GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ TÍCH PHÂN TRONG MAPLE

MỤC LỤC 1 Chương 1 TÍCH PHÂN  1.1. Định nghĩa tích phân Ta có công thức Niutơn - Laipnit : Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết: 1.2. Ý nghĩa hình học của tích phân Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a; b] thì tích phân là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x, trục Ox) và hai đường thẳng x = a và x = b. 1.3. Các tính chất của tích phân Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba điểm của K, dựa vào định nghĩa tích phân ta có các tính chất sau: Tính chất 1: Ta có =0. Tính chất 2: Ta có = . Tính chất 3: Ta có = , với k R; 2 Tính chất 4: Ta có = . Tính chất 5: Ta có = + . Tính chất 6: Nếu f(x) 0, [a; b] thì 0. Tính chất 7: Nếu f(x) g(x), [a; b] thì . Tính chất 8: Nếu m f(x) M, [a; b] thì m(b - a) M(b - a). Tính chất 9: Cho t biến thiên trên đoạn [a; b] thì G(t) = là nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0. 1.4. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết, từ đó ta xác định được giá trị của tích phân. Ví dụ: Tính tích phân: I = Sử dụng đồng nhất thức: x 5 = x 5 + x 3 – x 3 – x + x = x 3 (x 2 + 1) – x(x 2 + 1) + x. Ta được: I = 1.5. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định có hai dạng cơ bản dựa trên định lý sau: Định lý: a. Nếu là hàm số có đạo hàm trong [a; b] thì: b. Nếu hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b], hàm số x = xác định và (i) T6òn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [] 3 (ii) = a và = b (iii) Khi t biến đổi từ đến thì x biến thiên trong đoạn [a; b] Khi đó: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân I = Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn x = , trong đó là hàm số mà ta chọn cho thích hợp. Bước 2: Lấy vi phân dx = dt Bước 3: Tính các cận và tương ứng theo a và b Bước 4: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt Bước 5: Khi đó: I = Lưu ý: Chúng ta cần nhớ lại các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn 4 Ví dụ: Tính tích phân: I = Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt Đổi cận: với x = 0 => t=0; x = => t = Ta có: Khi đó: I = Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tính tích phân I = Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn x = , trong đó là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định x = (nếu có thể). Bước 2: Xác định vi phân dx = dt Bước 3: Tính các cận và tương ứng theo a và b Bước 4: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt Bước 5: Khi đó: I = Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: 5 Ví dụ: Tính tích phân: I = Bài toán 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 3 tình tích phân I = Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tích chất của hàm số dưới dấu tích phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường: - Với I = có thể lựa chọn việc đặt x = - t 6 - Với I = có thể lựa chọn việc đặt t = – x - Với I = có thể lựa chọn việc đặt t = – x - Với I = có thể lựa chọn việc đặt t = 2 – x - Với I = có thể lựa chọn việc đặt x = a + b + t Ví dụ: Tính tích phân I = 1.6. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Công thức: Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác định I = Phương pháp giải: 7 Ví dụ: Tính tích phân: I = 8 9 Chương 2 GIỚI HẠN  2.1. Các định nghĩa về giới hạn của dãy số và hàm số 2.1.1. Dãy số - lim u n = 0  Mọi |un| đều nhỏ hơn một số dương nhỏ tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. - lim u n = L  lim(u n - L) = 0 - lim u n = +  Mọi un đều lớn hơn một số dương tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. - Lim u n = -  Mọi un đều nhỏ hơn một số âm tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. 2.1.2. Hàm số Giả sử x0 (a, b) và f là một hàm số xác định trên (a, b) có thể trừ điểm x0. - = L  Với mọi dãy số (x n ) trong (a; b) \ {x 0 } mà lim x n = x 0 , ta đều có lim f(x n ) = L. - = +  Với mọi dãy số (x n ) trong (a; b) \ {x 0 } mà lim x n = x 0 , ta đều có lim f(x n ) = + . Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x 0 ; b), x 0 - = L  Với mọi dãy số (x n ) trong (x 0 ; b) mà lim x n = x 0 , ta đều có lim f(x n ) = L. - = - , = + , = - , = + , = + , = + , = L, = + , = - , = L , = + , = - được định nghĩa tương tự 2.2. Các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số và hàm số: 2.2.1. Dãy số - Nếu lim u n = L thì lim |u n |= |L|; lim = ; lim = (Nếu u n 0 với mọi n). - Nếu lim u n = L , lim v n = M thì lim u n v n = L M; lim u n v n = L.M; lim c.u n = c.L (c là hằng số); lim u n /v n = L/M (nếu M # 0); 2.2.2. Hàm số - Nếu lim f(x) = L (x => x 0 , x => x 0 + , x => x 0 - , x => + , x => - ) thì lim | f(x) | = | L |; lim = ; lim = (Nếu f(x) 0) - Nếu lim f(x) = L và lim g(x) = M (x => x 0 , x => x 0 + , x => x 0 - , x => + , x => - ) thì lim [f(x) g(x)]= L M; lim [f(x) g(x)] = L.M; lim c.f(x) = c.L (c là hằng số); lim f(x)/g(x) = L/M (nếu M # 0) 10 [...]