽ được nhìn nhận một cách rõ ràng

hơn, các suy nghĩ của con người sẽ được hình thức hóa một các tường minh hơn,

và quan trọng hơn cả là bản thân suy nghĩ của chúng ta cũng tránh được những

sự rườm rà không cần thiết Tuy nhiên những ý tưởng đúng đắn của Lépnít cũngchưa được thực hiện hóa một cách đáng kể ngoài một công trình nghiên cứuđược ông xây dựng nhưng chưa hoàn chỉnh và ông cũng không công bố côngtrình này, vì ông không cảm thấy hài lòng về nó Chúng ta có thể lý giải vềnguyên nhân của hiện tượng này là do trình độ phát triển của toán học đườngthời chưa đủ trang bị những công cụ toán học cần thiết để Lépnít có thể thựchiện thành công những ý tưởng của mình trong việc toán học hóa logic hìnhthức

Sau gần hai thế kỷ, ý tưởng trên của Lépnit đã được thực hiện một phần bởicông trình nghiên cứu của nhà toán học Bulơ trong việc sử dụng các công cụ đại

số để diễn đạt các tư tưởng của logic hình thức Trong công trình của Bulơ, cácmệnh đề được ký hiệu bới các chữ cái, các phép liên kết logic được định nghĩamột cách hoàn toàn hình thức, các quy tắc của đại số thông thường vẫn được ápdụng trừ một vài quy tắc sửa đổi; do đó công trình của Bulơ được gọi là đại sốlogic Đại số logic xuất hiện cũng chính thức đánh dấu sự ra đời của logic toán,

nó cũng tạo điều kiện cho sự hoàn thiện lý thuyết suy luận theo hướng khái quáthóa và chính xác hóa Ở đây ngôn ngữ ký hiệu của đại số đã được sử dụng đểxây dựng các phép toán hình thức và quá trình suy diễn để tìm ra tri thức mớiđược thực hiện bằng việc biến đổi các biểu thức logic Như vậy trong lịch sửlogic hình thức đã xảy ra một sự chuyển biến quan trọng, đó là hình thành mộthướng nghiên cứu mới với việc sử dụng ngày càng nhiều hơn các phương phápnghiên cứu của toán học cũng như các kết quả của toán học để nghiên cứu cácthao tác của tư duy logic Tuy nhiên sự chuyển biến này có giá trị về mặtphương pháp hơn là về mặt nội dung Những vấn đề mà Bulơ nêu ra và cách giảiquyết của ông chưa thực sự bứt ra khỏi phạm vi của logic hình thức truyềnthống Hơn nữa, theo phương pháp của Bulơ thì chỉ thực hiện được phép suy

luận khi mà trong tiền đề có chứa các mệnh đề phức hợp, bởi vì công trìnhnghiên cứu của ông chưa động chạm tới cơ cấu logic của các mệnh đề sơ cấp.Vậy làm cách nào để có thể nghiên cứu cơ cấu logic của các mệnh đề sơcấp (để từ đó xây dựng những dạng thức suy luận trực tiếp và những dạng thứcsuy luận gián tiếp từ tiền đề chỉ gồm các mệnh đề sơ cấp) bằng phương pháptoán học? Để trả lời câu hỏi này, Phêghe đã có sáng kiến sử dụng làm số toánhọc để biểu diễn cơ cấu logic của các biến mệnh đề nh P(x) = “x là sinh viên”;Q(x,y) = “x là bạn của y”… Nhưng các hàm số toán học nh vậy vẫn chưa biểudiễn được các mệnh đề cụ thể Do đó các lượng từ đã được xây dựng để cùngvới các hàm số toàn học đủ khả năng biểu diễn các mệnh đề cụ thể Chẳng hạncông thức xP (x) sẽ biểu diễn mệnh đề “Có những người là sinh viên” và côngthức yxQ(x,y) sẽ biểu diễn mệnh đề “Mọi người đều có Ýt nhất một ngườikhác là bạn của mình” Các phán đoán đơn trong logic hình thức truyền thốngcũng được biểu diễn lại theo ngôn ngữ toán học Chẳng hạn “Mọi S là P” sẽđược biểu diễn lại là x(S(x) -> P(x)); “Tông tại S là P” được biểu diễn lại là

x(S(x)P(x) Sáng kiến của Phêghe đánh dấu sự ra đời của một ngành logictoán hoàn toàn mới mẻ - logic vị từ Với sự ra đời của logic vị từ, cơ cấu logiccủa các mệnh đề sơ cấp cùng với các dạng thức suy luận trực tiếp và các dạngthức suy luận gián tiếp từ tiền đề không chứa mệnh đề phức hợp lại được nghiêncứu một cách sâu sắc hơn so với trong logic hình thức truyền thống, do đó màđạt được những kết quả mới có độ khái quát và chính xác cao hơn

