ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TOÁN L9

Tính các góc B và C.CÂU 6 : Chứng minh định lí : Trong một đường tròn ,đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.. CÂU 7 : Phát biểu và chứng minh định lí về hai

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP TOÁN LỚP 9

ÁP DỤNG TỪ NĂM HỌC : 2008 - 2009

A PHẦN ĐẠI SỐ:

I LÝ THUYẾT:

1 HỌC KÌ I:

Câu 1 : Định nghĩa căn bậc hai số học của một số a ≥0

Áp dụng : Tính căn bậc hai của :

Câu 5: Phát biểu định nghĩa hệ hai phương trình tương đương

Câu 6: Cho hai đường thẳng y = a1x + b1 và y = a2x + b2 Khi nào thì hai đường thẳng

đã cho cắt nhau, trùng nhau, song song với nhau

Cho d : y = 2x + 1 d’ : y = x – 2

Xác định tọa độ giao điểm của d1 và d2

a, 3 2 5− và 1− 5

b, 2008+ 2010 và 2 2009

2 HỌC KÌ II:

Câu 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất

hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?

Câu 2: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số.

Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?

Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương.

Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:

a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau

b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau

Câu 5: Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai

Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương trình − 3 x2+ 3 1 0 x + =

Câu 6: Cho phương trình ax2 + bx +c=0 (a≠0) Viết công thức tính ngiệm của phương trình trên

Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:2+ 2 và 2− 2

Câu 10: Nêu tính chất của hàm số y ax a = 2( ≠ 0)

II CÁC BÀI TOÁN :

4 1 (2 1)( 1)

x A

b, Tìm tọa độ giao điểm A của (d) và (d’)

c, gọi giao điểm của (d) và (d’) với oy là B và C Tính diện tích tam giác ABC

62

Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình

Bài 4:

Câu 1: Xác định hàm số y ax b= + biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm

a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4)

b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)

Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b= + biết rằng d0ồ thị của nó đi qua điểm

A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng y= −x và y= − +2x 1

Bài 5: Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)

a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hoành độ bằng 1

b/ Trong trường hợp m = -3 Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của chúng

c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P)

Bài 6: Giải phương trình :

b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt

c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép

Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = 0 (1)

1/ Chứng tỏ rằng phương trình cĩ nghiệm với mọi m

2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm Tính nghiệm cịn lại

3/ Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm đối nhau

4/ Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau

5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2

6/ Tìm m để x12 +x22 đạt gía trị lớn nhất

7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương

8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 khơng phụ thuộc vào m

CÂU 2 : Phát biểu định nghĩa tỉ số lượng giác của một gĩc nhọn

Áp dụng : Tính tỉ số lượng giác của gĩc 0

CÂU 4 : Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = c, BC = a, AC = b Viết cơng thức

tính cạnh gĩc vuơng b và c theo cạnh huyền a và tỉ số lượng giác của các gĩc B và C

Áp dụng : Cho µ 0

63 , 8

B= a= Tính b;c ?

CÂU 5 : Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = c, AC = b Viết cơng thức tính cạnh

gĩc vuơng b và c theo cạnh gĩc vuơng kia và tỉ số lượng giác của các gĩc B và C

Áp dụng : Cho c = 5, b = 12 Tính các góc B và C.

CÂU 6 : Chứng minh định lí : Trong một đường tròn ,đường kính vuông góc với một

dây

thì đi qua trung điểm của dây ấy

Áp dụng : Cho đường tròn (O;6cm), dây AB cách tâm O một khoảng 4,8cm Tính

độ dài dây AB

CÂU 7 : Phát biểu và chứng minh định lí về hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt

nhau tại một điểm

CÂU 8 : Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác ? Cách xác định đường tròn đó ?

Áp dụng : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm.Gọi (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tính r ?

CÂU 9 : Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác ? Cách xác định đường tròn đó ?

