Tóm tắt kiến thức môn toán cấp ba

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 1 NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT Ax = B • A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất A B x = • A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm • A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm Ax > B • A > 0 : A B x > • A < 0 : A B x < • A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm • A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ 1/. Dạng :    =+ =+ /// cybxa cbyax 2/. Cách giải : baab ba ba D // // −== bccb bc bc D x // // −== caac ca ca D y // // −== ∗ D ≠ 0 : hệ có nghiệm duy nhất        = = D D y y D D x x ∗ D = 0 và D x ≠ 0 Hệ vô nghiệm D = 0 và D y ≠ 0 ∗ D = D x = D y = 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a / , b / , c / Sơ đồ: a c b a’ c’ b' D D y D x NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 2 ∗ ∆ = b 2 – 4ac ∆ > 0 a b x 2 1 ∆+− = , a b x 2 2 ∆−− = ∆ = 0 Nghiệm kép a b xx 2 21 −== ∆ < 0 Vô nghiệm ∗ ∆ / = b / 2 – ac ∆ / > 0 a b x // 1 ∆+− = , a b x // 2 ∆−− = ∆ / = 0 Nghiệm kép a b xx / 21 −== ∆ / < 0 Vô nghiệm Chú ý: a + b + c = 0 : nghiệm x 1 = 1, x 2 = a c a – b + c = 0 : nghiệm x 1 = –1, x 2 = a c − NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC f(x) = ax + b ( a ≠ 0) x – ∞ a b − + ∞ f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG) Nếu Thì    > <∆ 0 0 a    < <∆ 0 0 a f(x) > 0, ∀ x f(x) < 0, ∀ x    > =∆ 0 0 a    < =∆ 0 0 a f(x) > 0, ∀ x ≠ a b 2 − f(x) < 0, ∀ x ≠ a b 2 − ∆ > 0 x – ∞ x 1 x 2 + ∞ f(x) cùng 0 true 0 cùng dấu a NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 3 Cho: f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) và α , β là hai số thực 1/. Muốn có x 1 < α < x 2 ta phải có af(x) < 0 2/. Muốn có x 2 > x 1 > α ta phải có        >− > >∆ 0 2 0)( 0 α α S af 3/. Muốn có x 1 < x 2 < α ta phải có        <− > >∆ 0 2 0)( 0 α α S af 4/. Muốn có x 1 < α < β < x 2 ta phải có    < < 0)( 0)( β α af af 5/. Muốn có x 1 < α < x 2 < β ta phải có    > < 0)( 0)( β α af af 6/. Muốn có    <<< <<< 21 21 xx xx βα βα ta phải có 0)()( < β α ff 7/. Muốn có α < x 1 < x 2 < β ta phải có          << > > >∆ βα β α 2 0)( 0)( 0 S af af  Chú ý: 1/. Muốn có x 1 < 0 < x 2 ta phải có P < 0 2/. Muốn có x 2 > x 1 > 0 ta phải có      > > >∆ 0 0 0 S P 3/. Muốn có x 1 < x 2 < α ta phải có      < > >∆ 0 0 0 S P NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1/.    = ≥ ⇔= K K BA B BA 2 2 0 2/.    ≥≥ = ⇔= )0(0 22 hayBA BA BA KK NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 4 1/.      < > ≥ ⇔< K K BA B A BA 2 2 0 0 2/.           > ≥    ≥ < ⇔> K K BA B A B BA 2 2 0 0 0 3/. 12 12 + + <⇔< K K BABA NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/.           ≥ −=    ≥ = ⇔= 0 0 B BA B BA BA 2/.    −= = ⇔= BA BA BA Chú ý:           ≤ =−    ≥ = ⇔= 0 )()( 0 )()( )()( x xgxf x xgxf xgxf NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/.    > <<− ⇔< 0B BAB BA 2/.              ≥ −<    ≥ > < ⇔> 0 0 0 B BA B BA B BA 3/. 22 BABA >⇔> NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC 1/. Đònh nghóa : Dạng : A > B, A ≥ B A < B, A ≤ B 2/. Tính chất : a) abba < ⇔ > b) ca cb ba >⇒    > > GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 5 c) cbcaba + > + ⇔ > d)    << >> ⇔> 0, 0, cbcac cbcac ba e) dbca dc ba +>+⇒    > > f) bdac dc ba >⇒    >> >> 0 0 g)       <> >< ⇒> 0; 11 0; 11 abkhi ba abkhi ba ba 3/. BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a 1 , a 2 , a 3 , , a n n n n aaaa n aaaa 321 321 ≥ ++++ hay n n n n aaaa aaaa       ++++ ≤ 321 321 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a 1 = a 2 = a 3 = = a n 4/. BĐT Bunhia Côp ski : Cho a 1 , a 2 , a 3 , , a n , b 1 , b 2 , b 3 , , b n là những số tực khi đó: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa ++++++≤+++ Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a i = k.b i , i = 1 , 2 , 3, , n 5/. BĐT BecnuLi : Cho : a > –1, n ∈ N Ta có : (1 + a) n ≥ 1 + na Đẳng thức xảy ra    = = ⇔ 1 0 n a 6/. BĐT tam giác : BABA +≤+ Đẳng thức xảy ra ⇔ AB ≥ 0 NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức ) 1/. 1 22 =+ xCosxSin 2/. Cosx Sinx Tanx = 3/. Sinx Cosx Cotx = 4/. 1. = CotxTanx 5/. x Cos xTan 2 2 1 1 =+ GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 6 6/. x Sin xCot 2 2 1 1 =+ Điều kiện tồn tại : • Tanx là x ≠ π / 2 + k π , k ∈ Z • Cotx là x ≠ k π , k ∈ Z • Sinx là – 1 ≤ Sinx ≤ 1 • Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1 Chú ý : • a 2 + b 2 = ( a + b) 2 – 2ab • a 3 + b 3 = ( a + b) 3 – 3ab( a + b) B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ) 7/. SinaSinbCosaCosbbaCos − = + )( 8/. SinaSinbCosaCosbbaCos + = − )( 9/. CosaSinbSinaCosbbaSin + = + )( 10/. CosaSinbSinaCosbbaSin − = − )( 11/. TanaTanb TanbTana baTan − + =+ 1 )( 12/. TanaTanb TanbTana baTan + − =− 1 )( 13/. Cotb Cota CotaCotb baCot + − =+ 1 )( 14/. Cotb Cota CotaCotb baCot − + =− 1 )( C. CÔNG THỨC NHÂN I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức) 15/. SinaCosaaSin 22 = 16/. aSinaCosaSinaCosaCos 2222 21122 −=−=−= 17/. a Tan Tana aTan 2 1 2 2 − = II. NHÂN BA : ( 3 công thức) 18/. CosaaCosaCos 343 3 −= 19/. aSinSinaaSin 3 433 −= 20/. a Tan aTanTana aTan 2 3 3 1 3 3 − − = III. HẠ BẬC : ( 4 công thức) 21/. 2 21 2 aCos aSin − = ⇒ aSinaCos 2 221 =− 22/. 2 21 2 aCos aCos + = ⇒ aCosaCos 2 221 =+ 23/. 4 33 3 aSinSina aSin − = GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 7 24/. 4 33 3 aCosCosa aCos + = IV. GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức) 25/. 2 1 2 t t Sinx + = 26/. 2 2 1 1 t t Cosx + − = , với 2 x Tant = 27/. 2 1 2 t t Tanx − = D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức) 28/. 2 2 2 ba Cos ba CosCosbCosa − + =+ 29/. 2 2 2 ba Sin ba SinCosbCosa − + −=− 30/. 2 2 2 ba Cos ba SinSinbSina − + =+ 31/. 