Khi logic mệnh đề và logic vị từ tương đối định hình cũng là lúc phươngpháp tiên đề hóa - một phương pháp đặc trưng của toán học đã tỏ ra rất thànhcông trong việc tiên đề hóa các lý thuyết hình học và đại số Phương pháp nàycũng đang lan tràn sang các lĩnh vực khoa học lân cận với toán học và xâm nhậpvào logic toán vào cuối thập niên bảy mươi của thế kỷ 19 Tác phẩm “Phép tínhkhái niệm” của Phêghe xuất bản năm 1879 đã đưa ra hệ tiên đề logic đầu tiên.Nhiều hệ tiên đề logic tiếp theo đã xuất hiện vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20

Việc trình bày logic toán học dưới dạng các lý thuyết tiên đề làm cho quá trìnhsuy luận trong đó trở nên trừu tượng hơn, nhưng cũng chính xác hơn Chúng ta

sẽ nghiên cứu hỹ hơn về phương pháp tiền đề hóa trong logic toán và kết quảcủa nó là các hệ tiên đề logic khi bàn về phương pháp đặc trưng của logic toán(phương pháp hình thức hóa, phương pháp tiên đề hóa) và những nội dung cơbản của nó (logic mệnh đề, logic vị từ)

1.1.3 Phương pháp của logic toán.

Về cơ bản, logic toán (lưỡng trị) vẫn trung thành với những nguyên lý cơbản của logic hình thức truyền thống Nét đặc trưng quan trọng nhất của logictoán lại nằm ở phương pháp nghiên cứu của nó Trong logic toán, các phươngpháp của toán học được sử dụng mạnh mẽ để giải quyết những vẫn đề của logichọc, nổi bật và rõ nét nhất là phương pháp hình thức hóa Từ thời Arixtốt, logichình thức đã biết sử dụng một số ký hiệu để diễn đạt tư tưởng Song ở logictoán, các ký hiệu được sử dụng một cách triệt để hơn và tuân theo những quy tắchết sức chặt chẽ Một đặc điểm quan trọng đối với logic toán là việc định nghĩacác phép toán trên mệnh đề Trong logic hình thức truyền thống, các liên từlogic được xem như sự phản ánh các quan hệ tồn tại giữa các hiện tượng tronghiện thực thì trong logic toán, người ta lại định nghĩa các phép toán trên mệnh

đề bằng những bảng giá trị thể hiện quan hệ về mặt giá trị logic giữa công thứcmới được xây dựng và những công thức cũ dùng để xây dựng công thức mới.Với việc định nghĩa các phép toán trên mệnh đề nh vậy, logic toán đã thực hiệnmột bước nhảy vọt so với logic hình thức truyền thống trong việc hình thức hóa

tư duy Nhờ vậy logic toán đã có khả năng giải quyết khá dễ dàng những vấn đềrất khó khăn đối với logic hình thức truyền thống, ví dụ vấn đề xác định tínhhằng đúng hay không của một công thức phức tạp Việc sử dụng hàm số toánhọc cùng với các lượng từ để biểu diễn cơ cấu logic của các mệnh đề sơ cấpcũng giúp logic toán phát hiện và giải quyết một số vấn đề mà việc trình bày nótrong lĩnh vực logic hình thức truyền thống chưa thật chuẩn xác Chẳng hạn

logic hình thức truyền thống cho rằng tính chân thực của phán đoán A (mọi S làP) kéo theo tính chân thực của phán đoán I (tồn tại S là P) Song nếu dùng ngônngữ hình thức của logic vị từ thì phán đoán A được biểu diễn là x (S(x) -> P(x)

và phán đoán I được biểu diễn x (S(x)  P(x) ta sẽ nhận thấy điều khẳng địnhnói trên trong logic hình thức truyền thống sẽ không đúng trong trường hợpkhông tồn tại một phần tử nào có tính chất S Tuy nhiên cũng vì tính hình thứchóa cao độ của lòic toán mà xuất hiện hai nghịch lý suy diễn tiêu biểu (1, Mọimệnh đúng bất kỳ đều có thể suy ra từ bất kỳ mệnh đề nào và 2, Từ một mệnh

