Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số tập hợp ví dụ mẫu và cách giải chi tiết, giúp học viên hiểu được cách giải bài tập giới hạn của hàm số, la nguồn tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên các trường nghiên cứu về giới hạn hàm số.

Bài 2 Giới hạn của hàm số Phương pháp giải bài tập:

Bài tập mẫu:

Bài 1 Cho hàm số

1

y

x

 



 Dùng định nghĩa chứng minh rằng lim ( ) 31

x f x

Giải:

Hàm số y=f(x) xác định trên R\ 1   Giả sử (xn) là dãy số bất kì x n 1 và x n 1

n n

Bài 2 Cho hàm số ( ) nếu 0.

y f x

 Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y=f(x) khơng cĩ giới hạn khi x0

Giải :

 

 

1 lim ( ) lim 0 (1)

1

1

Vậy với (1) và (2) hàm số không có giới hạn khi 0

n

n

n

x

f x

n

n

f x

n

x



BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Dạng 1 Dùng định nghĩa để tìm giới hạn:

Phương pháp:

2 Để chứng minh hàm số f(x) khơng cĩ giới hạn khi xx0 ta thực hiện:

 Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thỗ mãn: xn, yn thuộc tập xác

định của hàm số và khác x0

 lim n 0, lim n 0

   

 Chứng minh lim  n lim  n hoặc một trong hai

hạn đĩ khơng tồn tại

Bài 1 Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau :

2

3 2 5

x

Bài 2.

1 Cho hàm số

2 2

nếu 0 ( )

1 nếu 0

f x



 

a Vẽ đồ thị hàm số f(x) Từ đĩ dự đốn về giới hạn của f(x) khi x0

b Dùng định nghĩa chứng minh dự đốn trên

2 Cho hàm số f x( ) sin 12

x

 Chứng minh hàm số khơng cĩ giới hạn khi x0

Bài 3.

a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx khơng cĩ giới hạn khi x 

b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a)

Bài 4 Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng ;a Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu

lim ( ) và lim ( ) thì lim ( ) ( )

Bài tập mẫu:

Bài 1 Tính các giới hạn của các hàm số sau:

2

2 2

2

2

1

3

1 4

4

)lim

x

x

x

x x

x

e

x















Giải:

Dạng 2 Tìm giới hạn của hàm số bằng cơng thức

Phương pháp:Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vơ định ta thực

hiện:

1 Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì  

lim ( )

x x f x f x

2 Áp dụng định lý 1 và các quy tắc về giới hạn 

   

2 1

3

2

2

2

1

1 3 1 1

) lim

3 3 3 3

3 )Ta có: lim 3 1 0 và lim 4 0 nên lim

4 1

) lim

1

x

x

x

x

b

x

x

x x

d

x













 



2

2

4 0

x

x

e

x





Bài tập áp dụng:

Bài 1 Tìm giới hạn hàm số sau:

2

Đáp số:

2 2

2

) 14

11

4

a

 

 

 

Bài 2 Tìm giới hạn hàm số sau:

2

2 2

1

15

2 15

2

a y f x

x

x

d y f x

x x

d y f x

x















Đáp số:

Bài tập mẫu:

Bài 1 Tính giới hạn sau:

2 1

lim

1

x

x







Giải :

2

1

x x



Bài 2 Tính giới hạn sau:

2 2

4 lim

7 3

x

x x





 

Giải:

2

2

4

2

7 3

x

x

x x





 

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Tìm các giới hạn của hàm số sau:

 3

2

1

x



 

Đáp số:

Bài 2 Tìm các giới hạn của hàm số sau:

Dạng 3 Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0

0

Phương pháp:

1 Nhận dạng vô định 0

( ) lim khi lim ( ) lim ( ) 0 ( )

v x

2 Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước

0 0

x x A x





3 Nếu u(x) và v(x) có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu

với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để giản ước

3

5

x

x



Đáp số:

Bài 3 Tính giới hạn của hàm số sau:

3

2

2

3 2

1

1

x







Đáp số:

Bài 1 Tính các giới hạn của hàm số sau:

2 3

2

x

Đáp số:

Bài 2 Tính các giới hạn sau:

Dạng 4: Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác ( dạng vô định 0

0)

Phương pháp: Vận dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số

lượng giác thành dạng có thể sử dụng định lí:

 

2

3 2

98 1 cos3 cos5 cos7

sin sin

1 1

sin

x x

x x

x







 

2

cos sin

x



Đáp số:

Bài tập mẫu:

Bài 1 Tính giới hạn sau:

3

lim 6

x







Giải:

5 3

x



Bài 2 Tính giới hạn sau:

Dạng 5: Dạng vô định 



Phương Pháp:

1 Nhận biết dạng vô định 



( ) lim khi lim ( ) , lim ( )

( ) ( ) lim khi lim ( ) , lim ( )

