Tính toán trường điện từ ứng dụng Phương pháp đa cực nhanh

Trong lĩnh vực nghiên cứu điện từ trường, sử dụng phương pháp đa cực nhanh FMM trên máy tính nhằm giải quyết nhanh các bài toán dữ liệu đầu vào khổng lồ đã đóng một vai trò vượt trội hơn

Lời nói đầu

Sự phát triển nhanh chóng của công nghệ thông tin, đặc biệt là sự xuất hiện của các hệ thống siêu máy tính có tốc độ tính toán nhanh đã mở ra một phương pháp mới trong nghiên cứu khoa học Các kỹ thuật sử dụng máy vi tính nhằm giải quyết các vấn đề vật lý thay cho các phương pháp cũ đã rất phát triển Trong lĩnh vực nghiên cứu điện từ trường,

sử dụng phương pháp đa cực nhanh (FMM) trên máy tính nhằm giải quyết nhanh các bài toán dữ liệu đầu vào khổng lồ đã đóng một vai trò vượt trội hơn so với các phương pháp khác

Phương pháp đa cực nhanh là một kỹ thuật toán học được phát triển để tăng tốc độ tínhtoán trong vấn đề N-body Thuật toán thực hiện bằng cách mở rộng hàm Green sử dụng

sự mở rộng đa cực, trong đó cho phép một nhóm các nguồn nằm gần nhau và đối xử với

họ như thể họ là một nguồn duy nhất

FMM cũng đã được áp dụng trong việc tăng tốc độ tính toán của phương pháp Moment(MOM) cũng như áp dụng cho vấn đề tính toán trường điện từ Năm 1985, FMM lần đầutiên được giới thiệu bởi Greengard và Rokhlin, dựa trên việc mở rộng đa cực của cácphương trình Helmholtz dạng vector Nếu FMM được áp dụng một cách có thứ bậc, nó có

thể cải thiện sự phức tạp của tích vector ma trận từ O(N 2 ) xuống O(N) FMM cũng đã

được áp dụng một cách hiệu quả trong các bài toán tương tác Coulomb hay động lực họcphân tử FMM được coi là một trong những thuật toán hàng đầu của thế kỷ 20

Mục đích chính của đồ án này là nghiên cứu các bước thực hiện phương pháp đa cực nhanh, từ đó sử dụng phần mềm Matlab tính toán các thông số về thời gian, tốc độ tính toán trong bài toán tương tác trường điện từ

Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Điện tử - Viễn thông, cũng như các thầy cô giáo tại trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã truyền đạt những kiến thức quý báu, cần thiết của một kỹ sư tương lai, giúp em chuẩn bị bước vào môi trường nghiên cứu hay làm

giáo trực tiếp hướng dẫn em làm đồ án tốt nghiệp, đã góp ý và cho em những lời khuyên

quí báu Bên cạnh đó, em cũng chân thành cảm ơn PGS Đào Ngọc Chiến đã định hướng

nghiên cứu cho em về đề tài này và nhiệt tình giúp đỡ em về mọi mặt, tạo điều kiện cho

em được học tập, nghiên cứu và làm đồ án tại phòng Nghiên cứu và Phát triển Truyền thông CRD – phòng 607, 608 thư viện Tạ Quang Bửu Cuối cùng, em xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã tạo nguồn khích lệ lớn giúp em hoàn thành đồ án

Tóm tắt đồ án

Mục đích của đồ án là nghiên cứu về phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Từ đó đưa ra chương trình tính toán các thông số về thời gian thực thi, tốc độ tính toán…bằng chương trình Matlab đối với phương pháp đa cực nhanh và đối với cách tính

cổ điển Cụ thể, đồ án sẽ đưa ra lý thuyết cơ bản về trường điện từ (Hệ phương trình Maxwell, định lý Green,…), các bước thực hiện tính toán trường điện từ bằng phương pháp đa cực nhanh Cuối cùng, đồ án sẽ đưa ra các chương trình tính toán: điện thế, vi phân điện thế, thời gian thực thi, tốc độ tính toán, dung lượng bộ nhớ sử dụng… bằng Matlab, và so sánh các kết quả theo cách tính bằng FMM và cách tính cổ điển

