Nh vậy, ta đã khảo sát logic vị từ theo quan điểm lý thuyết nội dung, hệ toán vị từ nhằm trình bày logic vị từ theo phương pháp tiên đề. Nói chung, công việc này cũng giống như từ logic mệnh đề với hệ toán mệnh đề, bởi vậy ta chỉ nêu một số thay đổi cần thiết và các tính chất khác biệt.
Hệ toán vị từ cũng gồm 4 yếu tố:
1. Tập ký hiệu: A, B, C .... Biến mệnh đề E, G, H, P, Q, R.... Biến vị từ x, y, g,.... Biến đối tượng a, b, c,.... Biến hằng đối tượng
, V, Λ, ->, ⇔: Các phép toán logic
∀, ∃
( , )
2. Định nghĩa công thức (nh ở đại số vị từ)
3. Hệ tiên đề: Có 5 nhóm tiên đề. Các nhóm tiên đề I, II, III, IV nh ở hệ logic mệnh đề ngoài ra còn nhóm V nh sau:
V1. ∀xF(x) -> F(y) V2. F(y) -> ∃xF (x) 4. Quy tắc dẫn xuất:
Cùng với quy tắc kết luận (MP) tương ứng với quy tắc thể ở hệ logic mệnh đề là quy tắc thế các biến mệnh đề và cả biến vị từ bằng các công thức cùng với một số ràng buộc điều kiện.
a. Thay thế biến mệnh đề: Giả sử công thức A(A) chứa biến mệnh đề A. Khi đó trong công thức A(A) ta có thể thay mệnh đề A khắp mọi vị trí bằng công thức B khi:
+ Các biến tự do trong B được ký hiệu khác với biến ràng buộc trong A(A) và đảo lại, các biến tự do trong A(A) được ký hiệu khác với biến ràng buộc trong B.
+ Nếu A nằm trong A(A) nằm trong miền tác dụng của lượng từ được ký hiệu bằng chữ nào đó thì chữ này không nằm trong B.
b. Thay thế biến vị từ: Ta còng thay thế biến vị từ bằng công thức trong hai điều kiện tương tự. Ngoài ra ta có thể thay thế biến đối tượng trong một công thức nhưng đảm bảo được thay thế đồng thời và tránh sự trùng lặp ký hiệu giữa các biến.
Ví dô: ∀x (F(x) -> G(y)) x Λ ( F(y) -> ∃xG(x) Còng nh:
∀x (F(x) -> G(g)) x Λ ( F(g) -> ∃xG(x) c. Quy tắc ràng buộc bởi lượng từ:
(B -> A(x) -> (B -> ∀xA(x)) (AG -> B) -> (∃(x) A(x) - B) Trong đó B không chứa biến x