tiểu luận Sự hình thành và nội dung cơ bản của logic toán

CHƯƠNG 1 SỰ HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA LOGIC TOÁN 1.1. Các hướng cải cách logic hình thức của Arixtốt và sự ra đời của logic toán. 1.1.1. Các hướng cải cách logic học Arixtốt. Logic hình thức từ thời Arixtốt đã ở dạng khá hoàn chỉnh. Ba quy luật cơ bản của tư duy logic hình thức là quy luật đồng nhất, quy luật cấm mâu thuẫn logic và quy luật loại trừ cái thứ ba đã được trình bày một cách khá rõ ràng trong bộ Orgamôn. Trong tác phẩm Orgamôn, tuy chưa có sự trình bày về quy luật lý do đầy đủ, nhưng thực chất Arixtốt đã nắm vững quy luật này khi ông giảng dạy cho học trò về các tình thái logic và quan hệ nhân quả. Các phương pháp suy luận cũng đã được thể hiện một cách có hệ thống. Tuy nhiên, do hiểu biết của con người về tự nhiên và xã hội ở thời kỳ cổ đại còn khá ngây thơ nên logic hình thức cũng mang tính trực quan và sơ cấp. Trải qua rất nhiều thế kỷ, logic hình thức không có một bước đột phá nào đáng kể mà nó còn bị Thiên chúa giáo làm biến dạng để có thể cùng đi trên một con đường với triết học kinh viện thời Trung cổ. Đến thời kỳ Phục Hưng, nhiều phát hiện mới trong toán học và khoa học tự nhiên xuất hiện làm thay đổi đáng kể thế giới quan của con người. Logic học (với tư cách là tư duy cấp hai) đã bộc lộ một số hạn chế so với tư duy khoa học đương thời. Nhiều ý tưởng cải cách logic hình thức của Arixtốt, xây dựng một kiểu của logic học mới đã xuất hiện. Xét trong phạm vi phát triển của logic hình thức, có thể chia các ý tưởng cải cách này thành hai xu hướng chính: Xu hướng thứ nhất là xây dựng logic quy nạp mà tiêu biểu là Bêcơn (1561-1626); Xu hướng thứ hai là xây dựng logic diễn dịch mà tiêu biểu là Đềcác và Lépnít. Hướng xây dựng logic quy nạp được trình bày trong tác phẩm “Công cụ mới” của Ph.Bêcơn. Trong tác phẩm “Công cụ mới”, logic hình thức của Arixtốt được xem xét như một thứ logic học chỉ biết nghiên cứu tới luận ba đoạn. Với tư cách vừa là nhà triết học, vừa là nhà khoa học thực nghiệm, Bêcơn cho rằng cần phải tiến hành thí nghiệm để làm phong phú những hiểu biết của con người thay cho việc tranh giành chân lý bằng lý luận; nếu cứ lao vào luận ba đoạn với những dạng thức suy diễn được xây dựng trên nó thì không thể tìm kiếm được chân lý, bởi vì sự vận động và tương tác trong thế giới thực hiện là muôn hình muôn vẻ. Bêcơn cho rằng Arixtốt đã tuyệt đối hóa cách suy diễn theo kiểu luận ba đoạn, logic hình thức của Arixtốt đã thoát ly hoàn toàn với trực giác và thực tiễn, thiếu hụt nội dung hiện thực. Ông mong muốn xây dựng một logic học mới có khả năng định hướng cho tư duy của con người và ông đã phát triển logic quy nạp, làm cơ sở cho phương pháp thực nghiệm khoa học - Một phương pháp có chức năng kép, một mặt có nhiệm vụ kiểm tra, xác minh chân lý khách quan, mặt khác tạo khả năng phát minh bằng cách khái quát các sự kiện thực nghiệm”. Ở đây Bêcơn đã đánh giá đúng đắn tầm quan trọng của suy luận quy nạp, nhưng ông lại gạt bá vai trò của suy luận diễn dịch. Hướng nghiên cứu của Bêcơn