GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ TÍCH PHÂN TRONG MAPLE

Tính tích phân bằng phương pháp phân tích Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phânthành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể

MỤC LỤC

1

Chương 1 TÍCH PHÂN



1.1. Định nghĩa tích phân

Ta có công thức Niutơn - Laipnit :

Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệubiến số tích phân Vì vậy ta có thể viết:

1.2. Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a; b] thì tích phân là diện tích hìnhthang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x, trục Ox) và hai đường thẳng x = a

Tính chất 4: Ta có = Tính chất 5: Ta có = + Tính chất 6: Nếu f(x) 0, [a; b] thì 0.

Tính chất 7: Nếu f(x) g(x), [a; b] thì Tính chất 8: Nếu m f(x) M, [a; b] thì m(b - a) M(b - a).

Tính chất 9: Cho t biến thiên trên đoạn [a; b] thì G(t) = là nguyên hàm của f(t) và

G(a) = 0

1.4. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích

Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phânthành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từbảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết, từ đó ta xác địnhđược giá trị của tích phân

Ví dụ: Tính tích phân: I =

Sử dụng đồng nhất thức: x5 = x5 + x3 – x3 – x + x = x3(x2 + 1) – x(x2 + 1) + x

Ta được:

I =

1.5. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định có hai dạng cơ bản dựa trênđịnh lý sau:

Định lý:

a. Nếu là hàm số có đạo hàm trong [a; b] thì:

b. Nếu hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b], hàm số x = xác định và

(i) T6òn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn []

3

(ii) = a và = b

(iii) Khi t biến đổi từ đến thì x biến thiên trong đoạn [a; b]

Khi đó:

Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân I =

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn x = , trong đó là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.

Bước 2: Lấy vi phân dx = dt

Bước 3: Tính các cận và tương ứng theo a và b

Bước 4: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt

Bước 5: Khi đó: I =

Lưu ý: Chúng ta cần nhớ lại các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trênthông thường là:

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tính tích phân I =

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn x = , trong đó là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định x =

(nếu có thể)

Bước 2: Xác định vi phân dx = dt

Bước 3: Tính các cận và tương ứng theo a và b

Bước 4: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt

Bước 5: Khi đó: I =

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

5

Ví dụ: Tính tích phân: I =

Bài toán 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 3 tình tích phân I =

Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tích chất của hàm số dưới dấu tíchphân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường:

- Với I = có thể lựa chọn việc đặt x = - t

- Với I = có thể lựa chọn việc đặt t = – x

- Với I = có thể lựa chọn việc đặt t = – x

- Với I = có thể lựa chọn việc đặt t = 2 – x

- Với I = có thể lựa chọn việc đặt x = a + b + t

Ví dụ: Tính tích phân: I =

Chương 2 GIỚI HẠN

Giả sử x0 (a, b) và f là một hàm số xác định trên (a, b) có thể trừ điểm x0

- = L  Với mọi dãy số (xn) trong (a; b) \ {x0} mà lim xn = x0, ta đều có lim f(xn) = L

- = +  Với mọi dãy số (xn) trong (a; b) \ {x0} mà lim xn = x0, ta đều có lim f(xn) = +

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x0; b), x0

- = L  Với mọi dãy số (xn) trong (x0; b) mà lim xn = x0, ta đều có lim f(xn) = L

- = - , = + , = - , = + , = + , = + , = L, = + , = - , = L , = + , = - được định nghĩatương tự

2.2 Các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số và hàm số:

2.2.1 Dãy số

- Nếu lim un = L thìlim |un|= |L|; lim = ; lim = (Nếu un 0 với mọi n)

- Nếu lim un = L , lim vn = M thìlim un vn= L M; lim un vn = L.M;

lim c.un = c.L (c là hằng số); lim un/vn = L/M (nếu M # 0);

2.2.2 Hàm số

- Nếu lim f(x) = L (x => x0, x => x0+ , x => x0-, x => + , x => - ) thì

lim | f(x) | = | L |; lim = ; lim = (Nếu f(x) 0)

- Nếu lim f(x) = L và lim g(x) = M (x => x0, x => x0+ , x => x0-, x => + , x => - ) thì

lim [f(x) g(x)]= L M; lim [f(x) g(x)]= L.M;

lim c.f(x) = c.L (c là hằng số); lim f(x)/g(x) = L/M (nếu M # 0)

2.3 Hàm số liên tục

2.3.1 Định nghĩa

Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục tại điểm x0 (a; b) nếu Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nóliên tục tại mọi điểm của khoảng đó

Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liêntục trên khoảng (a; b), và

2.3.2 Định lý (về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] Nếu f(a) # f(b) và M là một số nằm giữaf(a) và f(b) thì tồn tại ít nhất một số c (a; b) sao cho f(c) = M

11

Chương 3 GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ TÍCH PHÂN TRONG MAPLE



Trong Maple, có hai lệnh để tính và hiển thị kí hiệu giới hạn

Dùng lệnh > Limit (hàm số, x = x0 , left/right (trái/phải)); để hiển thị biểu thứcgiới hạn (bên trái/ phải) của hàm số tại x=x0 {Chữ L trong từ khóa Limit là chữ inhoa)

Dùng lệnh > limit(hàm số, x = x0 , left/right (trái/phải)); để hiển thị (tính) giá trịcủa giới hạn (bên trái/ phải) của hàm số tại x=x0 {Chữ L trong từ khóa limit là chữthường)

Ví dụ: Tính giới hạn

Để hiển thị ngay kết quả chúng ta nhập vào Maple dòng lệnh sau:

(Trong Maple, căn bậc n của số a được khai báo bởi từ khoá >surd(a, n); )

Để hiển thị biểu thức giới hạn:

Để hiển thị kết quả của giới hạn trên chúng ta chỉ cần dùng hàm >value(%) trên dòng lệnh liền kề sau đó;

Ngoài ra còn có thể dùng gói lệnh “with(Student :- Calculus1):” để thực hiện các phép toán khi tính giới hạn một hàm số

- Quy tắc đưa hằng số ra khỏi dấu giới hạn trong phép nhân.

Có thể dùng thủ tục sau cho gọn khi muốn hiển thị cả hai lệnh trên

Để sử dụng thủ tục này chúng ta chỉ cần nhập >tp(f, a, b); thì sẽ cho kết quả tích phân của biểu thức f trên đoạn [a; b]

13

Ví dụ: Sau khi đã thiết lập thủ tục trên chúng ta tính tích phân

Một điều cần lưu ý, nếu f là hàm số thì lệnh tính giá trị của tích phân của hàm f trên đoạn [a; b] có thể ngắn gọn hơn là > int(f, a b); không khai báo biến x, chỉ khai báo “f”, thay vì “f(x)”

Ví dụ:

Chúng ta nhập f ở dạng hàm số

Nhưng muốn hiển thị biểu thức tích phân (khi f là hàm số) chúng ta phải khai báo đầy đủ

Còn nếu không nhập lệnh đúng, Maple sẽ cho kết quả:

- Gói lệnh “with(Integration Tools)” với tích phân

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:

Cú pháp > Change(V, x=g(u));

Trong đó V là biểu thức tích phân của một hàm số xác định trước

Chương 4 MINH HỌA ỨNG DỤNG



4.1 Mô tả

Bài viết nhầm củng cố lại kiến thức đã học

Chương trình được viết bằng ngôn ngữ C#, trên môi trường Visual Studio 2010Chương trình áp dụng các kỹ thuật giao tiếp với thư viện OpenMaple (phần mềmMaple) để giải quyết bài toán tính giới hạn, tích phân của hàm số

Sử dụng thư viện MimeTex.dll để hiển thị công thức toán học lên giao diện VisualStudio

Vì thời gian có hạn, nên chương trình chỉ áp dụng tính giới hạn và tích phần toànphần bằng phương pháp phân tích, biến đổi

4.2 Ý tưởng bài toán

Xác định yêu cầu: Tính giới hạn, tích phân từ phần mềm Maple, sau đó hiển thịlên giao diện C#

- Bước 1: Lập trình trong Maple xây dựng gói thủ tục giải bài toán giới hạn và

tích phân

- Bước 2: Kết nối Maple đến C#.

- Bước 3: Phân tích chuổi nhận được từ Maple đưa lên C#

o Khi Maple trả về một chuỗi cho C#, ta sẽ biến đổi chuỗi này sang chuỗiTeX

o Xữ lý chuỗi này thành dạng một Image

o Load Image này lên giao diện C#

4.3 Kỹ thuật giao tiếp với thư viện OpenMaple

Việc giao tiếp với OpenMaple là việc gọi các hàm trong thư viện maplec.dll

Tuân thủ theo các thao tác mà thư viện này quy định

1 Gọi hàm StartMaple để thiết lập các thông số thao tác ban đầu Và StopMaple để kết thúc phiên làm việc với OpenMaple.

2 Gọi các hàm API của OpenMaple với tham số và chức năng theo quy định

Ví dụ: Để truyền 1 lệnh tương ứng với thao tác nhập bình thường trên Maple tadùng hàm EvalMapleStatement