... tục) Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] Nếu f(a) # f(b) và M là một số nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại ít nhất một số c (a; b) sao cho f(c) = M 11 Chương 3 GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ TÍCH PHÂN TRONG MAPLE  3.1 Giới hạn của hàm số trong Maple Trong Maple, có hai lệnh để tính và hiển thị kí hiệu giới hạn Dùng lệnh > Limit (hàm số, x = x0 , left/right (trái/phải)); để hiển thị biểu thức giới hạn (bên... 1: Nhập đầu vào là bài toán theo cấu trúc ngôn ngữ Maple Bước 2: Thực hiện giải: - Gọi chương trình Maple giải bài toán trên - Phân tích chuỗi Maple o Kiểm tra đầu vào là Tích phân hay Giới hạn o Nếu là tích phân  Phân tích chuỗi tích phân trên  Chuyễn tích phân sang LaTeX  Ghi dữ liệu vào LaTex o Nếu là giới hạn  Phân tích chuỗi giới hạn  Chuyễn giới hạn sang LaTeX  Ghi dữ liệu vào LaTeX o Hiển... thể: - Phân số: \frac{1}{2}  - Hệ số mũ: x^4  x4 - Dấu tích phân: \int_{a}^{b}{x}dx  Trong đó: a: là cận dưới b: là cận trên x: là hệ số trong dấu tích phân \int: kí hiệu ra dấu tích phân - Giới hạn: \lim_{x\to 1}{x}  Trong đó: x: là cận trước \to: là dấu mủi tên 1: là cận sau X: là hệ số trong giới hạn \lim là kí hiệu dấu giới hạn 4.4.2 Cấu trúc trả về của Maple cho C# - Dạng phân số: a/b Trong. .. là tử số b: là mẫu số - Dạng mũ số: a^b Trong đó a: là hệ số b: là hệ số mũ - Dạng tích phân: Int(x, x=0 1) 18 Trong đó x: là hệ số x = 0 1 (0: là cận trên; 1: là cận dưới) Int: là dấu tích phân - Dạng giới hạn: Lim(x, x=a) Trong đó: x: là hệ số của giới hạn x = a là hệ số chạy (x: là hệ số trước; a: là hệ số sau) Lim là kí hiệu giới hạn Như vậy việc khó khăn nhất của chương trình là tách chuỗi Maple. .. với thư viện OpenMaple (phần mềm Maple) để giải quyết bài toán tính giới hạn, tích phân của hàm số Sử dụng thư viện MimeTex.dll để hiển thị công thức toán học lên giao diện Visual Studio Vì thời gian có hạn, nên chương trình chỉ áp dụng tính giới hạn và tích phần toàn phần bằng phương pháp phân tích, biến đổi 4.2 Ý tưởng bài toán Xác định yêu cầu: Tính giới hạn, tích phân từ phần mềm Maple, sau đó hiển... Interface) trong thư viện hàm của Maple hỗ trợ (Từ phiên bản 9 trở đi) Toàn bộ các API này lưu trong file maplec.dll 4.3.2 Giao tiếp với OpenMaple Việc giao tiếp với OpenMaple là việc gọi các hàm trong thư viện maplec.dll Tuân thủ theo các thao tác mà thư viện này quy định 1 Gọi hàm StartMaple để thiết lập các thông số thao tác ban đầu Và StopMaple để kết thúc phiên làm việc với OpenMaple 2 Gọi các hàm API... thị biểu thức giới hạn: Để hiển thị kết quả của giới hạn trên chúng ta chỉ cần dùng hàm >value(%) trên dòng lệnh liền kề sau đó; Ngoài ra còn có thể dùng gói lệnh “with(Student :- Calculus1):” để thực hiện các phép toán khi tính giới hạn một hàm số 12 - - 3.2 Quy tắc đưa hằng số ra khỏi dấu giới hạn trong phép nhân Cú pháp: Ví dụ: Quy tắc đổi biến: Cú pháp: Tích phân xác định của hàm số f trên đoạn... thay vì “f(x)” Ví dụ: Chúng ta nhập f ở dạng hàm số Nhưng muốn hiển thị biểu thức tích phân (khi f là hàm số) chúng ta phải khai báo đầy đủ Còn nếu không nhập lệnh đúng, Maple sẽ cho kết quả: - Gói lệnh “with(Integration Tools)” với tích phân Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số: Cú pháp > Change(V, x=g(u)); Trong đó V là biểu thức tích phân của một hàm số xác định trước 14 15 Chương 4 MINH HỌA... hạn (bên trái/ phải) của hàm số tại x=x 0 {Chữ L trong từ khóa Limit là chữ in hoa) Dùng lệnh > limit (hàm số, x = x0 , left/right (trái/phải)); để hiển thị (tính) giá trị của giới hạn (bên trái/ phải) của hàm số tại x=x 0 {Chữ L trong từ khóa limit là chữ thường) Ví dụ: Tính giới hạn Để hiển thị ngay kết quả chúng ta nhập vào Maple dòng lệnh sau: (Trong Maple, căn bậc n của số a được khai báo bởi từ... Bước 1: Lập trình trong Maple xây dựng gói thủ tục giải bài toán giới hạn và - tích phân Bước 2: Kết nối Maple đến C# Bước 3: Phân tích chuổi nhận được từ Maple đưa lên C# o Khi Maple trả về một chuỗi cho C#, ta sẽ biến đổi chuỗi này sang chuỗi TeX o Xữ lý chuỗi này thành dạng một Image o Load Image này lên giao diện C# 4.3 Kỹ thuật giao tiếp với thư viện OpenMaple 4.3.1 OpenMaple OpenMaple là các API . và M là một số nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại ít nhất một số c (a; b) sao cho f(c) = M. 11 Chương 3 GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ TÍCH PHÂN TRONG MAPLE  3.1. Giới hạn của hàm số trong Maple Trong Maple, . là tích phân  Phân tích chuỗi tích phân trên.  Chuyễn tích phân sang LaTeX.  Ghi dữ liệu vào LaTex. o Nếu là giới hạn  Phân tích chuỗi giới hạn  Chuyễn giới hạn sang LaTeX  Ghi dữ liệu vào. học của tích phân Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a; b] thì tích phân là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x, trục Ox) và hai đường thẳng x = a và x = b. 1.3.