sau khoảng ba trăm năm mới được Milơ tiếp tục phát triển. Milơ đã vạch ra một số hạn chế khác trong logic hình thức của Arixtốt. Theo Milơ thì cách suy diễn trong logic hình thức của Arixtốt là sự thỏa hiệp giữa những nhận định này với những nhận định khác chứ không nhằm mục đích đạt tới chân lý. Nhưng chính Milơ cũng cho rằng mục tiêu thực sự của logic học không phải là tìm kiếm chân lý, mà là nghiên cứu độ tin cậy của những luận đề được ruít ra theo phương pháp chứng minh. Ông đã khá thành công với những công trình logic học mang màu sắc thực chứng, mà trong đó đóng góp quan trọng nhất là việc hoàn thiện các phương pháp quy nạp nhằm xác định mối liên hệ nhân quả trong hiện thực. Hướng xây dựng logic diễn dịch bắt đầu từ Đềcác với tác phẩm “Phương pháp luận” nổi tiếng. Trong tác phẩm này, một số tư tưởng về logic học của Arixtốt cũng bị phê phán. Trước hết Đềcác đồng tình với ý kiến của Bêcơn cho rằng phương pháp luận ba đoạn thực chất là một phương pháp suy luận đã bị kinh viện hóa. Ông cho rằng luận ba đoạn chỉ có tác dụng giải thích cho người khác những tri thức mà nhân loại đã biết. Theo Đềcác thì nhiệm vụ quan trọng hơn của logic học là phải giúp con người nghiên cứu giới tự nhiên. Đềcác cho rằng những nguyên lý và phương pháp trong logic hình thức của Arixtốt đã bộc lộ một số hạn chế và ông đã đề ra nhiệm vụ phải xây dựng những phương pháp nhận thức sâu sắc hơn nữa. Vận dụng triệt để toán học và triết học đương thời, ông đã hoàn thiện và phát triển logic diễn dịch làm cơ sở cho phương pháp lý thuyết khoa học. Con đường của Đềcác sau này được nhà logic học người Đức Lepnit nhiệt tình ủng hộ và tiếp bước. Lepnit cũng là người đưa ra quy luật lý do đầy đủ và hoàn thiện hệ thống bốn quy luật cơ bản của tư duy logic hình thức. Nh vậy Đềcác và Lépnít là đại diện cho hướng xây dựng và phát triển logic diễn dịch. Cũng chính hai ông là những người có những ý tưởng đầu tiên về việc xây dựng logic toán. 1.1.2. Sự hình thành và phát triển của logic toán. Trong đà phát triển mạnh mẽ của khoa học tư nhiên cuối thế kỷ 17, người ta nhận thấy vai trò đắc lực của toán học trong việc phát hiện các quy luật vận động của thế giới vĩ mô và thế giới vi mô. Các nhà triết học, logic học cũng tìm cách sử dụng toán học để nghiên cứu các thao tác của tư duy logic. Nổi lên trong trào lưu này trước hếtd phải kể đến lépnít. Ông cho rằng cần phải xây dựng logic học theo các nguyên tắc toán học. Một mặt ông đánh giá cao tính chặt chẽ và chính xác của toán học. Mặt khác ông cho rằng logic học có nhiều điểm tương đường với toán học. Theo ông thì bất kỳ suy luận nào, kể cả suy luận trong toán học và suy luận ngoài toán học đều có thể thực hiện dưới hình thức các phép toán. Ông hy vọng với các phép toán như vậy, việc nghiên cứu về tư duy trong phạm vi của logic học sẽ được giải quyết một cách đầy đủ và chính xác. Phương pháp của Lépnít là gán cho mỗi khái niệm cơ bản một ký hiệu riêng, đồng thời xây dựng quy tắc liên kết các ký hiệu này dựa trên quan hệ giữa các khái niệm được ký hiệu hóa. Khi đó các thao tác logic