Áp dụng : Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 12, AC = 35

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

CÂU 10 : Hai đường tròn ngoài nhau và hai đường tròn đựng nhau có những tính

chất giống nhau và khác nhau như thế nào ?

Áp dụng : Cho hai đường tròn (O;4cm)và (O cm/,1 ), /

7

OO = cm Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B∈( )O C, ∈( )O/ ) Tính độ dài BC.

2 HỌC KÌ II:

Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai

đường tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau”

Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong một đường tròn Áp dụng:Cho đường

tròn (O), đường kính AB Vẽ dây AM sao cho·AMO=400 Tính số đo cung BM ?

Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song

song thì bằng nhau (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, cómột dây đi qua tâm cuả đường tròn)

Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong

một đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bánkính OM, ON sao cho:·AOM =40 ,0 BON· =800 So sánh: AM, MN và NB ?

Câu 5: Chứng minh định lí: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện

bằng 1800 ”

Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa

số đo của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm )

Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng

nửa số đo của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của đường tròn nằm ởngoài của góc)

Câu 8: Chứng minh định lí: “ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa

tổng số đo hai cung bị chắn”

Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung n0của hình quạt tròn bán kính R Áp dụng: Cho đường tròn ( O; R = 3 cm) Tính độ dài cung AB có số đo bằng 600?

Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn (O) Chứng minh:

AB + CD = AD + BC

III CÁC BÀI TOÁN

1 HỌC KÌ I:

BÀI 1 : Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB = 6, cạnh bên AD = 4 và

hai đường chéo vuông góc với nhau Tính độ dài các cạnh DC, BC và đường chéo BD

BÀI 2 : Cho tam giác ABC có Cµ =30 ,0 Bµ =45 ,0 BC=15

Tính độ dài các cạnh AB,AC?

BÀI 3 : Cho hai đường tròn (O) và ( )O/ cắt nhau tại A và B Vẽ các cát tuyến chung CAD

và EBF của hai đường tròn sao cho CD // EF, C và E thuộc (O), D và F thuộc ( )O/ Chứng minh rằng CDFE là hình bình hành

BÀI 4 : Cho hai đường tròn (O) và ( )O/ cắt nhau tại A và B Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O)tại C và cắt ( )O/ tại D Dựng qua A cát tuyến EAF(E∈( )O F, ∈( )O/ ). a/ Chứng minh rằng CEB DFB· =· =900

b/ Chứng minh rằng OO///CD Tính CD biết : AB = 6cm, OA = 8cm, O A/ =6cm

c/ Tìm vị trí của cát tuyến EAF sao cho AE = AF

BÀI 5 : Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy

các điểm di động D và E sao cho · 0

60

DOE= a/ Chứng minh rằng : tích BD.CE không đổi

b/ Chứng minh rằng ∆BOD: ∆OED, từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE c/ Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE

2 HỌC KÌ II:

Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên

đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai

là N Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P Chứng minh :

a/ Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn

b/ Tứ giác CMPO là hình bình hành

c/ Tích CM.CN không đổi

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường

tròn ấy sao cho BA = R Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I Tia BA cắttia CM tại D

a/ Chứng minh: DI ⊥ BC

b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn

c/ Giả sử ·AMB=450.Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM

Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là một điểm trên đường tròn

sao cho CA > CB Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác điểm C)

a/ Chứng minh : OF ⊥ AB

b/ Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F

c/ CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M Chứng minh ba điểm D,

E, M thẳng hàng

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H,

M ∈ cạnh BC ) Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q.

a/ Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng

b/ Chứng minh: MA ⊥ PQ

c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn.