Đồ án được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Lý thuyết cơ bản về trường điện từ

Chương 2: Lý thuyết về phương pháp đa cực nhanh

Chương 3: Tính toán và mô phỏng bằng Matlab

Abstract

The purpose of my thesis is research about Fast Multipole Method (FMM) in calculating electromagnetics field It present programmes to compute parameters about the execution time, calculating speed…with Matlab Namely, this thesis introduces a brief review of electromagnetics (Maxwell equations, Green’s function…), the steps for calculating electromagnetics by FMM At the end, it presents programmes to compute and model: the potential, the gradient of the potential, the execution time, calculating speed …with Matlab and analyses the results by using different methods: FMM and classic method

My thesis includes 3 chapters, in which:

Chapter 1: Basical theory about Electromagnetics

Chapter 2: Theory about Fast Multipole Method

Chapter 3: Computing and modeling with Matlab

Mục lục

Danh mục các hình vẽ 6

Danh mục các bảng 7

Danh sách các từ viết tắt 8

Chương 1: LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 9

1.1 Hệ phương trình Maxwell 9

1.2 Phương trình thế 11

1.3 Điều kiện biên của bề mặt 15

1.4 Định lý Green, hàm Green, và nghiệm cơ bản 17

1.4.1 Định lý Green 17

1.4.2 Sự tương đương vector định lý Green 20

1.4.3 Hàm Green 21

1.4.4 Nghiệm cơ bản 24

1.4.5 Biểu diễn phương trình tích phân với điểm quan sát nằm trên biên 26

Chương 2 THUẬT TOÁN KHAI TRIỂN ĐA CỰC NHANH 31

2.1 Thuật toán khai triển đa cực nhanh (FMM) 31

2.1.1 Giới thiệu phương pháp FMM 31

2.1.2 Phương pháp FMM trong bài toán tính cường độ điện 32

2.1.3 Các bước thực hiện phương pháp FMM 39

CHƯƠNG 3 51

TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNG BẰNG MATLAB 51

3.1 Kí hiệu các thông số 51

3.1.1 Các thông số đầu vào 51

3.1.2: Các thông số đầu ra 51

3.2 Xây dựng và tính toán cho mô hình điểm nguồn và đích nằm trong hình tròn 51

3.2.1 Giá trị các tham số đầu vào 51

3.3 Xây dựng và tính toán cho mô hình điểm nguồn và đích nằm trong hình vuông 60

3.3.1Giá trị các tham số đầu vào 60

3.3.2Giá trị các tham số đầu ra 60

Kết luận 67

Tài liệu tham khảo: 68

Danh mục các hình vẽ Chương 1 Hình 1.1 Điều kiện biên 16

Hình 1.2 Miền khối bao quanh bởi mặt kín 19

Hình 1.3 Hai loại hàm giới hạn 26

Hình 1.4 Trục toạ độ của hàm giới hạn cho không gian 2 chiều 29

Chương 2 Hình 2 1 Hai tập hợp hạt đủ xa trên mặt phẳng 35

Hình 2 2 Dịch chuyển tâm của khai triển đa cực 38

Hình 2 3 Ý tưởng tính lực xấp xỉ trong FMM 40

Hình 2 4 Phân mảnh không gian và chỉ số thứ tự Morton, L=2 41

Hình 2 5 Ví dụ về phân mảnh không gian và đánh số hộp, L=3 41

Hình 2 6 Một vài mức phân chia trong FMM 42

Hình 2 7 Các miền xếp theo thứ bậc không gian 44

Hình 2 8 Pha M2M trong thuật toán FMM 45

Hình 2 9 Danh sách hàng xóm và danh sách tương tác 45

Hình 2 10 Pha M2L trong thuật toán FMM 46

Hình 2 11 Pha L2L trong thuật toán FMM 47

Chương 3 Hình 3 1 Vị trí điểm nguồn, điểm đích trong mô hình 1 53

Hình 3 2 Cường độ điện thế tại 1 số điểm nguồn trong mô hình 1 55