của tư duy sẽ được thể hiện dưới hình thức các biểu thức tương tự các biểu thức toán học. Với phương pháp này, các hình thức và các thao tác của tư duy sẽ được nhìn nhận một cách rõ ràng hơn, các suy nghĩ của con người sẽ được hình thức hóa một các tường minh hơn, và quan trọng hơn cả là bản thân suy nghĩ của chúng ta cũng tránh được những sự rườm rà không cần thiết. Tuy nhiên những ý tưởng đúng đắn của Lépnít cũng chưa được thực hiện hóa một cách đáng kể ngoài một công trình nghiên cứu được ông xây dựng nhưng chưa hoàn chỉnh và ông cũng không công bố công trình này, vì ông không cảm thấy hài lòng về nó. Chúng ta có thể lý giải về nguyên nhân của hiện tượng này là do trình độ phát triển của toán học đường thời chưa đủ trang bị những công cụ toán học cần thiết để Lépnít có thể thực hiện thành công những ý tưởng của mình trong việc toán học hóa logic hình thức. Sau gần hai thế kỷ, ý tưởng trên của Lépnit đã được thực hiện một phần bởi công trình nghiên cứu của nhà toán học Bulơ trong việc sử dụng các công cụ đại số để diễn đạt các tư tưởng của logic hình thức. Trong công trình của Bulơ, các mệnh đề được ký hiệu bới các chữ cái, các phép liên kết logic được định nghĩa một cách hoàn toàn hình thức, các quy tắc của đại số thông thường vẫn được áp dụng trừ một vài quy tắc sửa đổi; do đó công trình của Bulơ được gọi là đại số logic. Đại số logic xuất hiện cũng chính thức đánh dấu sự ra đời của logic toán, nó cũng tạo điều kiện cho sự hoàn thiện lý thuyết suy luận theo hướng khái quát hóa và chính xác hóa. Ở đây ngôn ngữ ký hiệu của đại số đã được sử dụng để xây dựng các phép toán hình thức và quá trình suy diễn để tìm ra tri thức mới được thực hiện bằng việc biến đổi các biểu thức logic. Như vậy trong lịch sử logic hình thức đã xảy ra một sự chuyển biến quan trọng, đó là hình thành một hướng nghiên cứu mới với việc sử dụng ngày càng nhiều hơn các phương pháp nghiên cứu của toán học cũng như các kết quả của toán học để nghiên cứu các thao tác của tư duy logic. Tuy nhiên sự chuyển biến này có giá trị về mặt phương pháp hơn là về mặt nội dung. Những vấn đề mà Bulơ nêu ra và cách giải quyết của ông chưa thực sự bứt ra khỏi phạm vi của logic hình thức truyền thống. Hơn nữa, theo phương pháp của Bulơ thì chỉ thực hiện được phép suy luận khi mà trong tiền đề có chứa các mệnh đề phức hợp, bởi vì công trình nghiên cứu của ông chưa động chạm tới cơ cấu logic của các mệnh đề sơ cấp. Vậy làm cách nào để có thể nghiên cứu cơ cấu logic của các mệnh đề sơ cấp (để từ đó xây dựng những dạng thức suy luận trực tiếp và những dạng thức suy luận gián tiếp từ tiền đề chỉ gồm các mệnh đề sơ cấp) bằng phương pháp toán học? Để trả lời câu hỏi này, Phêghe đã có sáng kiến sử dụng làm số toán học để biểu diễn cơ cấu logic của các biến mệnh đề nh P(x) = “x là sinh viên”; Q(x,y) = “x là bạn của y”… Nhưng các hàm số toán học nh vậy vẫn chưa biểu diễn được các mệnh đề cụ thể. Do đó các lượng từ đã được xây dựng để cùng với các hàm số toàn học đủ khả năng biểu diễn các mệnh đề cụ thể. Chẳng hạn công thức ∃xP (x) sẽ biểu