BỒI DƯỠNG học SINH GIỎI MTCT PHẦN III tìm ƯCLN, BCNN, SỐ TỰ NHIÊN

DẠNG TỐN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS PHẦN III: TÌM ƯCLN,BCNN, TÌM SỐ TỰ NHIÊN I ƯCLN,BCNN Phương pháp giải: 1) Khi để số khơng bị tràn hình(phân số rút gọn được) Phương pháp: Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối A a = B b giản Tá áp dụng chương trình để tìm UCLN, BCNN sau: + ƯCLN (A; B) = A : a + BCNN (A; B) = A b ƯCLN(A; B; C) = ƯCLN[ƯCLN(A; B); C] BCNN( A; B; C) = BCNN[BCNN(A; B); C] Ví dụ 1: Tìm ƯCLN BCNN 2419580247 3802197531 2419580247 3802197531 11 HD: Ghi vào hình: ấn =, hình ƯCLN: 2419580247 : = 345654321 BCNN: 2419580247 11 = 2.661538272 1010 (tràn hình) Cách tính đúng: Đưa trỏ lên dịng biểu thức xố số để cịn 419580247 11 Kết quả: BCNN: 4615382717 + 2.109 11 = 26615382717 Quy trình: fx500ms 2419580247 a b 3802197531 = c Kt qu: 2419580247 ữ ì = 11 Kt quả: ƯCLN=345654321 = 2419580247 11 Kết quả: BCNN =26615382717 Ví dụ 2: Tìm ƯCLN 40096920; 9474372 51135438 Giải: Ấn 9474372 ↵ 40096920 = ta : 6987↵ 29570 ƯCLN 9474372 40096920 9474372 : 6987 = 1356 Ta biết ƯCLN(a; b; c) = ƯCLN(ƯCLN(a ; b); c) Do cần tìm ƯCLN(1356 ; 51135438) Thực ta tìm được: ƯCLN 40096920 ; 9474372 51135438 : 678 Quy trình : 9474372 a b 40096920 = c Kết quả: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 6987 29570 DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS 9474372 ÷ 6987 = Kết quả: ƯCLN(9474372 ; 40096920) =1356 1356 a b 51135438 = c Kết quả: ÷ 75421 = 1356 Kết quả: ƯCLN(40096920 ; 9474372 ;51135438) =678 2) Khi để số bị tràn hình(phân số khơng rút gọn được) Phương pháp  Thuật toán (Thuật toán Euclide) ≠ Cở sở thuật toán: Giả sử a = bq + c (c 0) ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,c) Thuật tốn: a = bq + r1 (0 < r1 < b) b = r1q1 + r2 (0 < r2 < b) r1 = r2q2 + r3 (0 < r3 < b) …… rn-2 = rn-1qn-1 + rn (0 < rn < b) rn-1 = rnqn (rn+1 = 0) Thuật toán kết thúc số dư rn+1 = Như ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r1) = ƯCLN(r1,r2) = … = ƯCLN(rn-1,rn) = rn Ví dụ 3: Tìm ƯCLN(7752;5472) (Qui trình với máy Casio Fx 500 MS) Ấn: 7752 ÷ 5472 = − = x 5472 = 5472 ÷ 2280 = − = x 2280 = 2280 ÷ 912 = − = x 912 = ÷ Đáp số: 1,416666667 (số dư khác 0) Đáp số: 2280 Đáp số: 2,4 (số dư khác 0) Đáp số: 912 Đáp số: 2,5 (số dư khác 0) Đáp số: 456 = 912 456 Đáp số: ƯCLN(7752;5472) = 456 II TÌM SỐ TỰ NHIÊN Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao (số dư 0) DẠNG TỐN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS Ví dụ 5: Tìm số lớn nhất, số nhỏ số tự nhiên dạng: 1x y3z chia hết cho Giải - Số lớn dạng 1x y 3z chia hết cho phải có dạng: 19293z với z ∈{0, 1, 2, ,8, 9} thử với z = 9; 8; 7; 6; đến z = 5, ta có: ÷ 1929354 Vậy số lớn dạng - Số nhỏ dạng 1x y3 z 1x y 3z = (275622) chia hết cho 1929354, thương 275622 chia hết cho phải có dạng: 10203z với z ∈{0, 1, 2, ,8, 9} thử với z = 0; 1; 2; đến z = 3, ta có: ÷ 1020334 Vậy số nhỏ dạng 1x y3 z = (145762) chia hết cho 1020334, thương 145762 Bài tập1 vận dụng: Tìm số lớn nhất, số nhỏ số tự nhiên dạng: 1x y 3z Hướng dẫn: - Số lớn dạng - Số nhỏ dạng chia hết cho 13 1x y 3z 1x y 3z chia hết cho 13 1929304 chia hết cho 13 1020344 Bài 2: Tìm tất số n dạng: N = 1235679 x y Hướng dẫn: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao chia hết cho 24 DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS M M M M - Vì N 24 ⇒ N ; N ⇒ (37 + x + y) ; x4 y M ⇒ y ; ; ; ; M Dùng máy tính, thử giá trị x thoả mãn: (x + y + 1) x4 y M 8, ta có: N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840 