Tổng hợp kiến thức môn toán 9 bằng sơ đồ tư duy

v Điều kiện Hằng đẳng thức đáng nhớ a  b  (a  b)( a  b) A Có nghĩa  A  B  A B ; A = B  2 a  b   a  2ab  b B   A  B   A  B  A  -B  x  n x  n   (n  0) ;  x   n 2 a  b   a  2ab  b a  b  (a  b)( a  ab  b ) a  b  (a  b)( a  ab  b ) x  n   n  x  n (n  0) 2 2 a  b   a  3a b  3ab  b 3 2 a  b   a  3a b  3ab  b KIẾN THỨC CĂN BẢN Biến đổi thức A2  A A.B  A B ( A  0; B  0) CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA A  B A A2 B  A B ( B  0) ( A  0; B  0) B A B  A B ( A  0; B  0) ; A B   A B 2 A B  A B ; B C AB  C A B  ) Căn bậc ba: Ký hiệu: x  a  x  a Do đó: A A  B B C ( A  B) ; A  B2 ab  ab (dấu “=” xảy  a  b ) a  b  2ab (dấu “=” xảy  a  b ( A  0; B  0) Trục mẫu: biểu thức A, B, C thoả điều kiện Bất đẳng thức Cô si với a  0; b  : a  b  a  b ; C AB C( A  B ) ; A B  C ( A  B) A  B2 C A B LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: https://www.facebook.com/thayphamnguyen  C( A  B ) A B 3 ab  a b Với b  , ta có a 3a  b 3b  a 3 a Tìm điều kiện xác định biểu thức: tìm tập xác định phân thức kết luận lại Phân tích tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn được) Chọn mẫu chung : tích nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn Tìm nhân tử phụ : lấy mẫu chung chia cho mẫu để nhân tử phụ tương ứng Quy đồng mẫu BÀI TOÁN RÚT GỌN Nhân : tử số phân thức với nhân tử phụ tương ứng vừa tìm Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dạng Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên) Rút gọn LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Giữ nguyên mẫu chung Đồ thị hàm số Là hàm số bậc Có đồ thị đường thẳng đia qua (0;b) (1;a+b) Đồng biến Sự biến thiên Nghịch biến Hàm , có đồ thị đường thẳng song song Ox qua điểm (0;b) Góc tạo tia Ox đường thẳng y = ax + b Hệ số góc a với góc nhọn góc tù BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Thay Điểm thuộc đồ thị ? vào ta Nếu M thuộc đồ thị Nếu M không thuộc đồ thị Mối quan hệ đường thẳng Toạ độ giao điểm nghiệm hệ phương cắt trình LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Đã có Đi qua điểm PTĐT có hệ số góc Gọi ptđt cần tìm (d) (1) Đi qua điểm (2) Giải hệ phương trình Đi qua điểm và song song đường thẳng d’: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Đi qua điểm vuông PTĐT Đã có b qua điểm Đến trục Ox : Khoảng cách từ điểm Đến trục Oy : *Cho hai điểm : Khoảng cách (độ dài AB) là: LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN – Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế - ĐT: 0935555826 – Fb: https://www.facebook.com/thayphamnguyen PTĐT góc đường thẳng Biết hệ số b BÀI TOÁN LIÊN QUAN PTĐT M trung điểm AB với PTĐT Phương trình (1) có đồ thị đường thẳng d1 : Phương trình (2) có đồ thị đường thẳng d2 : với ( với ( Số nghiệm hệ số giao điểm hai đường thẳng d1 d2 ) ) Nghiệm hệ nghiệm chung hai phương trình (1) (2) Nhìn nhanh số nghiệm hệ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Nếu nghiệm hệ *Vô nghiệm *Một nghiệm Giải hệ Phương pháp Bước 1: Chọn PT dễ hệ (thường pt có hệ số đơn giản) Biểu diễn ẩn theo ẩn Rồi vào phương trình lại *Vô số nghiệm Bước 2: Hệ phương trình tương đương gồm phương trình thay ẩn, phương trình đơn giản hệ ban đầu) Giải hệ phương trình Bước 1: Xác định ẩn (x y,…) bạn muốn khử (loại bỏ) Xem xét hệ số đứng trước ẩn hai phương trình hệ Rồi nhân thêm hệ số cho hệ số