diễn mệnh đề “Có những người là sinh viên” và công thức ∀y∃xQ(x,y) sẽ biểu diễn mệnh đề “Mọi người đều có Ýt nhất một người khác là bạn của mình”. Các phán đoán đơn trong logic hình thức truyền thống cũng được biểu diễn lại theo ngôn ngữ toán học. Chẳng hạn “Mọi S là P” sẽ được biểu diễn lại là ∀x(S(x) -> P(x)); “Tông tại S là P” được biểu diễn lại là ∃x(S(x)ΛP(x). Sáng kiến của Phêghe đánh dấu sự ra đời của một ngành logic toán hoàn toàn mới mẻ - logic vị từ. Với sự ra đời của logic vị từ, cơ cấu logic của các mệnh đề sơ cấp cùng với các dạng thức suy luận trực tiếp và các dạng thức suy luận gián tiếp từ tiền đề không chứa mệnh đề phức hợp lại được nghiên cứu một cách sâu sắc hơn so với trong logic hình thức truyền thống, do đó mà đạt được những kết quả mới có độ khái quát và chính xác cao hơn. Khi logic mệnh đề và logic vị từ tương đối định hình cũng là lúc phương pháp tiên đề hóa - một phương pháp đặc trưng của toán học đã tỏ ra rất thành công trong việc tiên đề hóa các lý thuyết hình học và đại số. Phương pháp này cũng đang lan tràn sang các lĩnh vực khoa học lân cận với toán học và xâm nhập vào logic toán vào cuối thập niên bảy mươi của thế kỷ 19. Tác phẩm “Phép tính khái niệm” của Phêghe xuất bản năm 1879 đã đưa ra hệ tiên đề logic đầu tiên. Nhiều hệ tiên đề logic tiếp theo đã xuất hiện vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20. Việc trình bày logic toán học dưới dạng các lý thuyết tiên đề làm cho quá trình suy luận trong đó trở nên trừu tượng hơn, nhưng cũng chính xác hơn. Chúng ta sẽ nghiên cứu hỹ hơn về phương pháp tiền đề hóa trong logic toán và kết quả của nó là các hệ tiên đề logic khi bàn về phương pháp đặc trưng của logic toán (phương pháp hình thức hóa, phương pháp tiên đề hóa) và những nội dung cơ bản của nó (logic mệnh đề, logic vị từ). 1.1.3. Phương pháp của logic toán. Về cơ bản, logic toán (lưỡng trị) vẫn trung thành với những nguyên lý cơ bản của logic hình thức truyền thống. Nét đặc trưng quan trọng nhất của logic toán lại nằm ở phương pháp nghiên cứu của nó. Trong logic toán, các phương pháp của toán học được sử dụng mạnh mẽ để giải quyết những vẫn đề của logic học, nổi bật và rõ nét nhất là phương pháp hình thức hóa. Từ thời Arixtốt, logic hình thức đã biết sử dụng một số ký hiệu để diễn đạt tư tưởng. Song ở logic toán, các ký hiệu được sử dụng một cách triệt để hơn và tuân theo những quy tắc hết sức chặt chẽ. Một đặc điểm quan trọng đối với logic toán là việc định nghĩa các phép toán trên mệnh đề. Trong logic hình thức truyền thống, các liên từ logic được xem như sự phản ánh các quan hệ tồn tại giữa các hiện tượng trong hiện thực thì trong logic toán, người ta lại định nghĩa các phép toán trên mệnh đề bằng những bảng giá trị thể hiện quan hệ về mặt giá trị logic giữa công thức mới được xây dựng và những công thức cũ dùng để xây dựng công thức mới. Với việc định nghĩa các phép toán trên mệnh đề nh vậy, logic toán đã thực hiện một bước nhảy vọt so với logic hình thức truyền thống trong việc hình thức hóa tư duy. Nhờ vậy logic toán đã có khả năng