Bài 3: Tìm số bình phương có tận ba chữ số Có hay khơng số bình phương có tận bốn chữ số ? Hướng dẫn - Chữ số cuối x2 chữ số cuối x Tính máy bình phương số: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 ta có số: 12, 62, 38, 88 bình phương có tận hai chữ số - Tính máy bình phương số: 12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta được: 462, 962, 38, 538 bình phương có tận 444 * Tương tự cách làm trên, ta có kết luận: khơng có N để N kết thúc 4444 Bài 4: Tìm tất số có chữ số thỗ mãn: Vũ Xn Tú trường THCS Võ Lao DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS 1) Số tạo thành ba chữ số cuối lớn số tạo thành ba chữ số đầu đơn vị 2) Là số phương Hướng dẫn - Gọi số cần tìm là: - Đặt x = a1a2 a3 n = a1a2 a3 a4 a5 a6 Khi a4 a5 a6 = x + n = 1000x + x + = 1001x + = y hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x Vậy hai ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải ước hai thừa số vế trái số lại phải ước thừa số lại vế trái Dùng máy tính, xét khả đến đáp số: n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716 Bài 5: Tìm tất số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 chia x cho 393 655 có số dư 210 Hướng dẫn : - Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 ⇒ x -210 chia hết cho 393 x = 655.q2 + 210 ⇒ x -210 chia hết cho 655 ⇒ x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965 ⇒ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2, ) hay x = 1965k + 210 - Từ giả thiết 10000 < x < 15000 ⇒ 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 ⇒ ≤ k < Tính máy: Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035 Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000 Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy số phải tìm là: 10035, 12000, 13965 Bài 6: Tìm chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, Giải: - Vì số 5, 7, đơi ngun tố nên ta phải tìm chữ số x, y, z cho Ta có 579xyz 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315 = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz ⇒ 30 + chia hết cho 315 Vì 30 ≤ 30 + tìm bội 315 khoảng (30 ; 1029): - Nếu 30 + - Nếu 30 + - Nếu 30 + xyz xyz xyz = 315 = 630 = 945 xyz xyz xyz xyz xyz < 1029 nên (Dùng máy tính = 315 - 30 = 285 = 630 - 30 = 600 = 945 - 30 = 915 Vậy ta có đáp số sau: x y z 0 Bài 7: Tìm số ngun dương nhỏ có tính chất sau: 1) Viết dạng thập phân a có tận số 2) Nếu bỏ chữ số cuối đặt chữ số lên trước chữ số lại số gấp lần chữ số ban đầu Giải: - Giả sử số cần tìm có n + chữ số - Từ điều kiện 1) số dạng: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao a1a2 an DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS - Từ điều kiện 2), ta có: - Đặt a = a1a2 an , thì: 6a1a2 an a1a2 an 6a1a2 an = a1a2 an (*) = 10a + = 6.10n + a - Khi (*) trở thành: 6.10 n + a = 4.(10a + 6) ⇔ 2.(10n - 4) = 13a (**) Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13 Vì (2 ; 13) = nên: 10n - chia hết cho 13 Bài tốn quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ để (10n - 4) chia hết cho 13, tìm số a số cần tìm có dạng: 10a + Thử máy giá trị n = 1; 2; (10n - 4) là: 6, 96, 996, 9996, 99996, số chia hết cho 13 là: 99996 Khi a = 15384 ⇒ Số cần tìm là: 153846 Bài 8: Tìm số tự nhiên n cho: a) 2n + chia hết cho n + b) n + chia hết cho - n Hướng dẫn: a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) máy thử n = 0, 1, 2, n = n = 2n + chia hết cho n + ta Chứng minh với n ≥ 5, ta có 2n + không chia hết cho n + 1, thật vậy: M M M (2n + 7) (n + 1) ⇒ [(2n + 7) - 2(n + 1)] (n + 1) ⇒ (n + 1) ⇒ n ≤ Vậy số n cần tìm b) Tương tự ta có: n = n = Bài 9: Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n3 số có chữ số đầu chữ số cuối số Giải: Nhận xét: 1) Để n3 có tận 11 n có tận số Thử máy số: 11, 21, 31, 81, 91 Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS số 71 luỹ thừa bậc ba có tận 11 2) Để n3 có tận 111 n có phải tận số 471 (Thử máy với số: 171, 271, 371, 871, 971 ) 3) Để n3 có tận 1111 n phải có tận số 8471 (Thử máy với số: 1471, 2471, 3471, 8471, 9471 ) - Giả sử m số chữ số đứng số 111 1111: + Nếu m = 3k, k ∈Z+, thì: 111 x 10 3k+4 < n3 = 111 1111 < 112 x 103k+4 111000 00 0000 < 111 1111 < 112 000 00 0000 { 24 { 24 { 3k ( ⇒ m =3k 3k ) 1110.10 k +1 < n3 = 111 1111 < 1120.10 k +1 Tính máy: 10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1 Do đó, với k ≥ Cho k = ta n bắt đầu số 103, nghĩa là: n = 103 8471 ⇒ Số nhỏ số là: n = 1038471 + Nếu m = 3k + m = 3k + 2, ta số vượt số 1038471 Kết luận: Số nhỏ thoã mãn yêu cầu tốn là: n = 1038471 đó: (tính kết hợp máy giấy): n3 = 1119909991289361111 Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS Bài 10: Thay dấu * chữ số thích hợp: 896 = 496 * * 290 961 Hướng dẫn - Ta có: M M (896 - 1) (89 - 1) ⇒ (896 - 1) 11 M M (896 - 1) (893 + 1) ⇒ (896 - 1) (89 + 1) ⇒ (896 - 1) M - Đặt A = (896 - 1) = 496 x y 290 960 Ta có A chia hết cho 11 Ta có tổng chữ số hàng lẻ (từ phải sang trái) A bằng: 36 + y ; tổng chữ số hàng chẵn A bằng: 18 + x M A chia hết cho nên: 54 + x + y ⇒ x + y ∈ {0 ; ; 18} M A chia hết cho 11 nên: [(36 + y) - (18 + x)] 11 ⇒ x - y ∈ {-4 ; 7} + Nếu x + y = x = y = (loại) + Nếu x + y = 18 x = y = (loại) + Nếu x + y = : ý (x + y) (x - y) chẵn lẻ nên: x - y = ⇒ x = ; y = Vậy 896 = 496 981 290 961 Bài 11 Tháng vừa qua có thứ ngày tháng năm 2007 Theo cách tính dương lịch từ điển mạng wikipedia năm có 365,2425 ngày Vậy dựa vào cách tính đến ngày tháng năm 7777 thứ ? (ta tính theo lí thuyết cịn thực tế có điều chỉnh khác) Giải : Ngày tháng năm 7777 - Ngày tháng năm 2007 = 5770 năm 5770 × 365,2425 = 2107449,225 ngày 2107449,225 ÷ = 301064,175 tuần 0,175 × = 1,225 ngày Suy : Thứ ngày tháng năm 7777 Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho số 1939938; 68102034; 510510 a) Hãy tìm UCLN 1939938; 68102034 b) Hãy tìm BCNN 68102034; 510510 c) Gọi B BCNN 1939938 68102034 Tính giá trị B Bài 2: (2 điểm): Cho ba số: A = 1193984; B = 157993 C = 38743 Tìm ước số chung lớn ba số A, B, C Tìm bội số chung nhỏ ba số A, B, C với kết xác Bài 3: Cho a = 462035, b= 378040 a) b) Tìm ƯCLN(a;b) BCNN (a; b) Bài 4: Tìm a) ƯCLN(97110 ; 13965) b) ƯCLN(10500 ; 8683) Bài 5: Tìm a) ƯCLN(77554 ; 3581170) b) ƯCLN(532588; 110708836) Bài 6: Tìm a) ƯCLN(459494736 ; 5766866256) Bài 7: Tìm a) ƯCLN(708 ; 26930) b) ƯCLN(8992 ; 31473) b) ƯCLN(183378 ; 3500639) Bài 8: Tìm a) ƯCLN(611672 ; 11231152) 1061069040) b) ƯCLN(159185055; Bài 9: Tìm a) ƯCLN (13899; 563094; 9650088) b) ƯCLN(18963; 617394; 14676975) Bài 10: Tìm: a) ƯCLN(90756918 ; 14676975) b) ƯCLN(222222; 506506 ; 714714; 999999) Bài 11: Tìm a) BCNN(97110 ; 13965) b) CBNN (10500 ; 8683) Bài 12: Tìm a) BCNN(77554 ; 3581170) b) BCNN(532588; 110708836) Bài 13: Tìm a) BCNN(459494736 ; 5766866256) Bài 14: Tìm a) BCNN(708 ; 26930) b) BCNN(8992 ; 31473) b) BCNN(183378 ; 3500639) Bài 15: Tìm a) BCNN(611672 ; 11231152) 1061069040) b) BCNN(159185055; Bài 16: Tìm a) a) BCNN (13899; 563094; 9650088) ; 14676975 Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao b) BCNN(18963; 617394; DẠNG TỐN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS Câu 17: Tìm ƯCLN BCNN hai số: a) 91482 166323 ƯCLN (91482; 166323) = BCNN (91482; 166323) = b) 75125232 175429800 ƯCLN (75125232; 175429800) = BCNN (75125232; 175429800) = Bài 18: Tìm ước chung số sau : 222222 ; 506506 ; 714714 ; 999999 Bài 19: Tìm số nguyên dương nhỏ thỏa mãn : chia cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư 4, chia cho dư 5, chia cho dư 6, chia cho dư 7, chia cho dư 8, chia cho 10 dư Bài 20: Hỏi có số gồm sáu chữ số viết số 2, 3, chia hết cho Bài 21 : Tìm số có chữ số dạng xyz biết tổng ba chữ số kết phép chia 1000 cho xyz Bài 22: Một người bỏ bi vào hộp theo quy tắc : ngày viên, ngày sau bỏ vào số bi gấp đơi ngày trước Cùng lúc lấy bi theo nguyên tắc : ngày ngày thứ hai lấy viên, ngày thứ ba trở lấy số bi tổng hai ngày trớc 1) Tính số bi có hộp sau 10 ngày Để số bi hộp lớn 1000 cần ngày Bài 23: Một người bỏ bi vào hộp theo quy tắc : ngày viên, ngày sau bỏ vào số bi gáp đơi ngày trước Cùng lúc lấy bi theo nguyên tắc : ngày đàu tiên ngày thứ hai lấy viên, ngày thứ ba trở lấy số bi tổng hai ngày trớc 1) Tính số bi có hộp sau 15 ngày 2) Để số bi hộp lớn 2000 cần ngày Bài 24: Tìm số nguyên dương nhỏ thoả mãn : chia cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư 4, chia cho dư 5, chia cho dư 6, chia cho dư 7, chia cho dư 8, chia cho 10 dư Bài 25: Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n3 số có ba chữ số đầu bốn chữ số cuối 1, tức n3 = Bài 26: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 111 1111 DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS a Tìm tất số tự nhiên n cho n2 = 2525******89 , dấu * vị trí khác số khác b Tìm tất số n có ba chữ số cho n69 = 1986 , n121 = 3333 Bài 27: a Tìm chữ số a, b, c để ta có: a5 × bcd = 7850 b Tìm số có khơng 10 chữ số mà ta đưa chữ số cuối lên vị trí số tăng lên gấp lần c Tìm số lớn nhỏ số tự nhiên dạng chia hết cho 1x2y3z4 Bài 28: Tìm tất cặp số khơng đổi, tức là: a/ Tìm a,g biết: b/ Tìm số abc ab ab × cd = ba × dc cd cho đổi ngược hai số tích (Ví dụ: 12.42 = 21.24 = 504) (ag )4 = a ∗∗∗∗∗ g ( ) abc nhỏ thỗ mãn: = ******16 c/ Tìm số nguyên dương n nhỏ cho Bài 29 Tìm chữsố x,y để Giải: Ta có : 1234 xyM n3 có chữ số đầu chữ số sau + + + + x + y M ( ≤ x, y ≤ ) 10 + x + y M Thử mày x, y x + y ≤ 18 x+y=8 x + y = 17 Bài 30 Tìm chữ số a, b, c, d để có : Hướng dẫn: Thay a = { 1; 2;3; ;9} Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao a3 × bcd = 13803 DẠNG TỐN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS Xét xem: a=4 Tìm chữ số x để 13803M a3 số có chữ số b=2 x78 chia hế cho 17 Bài 31: Tìm 11 số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương chúng số phương nhỏ 10000 Bài 32: aabb a) Tìm số cho phím để kết aabb = ( a + 1) ( a + 1) × ( b − 1) ( b − 1) n Nêu quy trình bấm b) Tìm số tự nhiên nhỏ cho lập phương số ta số tự nhiên có chữ số cuối chữ số chữ số đầu chữ số 7: n3 = 777 777 Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao ... = ÷ Đáp số: 1,416666667 (số dư khác 0) Đáp số: 2280 Đáp số: 2,4 (số dư khác 0) Đáp số: 912 Đáp số: 2,5 (số dư khác 0) Đáp số: 456 = 912 456 Đáp số: ƯCLN(7752;5472) = 456 II TÌM SỐ TỰ NHIÊN Vũ... + 1) ⇒ n ≤ Vậy số n cần tìm b) Tương tự ta có: n = n = Bài 9: Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n3 số có chữ số đầu chữ số cuối số Giải: Nhận xét: 1) Để n3 có tận 11 n có tận số Thử máy số: 11, 21, 31,... 10 chữ số mà ta đưa chữ số cuối lên vị trí số tăng lên gấp lần c Tìm số lớn nhỏ số tự nhiên dạng chia hết cho 1x2y3z4 Bài 28: Tìm tất cặp số không đổi, tức là: a/ Tìm a,g biết: b/ Tìm số abc