2 2 2 ba Sin ba CosSinbSina − + =− 32/. CosaCosb baSin TanbTana )( + =+ 33/. CosaCosb baSin TanbTana )( − =− 34/. SinaSinb baSin CotbCota )( + =+ 35/. SinaSinb baSin CotbCota )( − − =− E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức) 36/. ( ) [ ] )( 2 1 baCosbaCosCosaCosb ++−= 37/. [ ] )()( 2 1 baCosbaCosSinaSinb +−−= 38/. [ ] )()( 2 1 baSinbaSinSinaCosb ++−= F. CUNG LIÊN KẾT : Cos đối Cos(– α ) = Cos α ; Sin(– α ) = – Sin α Sin bù Sin( π – α ) = Sin α ; Cos( π – α ) = – Cos α Phụ chéo Sin( π /2 – α ) = Cos α ; Cos( π /2 – α ) = Sin α Khác π Tan Tan( π + α ) = Tan α ; Cot( π + α ) = Cot α Sai kém π / 2 Sin( π /2 + α ) = Cos α ; Cos( π /2 + α ) = – Sin α NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 8 A. CƠ BẢN : Sinu = Sinv    +−= += ⇔ ππ π 2 2 kvu kvu k ∈ Z Cosu = Cosv π 2kvu + ± = ⇔ Tanu = Tanv π kvu + = ⇔ Cotu = Cotv π kvu + = ⇔ Sinu = 0 π ku = ⇔ Sinu = 1 π π 22/ ku + = ⇔ Sinu = –1 π π 22/ ku + − = ⇔ Cosu = 0 π π ku + = ⇔ 2/ Cosu = 1 π 2ku = ⇔ Cosu = – 1 π π 2ku + = ⇔ B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos Dạng aSinx + bCosx = c ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) Phương pháp : Cách 1: Chia hai vế cho 22 ba + Đặt : αα Sin ba b Cos ba a = + = + 2222 ; Ta có 22 )( ba c xSin + =+ α (*) (*) Có nghiệm khi 1 22 ≤ + ba c 222 cba ≥+⇔ (*) Vô nghiệm khi 222 cba <+⇔ Cách 2: • Kiểm chứng x = (2k + 1) π có phải là nghiệm của phương trình hay không? • Xét x ≠ (2k + 1) π Đặt : 2 x Tant = Thế 2 2 2 1 1 ; 1 2 t t Cosx t t Sinx + − = + = Vào phương trình ⇒ t ? ⇒ x ? C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1/. Đối với một hàm số lượng giác: Giả sử a ≠ 0 0 2 =++ cbSinxxaSin ( đặt 1, ≤= tSinxt ) 0 2 =++ cbCosxxaCos (đặt 1, ≤= tCosxt ) 0 2 =++ cbTanxxaTan ( đặt π π kxTanxt +≠= 2 , ) GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 9 0 2 =++ cbCotxxaCot ( đặt π kxCotxt ≠ = , ) 2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx Dạng: 0 22 =++ xcCosbSinxCosxxaSin (1) 0 3223 =+++ xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin (2) Phương pháp : Cách 1: ∗ Kiểm x = π / 2 + k π có phải là nghiệm của phương trình ? ∗ Chia hai vế cho Cos 2 x ( dạng 1), chia Cos 3 x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx. Cách 2: Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và 2 2 xSin SinxCosx = thế vào 3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx: Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) Phương pháp: Đặt : 2), 4 (2 ≤+=+= txSinCosxSinxt π 0 2 1 (*) 2 =+ − +⇔ c t bat t ⇒ ( nếu có) x ⇒ Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự : Đặt : 2), 4 (2 ≤−=−= txSinCosxSinxt π 0 2 1 (*) 2 =+ − +⇔ c t bat ⇒ t ? ( nếu có) ⇒ x ? D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 1/. Tổng bình phương : • A 2 + B 2 + + Z 2 = 0 ⇔ A = B = = Z = 0 • A ≥ 0, B ≥ 0, , Z ≥ 0 Ta có : A + B + + Z = 0 ⇔ A = B = = Z = 0 2/. Đối lập : Giả sử giải phương trình A = B (*) Nếu ta chứng minh    ≥ ≤ KB KA    = = ⇔ KB KA (*) 3/.      +=+ ≤ ≤ klBA kB lA    = = ⇔ kB lA 4/. 1,1 ≤≤ BA GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 10    = = ⇔= 1 1 1 B A AB hay    −= −= 1 1 B A NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG Tam giác thường ( các đònh lý) Hàm số Cosin • bcCosAcba 2 222 −+= • bc acb CosA 2 222 −+ = Hàm số Sin • R SinC c SinB b SinA a 2 === • R a SinARSinAa 2 ,2 == Hàm số Tan • ba ba BA Tan BA Tan + − = + − 2 2 Các chiếu • cCosBbCosCa + = Trung tuyến • 4 )(2 222 2 acb m a −+ = Phân giác • 2 . 2 a A bc Cos l b c = + Diện tích Diện tích • cba chbhahS 2 1 2 1 2 1 === • abSinCacSinBbcSinAS 2 1 2 1 2 1 === • prS = • R abc S 4 = • ))()(( cpbpappS −−−= Chú ý: • 2 )( 2 )( 2 )( C Tancp B Tanbp A Tanap p S r −=−=−== • SinC c SinB b SinA a S abc R 2 2 2 4 ==== • a, b, c : cạnh tam giác • A, B, C: góc tam giác • h a : Đường cao tương ứng với cạnh a • m a : Đường trung tuyến vẽ từ A • R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác. • 2 cba p + + = Nữa chu vi tam giác. [...]... b)2 + (z – c)2 = R2 • x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 Với R2 = a2 + b2 + c2 – d ≥ 0 NHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TT HÌNH VẼ 1 α d a b β 2 3 d β a α 4 β α d a 5 Nếu α chứa a và b cắt nhau, trong đó a// β , b// β thì α // β a α KIẾN THỨC α ∩ β = d  d // α // β a // b  ⇒ d ≡ a   a ⊂ β d ≡ b  b ⊂ α  a// α nếu và chỉ nếu trên α... (x) liên tục trên [a, b] và f (a ) f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈ (a, b) sao cho f (c) = 0 NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ 1/ Đònh nghóa : Cho a > 0, a ≠ 1 ( cố đònh) Hàm số mũ là hàm số xác đònh bởi công thức : y = ax ( x ∈ R) 2/ Tính chất : a) Hàm số mũ liên tục trên R b) y = ax > 0 mọi x ∈ R c) a > 1 : Hàm số đồng biến x1 x2 a < a ⇔ x1 < x 2 d) 0 < a < 1 : Hàm số nghòch biến x1 x2 a < a ⇔ x1 > x 2 (0... thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chun đ - 12 GV: VÕ QU C TRUNG T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 Ký hiệu : logaN = M b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a ≠ 1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a ≠ 1) 2/ Tính chất và đònh lý cơ bản về logarit : Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn TC1 : logaN = M ⇔ aM = N TC2 : loga aM = M , a log a M = M TC3 : loga 1 =... + c ' 2/ (ab) ' = a ' b + a.b ' (abc) ' = a ' b.c + a.b ' c + a.b.c ' ' ' '  a  a b − ab ( b ≠ 0) 3/   = b2 b (cu ) ' = c.u ' (c ∈ R ) ' u' 1   =− 2 u u III/ Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản : Hàm số Đạo hàm TT y=c y’ = 0 1 y’ = 1 2 y=x y = xα y ' = α x α −1 3 y = uα y ' = α u α −1 u ' 1 1 y= y' = − 2 x x 1 y= x y' = 4 2 x u' y= u y' = 2 u ' y = Sinx y = Cosx 5 y = Sinu y ' = u... xLna NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x = c , c ∈ (a, b) f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a) NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN 1/ Công