Một số phương pháp giải bài toán tối ưu

I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tối ưu hóa là một ngành quan trọng trong lĩnh vực toán học, đặc biệt là toán học ứng dụng. Trong thực tế, ta thường gặp những vấn đề nào đó mà có nhiều cách giải quyết, một cách tự nhiên ta chọn cách giải quyết vấn đề một cách tối ưu nhất chẳng hạn như nhanh nhất, tốn ít thời gian nhất hay là mang lại hiệu quả kinh tế cao nhất Tối ưu hóa toán học ra đời nhằm giải quyết vấn đề trên. Tối ưu hóa ảnh hưởng đến hầu hết các lĩnh vực khoa học công nghệ, kinh tế, xã hội. Có thể kể tới rất nhiều ứng dụng hiệu quả trong đời sống thực tế của tối ưu hóa như quy hoạch tài nguyên, quản trị kinh doanh, công nghệ thông tin, điều khiển tự động, phát triển các hệ thống lớn, giải quyết các bài toán kinh tế Trên cơ sở dựa vào máy tính, lý thuyết tối ưu xây dựng được những thuật toán hữu hiệu nhất để giải các bài toán một cách tổng quát. Chính vì vậy, cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin thì lý thuyết tối ưu ngày càng phát triển mạnh mẽ. Công nghệ thông tin tạo điều kiện thuận lợi để ứng dụng tối ưu hóa một cách rộng rãi và thiết thực. Khoảng từ thập niên 80 của thế kỉ trước trở đi cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, lý thuyết tối ưu đã có những bước tiến lớn, đặc biệt là đối với các lý thuyết phi tuyến, toàn phương Ngày nay, tối ưu hóa trở thành một môn học không thể thiếu trong hầu hết các chương trình đào tạo đại học của các ngành như khoa học cơ bản, kỹ thuật-công nghệ, kinh tế Trong chương trình đại học, tôi đã được học được một phần cơ bản của tối ưu hóa như qui hoạch tuyến tính nhưng chưa đi sâu vào các vấn đề liên quan của lĩnh vực này như qui hoạch động, qui hoạch nguyên, qui hoạch phi tuyến Vì thế, tôi chọn đề tài "Một số phương pháp giải bài toán tối ưu " làm khóa luận tốt nghiệp cuối khóa. Trang 1 2. Mục tiêu của đề tài - Trình bày và làm sáng tỏ lý thuyết về quy hoạch động và quy hoạch nguyên trong bài toán quy hoạch tuyến tính. - Trình bày vài lý thuyết cơ sở và phương pháp giải bài toán tối ưu phi tuyến. - Nêu một vài ứng dụng của bài toán quy hoạch tuyến tính và bài toán phi tuyến trong thực tế. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết cơ sở và thuật toán để giải các bài toán của quy hoạch động, quy hoạch nguyên, quy hoạch phi tuyến. - Một số ví dụ cụ thể cho từng thuật toán. 4. Phương pháp nghiên cứu - Trên cơ sở thu thập tài liệu sách, giáo trình và các tài liệu liên quan rồi tổng hợp, làm sáng tỏ hơn và sắp xếp lại theo logic nội dung của đề tài. - Thực hiện giải và tính toán số liệu, kiểm chứng kết quả. - Trao đổi và thuyết minh về các nội dung nghiên cứu với người hướng dẫn để làm sáng tỏ vấn đề. Trang 2 II. NỘI DUNG CHƯƠNG 1: QUI HOẠCH ĐỘNG 1.1. Giới thiệu về quy hoạch động Quy hoạch động là một trong những phương pháp tối ưu hiện đại và mạnh mẽ. Đối tượng của quy hoạch động là các quá trình nhiều bước nói chung và quá trình phát triển theo thời gian nói riêng. Sự xuất hiện qui hoạch động gắn liền