chúng (không quan tâm dấu) Giải hệ Phương pháp cộng đại số Bước 2: Cộng vế theo vế hệ số ẩn muốn khử hai phương trình trái dấu, trừ vế theo vế hệ số ẩn muốn khử hai phương trình dấu Bước 3: Hệ gồm phương trình phương trình đơn giản hệ ban đầu Giải hệ phương trình SỰ TƯƠNG GIAO CỦA PARABOL Đồ thị parabol (P) Vẽ đồ thị hàm số Có đỉnh O(0;0), có trục đối xứng Oy Đi qua điểm : kẻ bảng giá trị (P) VÀ yĐƯỜNG  x  xTHẲNG  (C ) (d) x -x2 -x1 x1 x2 y -y2 -y1 y1 y2 Đồ thị đường thẳng (d) Vẽ đồ thị hàm số Đi qua điểm (có thể cho điểm tuỳ ý khác không thiết phải cắt Ox, Oy): A(0 ;b) B Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt Nghiệm Thay Giao điểm vào (d) Nghiệm Thay Giao điểm vào (d) Phương trình hoành độ giao điểm: Tính phương trình (1) Nếu PT (1) vô nghiệm Nếu PT (1) có nghiệm kép Nghiệm (P) (d) điểm chung Thay Tiếp điểm vào (d) LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Công thức nghiệm 1.Cho số u, v biết Hệ thức Viét (áp dụng phương trình có nghiệm ) Ứng dụng (điều kiện Viét 2.Nếu PT (*) có: có nghiệm Nếu PT (*) có: có nghiệm PT (*) có nghiệm PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI u, v nghiệm PT: nghiệm lại nghiệm lại PT (*) có nghiệm âm phân biệt PT (*) có nghiệm kép PT (*) có nghiệm phân biệt PT (*) có nghiệm đối PT (*) có nghiệm trái dấu Những hệ thức liên quan: PT (*) có nghiệm dấu Mối quan hệ nghiệm phương trình bậc x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p PT (*) có nghiệm phân biệt dấu x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = PT (*) có nghiệm dương phân biệt = LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phương trình trùng phương (1) Đặt: với điều kiện Khi PT (1) trở thành: (2) Nếu Giải phương trình (2) (loại không thoả điều kiện Nếu ) Tìm điều kiện xác định (cho mẫu khác 0) Phương trình chứa ẩn mấu PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Quy đồng mẫu vế - Khử mẫu Giải phương trình vừa nhận Loại giá trị không thoả mãn Kết luận Dạng: Phương trình tích Dạng: với Phương pháp: Đặt Thay t vào phương trình ta phương trình bậc theo t LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phương trình trùng phương (1) Đặt: với điều kiện Khi PT (1) trở thành PT (2): với Số nghiệm phương trình (1) PT (2) vô nghiệm PT (2) có nghiệm kép dương ( ) PT (2) có nghiệm kép âm PT (1) vô nghiệm PT (1) có nghiệm phân biệt PT (2) nghiệm trái dấu ( ) PT (2) có nghiệm phân biệt âm PT (2) có nghiệm kép âm ( ) PT (2) có nghiệm phân biệt gồm nghiệm âm, nghiệm ( ) PT (1) có nghiệm phân biệt PT (2) có nghiệm phân biệt gồm ( ) PT (1) có nghiệm phân biệt PT (2) có nghiệm phân biệt dương PT (1) có nghiệm ( ) LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Nếu a > hàm số đạt giá trị nhỏ Cho hàm số: ( Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, ta biến đổi dạng: Nếu a < hàm số đạt giá trị lớn TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨ Dùng bất đẳng thức Cauchy (Côsi): với hai số không âm x, y ta có: Dấu xảy LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Tứ giác có cạnh đối song song Tứ giác có cạnh đối Tứ giác có cặp cạnh đối // = Tam giác có cạnh Hình bình hành Tam giác cân Tứ giác có góc đối Tam giác có đường cao vừa trung tuyến, vừa phân giác,… đường chéo cắt trung điểm đường Tam giác có cạnh Tứ giác có góc vuông Hình thang cân có góc vuông Hình bình hành có góc vuông Hình chữ nhật