Hình 3 3 Giá trị điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 1 57

Hình 3 4 Thời gian tính toán theo 2 cách 58

Hình 3 5 Số phép tính/s theo 2 cách tính 59

Hình 3 7 Điện thế tại 1 số điểm nguồn trong mô hình 2 62

Hình 3 8 Điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 2 64

Hình 3 9 Thời gian tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 2 65

Hình 3 10 Tốc độ tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 2 66

Danh mục các bảng Bảng 1 1 Nghiệm cơ bản của các phương trình vi phân trong trường điện từ 25

Bảng 3 1: Các thông số đầu vào 51

Bảng 3 2: Các thông số đầu ra 51

Bảng 3 3: Giá trị các tham số đầu vào trong mô hình 1 53

Bảng 3 4: Giá trị 1 điện thế 1 số điểm nguồn trong mô hình 1 54

Bảng 3 5: Giá trị điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 1 56

Bảng 3 6: Thời gian tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 1 58

Bảng 3 7: Tốc độ tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 1 59

Bảng 3 8: Giá trị các tham số đầu vào trong mô hình 2 60

Bảng 3 9: Giá trị điện thế tại 1 số điểm nguồn trong mô hình 2 61

Bảng 3 10: Giá trị điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 2 63

Bảng 3 11: Thời gian tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 2 64

Bảng 3 12: Tốc độ tính toán khi thay đồi số điểm nguồn trong mô hình 2 65

Danh sách các từ viết tắt

FMM Fast multipole method Phương pháp đa cực nhanh

M2L Multipole to local Chuyển đồi đa cực- địa phương M2M Multipole to multipole Chuyển đồi đa cực- đa cực

Chương 1: LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ

Nếu vật dẫn chuyển động trong từ trường thì điện trường tổng cộng phải bao gồm thêm thành phần Evđược sinh ra do hiệu ứng chuyển động:

B

Trong các phương trình này E, H tương ứng là các véc tơ từ trường và điện trường B,

D là các véc tơ mật độ thông lượng từ và mật độ thông lượng điện J là mật độ dòng

điện dẫn, ρ là mật độ điện tích Cuối cùng, ε 0 , μ 0 là hệ số điện môi và hệ số từ thẩm trong không gian tự do,γ là hệ số phụ thuộc tính dẫn điện của môi trường

Đối với vật liệu điện môi và vật liệu từ thì véc tơ

H B M

E D

1.2 Phương trình thế

Trường phụ thuộc thời gian biến đổi nhanh

Khi trường phụ thuộc vào thời gian biến đổi nhanh thì điện trường và từ trường ảnh hưởng tương hỗ lẫn nhau Trường phân bố phụ thuộc cả vảo thời gian và vị trí, H(r,t), B

(r,t) Từ trường thay đổi theo thời gian sinh ra điện trường xoáy và điện trường thay đổi theo thời gian sinh ra từ trường xoáy Như vậy điện trường và từ trường sinh ra là đại lượng động

Trong môi trường không suy hao và miền nguồn không gian tự do rất dễ dàng nhận thấy rằng Evà H thoả mãn phương trình sóng Đối với E, từ phương trình (1.2) ta có:

Phương trình (1.23) và (1.24) được dùng để tính toán sóng bức xạ của anten, trường tán

xạ của vật liệu và sự truyền sóng trong ống dẫn sóng hay các thiết bị điện tử khác

Trường cân bằng:

Khi bài toán được xét trong điều kiện trường biến đổi theo thời gian rất chậm thì trạng thái cân bằng xấp xỉ được sử dụng Tiêu chuẩn được gọi là chậm nếu nó thoả mãn điều kiện sau:



 