với tên tuổi nhà bác học Mỹ R.Bellman mà trong những năm 50 của thế kỷ 20 đã áp dụng cho một loạt các bài toán thực tế một công cụ mà sau này gọi là nguyên tắc tối ưu. Chính nhờ tính đơn giản và tính tường minh của nguyên tắc này mà phương pháp này tỏ ra đặc biệt hấp dẫn và đã được áp dụng để giải hàng loạt bài toán thực tế trong các quá trình kỹ thuật cộng nghệ, tổ chức sản xuất, kế hoạch hoá kinh tế… 1.2. Các nguyên tắc cơ bản của quy hoạch động Qui hoạch động là việc qui hoạch từng giai đoạn của quá trình nhiều giai đoạn mà trong đó sau mỗi giai đoạn ta chỉ tối ưu hóa một bước. Tuy nhiên khi qui hoạch một quá trình nhiều giai đoạn ở mỗi bước ta phải lựa chọn điều khiển trên cơ sở không phải xuất phát từ lợi ích nhỏ hẹp của chính bước đó mà từ lợi ích chung toàn bộ quá trình. Các nguyên tắc chính để giải bài toán qui hoạch động gồm: Nguyên tắc tối ưu của R.Bellman: Dù trạng thái ban đầu và điều khiển ban đầu có dạng như thế nào thì điều khiển tiếp theo cũng là tối ưu đối với trạng thái thu được trong kết quả tác động đến những điều khiển ban đầu. Nguyên tắc lồng: Ta lồng bài toán đang xét vào họ các bài toán. Họ các bài toán này nhờ có các tham số nên ta giải được. Giải những bài toán thuộc họ này với những tham số khác nhau cho đến khi gặp được tham số tương ứng với bài toán xuất phát thì xong. Dựa trên hai nguyên tắc trên mà ta có thể viết ra một dãy các phương trình truy toán cho phép chuyển việc giải một bài toán phức tạp n biến số về việc giải bài toán 1 biến số. Trang 3 1.3. Phương trình truy toán của quy hoạch động Xét bài toán phân bổ tài nguyên: Có một loại tài nguyên trữ lượng b cần phân phối cho n đơn vị sản xuất. Biết rằng nếu phân phối cho đơn vị thứ j một lượng tài nguyên j x thì hiệu quả mang lại là j c ( j x ), j= 1,n . Hãy lập kế hoạch phân phối lượng tài nguyên b cho n đơn vị sao cho tổng hiệu quả là lớn nhất. Mô hình bài toán có dạng: 1 ( ) max n j j j c x = → ∑ (1.1) 1 n j j x b = ≤ ∑ (1.2) 0, 1, j x j n≥ = (1.3) Ta gọi bài toán (1.1) - (1.3) là ( ) n P b và hiệu quả tối ưu của nó là ( ) n f b Ta lồng bài toán ( ) n P b vào một họ các bài toán sau: Thay vì xét n đơn vị, ta xét k đơn vị đầu tiên (k<n) với lượng tài nguyên là ,( )b α α ≤ 1 ( ) max n j j j c x = → ∑ (1.4) 1 n j j x α = ≤ ∑ (1.5) 0, 1, j x j k≥ = (1.6) Kí hiệu bài toán (1.4) - (1.6) là ( ) k P α , hiệu quả tối ưu là ( ) k f α Với mỗi cặp giá trị (k, α ) ta có một bài toán tương ứng Khi k tăng từ 1 đến n , α tăng từ 0 đến b thì ta có một họ các bài toán. Theo nguyên tắc tối ưu của Bellman ta giải bài toán ( ) k P α . Trang 4 Giả sử k x là lượng tài nguyên phân phối cho đơn vị thứ k, theo giả thiết ta được hiệu quả ( ) k k c x . Lượng tài nguyên còn lại k x α − sẽ được phân phối tối ưu cho k-1 đơn vị còn lại, hiệu quả tối ưu 1 ( ) k k f x α − − . Hiệu quả tổng cộng của k đơn vị là: ( ) k k c x + 1 ( ) k k f x α − − Cần tìm giá trị k x phù hợp sao cho tổng trên là lớn nhất có thể được ( ) k f α = max{ ( ) k k c x + 1 ( ) k k f x α − − }, 0 k x α ≤ ≤ (1.7) (1.7) là