Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Lời nói đầu Sự phát triển nhanh chóng của công nghệ thông tin, đặc biệt là sự xuất hiện của các hệ thống siêu máy tính có tốc độ tính toán nhanh đã mở ra một phƣơng pháp mới trong nghiên cứu khoa học. Các kỹ thuật sử dụng máy vi tính nhằm giải quyết các vấn đề vật lý thay cho các phƣơng pháp cũ đã rất phát triển. Trong lĩnh vực nghiên cứu điện từ trƣờng, sử dụng phƣơng pháp đa cực nhanh (FMM) trên máy tính nhằm giải quyết nhanh các bài toán dữ liệu đầu vào khổng lồ đã đóng một vai trò vƣợt trội hơn so với các phƣơng pháp khác. Phƣơng pháp đa cực nhanh là một kỹ thuật toán học đƣợc phát triển để tăng tốc độ tính toán trong vấn đề Nbody. Thuật toán thực hiện bằng cách mở rộng hàm Green sử dụng sự mở rộng đa cực, trong đó cho phép một nhóm các nguồn nằm gần nhau và đối xử với họ nhƣ thể họ là một nguồn duy nhất. FMM cũng đã đƣợc áp dụng trong việc tăng tốc độ tính toán của phƣơng pháp Moment (MOM) cũng nhƣ áp dụng cho vấn đề tính toán trƣờng điện từ. Năm 1985, FMM lần đầu tiên đƣợc giới thiệu bởi Greengard và Rokhlin, dựa trên việc mở rộng đa cực của các phƣơng trình Helmholtz dạng vector. Nếu FMM đƣợc áp dụng một cách có thứ bậc, nó có thể cải thiện sự phức tạp của tích vector ma trận từ O(N2) xuống O(N). FMM cũng đã đƣợc áp dụng một cách hiệu quả trong các bài toán tƣơng tác Coulomb hay động lực học phân tử. FMM đƣợc coi là một trong những thuật toán hàng đầu của thế kỷ 20 Mục đích chính của đồ án này là nghiên cứu các bƣớc thực hiện phƣơng pháp đa cực nhanh, từ đó sử dụng phần mềm Matlab tính toán các thông số về thời gian, tốc độ tính toán trong bài toán tƣơng tác trƣờng điện từ. Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Điện tử Viễn thông, cũng nhƣ các thầy cô giáo tại trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội đã truyền đạt những kiến thức quý báu, cần thiết của một kỹ sƣ tƣơng lai, giúp em chuẩn bị bƣớc vào môi trƣờng nghiên cứu hay làm việc sau này. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thành Công, thầy Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 2 giáo trực tiếp hƣớng dẫn em làm đồ án tốt nghiệp, đã góp ý và cho em những lời khuyên quí báu. Bên cạnh đó, em cũng chân thành cảm ơn PGS. Đào Ngọc Chiến đã định hƣớng nghiên cứu cho em về đề tài này và nhiệt tình giúp đỡ em về mọi mặt, tạo điều kiện cho em đƣợc học tập, nghiên cứu và làm đồ án tại phòng Nghiên cứu và Phát triển Truyền thông CRD – phòng 607, 608 thƣ viện Tạ Quang Bửu. Cuối cùng, em xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã tạo nguồn khích lệ lớn giúp em hoàn thành đồ án.