Bài 5: Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây

AE đi qua trung điểm P của OC, ED cắt CB tại Q

a/ Chứng minh tứ giác CPQE nôi tiếp được một đường tròn

- Với số dương a, a được gọi là căn bậc hai số học của a

- Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

- Căn bậc hai số học của :

4 28

Câu 5 :

Tọa độ giao điểm A của (d) và (d’) là A (-3, -5)

Câu 7: Đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng đi qua A (0, b); B ( b, 0

Áp dụng :

+ Xác định tọa độ A :

Cho x = 0 => y = 1 đồ thị qua A (0, 1)+ Cho y = 0 => x = 1

2

− => đồ thị qua B ( 1

2

− , 0)Vậy đồ thị hàm số y = 2x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm A, B

Câu 8 :

1/- Thưc hiện phép tính :

a, 8 3 32− + 72 = 2 2 12 2 6 2− + = −4 2

b, 6 12− 20 2 27− + 125 6 3− = 12 3 2 5 6 3 5 5 6 3 3 5− − + − =2/- Thực hiện phép tính:

Vậy 2008+ 2010 2 2009<

b HỌC KÌ II:

Câu 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax by c+ =

Trong đó a,b và c là các số đã biết ( a≠ 0 hoặc b≠ 0 )

Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm

Câu 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng

Câu 3: Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể vô nghiệm, có 1 nghiệm duy

nhất hoặc vô số nghiệm

Câu 4: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng

2 2

+

=+

c, A > 0 <=>

23

12

x x

x

x x

x A

a a

+ + <

−1

1 01

201

2 02

a

a a

+ +

<=> − <

−+

f/

12

62

1

a b

11

( Thỏa điều kiện )

Vậy nghiệm của hệ phương trình

2313

x y

a b

ê =ëTọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9)

c/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

=-1 2

2

( 15) 3(27 5 )

981

9

x x

x

-é =ê

Û = Û ê =-ë

4/

y = -x2y= -2x - 3

C(3;-9)B(-1;-1)

-9

=-Bài 9:

1/ x2 + (m+1)x + m = 0 (a = 1;b = m+1;c = m)

D=(m+1)2 -4.1.m

x x m(2)

(x x ) 4(x x ) 4x x 4

=-ê =ëVậy với m = -1 hoặc m = 3 thì x1− =x2 2

ê =ë(Thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x1 =-3 và x2 = 5

2/

2 2 2

CÂU 8 : -Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác (SGK/tr.114)

Cách xác định : +Tâm là giao điểm các đường phân giác các góc trong tam giác

+ Bán kính là khoảng cách từ tâm đến cạnh của tam giác

Áp dụng : BC= 122+162 = 400 20= ( )cm ; 12 16 20 4( )

AB AC BC

r= + − = + − = cm

CÂU 9: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ? –Đường tròn qua ba đỉnh của tam giác Khi đó

tam giác nội tiếp đường tròn

Cách xác định : + Tâm là giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tam giác

+Bán kính : Khoảng cách từ tâm đến đỉnh tam giác

CÂU 10 : Hai đường tròn ngoài nhau và hai đường tròn đựng nhau có tính chất :

+Giống nhau : Không có điểm chung

+Khác nhau : -Hai đường tròn đựng nhau thì không có tiếp tuyến chung

-Hai đường tròn ngoài nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong

KL

AC BD=

Ta có: ·AOC OCD=· ( So le trong)

·BOD ODC=· ( So le trong)

Mà OCD ODC· =· ( VOCD cân tại O)

⇒ ·AOC BOD=·

⇒ »AC BD=» ( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau)

Câu 4:

O A

⇒ ¼AM <¼MN<»NB ( góc ở tâm nhỏ hơn thì chắn cung nhỏ hơn)

⇒ AM < MN < NB ( cung nhỏ hơn thì căng dây nhỏ hơn)

180180

A C

B D

+ =+ =

Ta có: µA= 12sđ¼BCD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)

µC= 12sđ¼BAD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)

Câu 6: Học sinh xem SGK trang 74

Câu 7: Học sinh xem SGK trang 78

Câu 8:

n

E O D

C A

B m

GT

Cho đường tròn (O)