ω là tần số của tín hiệu hình sin

Tiêu chuẩn này có nghĩa rằng dòng dẫn chiếm ưu thế và dòng dịch có thể được bỏ qua

Do đó, từ trường xoáy sinh ra bởi điện trường không tồn tại Không có mối liên hệ giữa

sự thay đổi vị trí và biến đổi theo thời gian của trường Vì vậy không có sự truyền sóng Thông thường, trong các bài toán trường cân bằng đại lượng E( t r, ), H( t r, ),J( t r, ) và )

,

( t r

 là hàm điều hoà của thời gian Do đó trường phân bố chỉ phụ thuộc vào vị trí và sự trễ pha tại từng vị trí trong không gian

Trong trường hợp này các phương trình Maxwell được rút gọn thành :

H H

Trong trường hợp như vậy để thuận tiện ta giả thiết sự tồn tại của véc tơ từ thế A và véc

tơ điện thế T Việc xác định Avà Txuất phát trực tiếp từ hệ phương trình Maxwell

hay gần như là tĩnh Tiêu chuẩn của gần tĩnh là L>> λ trong đó λ là bước sóng, L là kích

0

0J 0B J

E

Từ phương trình (1.35), (1.36), và (1.37) Ta thu được hệ phương trình Poisson và Laplace :

2 2 2

1.3 Điều kiện biên của bề mặt

Tại bề mặt của các vật liệu khác nhau dạng tích phân của hệ phương trình Maxwell được rút gọn lại thành:

n n n n

2 1

2 1

2 1

2 1

00

J J

K H H

E E

D D

B B

Hình 1.1 Điều kiện biên

Nếu véc tơ thế điện vô hướng được coi như là một biến thì điều kiện biên giữa 2 mặt là :

2 2

1 1

2 1

A n n t  s

Trong đó An,At,As là 3 thành phần của A , t và s là 2 véc tơ đơn vị trực giao với véc

tơ chuẩn hướng n Với tiêu chuẩn Coulomb thành phần chuẩn An thoả mãn:

n

A Tính liên tục của thành phần tiếp tuyến của cường độ từ trường Hđược biểu diễn bằng biểu thức sau:

11

A A

n

n t

n

n s

2 1

2 2

1 1

2 1

1

A A





Phương trình (1.43) và (1.44) chỉ ra rằng các điều kiện biên cho từ trường 3 chiều là phức tạp hơn so với trường vô hướng Do đó sự lựa chọn mô hình toán học xấp xỉ đối với biến chưa biết và tiêu chuẩn biên là phương pháp chính để giải bài toán trường điện từ trong không gian 3 chiều

1.4 Định lý Green, hàm Green, và nghiệm cơ bản

Phương pháp phương trình tích phân biên phù hợp cho việc phân tích số học của bài toán trường điện từ, do chúng chỉ phụ thuộc duy nhất vào sự mô hình hoá của biên và các bề mặt tiếp giáp Hàm Green và các nghiệm chung là những hàm cơ bản sử dụng trong phương pháp phương trình tích phân Những phương trình tích phân của bài toán được sinh ra từ những phương trình vi phân sử dụng định lý Green

1.4.1 Định lý Green

Định lý Green là một trong những định lý hữu dụng nhất để giải bài toán trường điện từ Nhiều phương pháp được đưa ra trong đó bao gồm cả những phương pháp cổ điển cũng như các phương pháp số học đều dựa trên định lý Green Nó có thể thu được một cách trực tiếp từ lý thuyết phân rã



  

S d

Trong đó Ω là miền bao quanh bởi mặt kín S Alà hàm véc tơ của vị trí Giả thiết u và v

là 2 hàm vô hướng bất kỳ của vị trí Nếu u, v cùng vi phân bậc nhất, bậc hai của chúng liên tục trong không gian Ω và trên bề mặt S thì ta có được biến đổi sau theo định lý Divergence:



     

n S d v u d

v u n v u

v u d

v u v

(Đây là dạng thứ nhất của định lý Green.)