đề sai bất kỳ có thể suy ra bất kỳ mệnh đề nào) mà việc giải quyết hai nghịch lýnày dẫn đến thay đổi những nguyên lý cơ bản của logic hình thức giai đoạn cổđiển

Nét điển hình của logic toán so với logic hình thức còn được thể hiện ở việcxây dựng lý thuyết suy luận dưới dạng một lý thuyết tiên đề để có thể nghiêncứu chính xác hơn cấu trúc và quy luật logic của quá trình tư duy (phương pháptiên đề hóa) Lý thuyết tiên đề được xây dựng hoàn chỉnh khi xác định rõ bốnyếu tố:

Yếu tè số 1: Ngôn ngữ của lý thuyết tiên đề, gồm một hệ thống các ký hiệu,trong đó mỗi ký hiệu hay nhóm ký hiệu sẽ tương ứng với một khái niệm (côngthức, phép toán…)

Yếu tè số 2: Định nghĩa công thức Các công thức trong logic toán đượcđịnh nghĩa theo phương pháp đệ quy Ban đầu có một nhóm ký hiệu sẽ được gọi

là công thức, sau đó xác định quy tắc tạo ra công thức mới từ các công thức banđầu

Yếu tè số 3: Hệ thiên đề, bao gồm một số công thức hằng đúng tiêu biểu.Các công thức hằng đúng được lựa chọn làm tiên đề Ýt nhất cần đảm bảo tínhđộc lập và tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề

Yếu tè số 4: Quy tắc dẫn xuất Đay là quy tắc để tạo ra các công thức hằngđúng từ các tiên đề Công thức mới được tạo ra từ các tiên đề theo đúng quy tắc

dẫn xuất gọi là công thức dẫn được Quá trình tạo ra các công thức dẫn được từcác tiên đề gọi là quá trình dẫn xuất.

Nh vậy các tri thức được tạo ra trong lý thuyết tiên đề đều tồn tại dưới dạngcác công thức dẫn được và quá trình tạo ra các tri thức đó chỉ được thực hiệntrên cơ sở các yếu tố đã có trong hệ tiên đề Cách làm như vậy đã tạo cho logictoán có được khả năng cắt giảm được các yêu tố trực giác, các mối liên hệ mangtính nội dung cụ thể và quá trình suy luận được thực hiện dưới dạng logic lýtưởng, mang tính chính xác và chặt chẽ cao Các tri thức mới được tạo ra với tưcách là kết quả của các hoạt động toán học, nói nh Ăngghen, sẽ đạt tới sự chínhxác hoàn hảo hơn Sự ra đời của các hệ tiên đề logic cùng với các quy tắc dẫnxuất tương ứng có thể xem như sự một kết quả đạm nét của phong cách tư duytoán học trong nghiên cứu logic học Đây hoàn toàn không phải là những sảnphẩm tùy tiện của đầu óc suy tưởng toán học, mà là kết quả của sự phát triểnnhận thức của nhân loại thông qua thực tiễn nghiên cứu khoa học của nhiều thế

hệ, đúng như Lênin đã nhận xét trong bót ký triết học “Hoạt động thực tiễn củacon người đã phải làm cho ý thức của con người lặp đi lặp lại hàng nghìn triệulần những cách logic khác nhau đặng làm cho những cách này có được ý nghĩacủa những tiên đề” {211} Nh vậy, các hệ tiên đề của các thao tác logic của tưduy không phải là những ký hiệu trống rỗng mà trái lại, nó mang những nộidung hết sức tinh tế và cô đọng Nhưng đây không phải là những nội dung trithức cụ thể phản ánh sự vận động của thế giới khách quan, mà là những tri thứcphản ánh một cách cao cấp và điều chỉnh chính cách thức tư duy của con người(tư duy cấp hai, cấp ba …) Các hệ tiên đề này biểu hiện một phương diện logicthực tế của tư duy nhân loại Chỉ có nh vậy chúng ta mới có thể cắt nghĩa nổinhững giá trị nhận thức và thực tiễn to lớn mà logic toán đã tạo ra trong các lĩnhvực khoa học cơ bản và cả trong các ngành khoa học ứng dụng Luận văn sẽdành trọn vẹn chương 2 để nghiên cứu sâu về vấn đề này trên một số bình diệnchính Song để trình bày các kết quả nghiên cứu một cách rành mạch và đủ căn

cứ thì trước hết cần phải làm rõ những nội dung cơ bản của logic toán là logicmệnh đề và logic vị từ

1.2 Logic mệnh đề

1.2.1 Đại số mệnh đề (Trình bày logic mệnh đề theo nội dung)

a) Các khái niệm cơ bản của đại số mệnh đề.