giải quyết khá dễ dàng những vấn đề rất khó khăn đối với logic hình thức truyền thống, ví dụ vấn đề xác định tính hằng đúng hay không của một công thức phức tạp. Việc sử dụng hàm số toán học cùng với các lượng từ để biểu diễn cơ cấu logic của các mệnh đề sơ cấp cũng giúp logic toán phát hiện và giải quyết một số vấn đề mà việc trình bày nó trong lĩnh vực logic hình thức truyền thống chưa thật chuẩn xác. Chẳng hạn logic hình thức truyền thống cho rằng tính chân thực của phán đoán A (mọi S là P) kéo theo tính chân thực của phán đoán I (tồn tại S là P). Song nếu dùng ngôn ngữ hình thức của logic vị từ thì phán đoán A được biểu diễn là ∀x (S(x) -> P(x) và phán đoán I được biểu diễn ∃x (S(x) Λ P(x) ta sẽ nhận thấy điều khẳng định nói trên trong logic hình thức truyền thống sẽ không đúng trong trường hợp không tồn tại một phần tử nào có tính chất S. Tuy nhiên cũng vì tính hình thức hóa cao độ của lòic toán mà xuất hiện hai nghịch lý suy diễn tiêu biểu (1, Mọi mệnh đúng bất kỳ đều có thể suy ra từ bất kỳ mệnh đề nào và 2, Từ một mệnh đề sai bất kỳ có thể suy ra bất kỳ mệnh đề nào) mà việc giải quyết hai nghịch lý này dẫn đến thay đổi những nguyên lý cơ bản của logic hình thức giai đoạn cổ điển. Nét điển hình của logic toán so với logic hình thức còn được thể hiện ở việc xây dựng lý thuyết suy luận dưới dạng một lý thuyết tiên đề để có thể nghiên cứu chính xác hơn cấu trúc và quy luật logic của quá trình tư duy. (phương pháp tiên đề hóa). Lý thuyết tiên đề được xây dựng hoàn chỉnh khi xác định rõ bốn yếu tố: Yếu tè số 1: Ngôn ngữ của lý thuyết tiên đề, gồm một hệ thống các ký hiệu, trong đó mỗi ký hiệu hay nhóm ký hiệu sẽ tương ứng với một khái niệm (công thức, phép toán…). Yếu tè số 2: Định nghĩa công thức. Các công thức trong logic toán được định nghĩa theo phương pháp đệ quy. Ban đầu có một nhóm ký hiệu sẽ được gọi là công thức, sau đó xác định quy tắc tạo ra công thức mới từ các công thức ban đầu. Yếu tè số 3: Hệ thiên đề, bao gồm một số công thức hằng đúng tiêu biểu. Các công thức hằng đúng được lựa chọn làm tiên đề Ýt nhất cần đảm bảo tính độc lập và tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề. Yếu tè số 4: Quy tắc dẫn xuất. Đay là quy tắc để tạo ra các công thức hằng đúng từ các tiên đề. Công thức mới được tạo ra từ các tiên đề theo đúng quy tắc dẫn xuất gọi là công thức dẫn được. Quá trình tạo ra các công thức dẫn được từ các tiên đề gọi là quá trình dẫn xuất. Nh vậy các tri thức được tạo ra trong lý thuyết tiên đề đều tồn tại dưới dạng các công thức dẫn được và quá trình tạo ra các tri thức đó chỉ được thực hiện trên cơ sở các yếu tố đã có trong hệ tiên đề. Cách làm như vậy đã tạo cho logic toán có được khả năng cắt giảm được các yêu tố trực giác, các mối liên hệ mang tính nội dung cụ thể và quá trình suy luận được thực hiện dưới dạng logic lý tưởng, mang tính chính xác và chặt chẽ cao. Các tri thức mới được tạo ra với tư cách là kết quả của các hoạt động toán học, nói nh Ăngghen, sẽ đạt tới sự chính xác hoàn hảo hơn. Sự ra đời của các hệ tiên đề logic cùng với các quy tắc