Nếu vai trò của u và v trong phương trình (1.49) được hoán đổi thì kết quả là:



     

dS n

u v d

v u u

u v n

v u d

u v v

(Đây là định lý Green dạng thứ 2 thường được biết đến như định lý Green)

Nó là định lý tích phân bao gồm Gradient của hàm bị tích Ý nghĩa của định lý Divergence là chuyển từ tích phân khối thành tích phân mặt

Trong trường hợp đặc biệt nếu để u = v và u là nghiệm của phương trình Laplace thì phương trình (1.49) trở thành:



   

dS n

u u d

u)2

Ý nghĩa của định lý Green là thế tại một điểm cố định P(r) trong khối Ω có thể được biểu

diễn dưới dạng tích phân khối cộng với tích phân trên bề mặt S như sau :

R

d R

r

4

1)

(4

1)

Hình 1.2 Miền khối bao quanh bởi mặt kín

Phương trình (1.53) biểu diễn thế ρ(r) trong khối Ω được quyết định bởi mật độ khối của nguồn ρ(r’) trong mặt S và thế φ cùng vi phân chuẩn thứ nhất ∂φ/∂n cuả nó trên bề mặt S

Nếu không có điện tích trong khối Ω thì thế trong khối được quyết định bởi thế φ cùng vi phân chuẩn trên bề mặt S



S

dS R n n

R

4

1)



Như vậy tích phân bề mặt trong phương trình (1.53) biểu diễn sự phân bố của nguồn

ngoài mặt S Hay nói cách khác điều kiện biên biểu diễn sự phân bố của nguồn ngoài mặt

S Kết luận này ngụ ý rằng điều kiện biên có thể được biểu diễn bởi một nguồn ngoài

tương đương Nếu không có nguồn ngoài thì tích phân mặt sẽ biến mất Kiểm tra lại

phương trình (1.51) chỉ ra rằng nếu hàm u là một hàm điều hoà (ví dụ là nghiệm của

phương trình Laplace ) và v = 1 thì dạng 2 của định lý Green sẽ rút gọn thành :

Điều này có ý nghĩa là nếu u là thế của điện trường và với giả thiết điều kiện biên

1.4.2 Sự tương đương vector định lý Green

Trong mục này ta đưa ra phương trình tích phân trong đó véc tơ thế Ađược coi như chưa

biết Giả thiết P và Q là hàm véc tơ liên tục của vị trí trong khối kín Ω bao quanh bởi

mặt S cả P , Q và vi phân từng phần bậc nhất, bậc hai của nó đều tồn tại trên mặt S và khối Ω Sử dụng định lý Divergence ta có:

Q P

Q

Đây là véc tơ tương tự dạng vô hướng của định lý Green dạng thứ nhất

Bằng cách biến đổi tương tự ta cũng thu được véc tơ tương tự vô hướng của định lý Green dạng thứ hai

        

dS n

Q P

n R

n d

R

r r

4

1)

'(4)

1.4.3 Hàm Green

Trong môi trường tuyến tính đồng nhất và đẳng hướng hàm Green là hàm đáp ứng chỉ ra

mối liên quan giữa trường tại một điểm (r) với nguồn điểm tại (r’) Do đó hàm Green là

một hàm rất quan trọng trong phân tích trường

)'(

'0

)'(

r r dr

r r

r r r

r

trong đó (r,r')(xx')(yy')(zz')

Với phương trình toán tử bất kỳ

(1.64) Hàm u có thể được biểu diễn như sau:

u( ) ( ') -1( , ')

Trong đó L biểu diễn một toán tử bất kỳ (ví dụ với phương trình PoissonL2) và L-1 là toán tử ngược của toán tử L Thứ tự của phép tích phân ∫ và L có thể đổi chỗ cho nhau do toán tử L-1

không phụ thuộc vào biến r’.Phương trình (1.65) chỉ ra rằng nếu L-1δ(r,r’) đã

u( ) ( ) ,L

điềuđó có nghĩa là hàm Green là nghiệm của phương trình toán tử cho một nguồn xung Nhân cả hai vế của phương trình (1.66) với toán tửL từ bên trái ta được phương trình sau :