Trong đại số mệnh đề người ta tập trung nghiên cứu các mệnh đề, các phéptoán trên mệnh đề đúng Ở đây ta hiểu mệnh đề là một phán đoán có giá trị chân

lý xác định hoặc đúng hoặc sai

Trong đại số mệnh đề người ta không chú ý tới nội dung cụ thể của mệnh

đề mà chỉ quan tâm tới việc: mệnh đề đó đúng hay sai Khi nói đến khả năngđúng hay sai của một mệnh đề nghĩa là người ta nói đến giá trị chân lý của mệnh

đề đã cho: “Giá trị chân lý của mệnh đề A là đúng ” hoặc là “Giá trị chân lý củamệnh đề A là sai”

Nh vậy, thực chất là ta có một ánh xạ từ tập hợp tất cả các mệnh đề lên tậphợp B gồm hai phần tử, một trong chóng mang tên là đúng, còn phần tử kiamang tên là sai Nếu từ đúng hiển thị bằng số 1 và từ sai hiển thị bằng số 0 thì ta

có thể nói rằng giá trị chân lý của mệnh đề A bằng 1 hoặc bằng 0 Một số tài liệudùng 1 = T; 0 = F

Trong đại số thông thường, các chữ có thể biểu thị hoặc là một số xác địnhnào đó hoặc là một số bất kỳ trong một tập hợp số nào đó Trong đại số mệnh đề

cũng cần phải dùng các chữ để hiển thị một mệnh đề xác định cũng như biểu thịmột mệnh đề bất kỳ Trong trường hợp đầu ta dùng các chữ hoa đầu trong bảngchữ cái La tinh A, B, C (có thể dùng với các chỉ số), trong trường hợp sau tadùng các chữ hoa cuối của bảng chữ cái La tinh X, Y, Z, (có thể dùng với cácchỉ số) Mỗi chữ dùng để biểu thị một mệnh đề bất kỳ (biến đổi) sẽ gọi là một

“biến mệnh đề” Chú ý rằng biến mệnh đề không phải là một mệnh đề, và nếunói rằng giá trị của một biến mệnh đề X bằng 1 hoặc bằng 0 (X lấy giá trị đúnghoặc sai) thì là nói về một mệnh đề cụ thể A nào đó đã thế vào X

Ví dô: X là số chẵn (không là mệnh đề)

10 là số chẵn (là một mệnh đề)Trong đại số mệnh đề, các liên kết đóng vai trò nh các phép toán, gọi là các

phép toán logic, hay các phép toán trên mệnh đề

* Phép toán phủ định: Ta xét mệnh đề A Phủ định của A là một mệnh đề,

ký hiệu là A (và đọc là “không A”), nó đúng khi A sai và sai khi A đúng

Phép toán này được xác định bằng một bảng, gọi là bảng chân lý

A A Phép toán phủ định tương ứng với liên kết logic “không”

* Phép toán hội: Hội của các mệnh đề A và B là một mệnh đề, ký hiệu là

A  B (đọc là “A và B”) mà các giá trị của nó được xác định bằng bảng sau đây:

A B A  B Mệnh đề A B đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề A

và B là đúng Trong tất cả các trường hợp khác nó làsai Phép hội thực hiện vai trò của từ nối “và”

0 1 0 * Phép toán tuyển: Tuyển của các mệnh đề A và B

là một mệnh đề, ký hiệu là A V B (đọc là “A hoặc

B”, mà giá trị của nó được xác định bằng bảng

Mệnh đề A V B sai khi và chỉ khi cả hai mệnh đề A và B đều sai Phéptuyển thực hiện vai trò của từ nối “hoặc”

A B A V B * Phép toán kéo theo: Phép kéo theo của các mệnh

A B A B Nếu A và B liên hệ với nhau theo nghĩa này thì phép

kéo theo tương ứng với liên hệ logic “nếu , thì ”,qua đó hình thành nên mệnh đề gọi là mệnh đề điềukiện “nếu A thì B” (A gọi là tiền đề, còn B gọi là hệquả)

Trong suy luận, từ mệnh đề kéo theo A -> B đúng và tiền đề A đúng, ta cóthể đưa ra kết luận là B đúng