 StartMaple

StartMaple(ByVal argc As Integer, ByVal argv() As String, ByRef cb As

MapleCallbacks, ByVal data As IntPtr, ByVal info As IntPtr, ByVal err() As Byte) As IntPtr

Hàm khởi tạo phiên làm việc của OpenMaple

Trong đó :

- argc : Số tham số (Là số tham số ở argv() )

- argv() : Mảng các tham số truyền vào

- cb : Tham trị truyền vào theo cấu trúc MapleCallbacks

- data, info : 2 tham số con trỏ chứa thông tin

- err() : Thông tin lỗi truyền ra

Gía trị trả về là một con trỏ của thư viện OpenMaple đã khởi tạo.

 Cấu trúc MapleCallbacks

Structure MapleCallbacks

Public textCallBack As TextCallBack

Public errorCallBack As ErrorCallBack

Public statusCallBack As StatusCallBack

Public readlineCallBack As ReadLineCallBack

Public redirectCallBack As RedirectCallBack

Public streamCallBack As StreamCallBack

Public queryInterrupt As QueryInterrupt

Public callbackCallBack As CallBackCallBack

- kv : Là biến con trỏ trả về từ hàm StartMaple

kv = StartMaple(ByVal argc As Integer, ByVal argv() As String, ByRef cb As

MapleCallbacks, ByVal data As IntPtr, ByVal info As IntPtr, ByVal err() As Byte)

 EvalMapleStatement

EvalMapleStatement(ByVal kv As IntPtr, ByVal statement() As Byte) As IntPtr

17

Hàm truyền các lệnh vào cho thư viện Maple xử lý

- kv : Con trỏ nhận được từ hàm StartMaple (Trang trên đã nói)

- statement() : Lệnh truyền vào

- Dữ liệu ra sẽ là file, hoặc gọi các hàm tại :

cb.textCallBack cb.errorCallBack cb.statusCallBack

4.4 Hiển thị công thức toán học

Có nhiều cách để hiển thị công thức toán học lên giao diện Visual Studio, trong bàiviết này sẽ trình bày cách hiển thị công thức toán theo ngôn ngữ có cấu trúc LaTeX

(thông qua thư viện Mime.dll).

4.4.1 Cách thể hiện ngôn ngữ LaTeX

\int: kí hiệu ra dấu tích phân

\lim là kí hiệu dấu giới hạn.

4.4.2 Cấu trúc trả về của Maple cho C#

Trong đó a: là tử số b: là mẫu số

Trong đó a: là hệ số b: là hệ số mũ

- Dạng tích phân: Int(x, x=0 1)

Trong đó x: là hệ số

x = 0 1 (0: là cận trên; 1: là cận dưới) Int: là dấu tích phân.

- Dạng giới hạn: Lim(x, x=a)

- Ưu điểm: Xử lý nhanh, không phụ thuộc vào trình duyệt

- Khuyết điểm: Hiển thị chưa đẹp

4.5.3 Mô tả hoạt động chương trình

Bước 1: Nhập đầu vào là bài toán theo cấu trúc ngôn ngữ Maple Bước 2: Thực hiện giải:

- Gọi chương trình Maple giải bài toán trên

- Phân tích chuỗi Maple

o Kiểm tra đầu vào là Tích phân hay Giới hạn

o Nếu là tích phân

 Phân tích chuỗi tích phân trên

 Chuyễn tích phân sang LaTeX

 Ghi dữ liệu vào LaTex

o Nếu là giới hạn

 Phân tích chuỗi giới hạn

 Chuyễn giới hạn sang LaTeX

 Ghi dữ liệu vào LaTeX

o Hiển thị chuỗi LaTex lên giao diện

 Tạo một đường link Image

System.IO.Path.Combine(“”, namepicture);

 Gọi phương thức tạo ảnh từ thư viện MimeTex

CreateGifFromEq(Biểu thức toán, Đường dẫn tập tin kết quả (.gif))

 Thực hiện hiển thị ảnh lên giao diện

Nút Thể hiện đề bài

Nơi thể hiện đề bài

Nơi thể hiện lời giải

Giải đề

Nơi mở File có sẵn

Nơi nhập đề

- Bước 3: Thoát chương trình.

21

TÀI LIỆU THAM KHẢO