dẫn xuất tương ứng có thể xem như sự một kết quả đạm nét của phong cách tư duy toán học trong nghiên cứu logic học. Đây hoàn toàn không phải là những sản phẩm tùy tiện của đầu óc suy tưởng toán học, mà là kết quả của sự phát triển nhận thức của nhân loại thông qua thực tiễn nghiên cứu khoa học của nhiều thế hệ, đúng như Lênin đã nhận xét trong bót ký triết học “Hoạt động thực tiễn của con người đã phải làm cho ý thức của con người lặp đi lặp lại hàng nghìn triệu lần những cách logic khác nhau đặng làm cho những cách này có được ý nghĩa của những tiên đề” {211}. Nh vậy, các hệ tiên đề của các thao tác logic của tư duy không phải là những ký hiệu trống rỗng mà trái lại, nó mang những nội dung hết sức tinh tế và cô đọng. Nhưng đây không phải là những nội dung tri thức cụ thể phản ánh sự vận động của thế giới khách quan, mà là những tri thức phản ánh một cách cao cấp và điều chỉnh chính cách thức tư duy của con người (tư duy cấp hai, cấp ba …). Các hệ tiên đề này biểu hiện một phương diện logic thực tế của tư duy nhân loại. Chỉ có nh vậy chúng ta mới có thể cắt nghĩa nổi những giá trị nhận thức và thực tiễn to lớn mà logic toán đã tạo ra trong các lĩnh vực khoa học cơ bản và cả trong các ngành khoa học ứng dụng. Luận văn sẽ dành trọn vẹn chương 2 để nghiên cứu sâu về vấn đề này trên một số bình diện chính. Song để trình bày các kết quả nghiên cứu một cách rành mạch và đủ căn cứ thì trước hết cần phải làm rõ những nội dung cơ bản của logic toán là logic mệnh đề và logic vị từ. 1.2. Logic mệnh đề 1.2.1. Đại số mệnh đề (Trình bày logic mệnh đề theo nội dung) a) Các khái niệm cơ bản của đại số mệnh đề. Trong đại số mệnh đề người ta tập trung nghiên cứu các mệnh đề, các phép toán trên mệnh đề đúng. Ở đây ta hiểu mệnh đề là một phán đoán có giá trị chân lý xác định hoặc đúng hoặc sai. Chẳng hạn ta xét các mệnh đề sau đây: 1. Bắc Kinh là Thủ đô của Trung Quốc. 2. 17 là số nguyên tố. 3. Kim loại có ánh kim. 4. Nhật bản nằm ở Châu Phi. 5. Mọi axit đều chứa ôxy. Các mệnh đề 1,2,3 là đúng; còn 4, 5 là sai. Trong đại số mệnh đề người ta không chú ý tới nội dung cụ thể của mệnh đề mà chỉ quan tâm tới việc: mệnh đề đó đúng hay sai. Khi nói đến khả năng đúng hay sai của một mệnh đề nghĩa là người ta nói đến giá trị chân lý của mệnh đề đã cho: “Giá trị chân lý của mệnh đề A là đúng ” hoặc là “Giá trị chân lý của mệnh đề A là sai”. Nh vậy, thực chất là ta có một ánh xạ từ tập hợp tất cả các mệnh đề lên tập hợp B gồm hai phần tử, một trong chóng mang tên là đúng, còn phần tử kia mang tên là sai. Nếu từ đúng hiển thị bằng số 1 và từ sai hiển thị bằng số 0 thì ta có thể nói rằng giá trị chân lý của mệnh đề A bằng 1 hoặc bằng 0. Một số tài liệu dùng 1 = T; 0 = F. Trong đại số thông thường, các chữ có thể biểu thị hoặc là một số xác định nào đó hoặc là một số bất kỳ trong một tập hợp số nào đó. Trong đại số mệnh đề cũng cần phải dùng các chữ để hiển thị một mệnh đề xác định cũng như biểu thị một mệnh đề bất kỳ. Trong trường hợp đầu ta dùng các chữ hoa đầu trong bảng chữ cái La tinh A, B, C (có thể dùng với các