thức NewTon _ Leibnitz : b ∫ f ( x)dx = [F ( x)] b a = F (b) − F (a ) a với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b} 2/ Tích phân từng phần : b b ∫ udv = [u.v] − ∫ vdu b a a a với u, v liên tục và có đạo... a c b b b a a d) ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a b b a a f) Nếu m ≤ f(x) ≤ M thì e) ∫ Kf ( x)dx = K ∫ f ( x)dx ,K ∈R b m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) a 5/ Bảng tích phân : Công thức TT α +1 x + c (α ≠ −1) 1 ∫ x α dx = α +1 1 (ax + b) α +1 +c 2 ∫ (ax + b)α dx = a α +1 1 1 + c (α ≠ 1) 3 ∫ α dx = − x (α − 1) x α −1 dx 1 =− +c 4 ∫ α (ax + b) a (α − 1)(ax + b) α −1 dx = Ln x + c... , y B − y A ) 2 x A + xB  x =  2 3) Tọa độ trung điểm I của AB :   y = y A + yB  2  4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 : • x A − k x B  x = 1 − k    y = y A − k y B  1− k  → Phép toán : Cho a = (a1 , a 2 ) → b = (b1 , b2 ) → → a = b1 1) a = b ⇔  1  a 2 = b2 → → 2) a ± b = (a1 ± b1 , a 2 ± b2 ) → 3) m a = (ma1 , ma 2 ) →→ 4) a b = a1b1 + a 2 b2 → 5) a = a1 + a 2 → 2 2 → 6) a... D = Dx = D y = 0 A2, B2, C2 ≠ 0 A B d1 cắt d2 ⇔ 1 ≠ 1 A2 B2 A B C d 1 // d 2 ⇔ 1 = 1 ≠ 1 A2 B2 C 2 A B C d1 ≡ d 2 ⇔ 1 = 1 = 1 A2 B2 C 2 Chú ý : 11/ Góc của hai đường thẳng d1 và d2 : Xác đònh bởi công thức : Cosϕ = A1 A2 + B1 B2 2 2 A12 + B12 A2 + B2 12/ Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 : A1 x + B1 y + C1 A x + B2 y + C 2 =± 2 2 2 A12 + B12 A2 + B2 * Chú ý : Phương trình đường... ) 2) AB = ( xB − xA ) 2 + ( yB − y A )2 + ( z B − z A )2 x A + xB  x = 2  y + yB  3) Tọa độ trung điểm I của AB :  y = A 2  z A + zB  z = 2  4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 : • Phép toán : Cho x A + kxB  x = 1− k  y A + kyB  y = 1− k  z A + kz B  z = 1− k  → a = (a1 , a2 , a3 ) → b = (b1 , b2 , b3 ) http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chun đ - 22... Thanh Bình 2 4/ Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn tên các trục tọa độ: x y z + + =1 a b c 5/ Cho α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 β: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 a/ Góc giữa 2 mặt phẳng : Tính bởi công thức : A1 A2 + B1 B2 + C1C2 Cosϕ = 2 2 2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C2 b/ Vuông góc : α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 c/ Vò trí tương đối : • α cắt β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A B C D • α ≡β ⇔ 1 = .        − − = − − = k yky y k xkx x BA BA 1 . 1 . • Phép toán : Cho ),( 21 aaa = → ),( 21 bbb = → 1).    = = ⇔= →→ 22 11 ba ba ba 2). ),( 2211 bababa ±±=± →→ 3). ),(. 21 mamaam = → 4). 2211 bababa += →→ . 29/. 2 2 2 ba Sin ba SinCosbCosa − + −=− 30/. 2 2 2 ba Cos ba SinSinbSina − + =+ 31/. 2 2 2 ba Sin ba CosSinbSina − + =− 32/. CosaCosb baSin TanbTana )( + =+ 33/. CosaCosb baSin TanbTana )( − =− . '''' ) ( cbacba +++=+++ 2/. ''' )( babaab += '''' )( cbacbacbaabc ++= 3/. 2 '' ' b abba b a − =       (