Hình bình hành có đường chéo = Hình bình hành có cạnh kề = Tam giác có góc Tam giác có góc 600 Tam giác cân có góc 600 Tam giác vuông có cạnh Tam giác vuông cân Tam giác vuông có góc 450 Tam giác có góc 450 Hình thang có góc kề đáy Hình thang cân Hình thang có đường chéo Hình thang có trục đối xứng Hình chữ nhật có cạnh kề = Hình chữ nhật có đường chéo phân giác Tam giác Hình thoi Hình bình hành có đường chéo tia phân giác góc Hình chữ nhật có đường chéo DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CÁC HÌNH ĐẶC BIỆT Tứ giác có cạnh Hình bình hành có đường chéo Tam giác có góc Hình vuông Hình thoi có góc vuông Hình thoi có đường chéo PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826 FB: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Hai góc vị trí đối đỉnh Hai góc đáy tam giác cân ( tam giác đều) Hai góc tương ứng hai tam giác đồng dạng Hai góc nội tiếp chắn cung hai cung Hai cạnh bên tam giác cân (hoặc hình thang cân) Hai cạnh tương ứng hai tam giác Hai cạnh đối hình bình hành (hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông) ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Góc tạo tiếp tuyến + dây cung góc nội tiếp chắn dây cung Chứng minh hai góc góc thứ ba Chứng minh hai góc phụ, bù góc Hai đoạn thằng đoạn thẳng thứ ba Hai góc so le trong, so le ngoài, đồng vị hai đường thẳng song song GÓC BẰNG NHAU Là hai góc đáy hình thang cân Hai dây căng hai cung đường tròn (hoặc hai đường tròn nhau) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt Sử dụng tính chất đường chéo hình bình hành Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông Sử dụng quan hệ vuông góc đường Là hai góc đối hình bình hành Sử dụng tính chất đường trung trực Chứng minh góc A=A’ B=B’ mà A’=B’ góc A=B Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đôi A=B C=D ⟹E=F E= A±C F= B±D Sử dụng tính chất đường thẳng qua trung điểm cạnh song song với cạnh thứ hai Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt Sử dụng quan hệ dây khoảng cách đến tâm Chứng minh hai đoạn thẳng biểu thức PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826 Sử dụng tính chất tia phân giác góc FB: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Có cặp cạnh đôi (c-c-c) TAM GIÁC THƯỜNG Một cặp góc xen hai cặp cạnh (c-g-c) Một cặp cạnh kề hai cặp góc (g-c-g) HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU TAM GIÁC VUÔNG Cạnh huyền góc nhọn tương ứng Cạnh huyền cạnh góc vuông tương ứng Có hai cặp góc tương ứng TAM GIÁC THƯỜNG Có cặp góc nhau, xem hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ Có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Có cặp góc nhọn TAM GIÁC VUÔNG Có hai cạnh góc vuông tưng ứng tỉ lệ 1.Hai góc vị trí so le (hoặc đồng vị) Hai góc phía bù Đường trung bình tam giác (của hình tháng) song song với đáy ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba song song với Hình Hình 1a Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với Tính chất cạnh đối hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông Sử dụng định lý Talet đảo Hình 3a Hình 1b Hình Hình d cắt AB, AC hai điểm D, E và: AD AE AD AE   AB AC DB EC DB EC  AB AC  DE / / BC Hình Hình Hình 3b Dùng định nghĩa M Định lý Phytago đảo : A Sử dụng định nghĩa đường trung trực : MN trung trực AB A B I ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song vuông góc với đường thẳng