Đang tải... (xem toàn văn)
TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12 TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12
TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12 1. !"#: ax 2 +bx+c=0 với x 1, x 2 là nghiệm thì ax 2 +bx+c = a(x-x 1 )(x-x 2 ); =b 2 -4ac ( ’=b’ 2 -ac với b’=b/2) thì ∆±− = ∆±− = a b x a b x 2 '' 2 2,12,1 nếu a+b+c=0 thì x 1 =1; x 2 =c/a; nếu a-b+c=0 thì x 1 =1; x 2 = -c/a; S=x 1 +x 2 = - b/a; P=x 1 .x 2 = c/a (đl Vieet) 2. $%&"#$ f(x)= ax 2 +bx+c + <0 thì f(x) cùng dấu a + 0)( 21 <⇔<< αα afxx + <∆ > ⇔> 0 0 0)( a xf + <∆ < ⇔< 0 0 0)( a xf + >− > >∆ ⇔<< 0 2 0)( 0 21 α αα S afxx + <− > >∆ ⇔<< 0 2 0)( 0 21 α αα S afxx 3. !"#"$ ax 3 +bx 2 +cx+d=0 nếu a+b+c+d=0 thì x 1 =1; nếu a-b+c-d=0 thì x 1 = -1; dùng Hoocner ax 3 +bx 2 +cx+d=(x-1)(ax 2 + x + ) = 0 với =a+b; = +c 4. '(&)*'+,- )($ );2cos1( 2 1 cos ); 2 cos(sin- ); 2 sin(cos 2 xx xxxx += +=+= ππ )2cos1( 2 1 sin 2 xx −= ; 1+tg 2 x= x 2 cos 1 x x 2 2 sin 1 cotg1 −=+ cấp số cộng: a,b,c,… d = c – b = b – a cấp số nhân: a,b,c,… a b b c q == ./012 345 1. (u v)’ = u’ v’ 2. (u.v)’ = u’v + v’u 3. 2 ' v u'vv'u v u − = 4. (ku)’ = ku’ (k:const) (& (x n )’ = nx n-1 (u n )’ = nu n-1 u’ 2 ' x 1 x 1 −= 2 ' u 'u u 1 −= ( ) x2 1 x ' = ( ) u2 'u u ' = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu (tgx)’ = xcos 1 2 (tgu)’ = ucos 'u 2 (cotgx)’ = xsin 1 2 − (cotgu)’ = usin 'u 2 − (e x )’ = e x (e u )’ = u’e u (a x )’ = a x .lna (a u )’ = u’a u .lna (lnx)’ = x 1 (lnu)’ = u 'u (log a x)’ = alnx 1 (log a u)’ = alnu 'u 60781279 -%"#"$:;$< = >"< ><>? • Miền xác định D=R • Tính y’= 3ax 2 +2bx+c • y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có) • tính y’’ tìm 1 điểm uốn • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (2điểm) • đồ thị (đt) * ',@"AB-%"#= - để hs tăng trên D ≤∆ > ⇔≥⇔ 0 0 0' 'y a y - để hs giảm trên D ≤∆ < ⇔≤⇔ 0 0 0' 'y a y - để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n 0 pb - để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có nghiệm kép - hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị 1 TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12 - chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu x i là cực trị thì giá trị cực trị là: y i =mx i +n - đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu. - đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau ax 3 +bx 2 +cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox. -% C:;$< D >"< > • Miền xác định D=R • Tính y’ • y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (2điểm) • đồ thị E',@"AB-% - đt nhận oy làm trục đối xứng. - để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0 có 3 n 0 pb (hoặc 1 n 0 ) - để hs có điểm uốn y’’=0 có 2 n 0 pb - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb >0; P>0; S>0. - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc >0; P>0; S>0; x 2 = 9x 1 và sử dụng đlý Vieet. =-%,"F dcx bax y + + = • Miền xác định D=R\ { } c d − • Tính ( ) 2 ' dcx bcad y + − = (>0, <0) • TCĐ c d x −= vì 0lim = −→ y c d x • TCN c a y = vì c a y x = ∞→ lim • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (4điểm) • đồ thị - đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng D-%G4H edx x edx cbxax y + ++= + ++ = γ βα 2 chia bằng Hoocner • Miền xác định D=R\ { } d e − • Tính y’= ( ) ( ) 2 2 2 . edx pnxmx edx d + ++ = + − γ α • y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có. • TCĐ d e x −= vì 0lim = −→ y d e x • TCX βα += xy vì 0lim = + ∞→ edx x γ • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (4điểm) • đồ thị E2IJFK4LK4$ M - đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng - có 2 cực trị hoặc không y’= 0 có 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN - nếu x i là cực trị thì giá trị cực trị là d bax y i i + = 2 và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị. - đthị cắt ox tại 2 điểm pb ax 2 +bx+c=0 có 2 nghiệm pb E8108NOPN3QRN677 ST !F4:FUV @ OB pttt tại M(x 0, y 0 ) y=f(x) tính: y’= y’(x 0 )= pttt: y = f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0 @ OB pttt có hệ số góc k cho trước ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x 0 thay vào y=f(x) tìm được y 0 từ đó ta có pttt là: y = k(x-x 0 )+y 0 • pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a • pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a. @OB=: pttt qua M(x 0, y 0 ) của y=f(x) ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x 0 )+y 0 để d là tt thì hệ sau có nghiệm: = +−= (2) (1) kxf yxxkxf )(' )()( 00 thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên. S$BW%X$Y Cho y=f(x) và y= g(x) + ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm. + bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m) đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị. 2 TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12 + để f(x) tiếp xúc g(x) ta có: = = (x) ')(' )()( gxf xgxf từ đó tìm điểm tiếp xúc x =SA4 cho y=f(x) đặt g(x)=y’ a/ g(x) = ax 2 +bx+c 0 trong ( ,+ ) a>0; α ≤− a b 2 ; g( ) 0. b/ g(x) = ax 2 +bx+c 0 trong ( ,+ ) a<0; α ≤− a b 2 ; g( ) 0. c/ g(x) = ax 2 +bx+c 0 trong ( , ) ag( ) 0; ag( ) 0 {áp dụng cho dạng có m 2 } d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị lớn nhất của h(x) (m<%h(x)) e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x 0 } thì • tăng trên ( ,+ ) y’ 0; x 0 • giảm trên ( ,+ ) y’ 0; x 0 DZ [ * y = f(x) có cực trị y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y” 0) * y=f(x) có cực đại tại x 0 ( ) ( ) < = 0'' 0' 0 0 xy xy * y=f(x) có cực tiểu tại x 0 ( ) ( ) > = 0'' 0' 0 0 xy xy *Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d TT' Tập xác định D = R • Tính y / Để hàm số có cực trị thì y / = 0 có hai n 0 pb 〉∆ ≠ ⇔ 0 0a *Hàm số // 2 bxa cbxax y + ++ = TT' Tập xác định = / / \ a b RD Tính ( ) 2 // / )( bxa xg y + = Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y / = 0 có hai nghiệm pb thuộc D ≠− 〉∆ ⇔ 0)( 0 / / / a b g g \ON+NN $ ]U$+"V • Tính y’ • Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) • KL: ( ) ; max CD a b y y= , ( ) ; min CT a b y y= " ]^$_"` • Tính y’ • Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm ( ) 0 ;x a b∈ • Tính y (x 0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M KL: [ ] ; max a b y M = Chọn số nhỏ nhất m , KL: [ ] ; min a b y m= -%%a-)B$ 1. Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nR ta có: a n a m =a n+m ; a n a m =a n−m ; ( 1 a n =a m ; a 0 =1; a 1 = 1 a ); (a n ) m =a nm ; (ab) n =a n b n ; a b n = a n b m ; a m n = n a m . 2. Công thức logarit: log a b = ca c =b ( 0< a 1; b>0) Với 0< a 1, 0< b 1; x, x 1 , x 2 >0; R ta có: log a (x 1 x 2 )=log a x 1 +log a x 2 ; log a x 1 x 2 = log a x 1 log a x 2 ; a log a x =x ; log a x = log a x; log a α x= 1 α log a x ; (log a a x =x); log a x= log b x log b a ; (log a b= 1 log b a ) log b a.log a x=log b x; a log b x =x log b a . 3. Phương trình mũ- lôgarít EDạng a x = b ( a> 0 , 0a ≠ ) b ≤ 0 : pt vô nghiệm b>0 : log x a a b x b= ⇔ = * Đưa về cùng cơ số: A f(x) = B g(x) f(x) = g(x) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x b= ( a> 0 , 0a ≠ ) Điều kiện : x > 0 log b a x b x a= ⇔ = • log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x) • Đặt ẩn phụ; mũ hóa… 3 TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12 4. Bất PT mũ – logarit: * Dạng $ < b" ( a> 0 , 0a ≠ ) b ≤ 0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 : log x a a b x b> ⇔ > , khi a>1 log x a a b x b> ⇔ < , khi 0 < a < 1 * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x b> ( a> 0 , 0a ≠ , x>0 ) log b a x b x a> ⇔ > , khi a >1 log b a x b x a> ⇔ < , khi 0 < x < 1 • Đặt ẩn phụ; mũ hóa… cNQdPN12c1TeN ΙΙΙ .[f$ F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b) ⇔ F ( ) ( ) xfx = / , ( ) bax ;∈∀ N4:]-%X$-%, 1. ∫ += cxdx.1 2. ( ) 1 1 . 1 −∝≠+ +∝ = ∫ +∝ ∝ c x dxx 3. ∫ += cxdx x ln. 1 4. ∫ += cSinxdxCosx. 5. ∫ +−= cCosxdxSinx. 6. ∫ += ctgxdx xCos . 1 2 7. ∫ +−= cCotgxdx xSin 2 1 . 8. ∫ += cedxe xx . 9. ∫ += c a a dxa x x ln . N4:]-%'-%Y@ ( ) ( ) ∫ + +∝ + =+ +∝ c bax a dxbax 1 1 . 1 α ∫ ++= + cbax a dx bax ln. 1 . 1 = ( ) ( ) ∫ ++=+ cbaxSin a dxbaxCos . 1 . D ( ) ( ) ∫ ++−=+ cbaxCos a dxbaxSin . 1 . \ ( ) ( ) ∫ ++= + cbaxtg a dx baxCos . 1 . 1 2 g ( ) ( ) ∫ ++−= + cbaxCotg a dx baxSin . 1 . 1 2 h ∫ += ++ ce a dxe baxbax . 1 . i ∫ += + + c a a m dxa nmx nmx ln . 1 . ''jjkTích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức. T'"F ( ) [ ] ( ) ( ) ∫ ϕϕ= b a xdxxfA / TT' Đặt : t = ( ) xϕ ⇒ ( ) ( ) xdxdt . / ϕ= Đổi cận: ( ) ( ) ϕ=⇒= ϕ=⇒= atax btbx Do đó: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ϕ ϕ ϕ ϕ == b a b a tFdttfA . Các dạng đặc biệt cơ bản: 1. ∫ + = a xa dx I 0 22 TT' • Đặt: tgtax .= π 〈〈 π − 22 t ( ) dtttgadt tCos a dx .1. 2 2 +==⇒ • Đổi cận: .Tính dxxaJ a . 0 22 ∫ −= TT' • Đặt π ≤≤ π −= 22 int. tSax dtCostadx =⇒ • Đổi cận T'jjklm OB: Có dạng: A= dx Cosx Sinx e xP b a x .).( ∫ Trong đó P(x)là hàm đa thức Phương pháp: 4 TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12 Đặt u = P(x) ⇒ du = P(x).dx dv = ∫ ∫ ∫ Cosx Sinx e x .dx ⇒ v = Áp dụng công thức tích phân từng phần A = [ ] ∫ − b a b a duvvu OB: B = ∫ + b a dxbaxLnxP ).().( T' Đặt u = Ln(ax+b) ⇒ dx bax a du . + = dv = P(x).dx ⇒ v = 8?n B = [ ] ∫ − b a b a duvvu o ∫ = dxxSinA n . Hay ∫ = dxxCosB n . 