chỉ số), trong trường hợp sau ta dùng các chữ hoa cuối của bảng chữ cái La tinh X, Y, Z, (có thể dùng với các chỉ số). Mỗi chữ dùng để biểu thị một mệnh đề bất kỳ (biến đổi) sẽ gọi là một “biến mệnh đề”. Chú ý rằng biến mệnh đề không phải là một mệnh đề, và nếu nói rằng giá trị của một biến mệnh đề X bằng 1 hoặc bằng 0 (X lấy giá trị đúng hoặc sai) thì là nói về một mệnh đề cụ thể A nào đó đã thế vào X. Ví dô: X là số chẵn (không là mệnh đề) 10 là số chẵn (là một mệnh đề) Trong đại số mệnh đề, các liên kết đóng vai trò nh các phép toán, gọi là các phép toán logic, hay các phép toán trên mệnh đề. * Phép toán phủ định: Ta xét mệnh đề A. Phủ định của A là một mệnh đề, ký hiệu là A (và đọc là “không A”), nó đúng khi A sai và sai khi A đúng. Phép toán này được xác định bằng một bảng, gọi là bảng chân lý. A A Phép toán phủ định tương ứng với liên kết logic “không”. 0 1 1 0 * Phép toán hội: Hội của các mệnh đề A và B là một mệnh đề, ký hiệu là A Λ B (đọc là “A và B”) mà các giá trị của nó được xác định bằng bảng sau đây: A B A Λ B Mệnh đề A ΛB đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề A và B là đúng. Trong tất cả các trường hợp khác nó là sai. Phép hội thực hiện vai trò của từ nối “và”. 0 0 0 1 0 0 0 1 0 * Phép toán tuyển: Tuyển của các mệnh đề A và B là một mệnh đề, ký hiệu là A V B (đọc là “A hoặc 1 1 1 B”, mà giá trị của nó được xác định bằng bảng. [...]... kết luận, thể, đổi tên biến và ràng buộc bởi lượng từ ta sẽ tương ứng được với một công thức không hằng đúng B(B) của hệ toán vị từ 2 Tính độc lập của hệ toán vị từ Có một vài phương pháp chủ yếu để chứng minh tính độc lập của hệ toán vị từ nh phương pháp minh họa, nhưng cho tới những tài liệu của Novkov, bài toán về tính độc lập của hệ toán vị từ vẫn chưa được thảo luận tới 3 Tính đầy đủ của hệ toán. .. mọi phép toán cũng như công thức của logic mệnh đề, có thể khảo sát tới Hai khái niệm “vị từ” và “lượng từ” đóng vai trò mở rộng chính trong logic này được xây dựng chi tiết để biểu diễn đa số các mệnh đề và suy luận 1.3.1 Đại số vị từ (trình bày logic vị từ theo nội dung) * Các khái niệm cơ bản A Vị từ: (Hàm logic) xem xét lại một số cách hiểu về định nghĩa “mệnh đề” đã được tiếp cận trong logic mệnh... những suy luận trong hệ logic này, từ đó sẽ rót ra những vận dụng phong phú và thiết thực Cuối cùng một số kỹ thuật và thao tác cơ bản trên các vị từ sẽ đưa lại hình ảnh trực quan về bản chất, giúp ta tiếp cận “hệ logic vị từ” trừu tượng ở phần sau dễ dàng hơn Như đã nhấn mạnh, logic vị từ là một sự mở rộng của logic mệnh đề, điều đó thể hiện qua định lý sau đây: * Mọi công thức hằng đúng trong logic mệnh... hay không từ các tiên đề của hệ toán mệnh đề theo đúng quy tắc dẫn xuất Tức là: Có phương pháp hiệu lực để xác định công thức đã cho là thực hiện được hay không từ các tiên đề 1.3 Logic vị từ: Nếu logic mệnh đề chỉ giúp ta rót ra những kết luận từ các phán đoán đã có mà không xét nội dung (logic) của bản thân các phán đoán đó, thì logic vị từ được coi là sự phát triển của logic mệnh đề, theo nghĩa... chất của hệ toán