lại : (6) (3) N Tam giác có tổng hai góc 900 góc lại 900 Hai tia phân giác hai góc kề bù vuông góc với Đường trung tuyến (phân giác) tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông cân Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác vuông (10) Tính chất trực tâm tam giác Hai đường chéo hình vuông hình thoi vuông góc với (7) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo 900 Sử dụng quan hệ vuông góc đường kính dây cung Sử dụng tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tiếp điểm (9) LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN (8) Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 (12) (13) Chứng minh AB, AC song song với đường thẳng Trọng tâm G Chứng minh BA, BC vuông góc với đường thẳng Chứng minh điểm tạo thành góc bẹt ( ĐIỂM THẲNG HÀNG =1800) Chứng minh A,B,C thuộc đường (trung trực, đường cao, trung tuyến, phân giác,…) Chứng minh AB, AC hai tia trùng Tâm đường tròn ngoại tiếp O Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, có tia OA cho góc xOA=m0 Vậy có góc xOB=m0 suy O, A, B thẳng hàng ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Chứng minh đường trung tuyến, đường cao, đường trung trực, đường phân giác (hoặc phân giác hai phân giác hai góc lại tam giác) Trực tâm H Gọi giao điểm hai đường M, chứng minh đường lại qua M Tâm đường tròn nội tiếp I PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826 FACEBOOK: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 (hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông tứ giác nội tiếp) Hình Tứ giác có hai đỉnh kề nhau, nhìn xuống cạnh (chứa đỉnh lại) góc Hình CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP Hình Hình Hình Hình Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện Hình Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà điểm xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Hình Trường hợp đặc biệt: (Khi áp dụng cần phải chứng minh) 1.Nếu hai cạnh đối tứ giác AB DC cắt M thoả mãn: ta chứng minh : Tứ giác ABCD nội tiếp Hình 2.Nếu hai đường chéo tứ giác AC BD cắt P thoả mãn : ta chứng minh: Hình Tứ giác ABCD nội tiếp Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính tiếp điểm Hình Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bán kính Hình CHỨNG MINH Chứng minh góc tạo tia với dây cung đường tròn có số đo nửa số đo cung bị chắn Hình TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN Hình Đặc biệt: Nếu chứng minh 𝑀𝐷𝐴 = 𝐴𝐷𝐵 Ta tiếp tuyến (O) Hình PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Hình Hình Vị trí tương đối đường tròn Vị trí tương đối hai đường tròn (O;R) (O’; r) với (R > r) Số điểm chung Hai đường tròn cắt R – r < OO’ 0 OO’ > R + r OO’ < R – r OO’ = Đường tròn Góc tâm: góc 𝐵𝑂𝐶 có Sđ 𝐵𝑂𝐶 = Sđ CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN (tt) Đường tròn tiếp xúc Góc nội tiếp: góc 𝐵𝐴𝐶 có Sđ 𝐵𝐴𝐶 = Đường tròn tiếp xúc Góc tâm Góc nội tiếp Sđ Góc tạo tiếp tuyến dây cung Góc tạo tiếp tuyến dây cung: Góc 𝑥𝐵𝐶 GÓC Có Sđ 𝑥𝐵𝐶 = Sđ Sđ 𝑥𝐵𝐶 = Sđ 𝐵𝐴𝐶 Góc có đỉnh bên đường tròn: Góc 𝐴𝐼𝐶 Có Sđ 𝐴𝐼𝐶 Sđ Góc có đỉnh bên đường tròn: Góc 𝐴𝑀𝐶 Có Sđ 𝐴𝑀𝐶 Sđ Góc bên góc bên đường tròn CÁC CÔNG THỨC - ĐƯỜNG TRÒN CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN 1.Chu vi đường tròn: C  2 R 2.Diện tích hình tròn: S   R 3.Độ dài cung tròn có số đo 10 : C 2 R  R l0    360 360 180 4.