Như vậy toán tử ngược của toán tử vi phân là một toán tử tích phân trong đó hàm Green

là trung tâm Tuy nhiên hàm Green không đượcđịnh nghĩa phù hợp với phương trình (1.67) Nếu có một hàmg(r) bất kỳ nào thoả mãn Lg = 0 cộng vớiG(r,r’)

nhấtđã biết ví dụ làG(r,r’) thì nghiệm của phương trìnhLu  f dướiđiều kiện biên không đồng nhất có thể tìmđược Nguyên nhân là trong định lý Green:

Nếu hàm Green của bất kỳ toán tử nào vớiđiều kiện biên đồng nhấtđã biết thì trường phân

bố sinh ra bởi bất kỳ nguồn phân bố liên tục cóđiều kiện biên không đồng nhất sẽđược tính toán bởi phương trình tích phân trên Ví dụ cho phương trình Poisson vàđiều kiện biên đồng nhất phương trình (1.53) rút gọn thành:

, 0

( )( )r  r G r r d( , )







Phương trình này cho thấy nếu hàm Green của toán tửđưa ra làđã biết thì nghiệm của bất

kỳ nguồn phân bố nào cũng có thểđược tính toán từ phương trình (1.77) Do đó hàm Green là công cụ cơ bảnđể phân tích các vấnđề toán lý khác nhau

Hàm Green của phương trình Poisson trong không gian 3 chiều xét với không gian tự do

là

,

, 0

1( , )

Nếu không chúý tớiđiều kiện biên, nghiệm của phương trình toán tử sinh ra bởi nguồnđơn

vị trong không gian vô hạnđược gọi là nghiệm cơ bản và nó xácđịnh bởi phương trình sau:

Trong hệ toạđộ cực 2 chiều phương trìnhLaplaceđược khai triển thành:

1( , )

1 exp

r r F

3 / 2

1 exp 4 (4 )

r r F

kt kt

r r t

v F

1.4.5 Biểu diễn phương trình tích phân với điểm quan sát nằm trên biên

Hàm giới hạn cho bài toán trường vô hướng trong không gian 3 chiều

Xét lại phương trình (1.71) nếu ρ(r’) = 0 thì phương trình thu gọn lại còn:

(1.85) Nếu điểm quan sát P nằm trên bề mặt biên S, thì tích phân sẽ bị không xác định khi điểm lấy tích phân Q trùng với P bởi vì điểm bất định của hàm Green tại r=r’ Do đó để giải phương trình với điểm quan sát P nằm trên biên, chúng ta phải đặt giới hạn khi điểm P tiến gần đến biên Cho rằng bề mặt S là đủ nhẵn gần điểm r=r’ để không cần quan tâm đến các điểm lân cận có phẳng hay không Giả thiết này không áp dụng khi điểm quan sát tiên gần đến đỉnh hay góc biên

Có hai cách để đưa ra giới hạn này Cách thứ nhất là làm biến dạng bề mặt S bằng cách đặt một khối cầu có bán kính a quanh điểm P như mô tả trên hình 1.3

Hình 1.3 Hai loại hàm giới hạn

Hình thứ nhất giới hạn đạt được khi a → 0 khi P ≡ Q

Cách thứ hai là đặt điểm quan sát P cách xa mặt S một khoảng cách z Giới hạn đạt được khi z → 0, tích phân này được phân tính trên 2 miền: miền trên mặt S lân cận P và phần còn lại của S Miền lân cận S là miền được phủ bởi đường tròn bán kính a như hình vẽ Hàm Green không gian tự do cho phương trình Helmholtz vô hướng 3 chiều được biểu diễn như sau:

Khi k|r - r’| ≠ 1 thì ta thu được hàm Green cho phương trình Laplace:

Do đó có thể thay thế hàm G trong phương trình (1.86) bởi phương trình (1.87) khi tính

toán giới hạn mà r → r 0 của tích phân trênS a Trong đó S a là đường tròn bán kính a và r 0

là tâm của đường tròn bị bao quanh bởi miền này Giả thiết thứ nhất tích phân (1.85) trên

mặt S được thay thế bởi S a Cho rằng ρ và ∂φ/∂n liên tục trong lân cận của r 0 và a nhỏ chúng ta có mối liên hệ xấp xỉ sau:

(1.89)

(1.90)

Khi P tiến đến O từ phía S đối diện với V (z →0 từ phía trên) thì:

Hơn nữa khi giới hạn a →0 thì:

Trong hàm trên, z là dương khi P tiến đến biên từ miền V, Nếu P tiến đến biên từ miềnV Nếu trong (1.89) S a được thay bởi bất cứ miền S cực nhỏ và trong đó r 0 luôn là điểm trong

thì ta cũng thu được kết quả tương tự của I 1 vàI 2.Do đó chúng ta thu được kết quả sau:

Trong đó S +

và S – chỉ giới hạn khí P tiến tới mặt S từ phía V và phía V–

Trong vế phải của các tích phân (1.94) và (1.95), P nằm trên S Do đó những tích phân này không tồn tại Chúng được xác định khi chúng ta loại bỏ miền nhỏ chứa điểm P và lấy giới hạn khi miền này trở thành khối cầu cực nhỏ Giới hạn này luôn tồn tại, và giá trị của

nó không phụ thuộc vào hình dạng của miền bị loại bỏ

Giá trị

2

1

 trong (1.95) là sự phân bố do khối cầu cực nhỏ thay thế miền loại bỏ Với véc

tơ đơn vị n điểm nằm trong miền V,

0



 hay

4

Hàm giới hạn cho bài toán trường vô hướng trong không gian 2 chiều

Hàm giới hạn cho không gian 2 chiều cũng cần thiết như đối với trường hợp 3 chiều Trong trường hợp 2 chiều mặt tích phân trong phương trình (1.85) rút gọn thành đường tích phân dọc biên cong C.Chúng ta sử dụng hàm Green của phương trình Helmholtz 2 chiều được cho trong bảng 1.1

Hình 1.4 Trục toạ độ của hàm giới hạn cho không gian 2 chiều

Khi k |r – r’| nhỏ thì dùng hàm xấp xỉ sau:

,

0

1 ln 2 1 ln

Với Ca là một đoạn thẳng ngắn của C với chiều dài là 2a và điểm giữa là 0 như trong hình

1.3 Thay G từ phương trình (1.97) vào phương trình (1.98) bỏ qua C G bởi vì giá trị của

nó rất nhỏ so với giá trị của hàm Loga Lấy toạ độ của P là (0, y) và những điểm tích phân

2

Như vậy kết quả trong không gian 2 chiều cũng tương tự như trong không gian 3 chiều

Nếu điểm P nằm trên chóp thì

2

1

 được thay bằng

4

0



 và

4

Chương 2 THUẬT TOÁN KHAI TRIỂN

ĐA CỰC NHANH

2.1 Thuật toán khai triển đa cực nhanh (FMM)

2.1.1 Giới thiệu phương pháp FMM

Trong bài toán trường điện từ, chúng ta cần phải tính toán cường độ trường, điện thế cũng như gradient của chúng Để tính được các giá trị này, chúng ta cần tính điện thế tại các điểm đích Như chúng ta đã biết trong vật lý, điện thế tại các điểm nguồn trong một hệ bao gồm hạt điện tích được tính theo công thức:

Bài trường điện từ được giới thiệu trong luận án này giới hạn trong trường hợp thế năng tại một điểm là tổng của các tương tác từng đôi một Với cách tiếp cận tính toán thông thường, thuật toán tính tất cả các tương tác giữa các cặp hạt có độ phức tạp tính toán là