vị từ Ngoài tính phi mâu thuẫn và độc lập của một hệ tiên đề, hệ toán vị từ sẽ có những tính chất khác với hệ toán mệnh đề Khái niệm về Cm dẫn được ở trang bên 1 Tính phi mâu thuẫn của hệ toán vị từ Cách đặt vấn đề về tính không mâu thuẫn của hệ toán vị từ cũng nh đối với hệ toán mệnh đề: không có một công thức nào là chứng minh được đồng thời với phủ định của nó Thật vậy, nếu hệ toán. .. tương đương từ 2 đến 5 biểu thị quy luật giao hoán và kết hợp của các phép toán hội và tuyển Hai phép toán này còn liên hệ với nhau bởi quy luật phân phối 6 X V (Y Λ Z) ≡ (X V Y) Λ (X V Z) 7 X Λ (Y V Z) ≡ (X Λ Y) V (X Λ Z) Có thể lập được dễ dàng các hệ thức tương đương 6 và 7 bằng cách xét bảng giá trị logic của các công thức cơ sở nằm ở vế phải và vế trái của các hệ thức tương đương này Cũng bằng cách... ngoài nội dung của luận văn, do vậy chúng ta thừa nhận điều khẳng định trên) Hơn nữa từ (*) suy ra không thể tồn tại trong trường nhiều hơn một phần tử, rõ ràng hệ toán vị từ không đề cập tới số phần tử của trường và do vậy không thể dẫn được (*) Kết luận tính không đầy đủ theo nghĩa hẹp của hệ toán vị từ Ngoài ra một điểm khác biệt với hệ toán mệnh đề Hiện nay, người ta đã chứng minh được rằng hệ toán. .. hệ toán mệnh đề Ta thay A bằng B bất kỳ, công thức vẫn đúng Quy tắc kết luận: A và A →B là công thức đúng hay hệ toán mệnh đề thì B cũng là công thức đúng Có nghĩa là B dẫn từ các công thức A và A → B (ta gọi quy tắc này là MP) Hệ toán mệnh đề làm cho quá trình suy luận trừu tượng hơn nhưng cũng chính xác hơn 1.2.2.2 Các tính chất của hệ toán mệnh đề - Tính phi mâu thuẫn: Từ các tiên đề của hệ toán. .. hệ logic “nếu , thì ”, qua đó hình thành nên mệnh đề gọi là mệnh đề điều kiện “nếu A thì B” (A gọi là tiền đề, còn B gọi là hệ quả) Phép kéo theo đóng vai trò rất quan trọng trong các suy luận (điều đó sẽ được làm sáng tỏ dưới đây) Nhờ phép kéo theo mà hình thành được các định nghĩa của các khái niệm khác nhau, các định lý và các uy luật khoa học Trong suy luận, từ mệnh đề kéo theo A -> B đúng và tiền... dấu lượng từ (∀ và ∃) đứng trước (ngoài) mọi dấu liên kết khác Những công thức nh vậy được gọi là công thức chuẩn tắc 1.3.3 Hệ toán vị từ (Trình bày logic vị từ dưới dạng hệ tiên đề) Nh vậy, ta đã khảo sát logic vị từ theo quan điểm lý thuyết nội dung, hệ toán vị từ nhằm trình bày logic vị từ theo phương pháp tiên đề Nói chung, công việc này cũng giống như từ logic mệnh đề với hệ toán mệnh đề, bởi . CHƯƠNG 1 SỰ HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA LOGIC TOÁN 1.1. Các hướng cải cách logic hình thức của Arixtốt và sự ra đời của logic toán. 1.1.1. Các hướng cải cách logic học Arixtốt. Logic hình. làm rõ những nội dung cơ bản của logic toán là logic mệnh đề và logic vị từ. 1.2. Logic mệnh đề 1.2.1. Đại số mệnh đề (Trình bày logic mệnh đề theo nội dung) a) Các khái niệm cơ bản của đại số. trong logic toán và kết quả của nó là các hệ tiên đề logic khi bàn về phương pháp đặc trưng của logic toán (phương pháp hình thức hóa, phương pháp tiên đề hóa) và những nội dung cơ bản của nó (logic