Theo định nghĩa của phép kéo theo, các mệnh đề: Nếu “2 là một số nguyêntố” thì “trong tam giác cân các góc ở đáy bằng nhau”, hoặc là nếu “4 là một sốnguyên tố” thì “trong tam giác cân các góc ở đáy bằng nhau” là hoàn toàn đúng,mặc dầu tiền đề và hệ quả trong các mệnh đề này không liên hệ gì với nhau vềmặt nội dung

* Phép toán tương đương: Phép tương đương của các mệnh đề A và B làmột mệnh đề, ký hiệu là A  B (đọc là A tương đương với B) mà giá trị của nóđược xác định bằng bảng:

A B A B Mệnh đề A  B lấy giá trị đúng chỉ trong trường

hợp cả hai mệnh đề A và B đều đúng hoặc đều sai.Nếu A và B liên hệ với nhau theo nghĩa này thì

phép tương đương tương ứng với liên hệ logic “ khi và chỉ khi ”

Khái niệm tương đương đóng vai trò quan trọng trong khoa học Ta sẽ dùngtới phép này khi nói tới các mệnh đề A và B sao cho từ A đúng suy ra B và từ Bđúng suy ra A đúng

1 Từ n là số chẵn suy ra rằng 3n cũng là số chẵn và ngược lại

2 Điều kiện n là số chẵn là cần và đủ để cho 3n là số chẵn

3 Điều kiện 3n là số chẵn là cần và đủ để cho n là số chẵn

4 Các điều kiện 3n là số chẵn và n là số chẵn là tương đương

Trong trường hợp tổng quát, ta viết công thức lập nên từ các biến mệnh đềdưới dạng A (X1 Xn) Đặc biệt:

A(X1, X2, X3) = [(X1 V X2 -> X3)  (X1 V X3) (2)Giả sử M là tập hợp tất cả các công thức xây dựng được từ hệ thống (1).Khi đó với bất kỳ hai công thức A (X1, Xn), B (X1 Xn)  M, các côngthức (A), (A) V (B), (A)  (B), (A) -> (B), (A)  (B) cũng thuộc M Các côngthức A và B gọi là bộ phận hay công thức con của các công thức Cả điều ngượclại cũng đúng Với mỗi công thức C  M thì C hoặc là một trong những biếnmệnh đề gốc, hoặc là các công thức A, B  M sao cho C trùng với một trongcác công thức sau:

(A), (A) V (B), (A)  (B), (A) -> (B), (A)  (B)

Nói một cách khác, tập hợp M là đóng kín đối với tất cả các phép toánmệnh đề, hay nói rằng, đối với các phép toán này, M là một đại số - đó là đại sốcác công thức

Ta hãy định nghĩa một đặc trưng bằng số đối với các công thức

Ta gọi hạng r (A) của công thức Alà số tất cả các phép toán mệnh đề màqua đó lập nên công thức A từ hệ thống gốc của các biến mệnh đề, trong đó tađặt r (X) = 0 khi X là một biến mệnh đề

có thể viết nh sau: A = (X1 V X2 -> X3)  (X1 V X3) Còn trong công thức :

B = (X1 -> X3)  (X1 -> X2) thì không thể bỏ đi một cặp dấu ngoặc nào

Các giá trị logic của công thức A (X1, Xn) được xác định từ các giá trịlogic của các biến mệnh đề (1) Vì rằng các giá trị logic của Xi là các phần tửcủa tập hợp B = {0; 1 } nên công thức A có thể xem nh một hàm số, hay mộtánh xạ của tập hợp Bn vào N Nó gọi là hàm mệnh đề Các giá trị của hàm này

cho bằng bảng giá trị logic Ta hãy lập bảng giá trị logic cho công thức

cả có 2n sè n hàng trong hệ nhị phân

Với một công thức cho trước tùy ý, sau khi thay đổi mỗi biến mệnh đề cómặt trong công thức bằng một mệnh đề cụ thể, giá trị logic của công thức có thểbằng 1 hoặc bằng 0 phụ thuộc vào giá trị của các biến mệnh đề Tuy nhiên, cónhững công thức mà giá trị logic của nó không phụ thuộc vào giá trị logic củacác biến mệnh đề, chẳng hạn công thức p-> (q->p) luôn nhận giá trị 1 với mọi sựthay thế các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó bằng các giá trị cụ thể, gọi

là công thức hằng đúng Ngược lại những công thức chỉ nhận giá trị bằng 0 gọi

là công thức hằng sai