Độ dài cung tròn có số đo n0 :  Rn R  l  l0  n   n  180  180  5.Diện tích hình quạt tròn có số đo 10 : S  R2 S0   360 360 6.Diện tích quạt tròn có số đo n :   R2  S  R2n S  S0  n  n n  360 360  360  Ngoài diện tích quạt tròn có số đo n0, với độ dài cung tròn quạt l:  R n  Rn R lR S    360 180 2 1.Chotam giác ABC Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, AC, AB abc Đặt p  , ta có hệ thức sau: a Bá kính đường tròn nội tiếp tam giác: 2S S A B C r   ( p  a) tan  ( p  b) tan  ( p  c) tan abc p 2  ( p  a)( p  b)( p  c) p b Bán kình đường tròn ngoại tiếp tam giác: R  abc a b c    S ABC 2sin A 2sinB 2sinC c Bán kính đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC:  2S S A   p tan bca pa (áp dụng tương tự cho đường tròn bàng tiếp góc B, góc C) Đối với đa giác n cạnh có độ dài a Gọi R độ dài đường tròn ngoại tiếp đa a a giác, r độ dài đường tròn nội tiếp đa giác: R  ; r   180   1800  2sin  tan     n   n  Tam giác ABC vuông A: BC Đường tròn ngoại tiếp có R  , có tâm trung điểm BC cba Đường tròn nội tiếp có r  Tam giác ABC cạnh a: a Đường tròn ngoại tiếp có R  Đường tròn nội tiếp có r  a Gắn vào hai tam giác đồng dạng Chứng minh (chứng minh đẳng thức tích) Chuyển chứng minh tỉ lệ thức: Sử dụng định lý Talet, hệ định lý Talet Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông Lập hai tỉ số: từ tích chứng minh chúng tỉ lệ thức thứ ba CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Chứng minh đoạn thẳng (góc) có số đo không đổi Xác định yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi Chuyển toán chứng minh biết Tích hai đoạn thẳng có số đo không đổi Thực chất toán chứng minh tỉ lệ thức, quy dạng Độ dài đoạn thẳng tích thay đổi, tích chúng không đổi PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826 FB: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Gắn vào giải tam giác vuông (Tỉ số lượng giác tam giác vuông) Hai góc kề bù có tổng số đo 1800 Tổng hai góc nhọn tam giác vuông 900 Tính số đo góc Tính chất góc đường tròn (góc tâm, góc nội tiếp, góc tạo tiếp tuyến dây cung, góc đường tròn, góc đường tròn) Hai góc Ta tính số đo góc biết số đo góc Gắn vào giải tam giác vuông (Phytago, hệ thức lượng) DẠNG BÀI TẬP TÍNH TOÁN Tính độ dài đoạn thẳng Áp dụng tính chất đường trung tuyến (trong tam giác vuông, tam giác thường) Gắn vào tỉ lệ thức chứng minh Dựa vào công thức Chuyển toán tính độ dài đoạn thẳng Tính diện tích, chu vi hình LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 Có thể phân chia hình cần tính thành hình đơn giản CHÚ Ý: - Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng - Tỉ số chu vi hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng - Hai tam giác có chung đường cao, tỉ số diện tích tỉ số hai cạnh đáy tương ứng Hai tam giác có chung cạnh đáy tỉ số diện tích tỉ số hai đường cao tương ứng Bất đẳng thức - Cực trị hình học mảng kiến thức khó chương trình học phổ thông , thường đưa vào giảng dạy chương trình khóa Theo xu đề , bất đẳng thức - Cực trị hình học thường câu chốt đề thi tuyển sinh , đề thi HSG Quan hệ đường vuông góc đường xiên, đường xiên hình chiếu Quan hệ đoạn thẳng đường gấp khúc BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC Trong tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnh góc vuông AH cạnh huyền AB , xảy dấu B trùng với H Trong tất đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng, đến đường thẳng