phương trình truy toán của quy hoạch động. Từ phương trình quy hoạch động, ta có điều kiện đầu: 0 ( ) 0f α = với α bất kì. Từ đó có được 1 1 ( ) ( )f c α α = với α thay đổi 2 ( )f α = max{ ( ) k k c x + 1 2 ( )f x α − }, 2 0 x α ≤ ≤ Cứ như vậy ta sẽ nhận được đến ( ) k f α , lại cho k và α thay đổi ta sẽ đi tới ( ) n f b 1.4. Các ví dụ : Ví dụ 1 : Xét bài toán phân bổ tài nguyên như sau: Cần phải chuyên chở hàng từ thành phố A đến thành phố B. Mạng các con đường nối 2 thành phố này được vẽ trên hình ở dưới . - Ta đồng nhất A=1, B=10. - Trên hình vẽ, đỉnh của mạng cho ta tương ứng các thành phố. - Chi phí chuyển hàng từ thành phố s (s=1,2, ,9) đến thành phố j (j=2,3 ,10) được viết trên các cung đường của mạng. Hãy tìm hành trình nối các thành phố A và B sao cho tổng chi phí chở hàng là nhỏ nhất. Trang 5 Giải: Ta chia tập tất cả các đỉnh ra thành các tập con : Tập con 1 gồm đỉnh số 1: (1) Tập con 2 gồm các đỉnh có các cung đi từ đỉnh 1 vào đỉnh (2,3,4) Tập con 3 gồm các đỉnh có các cung đi từ các đỉnh tập con 2 vào đỉnh (5,6,7) Tập con 4 gồm các đỉnh có các cung đi từ đỉnh tập con 3 vào đỉnh (8,9) Tập con 5 gồm các đỉnh có các cung đi từ đỉnh tập con 4 vào đỉnh (10) Bất kì hành trình nào đi từ thành phố 1 đến thành phố 10 đều chứa 4 cung đường.Mỗi cung đường trong chung nối 2 đỉnh thuộc 2 tập con tương ứng.Vì vậy quá trình giải bài toán tìm hành trình tối ưu được chia ra 4 giai đoạn. Theo nguyên tắc của quy hoạch động ta đánh số các giai đoạn từ dưới lên.Ta đưa vào các ký hiệu sau: - Gọi n là kí hiệu bước (giai đoạn): n=1,2,3,4 ( ) n f s là chi phí nhỏ nhất để chuyển hàng từ thành phố s đến thành phố cuối cùng, nếu từ thành phố s đến thành phố cuối cùng còn n giai đoạn. ( ) n j s là kí hiệu thành phố mà từ thành phố s cần đi qua để đạt được chi phí nhỏ nhất là ( ) n f s . j j c s là chi phí chuyển hàng từ thành phố s đến thành phố j. Ở đây tất cả các kí hiệu đều mang ý nghĩa: f- thực hiện hàm số hiệu quả điều khiển s- trạng thái của hệ thống (chỉ số thành phố đang xét) n- chỉ số này mang thông tin di động là từ thành phố s đến thành phố cuối cùng còn n bước. Trang 6 1 2 4 3 5 6 7 8 9 1 0 4 3 11 1 6 5 3 5 9 8 7 12 4 4 3 6 4 n=1 n=2n=3 n=4 Ta có ngay 0 (10)f =0 vì không chuyển hàng từ thành phố 10 đi * Xét n=1 rõ ràng hàng có thể lấy từ thành phố 8 hoặc 9; 1 8.10 0 1 1 9.10 0 1 (8) (10) 5 0; 8; ( ) 10 (9) (10) 3 0; 9; ( ) 10 f c f s f s f c f s f s = + = + = = = + = + = = * n=2 ta phải đưa ra các giả thuyết về vị trí có hàng. Giả thuyết 1: hàng ở thành phố 5 2: hàng ở thành phố 6 3: hàng ở thành phố 7 { } { } { } { } 2 58 1 59 1 2 2 69 1 2 2 78 1 79 1 2 (5) min (8), (9) min 9 5,8 3 11 5; (5) 9 (6) (9) 5 3 8 6; (6) 9 (7) min (8), (9) min 7 5,12 3 12 7; (7) 8 f c f c f s j f c f s j f c f c f s j = + + = + + = = = = + = + = = = = + + = + + = = = Khi n=1: 10 1 ( )f s j(s) 8 5+0 5 10 9 3+0 3 10 Khi n=2: 8 9 2 ( )f s 2 ( )j s 5 9+5 8+3 11 9 6 5+3 8 9 7 7+5 12+3 12 8 Khi n=3: 8 6 7 3 ( )f s 3 ( )j s 2 3+11 4+8 12 6 3 1+11 6+8 12 5 4 4+11 6+8 4+12 14 6 