SKKN Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số

SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Mục lục A. ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………… 2 I. Lí do chọn đề tài ……………………………………………………… 2 II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………2 III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……………………………………2 IV. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………… 2 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……………………………………………… ……3 I. Cơ sở lý luận………………………………………………………… 3 II. Thực trạng và giải pháp……………………………………………….4 1. Phương trình chứa tham số…………………………………… 4 2. Bất phương trình chứa tham số……………………………… 13 III. Hiệu quả của đề tài………………………………………………….19 C. KẾT LUẬN…………………………………………………………………19 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 1 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lí do chọn đề tài Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa tham số. Khi giảm tải chương trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng được nên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Viét và một số cách giải khác như hàm số hoặc “điều kiện cần - đủ” để giải quyết các bài toán chứa tham số dẫn đến cách giải phức tạp do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần này. Với việc ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì phần lớn các bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu. Đó là lí do để tôi chọn đề tài : “ Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số”. II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình có tham số. III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số và giải tích của trung học phổ thông đặc biệt phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit chứa tham số. Tuy nhiên không phải mọi bài toán chứa tham số mà phạm vi của nó là các bài toán GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 2 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số có thể cô lập được tham số về một vế trong phương trình hoặc bất phương trình. IV. Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp trên. Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi đại học các năm gần đây và sắp xếp từ dễ đến khó. Trong các tiết học trên lớp tôi ra cho học sinh giải các vi dụ này dưới nhiều phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt của phương phấp trên. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lý luận. Trong đề tài này sử dụng kết quả sau đây: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D, và tồn tại Dx )x(fmaxM ∈ = , Dx )x(fminm ∈ = . Khi đó ta có 1. Hệ phương trình    ∈ = Dx αf(x) có nghiệm khi và chỉ khi Mαm ≤≤ . 2. Hệ bất phương trình    ∈ ≥ Dx αf(x) có nghiệm khi và chỉ khi αM ≥ . 3. Bất phương trình α≥)x(f đúng với mọi x D∈ khi và chỉ khi m α≥ . 4. Hệ bất phương trình    ∈ ≤ Dx αf(x) có nghiệm khi và chỉ khi αm ≤ . 5. Bất phương trình α≤)x(f đúng với mọi x D∈ khi và chỉ khi M α≤ . Chứng minh GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 3 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số 1. Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm, tức tồn tại 0 x D ∈ sao cho α=)x(f 0 . Theo định nghĩa ta có DxDx )x(fmax)x(f)x(fmin 0 ∈∈ ≤≤ , hay DxDx )x(fmax)x(fmin ∈∈ ≤α≤ . Đảo lại, giả sử DxDx )x(fmax)x(fmin ∈∈ ≤α≤ . Vì f(x) là hàm số liên tục nên nó nhận giá trị từ Dx )x(fmin ∈ đến Dx )x(fmax ∈ . Do đó khi f(x) nhận giá trị α , tức là tồn tại Dx 0 ∈ sao cho f( 0 x ) = α . Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm trên D đpcm⇒ . 2. Giả sử hệ đã cho có nghiệm, tức là tồn tại 0 x D∈ sao cho α≥)x(f 0 . Rõ ràng là α≥≥ ∈ )x(f)x(fmax 0 Dx . Đảo lại, giả sử α≥ ∈Dx )x(fmax (1) Ta giả thiết phản chứng rằng hệ đã cho vô nghiệm, tức là α<)x(f , Dx ∈∀ từ đó suy ra α< ∈Dx )x(fmax (2) Từ (1) và (2) ta thấy vô lí, do đó giả thiết phản chứng không xảy ra, tức là hệ đã cho có nghiệm đpcm⇒ . 3. Giả sử α≥ m . Ta lấy 0 x tùy ý thuộc D ⇒ α≥=≥ ∈ m)x(fmin)x(f Dx 0 . Vậy α≥)x(f đúng với ∀ x D ∈ . Đảo lại, giả sử f(x) Dx∈∀α≥ , khi đó do Dx )x(fminm ∈ = nên theo định nghĩa tồn tại Dx 0 ∈ mà m = )x(f 0 . Từ α≥⇒α≥ m)x(f 0 . Như vậy ta có đpcm. (4 và 5 ta chứng minh tương tự như 2, 3). II. Thực trạng và giải pháp. GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 4 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số 1. Phương trình chứa tham số. Ví dụ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( ) 2x2x44m)2x2)(x4(2x6 −+−+=−−++ Hướng dẫn giải Điều kiện 4x1 02x2 0x4 ≤≤⇔    ≥− ≥− . Đặt 2x2x4t −+−= . Ta tìm miềm xác định của t, xét hàm số 2x2x4)x(f −+−= với 4x1 ≤≤ . Ta có 2x2.x42 2x2x42 )x('f −− −−− = . 3x 1x2x416 4x1 2x2x420)x('f =⇔    −=− ≤≤ ⇔−=−⇔= Từ đó ta có bảng biến thiên x 1 3 4 f’(x) + 0 - f(x) 3 3 6 3)x(fmin 4x1 = ≤≤ và 3)x(fmax 4x1 = ≤≤ từ đó suy ra khi 4x1 ≤≤ , thì 3t3 ≤≤ Từ 2x2x4t −+−= )2x2)(x4(22xt 2 −−++=⇒ . vì thế bài toán trở thành: Tìm m để hệ sau    ≤≤ =+−= )2(3t3 )1(m4t4t)t(g 2 có nghiệm Ta có g’(t) = 4t2 − , và ta có bẳng biến thiên sau t 3 2 1 g’(t) - 0 + GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 5 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số g(t) 347 − 1 0 Từ đó 0)2(g)t(gmin 3t3 == ≤≤ và 1)t(gmax 3t3 = ≤≤ . Vậy phương trình đã cho có nghiệm ⇔ m)t(gmin 3t3 ≤ ≤≤ 3t3 )t(gmax ≤≤ ≤ 1m0 ≤≤⇔ . Ví dụ 2. Cho phương trình mx62x62x2x2 4 4 =−+−++ . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Hướng dẫn giải Đặt f(x) x62x2 −+= ; 4 4 x62x2)x(g −+= . Lúc này phương trình đã cho có dạng m)x(g)x(f)x(h =+= (1) Phương trình (1) xác định trong miền 6x0 ≤≤ . Ta có )x6(x2 x2x6 )x('f − −− = . Nên ta có bảng biến thiên sau: x 0 2 6 f’(x) + 0 - f(x) tương tự ta có 4 33 4 3 4 3 )x6()x2(2 )x2()x6( )x('g − −− = , bảng biến thiên x 0 2 6 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 6 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số g’(x) + 0 - g(x) Vì thế ta có bảng biến thiên đối với hàm số h(x), 6x0 ≤≤ như sau x 0 2 6 h’(x) + 0 - h(x) Ta có }{ 3212)6(h)6(h);0(hmin)x(hmin 4 6x0 +=== ≤≤ và 236)2(h)x(hmax 6x0 +== ≤≤ . Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ 623m)66(2 4 +<≤+ . Chú ý: 1. Nếu bài toán hỏi tìm m để phương trình có nghiệm thì đáp số của bài toán sẽ là 623m)3212 4 +≤≤+ 2. Trong bài này cần lưu ý khi 6x0 )x(hmaxm ≤≤ = khi đó phương trình đã cho chỉ có một nghiệm duy nhất. Vì thế khi làm bài học sinh cần phải kết hợp với cả bảng biến thiên để suy ra kết quả. Ví dụ 3. Tìm m để phương trình 4 2 1x41xm1x3 −=++− có nghiệm. Hướng dẫn giải GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 7 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Điều kiện: 1x ≥ pt(1) 4 1x 1x 2m 1x 1x 3 + − =+ + − ⇔ Đặt t = 4 1x 1x + − do 0 1x 2 1 1x 1x > + −= + − nên ⇒ 1t0 <≤ Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ    <≤ =+−= 1t0 mt2t3)t(f 2 có nghiệm. Ta có 2t6)t('f +−= nên có bảng biến thiên sau: t 0 3 1 1 f’(t) + 0 - f(t) 3 1 3 1 ) 3 1 (f)t(fmax 1t0 == <≤ ; còn 1)t(flim 1t −= − → (chú ý rằng ở đây không tồn tại 1t0 )t(fmin <≤ ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 3 1 m1 ≤<− . Chú ý: 1. Ở đây vì xét khi 1t0 <≤ , nên không tồn tại 1t0 )t(fmin <≤ nhưng tồn tại 1)t(flim 1t −= − → Do đó điều kiện theo lý thuyết 3 1 m1 ≤≤− phải thay bằng 3 1 m1 ≤<− (tức là đã thay điều kiện 1t0 )t(fminm <≤ ≥ thành − → > 1t )t(flimm ). 2. Ta có thể giải bài toán trên bằng định lý Viét Tìm m để hệ    <≤ =−+−= )2(1t0 )1(0mt2t3)t(f 2 có nghiệm Trước tiên ta tìm điều kiện m để hệ trên vô nghiệm GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 8 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số TH1) Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ 0'<∆ 3 1 m0m31 >⇔<−⇔ TH2) PT (1) có nghiệm nhưng không thỏa mãn (2) ⇔ 21 t10t ≤<< ⇔      ≤< << ≥∆ 21 21 t1t t0t 0' ⇔        ≤−− < ≤ 0)1t).(1t( 0t.t 3 1 m 21 21 ⇔        ≤+− < ≤ 01 3 2 3 m 0m 3 1 m ⇔ m 1−≤ Do đó hệ vô nghiệm khi     −≤ > 1m 3 1 m . Vậy phương trình có nghiệm ⇔ 3 1 m1 ≤<− . Ví dụ 4. Tìm m để phương trình 1x22mxx 2 +=++ có hai nghiệm thực phân biệt. Hướng dẫn giải Phương trình đã cho    +=++ ≥+ ⇔ 22 )1x2(2mxx 01x2      −≥ =−+ ⇔ )2( 2 1 x )1(mx1x4x3 2 . Do x = 0 không là nghiệm của (1) với mọi m, nên hệ trên        −≥ = −+ = ⇔ )4( 2 1 x )3(m x 1x4x3 )x(f 2 .Ta có f’(x) = 2 2 x 1x3 + và bảng biến thiên x 2 1 − 0 f’(x) + - f(x) ∞+ 2 9 ∞+ ∞− GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 9 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2 9 m ≥ . Nhận xét: Bài này có thể hướng dẫn học giải bằng cách sử dụng lý Viét. Tìm m để hệ      −≥ =−−+ )2( 2 1 x )1(01x)m4(x3 2 có hai nghiệm phân biệt. Yêu cầu trên tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm 21 x,x sao cho 2 1 xx 12 ≥>        −>+ ≥++ >∆ ⇔ 1xx 0) 2 1 x)( 2 1 x( 0 21 21      −>+ ≥+++ ⇔ 1xx 0 4 1 )xx( 2 1 xx 21 2121 Áp dụng định lý Viét ta có        −> − ≥+− − 1 3 4m 0 4 1 6 1 3 4m 2 9 m 1m 2 9 m ≥⇔      > ≥ ⇔ Như vậy cách giải thứ nhất vẫn gọn hơn cách hai. Ví dụ 5. Cho phương trình 01m21xlogxlog 2 3 2 3 =−−++ .Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [ ] 3 3;1 . Hướng dẫn giải Đặt 1xlogt 2 3 += . Khi 3 3x1 ≤≤ 2t1 ≤≤⇒ . Bài toán trở thành: Tìm m để hệ phương trình    ≤≤ =−+= )2(2t1 )1(m22tt)t(f 2 có nghiệm Ta có 1t2)t('f += và có bảng biến thiên sau: GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 10 [...]... Trường THPT Đào Duy Từ 14 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số 2 Bất phương trình chứa tham số Ví dụ 1 Cho bất phương trình ( x + 4)(6 − x ) ≤ x 2 − 2x + m Tìm m để bất phương trình đúng với ∀x ∈ [ − 4; 6] Hướng dẫn giải Cách 1.(Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ) Điều kiện cần: Giả sử bất phương trình đã cho đúng ∀x... đề tài này có ý nghĩa thiết thực và bổ ích hơn trong nhà trường Giúp các em học sinh tìm cho mình một phương pháp ưu việt nhất khi giải các bài toán liên quan đến phương trình và bất phương trình có tham số Xin chân thành cảm ơn! GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 22 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Thanh... Nhận xét: qua các cách giải của bài toán trên ta nhận thấy cách 4 gọn và dễ làm nhất! GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 17 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Ví dụ 2 Tìm m để bất phương trình − 4 (4 − x )(2 + x ) ≤ x 2 − 2x + m − 18 đúng với mọi x ∈ [ − 2; 4] Hướng dẫn giải Bất phương trình đã cho ⇔ ( x 2.. .SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số t f’(t) − 1 2 1 2 + f(t) max f ( t ) = f (2) = 4 ; min f ( t ) = f (1) = 0 1≤ t ≤ 2 1≤ t ≤ 2 Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là 0 ≤ 2m ≤ 4 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 Ví dụ 6 Tìm m để phương trình có nghiệm 91+ 1− x 2 − (m + 2)31+ 1− x 2 + 2m + 1 = 0 Hướng dẫn giải Đặt 31+ 1−... 5 2 Còn y = x − 2 x + m có đồ thị là Parabol có trục đối xứng x = 1 và (P)luôn nằm trên nửa đường tròn 2 Do đó bài toán có dạng: Tìm m để Parabol y = x − 2 x + m luôn nằm trên nửa đường tròn y = ( x + 4)(6 − x ) GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 16 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Xét (P) tiếp xúc với... Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 13 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số m 2 − 6m − 6 ( ≤ 0 ≤ m 2 − 3m − 3 Nên minuf ( u ) ≤ 0 ≤ max f mu ) ⇔ 0≤ ≤m 0≤u ≤ 2 ⇔ 3 + 21 ≤ m ≤ 3 + 15 2 3 + 21 ≤ m ≤ 3 + 15 2 Vây các giá trị cần tìm của m là: Bài tập 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm m ( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2) = 2... với bài 1, bài này thì cách giải này là hợp lí nhât! Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x ∈ R m 2x 2 + 9 < x + m Hướng dẫn giải Vì 2x 2 + 9 − 1 > 0 , ∀x ∈ R nên bất phương trình đã cho ⇔ m< x 2x + 9 − 1 2 = f ( x ) ⇔ m < min f ( x ) R GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 18 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương. .. (3) Bài toán trở thành: Tìm m để hệ  ( 4) 0 ≤ t ≤ 1 Ta có f ' ( t ) = 6t − 2 và có bảng biến thiên sau: t f’(t) 0 - 1 3 0 1 + f(t) 0 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 12 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số 1 10 ( min f ( t ) = f ( ) = − ; maxtf 1 t ) = max{ f (0); f (1)} = −2 0≤ ≤ 0≤ t ≤1 3 3 Vậy giá trị. .. sau: x -4 1 6 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 15 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số g’(x) g(x) + 0 25 - max g ( x ) = g(1) = 25 , min g ( x ) = min{ g( −4); g(6)} = 0 ⇒ 0 ≤ t ≤ 5 − 4≤ x ≤6 − 4≤ x ≤6 2 Bài toán đã cho có dạng: Tìm m để bất phương trình f ( t ) = t + t − 24 − m ≤ 0 đúng với mọi 0 ≤ t ≤ 5 TH1)... để bất phương trình sau đúng với mọi x ∈ [ 0; 2] log 2 x 2 − 2x + m + 4 log 4 ( x 2 − 2x + m) ≤ 5 3x 2 + 2x − 1 ≤ 0 4 Tìm m để hệ  3 có nghiệm x + 3mx + 1 ≤ 0 x 2 − 3x ≤ 0 5 Tìm m để hệ sau có nghiệm  3 2 x − 2x x − 2 − m − 20m ≥ 0 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 21 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số . Từ 2 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số có thể cô lập được tham số về một vế trong phương trình hoặc bất phương. Từ 9 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2 9 m ≥ . Nhận xét: Bài. Từ 16 SKKN: Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Xét (P) tiếp xúc với (C) tại M(1; 5) ⇔ 6m51m =⇔=− Vậy bất phương trình