·BEC: góc có đỉnh bên trong (O)

KL ·BEC=1

2sđ(BnC AmD¼ +¼ )

Xét tam giác BDE, ta có:

·BEC= B Dµ +µ ( định lí góc ngoài của tam giác BDE)

AB= ( giả thiết) Vậy: »

.3.60

( )180

13

AB BE BD

BC= CE +BE = DC=? 2 64 8

AB= 0 0

7,5

7,76cos15 cos15

-Tứ giác CDFE có CD//EF và CD = EF nên nó là hình bình hành

OO -AI là đường trung bình hình thang OMN /

BÀI 5 : a/ BD.CE không đổi:

DOC D· = ¶1+Bµ ( tính chất góc ngoài tam giác)⇒Oµ1 =D¶1

Vậy ∆BOD: ∆OED Suy ra DO là tia phân giác góc BDE

c/ Giả sử đường tròn (O) tiếp xúc AB tại H vẽ OK ⊥DE

O nằm trên phân giác ·BDE OH OK⇒ =

⇒Đường tròn (O;OH) tiếp xúc DE tại K.

PHỤ LỤC : HÌNH VẼ CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Ở HỌC KÌ I

( BÀI 1 ĐẾN BÀI 5)

E D

C

B C

A K

F

I

G

H K

I

F E

O

E H

K

Cho đường tròn(O;R)

AB, CD: đường kính, AB ⊥ CD tại O

M∈AB, CM cắt (O) tại NĐường thẳng d ⊥AB tại MTiếp tuyến của (O) tại N cắt d tại P

KL a/ OMNP nội tiếp được 1 đường tròn

b/ CMPO là hình bình hànhc/ CM.CN không đổi

a/ Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn:

cạnh dưới 1 góc không đổi)

b/ Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành:

Mặt khác: PM // CO ( Cùng vuông góc với AB) (4)

Từ (3), (4) ⇒ CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song) c/ Chứng minh tích CM.CN không đổi:

Ta có: CND· =900 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)

Nên ta chứng minh được: VOMC: VNDC(g.g)

⇒ CM CO

CD =CN

Hay CM.CN = CO CD = R.2R= 2R2

Mà R không đổi ⇒ 2R2 không đổi

Nên: CM.CN không đổi (đpcm)

Ta có: · 0

90

BAC= ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) ⇒ CA ⊥ BD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC (1)

Và ·BMC=900( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)

⇒ BM ⊥ CD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC (2)

Từ (1), (2) ⇒ I là trực tâm của tam giác BDC

⇒ DI là đường cao thứ ba của tam giác BDC

( Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 0

180 ) c/ Tính độ dài AD Diện tích hình quạt AOM:

*Tính AD:

Nếu ·ABM =450thì VABIvuông cân tại A ( Tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 450)

⇒ AB = AI = R Xét tam giác ADI vuông tại A ,ta có: ·ADI = ·AMI ( 2góc nội tiếp cùng chắn cung AI…)

* Tính diện tích hình quạt AOM:

Ta có: ·ACF =BCF· =450( Tính chất của đường chéo hình vuông)

»AF =»BF ( Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau)

⇒ AF = BF

⇒ VAFB cân tại F

Mà O là trung điểm của AB

⇒ FO là trung tuyến cũng là đường cao ( Tính chất tam giác cân) Hay : FO ⊥ AB

b/ Chứng minh tam giác BDF cân tại F:

F ∈ đường chéo CE của hình vuông ACDE

⇒ FA = FD ( Tính chất 2 đường chéo của hình vuông) (1)

Mà: FA = BF ( cmt)

⇒ FD = FB (2) Hay: Tam giác BDF cân tại F

c/ Chứng minh: D, E, M thẳng hàng:

Xét tam giác ABM, ta có:

O là trung điểm của AB

Mà OF // AM ( cùng vuông góc với AB)

⇒ F là trung điểm của BM