Trang 7 j s j s j s Khi n=4: 2 3 4 4 ( )f s 4 ( )j s 1 4+12 11+12 3+14 16 2 4 (1) 16f = . Do đó hành trình cần tìm là 1->2->6->9->10. Ví dụ 2: Giải bài toán quy hoạch động sau 4 1 4 1 ( ) max 60 0, 1,2,3,4 i i i i i i g x x x i = = → = ≥ = ∑ ∑ Với các số liệu cho trong bảng sau: i g i x 1 g 2 g 3 g 4 g 0 0 0 0 0 15 16 30 24 18 30 46 36 40 52 45 62 54 60 64 60 80 74 90 78 Áp dụng công thức : ( ) k f α = max{ ( ) k k c x + 1 ( ) k k f x α − − , 0 k x α ≤ ≤ Với 0 (0) 0f = , α biến đổi từ 0,15,30,45,60 và k biến đổi từ 0,1,2,3,4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (0) (0) 0 (15) (15) 16 (30) (30) 46 (45) (45) 62 (60) (60) 80 f g f g f g f g f g = = = = = = = = = = + k=2. Ta có: Trang 8 j s { } { } { } { } 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0 15 0 15 2 2 1 2 1 2 1 0 30 0 30 2 2 1 2 1 2 0 45 (15) max (0) (15), (15) (0) max 0 16,30 0 30 (30) max (0) (30), (15) (15), (30) (0) max 0 46,30 16,36 0 46. (45) max (0) (45), (15) (30), (30 x x x x x f g f g f f g f g f g f f g f g f g ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = + + = + + = = + + + = + + + = = + + { } { } 2 1 2 1 0 45 ) (15), (45) (0) max 0 62,30 46,36 16,54 0 76. x f g f ≤ ≤ + + = + + + + = { } { } 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 60 0 60 (60) max (0) (60), (15) (45), (30) (30), (45) (15), (60) (0) max 0 80,30 62,36 46,74 0 92 x x f g f g f g f g f g f ≤ ≤ ≤ ≤ = + + + + + = + + + + = + k=3 ta có: { } { } { } { } 3 3 2 3 3 3 3 2 3 2 0 15 0 15 3 3 2 3 2 3 2 0 30 0 30 3 3 2 3 0 45 (15) max (0) (15), (15) (0) max 0 30,24 0 30. (30) max (0) (30), (15) (15), (30) (0) max 0 46,24 30,40 0 54. (45) max (0) (45), (15) x x x x x f g f g f f g f g f g f f g f g f ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = + + = + + = = + + + = + + + = = + + { } { } { } 3 3 3 2 3 2 3 2 0 45 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0 60 0 60 (30), (30) (15), (45) (0) max 0 76,24 46,30 40,60 0 76. (60) max (0) (60), (15) (45), (30) (30), (45) (15), (60) (0) max 0 92,24 76,40 46, x x x g f g f f g f g f g f g f g f ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + + = + + + + = = + + + + + = + + + { } 0 30,90 0 100.+ + = + k=4 ta xét ngay với a =60 vì không cần các giá trị trung gian của 4 ( ), 45f α α ≤ { } { } 4 4 4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 0 60 0 60 (60) max (0) (60), (15) (45), (30) (30), (45) (15), (60) (0) max 0 100,18 76,52 54,64 30,78 0 106 x x f g f g f g f g f g f ≤ ≤ ≤ ≤ = + + + + + = + + + + + = 4 (60)f ứng với 4 3 30, (30)x f= 3 (30)f ứng với 3 2 15, (15)x f= 2 (15)f ứng với 2 1 15, 0x x= = Vậy ta có phương án tối ưu 1 2 3 4 4 0, 15, 15, 30, (60) 106x x x x f= = = = = . Trang 9 CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH NGUYÊN 2.1 Phát biểu bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên và các bài toán tiêu biểu Với mục đích tìm hiểu bước đầu, xét mô hình toán học sau đây, còn gọi là mô hình quy hoạch tuyến tính nguyên hay bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên (BTQHTT nguyên), mà trong đó chúng ta muốn tối ưu hoá (cực đại hoá hay cực tiểu hoá) hàm mục tiêu với điều kiện các biến quyết định là các biến nguyên với các điều kiện ràng buộc: ( ) 1 1 2 2 z c x c x c x Max Min n n = + + + → 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 nguyên, 1, , n n n n m m mn n m j j a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x j n n n + + + ≤   + + + ≤     + + + ≤  ≥   = ≤   Khi 1 n =n ta có bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên hoàn toàn. Khi 1 n <n ta có bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên bộ phận. Trong trường hợp tổng quát, bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên có thể bao gồm các ràng buộc dạng ≥, ≤ hoặc =; các biến có thể có dấu ≥ 0, ≤ 0 hoặc dấu tùy ý Các bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên rất hay và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Trong đó có bài toán quy hoạch nguyên tiêu biểu là bài toán cái túi được phát biểu như sau: Bài toán cái túi: Một người du lịch muốn mang theo một túi với tổng trọng lượng không vượt quá b (kg). Có n loại đồ vật mà anh ta muốn đem theo, biết rằng trọng lượng một đồ vật loại j là j a và có giá trị là j c . Hãy xác định số lượng đồ vật mỗi loại mang theo để tổng trọng lượng không vượt quá b nhưng giá trị của túi là lớn nhất. Mô hình bài toán như sau: Gọi j x là số đơn vị đồ vật loại j cần đem theo. Khi đó Trang 10 [...]... n   2.2 Phương pháp cắt Gomory giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên 2.2.1 Ý nghĩa của phương pháp cắt Xét bài toán qui hoạch tuyến tính L có dạng: z = c1x1 + c 2 x 2 + + c n x n → Max ( Min )  a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2    a x + a x + + a x = b mn n m  m1 1 m 2 2 x j ≥ 0  Gọi bài toán L' là bài toán nguyên tương ứng Đó là bài toán L và... được nghiệm nguyên, vậy nghiệm tối ưu của bài toán là (x1, x2) = (5, 2), trị hàm mục tiêu là: f = 5 + 2 × 2 =9 2.3 Phương pháp nhánh cận Land- Doig giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên 2.3.1 Nội dung cơ bản của phương pháp nhánh và cận Trong các phương pháp giải bài toán quy hoạch nguyên, phương pháp nhánh cận là một trong các phương pháp có hiệu quả Phương pháp nhánh cận được... thì ta có qui hoạch toàn phương, lại là một trường hợp riêng của qui hoạch lồi 3.2 Nghiệm tối ưu Về nguyên tắc trong các bài toán qui hoạch toán học người ta cần tối thiểu tuyệt đối Trong khi các kết quả có chất lượng chỉ nhận được đối với tối thiểu cục bộ Định nghĩa 3.1 Tối thiểu cục bộ là điểm mà trong lân cận của nó không có các điểm khác cũng thỏa mãn các ràng buộc của bài toán mà lại cho các giá... buộc xj nguyên với mọi j ∈ J ⊆ {1,2, ,n} Nếu J={1,2, ,n} thì L' là bài toán QHTT nguyên hoàn toàn Liệu có thể dùng những thuật toán đối với bài toán L để giải bài toán L' được không? Để trả câu hỏi này, ta xét định lý sau đây: Định lý 2.1 Nếu L là một đa diện lồi, L' là tập các điểm nguyên của L và R là bao lồi của L' thì: a/ R là một đa diện lồi, nguyên b/ R' =L' (R' là tập các điểm nguyên của R)... 