Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2003 2004 Môn Thi: Toán 8 (Thời gian 150 phút) Câu I 1) Phân tích thành nhân tử a) x 7 + x 2 + 1 b) (x 2 5x + 7)(x 2 5x +11) 5 2) Cho x + y = m; x 2 + y 2 = n (m, n là hằng số) Tính x 3 + y 3 Câu II 1) Tìm Giá trị nhỏ nhất của 2 2 5 10 5 9 x x y x x + = + 2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì giá trị của biểu thức sau là một số nguyên. 4 3 2 11 24 4 24 4 n n n n + + + Câu III. Cho a, b, c khác 0, a + b + c = 0. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a A a b c b a c c b a = + + Câu IV. Cho tam giác ABC có AB = AC, góc BAC < 45 0 . Một điểm M trên cạnh BC. Qua M kẻ đờng thẳng MH song song với AB; MI song song với AC (H AC, I AB). Gọi N là điểm đối xứng của M qua HI, AN cắt BC tại O. a) Tứ giác AHIN là hình gì? b)AI cắt NH tại K. Chứng minh khi M di động trên BC thì chu vi của tam giác AHK không đổi Câu V. Tìm x, y nguyên thoả mãn: 2x 2 +4x + 3y 2 - 19 = 0 1 Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2003 2004 Môn Thi: Toán 8 (Thời gian 150 phút) Câu I. 1) Cho biểu thức 2 2 2 3 2 1 : : x x y y x A y xy x xy x xy x y y = + ữ ữ + + + Tìm điều kiện của x và y để A>1 2) Phân tích thành nhân tử: m 3 6m 2 + 11m 6 Câu II. 1) Giải phơng trình: 2 2 2 2 2 4 16 3 5 5 6 1 3 5 x x x x x + = + + + + + 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 4 50 64 (x>0) x x A x + = Câu III. 1) Chứng minh số có dạng: n4 4n3 4n2 + 16n chia hết cho 384, với n là số tự nhiên chẵn và lớn hơn 4. 2) Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 (a,b,c>0) 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + + + Câu IV. Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc đờng chéo AC. Kẻ ME vuông góc với AD, MF vuông góc với DC ( E AD, F DC). Chứng minh rằng: a) BE = AF; BE AF. b) BM = EF; BM EF c) Các đờng thẳng BM, AF Câu V. Tìm tất cả các số có hai chữ số sao cho các chữ số x, y của số đó là nghiệm của ph- ơng trình: (x 2 y 2 ) 2 = 4xy + 1 2 Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2006 - 2007 (Thời gian 150 phút) Câu I. Cho Biểu thức: 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 8 2 4 8 x x x x A x x x x x x = + ữ ữ + + a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. c) Tìm x để A > 0 Câu II. 1) Cho 1 1 1 1 A a b c a b c = = + + + + . Tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 1 1 2009 2010 2011 A a b b c c a = + + + + + ữ 2) Cho x + y + z =1 và x, y, z>0. Tìm giá trị lớn nhất của xyz(x + y)(y + z)(z + x); tìm các giá trị tơng ứng của x, y, z. Câu III. 1) a) Giải phơng trình: 2 2 2 1 1 1 1 4 3 8 15 12 35 9x x x x x x + + = + + + + + + b) Tìm số nguyên x để x 2 + x +12 là số chính phơng 2) Chứng minh rằng: m12 m8 m4 + 1 M 512 với mọi m Z, m lẻ. Câu IV: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM = DN. Dựng hình bình hành MAFN. Chứng minh rằng: a) MàN là hình vuông b) Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN c) Gọi O là trung điểm của à, chứng minh tứ giác BòC là hình thang. Câu V. Chứng minh rằng: không tồn tại đa thức P(x) với các hệ số nguyên thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: P(97) = 5 và P(15) = 19 3 Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2007 - 2008 (Thời gian 150 phút) Câu I. 1) Tính giá trị của biểu thức ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 50 48 46 2 49 47 45 1A = + + + + + + + + ( ) ( ) 2 2003 .2013 31.2004 1 2003.2008 4 2004.2005.2006.2007.2008 B + + = 2) Cho biểu thức A = 2 2 2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x x x x x x x + + + ữ + a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A b) Tìm x để A< 1 c) Tìm GTNN của A khi x>1 Câu II. 1) Cho x Z Chứng minh x 200 + x 100 +1 M x 4 + x 2 + 1 2) Giải phơng trình: 1 3 5 7 9 11 13 2007 2005 2003 2001 1999 1997 1995 x x x x x x x+ + + + + + + + + + = + + Câu III. 1) Chứng minh rằng A =n3(n2 7)2 36n M 5040 với mọi m N 2) Giải phơng trình 2010 2011 2011 2010 1x x + = Câu IV. 1) Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2 EC. Gọi O là giao điểm Của CD và BE. Chứng minh rằng a) BOC AOC S S= b) BO = 3EO 2)Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết AB = c, Bc = a. AC = b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, A, B, C là hình chiếu của G xuống các cạnh BC, AC, AB. Gọi S và S lần lợt là diện tích của tam giác ABC và Tam giác ABC. Hãy tính tỉ số ' S S Câu V. Tìm x, y nguyên thoả mãn: x 2 = y 2 + 2y +13 4 Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2008 - 2009 (Thời gian 150 phút) Câu I. 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x 4 + 2011x 2 + 2010x +2011 b) x2 2xy + y2 +3x 3y 4 c) x 4 5x 3 + 10x + 4 Câu II. 1) Cho hai số nguyên a và b chia cho 3 có cùng số d khác 0. Chứng minh rằng: ab 1 M 3 2) Cho biểu thức A = 2 2 1 1 4 1 2009 : 1 1 1 x x x x x x x x x + + + ữ + a) Rút gọn A b) Với giá trị nguyên nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Câu III. 1) Cho A = (x + y + z) 3 x 3 y 3 z 3 với x, y, z nguyên. Chứng minh A chia hết cho 6 2) Tìm số d trong phép chia của biểu thức: (x +2)(x +4)(x +6)(x +8)+2011 cho x 2 + 10x +21 Câu IV. 1) Cho các số x, y, z > 0 thoả mãn điều kiện (x + y)(y + z)(z + x)=8xyz. Chứng minh x = y = z 2) Chứng minh rằng a, b, c là các số thoả mãn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c c a b b c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a + + + + + + + + + + + + + + + Thì a b c= = Câu V. 1) Cho tam giác nhọn ABC vuôn tại A, đờng cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, Gọi E là điểm đối xứng với H qua AC a) Chứng minh D, A, E thẳng hàng b) tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao? 2)Cho tam giác ABC (AB < AC). Biết M là trung điểm của AC và các đờng cao AD, BM, CE đồng quy tại K(E AB, D BC). Biết Tam giác AKE và BKE có diện tích lần lợt là 10 cm 2 và 20 cm 2 . Tính diện tích tam giác ABC. 5 6 . Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2003 2004 Môn Thi: Toán 8 (Thời gian 150 phút) Câu I 1) Phân tích thành nhân tử a) x 7 . mãn: 2x 2 +4x + 3y 2 - 19 = 0 1 Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2003 2004 Môn Thi: Toán 8 (Thời gian 150 phút) Câu I. 1) Cho biểu thức 2 2 2 3 2 1 : : x. 1 2 Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2006 - 2007 (Thời gian 150 phút) Câu I. Cho Biểu thức: 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 8 2 4 8 x x x x A x x x x x x = +