Đường vuông góc có độ dài nhỏ Trong đoạn thẳng nối hai điểm nằm hai đoạn thẳng song song Đoạn vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ Áp dụng bất đẳng thức đường tròn tìm cực trị Với hai số không âm x, y : Nếu Áp dụng bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức đại số tìm cực trị Nếu số số Bất đẳng thức Côsi Ứng dụng diện tích tìm cực trị Bất đẳng thức luỹ thừa bậc chẳn: * Khi giải toán cực trị , nhiều ta cần biến đổi tương đương điều kiện cực trị đại lượng thành điều kiện cực trị đại lượng khác * Nhiều toán cực trị có liên quan đến toán tìm tập hợp điểm : Trong tập hợp hình có chung tính chất, cố định số yếu tố không đổi hình, điểm lại chuyển động đường định, việc theo dõi vị trí chúng giúp tìm cực trị toán * Khi giải toán cực trị, có ta phải tìm GTLN (GTNN) trường hợp, so sánh cá giá trị với để tìm GTLN (GTNN) toán * Bài tập dạng toán trình bày phần sách dạng tập vận dụng liên quan M Nếu M cách hai đầu đoạn thẳng AB cố định M năm trung trực AB A Nếu M cách hai cạnh góc M nằm tia phân giác góc B I N BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TẬP HỢP ĐIỂM Nếu M cách điểm O (O điểm cố định) khoảng cách không đổi d Thì M thuộc đường tròn (O, R) với tâm O, bán kính R = d Nếu M nhìn xuống đoạn thẳng AB (AB cố định) với góc không đổi 𝛼 M nằm cung chứa góc 𝛼 dựng đoạn AB (Ta xem hai cung tròn có AB dây cung, góc 𝐴𝑀𝐵 = 𝛼 góc nội tiếp) Nếu M cách đường thẳng d khoảng không đổi a Thì M nằm hai đường thẳng d1 d2 song song với d d1 d2 cách d khoảng a LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - ĐT: 0935555826 FB: https://www.facebook.com/thayphamnguyen HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – TOÁN Hình lăng trụ đứng Hình trụ Khi quay hình chữ nhật ABCD vòng quanh cạnh CD cố định, ta hình trụ - S xq  p.h (p: chu vi đáy, h: đường cao) - V  S.h (S: diện tích đáy) - Sxq  2πR.h (R: bán kính đáy) - Stp  2πR.h  2πR Hình chóp - V  S.h   R h R - Sxq  p.d (d: trung đoạn) - V  S.h (S: diện tích đáy) Hình nón Khi quay tam giác vuông AOC vòng quanh cạnh OA (cạnh góc vuông) cố định hình nón Cạnh OC quét nên đáy hình nón, hình tròn tâm O Cạnh AC quét nên mặt xunh quanh hình nón, AC gọi đường sinh hình nón A gọi đỉnh AO gọi đường cao hình nón Hình chóp cụt - S xq  ( p1  p2 ).d  - V  h S1  S2  S1 S2 p.l   R.l (R: bán kính đáy, l: đường sinh) - Stp   R.l   R2  - Sxq  1 - V  S.h   R h (h: đường cao) 3 Hình nón cụt - Sxq    R1  R2  l (R1, R2: bán kính đáy, l: đường sinh) Stp    R1  R2  l   R12  R2    - V  h S1  S  S1 S   h  R12  R2  R1 R2  (h: đường cao)  Hình cầu Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R vòng quanh đường kính AB cố định hình cầu Nửa đường tròn phép quay nói tạo nên mặt cầu Điểm O gọi tâm, R bán kính hình cầu hay mặt cầu - S  4 R - V   R3 ... nhân tử phụ tư ng ứng Quy đồng mẫu BÀI TOÁN RÚT GỌN Nhân : tử số phân thức với nhân tử phụ tư ng ứng vừa tìm Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dạng Phân... GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng toán chuyển động Dạng toán suất lao động Dạng toán làm chung làm riêng – vòi nước chảy chung chảy riêng CÁC DẠNG TOÁN Dạng toán xếp,... tiếp: Giao đường phân giác Góc Góc so le Góc đồng vị Góc có cạnh tư ng ứng vuông góc Góc tư ng ứng hai tam giác đồng dạng /bằng Hai tam giác – Đồng dạng HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cạnh – góc