[...]... chương Trong chƣơng 1 của đồ án, các lý thuyết trƣờng điện từ cơ bản và có liên quan tới mục tiêu đề tài đƣợc trình bày Các lý thuyết này là tiền đề cho việc nghiên cứu lý thuyết thuật toán FMM đƣợc trình bày ở chƣơng 2 Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 30 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Chƣơng 2 THUẬT TOÁN KHAI TRIỂN ĐA CỰC NHANH 2.1 Thuật toán khai triển đa cực. . .Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ 1.2 Phương trình thế Trường phụ thuộc thời gian biến đổi nhanh Khi trƣờng phụ thuộc vào thời gian biến đổi nhanh thì điện trƣờng và từ trƣờng ảnh hƣởng tƣơng hỗ lẫn nhau Trƣờng phân bố phụ thuộc cả vảo thời gian và vị trí, H (r,t), B (r,t) Từ trƣờng thay đổi theo thời gian sinh ra điện trƣờng xoáy và điện trƣờng thay đổi theo... 16 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Phƣơng trình (1.43) và (1.44) chỉ ra rằng các điều kiện biên cho từ trƣờng 3 chiều là phức tạp hơn so với trƣờng vô hƣớng Do đó sự lựa chọn mô hình toán học xấp xỉ đối với biến chƣa biết và tiêu chuẩn biên là phƣơng pháp chính để giải bài toán trƣờng điện từ trong không gian 3 chiều 1.4 Định lý Green, hàm Green, và nghiệm cơ bản Phƣơng pháp. .. Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 (2.2) 31 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ với 𝜙 𝑛𝑒𝑎𝑟 là thế năng gây ra bởi các hạt “gần” và 𝜙 𝑓𝑎𝑟 là thế năng gây ra bởi các hạt ở xa Thế năng gây ra bởi các hạt ở xa có ảnh hƣởng nhỏ hơn rất nhiều so với thế năng gây ra bởi các hạt ở gần Do đó trong tính toán trƣờng điện từ, để giảm khối lƣợng tính toán trên máy tính, chúng ta có thể xấp xỉ thế năng... tiếp, chúng ta có thể tính 𝑚 𝜙 𝑥 (𝑦 𝑗 ) với𝑗 = 1, … 𝑛 𝑖 (2.18) 𝑖=1 Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 35 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Rõ ràng việc tính toán trên yêu cầu độ phức tạp bậc n.m (tính m thế năng tại n điểm) Bây giờ giả sử rằng đầu tiên chúng ta tính các hệ số của khai triển đa cực đến cấp p ( p -term) của thế năng gây ra bởi các điện tích q1, q2,….qm... 2.1 Thuật toán khai triển đa cực nhanh (FMM) 2.1.1 Giới thiệu phương pháp FMM Trong bài toán trƣờng điện từ, chúng ta cần phải tính toán cƣờng độ trƣờng, điện thế cũng nhƣ gradient của chúng Để tính đƣợc các giá trị này, chúng ta cần tính điện thế tại các điểm đích Nhƣ chúng ta đã biết trong vật lý, điện thế tại các điểm nguồn trong một hệ bao gồm hạt điện tích đƣợc tính theo công thức: 𝜙 𝑥𝑗 = 𝑁 𝑗 =1... F   4 r  r ,     Bảng 1 1 Nghiệm cơ bản của các phƣơng trình vi phân trong trƣờng điện từ Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 25 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ 1.4.5 Biểu diễn phương trình tích phân với điểm quan sát nằm trên biên Hàm giới hạn cho bài toán trƣờng vô hƣớng trong không gian 3 chiều Xét lại phƣơng trình (1.71) nếu ρ(r’) = 0 thì phƣơng... Phƣơng pháp thƣờng sử dụng trong trƣờng hợp này là phƣơng pháp khai triển đa cực Ý tƣởng cơ bản của phƣơng pháp khai triển đa cực là các hạt ở “xa” đƣợc phân cụm lại Việc tính toán thế năng gây ra bởi các hạt ở xa này đƣợc xem nhƣ là tính tƣơng tác với một hạt nhằm tăng tốc độ tính toán Để minh họa phƣơng pháp khai triển đa cực, chúng ta xem xét một mô hình vật lý bao gồm một tập hợp gồm N hạt tích điện. .. Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 34 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ 𝑝 𝜙 𝑧 − 𝑄 log 𝑧 − 𝑘=1 𝑎𝑘 1 ≤ 𝐴 𝑧𝑘 2 𝑘 (2.17) Ví dụ sau sẽ minh họa cách một khai triển đa cực đƣợc dùng để tăng tốc độ tính toán thế năng Giả sử rằng các điện tích với cƣờng độ q1, q2, …qm đƣợc đặt tại các điểm x1, x2, xm ϵ C và { y1, y2,…yn} là 1 tập hợp các điểm khác trong mặt phẳng phức C (hình 2) Chúng... đƣợc thay bằng  0 hay 1  0 trong đó 4 2 4 Ω0là góc khối nhìn bởi điểm P Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 28 Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Hàm giới hạn cho bài toán trường vô hướng trong không gian 2 chiều Hàm giới hạn cho không gian 2 chiều cũng cần thiết nhƣ đối với trƣờng hợp 3 chiều Trong trƣờng hợp 2 chiều mặt tích phân trong phƣơng trình (1.85) rút . bày trong 3 chƣơng: Chƣơng 1: Lý thuyết cơ bản về trƣờng điện từ Chƣơng 2: Lý thuyết về phƣơng pháp đa cực nhanh Chƣơng 3: Tính toán và mô phỏng bằng Matlab Phương pháp đa cực nhanh trong tính. Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 3 Tóm tắt đồ án Mục đích của đồ án là nghiên cứu về phƣơng pháp đa cực nhanh. phƣơng pháp đa cực nhanh, từ đó sử dụng phần mềm Matlab tính toán các thông số về thời gian, tốc độ tính toán trong bài toán tƣơng tác trƣờng điện từ. Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Điện