3.3 Một số phương pháp giải bài toán quy hoạch phi tuyến không ràng buộc 3.3.1 Phương pháp Gradien (sử dụng đạo hàm cấp 1) Thuật toán như sau: Chọn x0 làm nghiệm xấp xỉ ban đầu Đặt phương trình x k + 1 = x k − λ k f '( x k ) = x k − λ k ∇f ( x k ), λ k = const (3.4) Nếu f '( x k ) ≠ 0 thì có thể chọn λ k sao cho: f ( x k +1 ) < f ( x k ) Nếu f '( x k ) = 0 thì x k là điểm tối ưu và quá trình... 0 1 7 -10 5 1 4 0 0 3 1 0 0 0 0 -3 -1 zj ∆j (Bảng 3) Ví dụ 2: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp cắt: f(x)= x1 + 2x2 2x1 + 11x2 ≥ 38 x1 + x2 ≤ 7 x1 , x2 ≥ 0 x1 , x2 nguyên Giải Bỏ qua ràng buộc nguyên, giải bài toán QHTT thông thường ta được bảng đơn hình sau: cj 2 1 Cơ sở x1 8/3 13/3 ∆ x1 x2 x3 0 1 1/9 1 0 -1/9 0 x2 Phương án 0 1/9 x4 -2/9 11/9 7/9 Nhận thấy x1, x2 chưa nguyên Chọn... a/ Vì L là một đa diện lồi nên L giới nội, do đó L' hữu hạn, suy ra R cũng là một đa diện lồi, hơn nữa tập R* các đỉnh của R thõa mãn điều kiện R* ⊆ R' Nghĩa là R là một đa diện lồi nguyên b/ Từ định nghĩa của R suy ra L' ⊆ R, suy ra L' ⊆ R' Chỉ cần chứng minh R' ⊆ L' Thật vậy, R=L nên R' ⊆ L' c/ Từ R* ⊆ L' và L'=R' nên R* ⊆ R' 2.2.2 Phương pháp cắt Giả sử x(L) là nghiệm tối ưu của bài toán L không... thì nghiệm tối ưu có thể tìm được bởi tiêu chuẩn sau đây: Trang 23 Định lý 2.4: (Tiêu chuẩn tối ưu) n Giả sử G = U Gi và x ∈ Gs Nếu f ( x) = ζ(G ) ≤ ζ (Gi ) với mọi i=1,2, n thì x i =1 là phương án tối ưu Chứng mình điều này hiển nhiên do định nghĩa của ζ (Gi ) Lược đồ tổng quát của phương pháp nhánh cận có thể tóm tắt như sau: Bước 0: Tính ζ (G ) = ζ (G 0 ) Nếu tìm được phương án... lớn nhất Trang 29 Mô hình bài toán như sau: Gọi x j là số đơn vị đồ vật loại j cần đem theo Khi đó : n f ( x ) = ∑ c j x j → max j =1  ∑ a j x j ≤ b  j =1   x j ≥ 0; j = 1, n   x j nguyên, j = 1, n   n Các điều kiện được mặc định là b và c j , a j , ∀j là các số nguyên dương 2.4.2 Phương pháp giải Thuật toán giải bài toán cái túi dựa trên phương pháp quy hoạch động - Đặt:... là phi tuyến Nếu bài toán chỉ có dạng (3.1) thì ta có bài toán QHPT không ràng buộc Có trường hợp ta gặp bài toán dạng Min f(x), x ∈ M với M = { x ∈ D | gi ( x ) ≥ 0; h j ( x) = 0, ∀i = 1, m; j = 1, p} , trong đó D là một tập lồi Nếu các hàm f(x), gi(x), hj(x) là những hàm lồi thì ta có qui hoạch lồi, là một trường hợp riêng của qui hoạch phi tuyến Nếu hàm f(x) là một dạng toàn phương, còn lại các . nguyên trong bài toán quy hoạch tuyến tính. - Trình bày vài lý thuyết cơ sở và phương pháp giải bài toán tối ưu phi tuyến. - Nêu một vài ứng dụng của bài toán quy hoạch tuyến tính và bài toán phi. triển các hệ thống lớn, giải quyết các bài toán kinh tế Trên cơ sở dựa vào máy tính, lý thuyết tối ưu xây dựng được những thuật toán hữu hiệu nhất để giải các bài toán một cách tổng quát. Chính. kiện cắt thỏa mãn. Thuật toán Gomory Bước 0: Bỏ qua ràng buộc nguyên, giải bài toán quy hoạch tuyến tính thông thường bằng phương pháp đơn hình được một lời giải tối ưu. Bước 1: Kiểm tra điều