1. Nếu n chẵn: Áp dụng công thức 2 21 2 aCos aSi n − = _ 2 21 2 aCos aCos + = 2. Nếu n lẻ: ∫ − = dxSinxxSinA n 1 Đặt Cosxt = (Đổi x n 1 sin − thành Cosx ) o ∫ = dxxtgA m . Hay ∫ = dxxCotgB m . PP:Đặt 2 tg làm thừa số Thay 1 1 2 2 −= xCos tg coAj!p 1. oAj!pq"r UV:;sU<V-$Y<;$_<;" TT' DTHP cần tìm là: dxxfS b a .)( ∫ = (a < b) •Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [ ] ba; thì: ∫ = b a dxxfS ).( Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn [ ] ba; . Giả sử x = α , x = β thì dxxfdxxfdxxfS b a .)(.)(.)( ∫∫∫ β β α α ++= ∫ α = a dxxfS ).( + ∫ β α dxxf ).( + ∫ β b dxxf ).( oAj!pq"rUV: ;sU<V- nB- TT' ♦ HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 = = ⇔ bx ax ∫∫ == b a b a dxxfdxxfS ).(.)( =oAj!pq"r Y U 1 V:;sU<V-U 2 V:;U<V-$ Y <;$_<;" P.Pháp • DTHP cần tìm là: dxxgxfS b a .)()( ∫ −= • HĐGĐ của hai đường (c 1 ) và (c 2 ) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0 Lập luận giống phần số 1 c Wj#W 1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn [ ] ba; . Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích: [ ] dxxfV b a .)(. 2 ∫ π= 2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn [ ] ba; . Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật 5 TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12 thể có thể tích: [ ] dyygV b a .)(. 2 ∫ π= . c79Tt • Số i : i 2 = -1 • Số phức dạng : z = a + bi ; a,b R • Modun của số phức : 2 2 z a b= + • Số phức liên hợp của z = a + bi là z a bi= − '.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+= ; z z z z ′ ′ = ÷ 0z ≥ với mọi z ∈£ , 0 0z z= ⇔ = . z z= ; zz z z ′ ′ = ; z z z z ′ ′ = ; z z z z ′ ′ + ≤ + z là số thực zz =⇔ ; z là số ảo zz −=⇔ • a+ bi = c + di a c b d = ⇔ = • (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i • (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i • (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i • ( ) ( ) 2 2 a bi c di a bi c di c d + − + = + + Ta có: 1 2 3 4 , 1, , 1i i i i i i= = − = − = . 4 4 1 4 2 4 3 1, , 1, n n n n i i i i i i + + + = = = − = − . ( ) 2 1 2i i+ = ; ( ) 2 1 2i i− = − . Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a± uv !"#$ : ax 2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; , ,a b c R∈ ) Đặt 2 4b ac∆ = − o Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x = 2 b a − o Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : 1,2 2 b x a − ± ∆ = o Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : 1,2 2 b i x a − ± ∆ = .[)wcx Nếu phương trình bậc hai 2 0az bz c+ + = ( , , , 0a b c a∈ ≠£ ) có hai nghiệm 1 2 ,z z thì : 1 2 b z z a + = − và 1 2 c z z a = . .[)wLBX$[)wcx Nếu hai số 1 2 ,z z có tổng 1 2 z z S+ = và 1 2 z z P= thì 1 2 ,z z là nghiệm của phương trình : 2 0z Sz P− + = . 6 . P(x)là hàm đa thức Phương pháp: 4 TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12 Đặt u = P(x) ⇒ du = P(x).dx dv = ∫ ∫ ∫ Cosx Sinx e x .dx ⇒ v = Áp dụng công thức tích phân. có nghiệm kép - hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị 1 TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12 - chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu. thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị. 2 TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12 + để f(x) tiếp xúc g(x) ta có: = = (x) ')(' )()( gxf xgxf từ