O(N 2 ) Với số lượng hạt trong mô phỏng là rất lớn, độ phức tạp này là khó có thể chấp

nhận

Để rõ ràng hơn, chúng ta biểu diễn thế năng tại một điểm dưới dạng:

với 𝜙𝑛𝑒𝑎𝑟là thế năng gây ra bởi các hạt “gần” và 𝜙𝑓𝑎𝑟 là thế năng gây ra bởi các hạt ở xa Thế năng gây ra bởi các hạt ở xa có ảnh hưởng nhỏ hơn rất nhiều so với thế năng gây ra bởi các hạt ở gần Do đó trong tính toán trường điện từ, để giảm khối lượng tính toán trên máy tính, chúng ta có thể xấp xỉ thế năng gây ra bởi các hạt ở xa này với một sai số có thể chấp nhận được Phương pháp thường sử dụng trong trường hợp này là phương pháp khai triển đa cực

Ý tưởng cơ bản của phương pháp khai triển đa cực là các hạt ở “xa” được phân cụm lại Việc tính toán thế năng gây ra bởi các hạt ở xa này được xem như là tính tương tác với một hạt nhằm tăng tốc độ tính toán

Để minh họa phương pháp khai triển đa cực, chúng ta xem xét một mô hình vật lý bao gồm một tập hợp gồm N hạt tích điện

2.1.2 Phương pháp FMM trong bài toán tính cường độ điện

Điện thế tại các điểm được tính từ định luật Coulomb Giả sử rằng một điện tích điểm với

cường độ đơn vị được đặt tại điểm (x 0 , y 0 )= x 0 ϵ R 2 Khi đó với mọi x = (x, y) ∈ R 2 mà x≠

x 0, trường thế năng và điện trường gây ra do điện tích này được tính bằng công thức:

𝜙𝑥0 𝑥, 𝑦 = −log⁡(| 𝑥 − 𝑥0 | (2.3)

Và

𝐄𝑥0 𝑥, 𝑦 = (𝑥−𝑥0 )

Φx0 là hàm điều hòa trong mọi khoảng mà không chứa điểm x0 Hơn nữa, với mọi hàm

điều hòa u , tồn tại một hàm khả vi w : C→C sao cho u(x,y)= Re(w(x,y)) và w là hàm duy nhất Đặt x+i y = z ϵ C, công thức sẽ trở thành:

𝜙𝑥0 𝑥 = Re⁡⁡(−log⁡( 𝑧 − 𝑧0 ) (2.5)

Trong các phần tiếp theo chúng ta sẽ tiếp tục sử dụng kí hiệu hàm phức để biểu diễn thế năng gây ra bởi các hạt trong hệ Về cơ sở vật lý và toán học của phương pháp khai triển

đa cực, chúng ta xem xét các bổ đề sau đây:

Bổ đề 2.1: Nếu u(x,y)= Re(w(x,y)) mô tả trường thế năng tại thì lực tương ứng được cho

bởi:

∇u = 𝑢𝑥, 𝑢𝑦 = 𝑅𝑒 𝑤′ , −𝐼𝑚 𝑤′ (2.6)

ở đây w’ là đạo hàm của w

Bổ đề (2.1) ở trên là hệ quả trực tiếp của các phương trình Cauchy -Riemann

Bổ đề sau đây được sử dụng để đạt được khai triển đa cực đối với trường thế năng gây

Chứng minh: Chú ý rằng log 𝑧 − 𝑧0 − log 𝑧 = log⁡(1 − 𝑧0/𝑧) và |𝑧0/𝑧|<1 Bổ đề đạt được từ khai triển:

khai triển này đúng với mọi w thỏa mãn |w|<1 (Điều phải chứng minh)

Định lý 2.1 (Khai triển đa cực) Giả sử rằng m điện tích với các cường độ{q i , i = 1,2…m} được đặt tại các điểm {z i , i = 1,2…m} , với |z i | < r Với mọi z ϵ C, với z > r, thế năng