( )

v x

v x

2 Chia tử và mẫu cho x với n là số mũ cao nhất của biến x ( Hoặc n

phân tích thành tích chứa nhân tử x rồi giản ước) n

3 Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài

dấu căn ( Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó

chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x

  

2

lim

4 1

x

x



Bài tập áp dụng :

Bài 1 Tìm các giới hạn của các hàm số sau:

   

   

2 3

2

1 2

2

x x

x









Đáp số:

2 2 2 2

1

2

2 3

)

=-3

1

)

5

x

x

x

e

x

f







  





Bài 2 Tính các giới hạn sau:

 2   5 3

2

3 3

1 1 2

1

x



  

Đáp số:

)3 ) 32 )5 khi ; 1 khi

)1 khi ; 1 khi

)1 khi ; 1 khi

Bài tập 1: Tìm các giớí hạn của hàm số sau:

2 0

2 1

3

1

1

x x

x

x





Đáp số:

1

4

Bài tập 2 Tìm các giớí hạn của hàm số sau:

Đáp số:

Dạng 6 Dạng vô định    ;0

Phương pháp:

1 Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với

biểu thức liên hợp

2 Nếu biều thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa

về cùng một biểu thức

3 Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay

dạng vô định    ;0 hoặc chuyển về dạng vô định ;0

0





   

 

2

3

1 1 5 lim

3 2 6

1 1

x





1 1 2

x x x



Bài tập mẫu:

Bài 1 Tính giới hạn :

2

2

sin2 3 cos2 lim

x

x





Giài:

2 2

2

Ta nhận thấy: -2 sin2 3 cos2 2

Vậy

2 1

sin2 3 cos2 1 Vậy lim

3

x

x

x









Bài 2 Tìm 2

0

1 lim sin

x x

x



Giải:

Dạng 7: Giới hạn kẹp

Phương pháp: h x( ) f x( )g x( ), x K x\ 0 ,x0K

và

lim ( ) lim ( ) lim ( )

x x h x x x g x L x x f x L

 

2

0

1

Ta nhận thấy : sin

1 Vậy lim sin 0

x

x

x

x





Bài tập áp dụng:

Bài tập1 Tìm giới hạn của các hàm số sau:

2

2

3 1

x

x x

x





Đáp số:

Bài tập 2 Tìm giới hạn của các hàm số sau:

2

2

sin2 2 os2

) lim

1

x

c







 

Đáp số:

Bài tập mẫu:

Bài 1.

a) Cho hàm số

2

2

2 3 nếu 3



 

 Tính

3

lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )

x

b) Cho hàm số

3

( ) 1 2 6 Tính lim ( ); lim ( ); lim ( )

x

Giải:

Dạng 8: Giới hạn một bên

Phương pháp:

 

 

0

0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

x x

x x







 

) * lim ( ) lim 3 2 3 2.3 15

* lim ( ) lim ( ) nên hàm số không có giới hạn khi 3



3

5 nếu 3

* lim ( ) lim 2 5 2.3 5 1

* lim ( ) lim 2 5 2.3 7 1

* lim ( ) lim ( ) 1 lim ( ) 1

x







Bài 2 Cho hàm số:

3

x



 Tìm giá trị của m để hàm số f(x) cĩ giới hạn khi x1 Tính giới hạn đó

Giải:

2

2 2

1

Hàm số f(x) có giới hạn thì lim ( ) lim ( ) 1 2 1

* khi đó

f x

 

1

lim ( ) 1

x f x

Bài tập áp dụng:

Bài tập 1.

a) Cho hàm số

2

2

2 nếu 1

1 nếu 1





 Tính

1

lim ( ); lim ( ); lim ( )

x

x f x x f x f x

b) Cho hàm số

5

5 ( ) Tính lim ( ); lim ( );lim ( )

x







Đáp số:

a) 3



5

lim ( ) 1



5

lim ( ) 1

x f x

Bài tập 2 Cho hàm số

3

1 nếu 1

2 nếu x 1

mx



  



Với giá trị nào của m thì hàm số

f(x) cĩ giới hạn x1

Đáp số: m=1

Bài tập 3 Tìm giá trị m để hàm số sau cĩ giới hạn tại x=1

2

1 2 với 1

x







Đáp số: m = -3

Bài tập 4 Tìm giá trị của a để hàm số sau cĩ giới hạn tại x=0

sin với 0 ( )

f x

 



Đáp số: a = 0

Bài tập 5 Cho khoảng K, x0K và hàm số f(x) xác định trên K x\ 0

Chứng minh rằng nếu

0

lim ( )

x x f x

   thì luơn tồn tại ít nhât một số c thuộc K x\ 0

sao cho f(c)>0

Hướng dẫn:





 

Tư định nghĩa suy ra ( ) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một

số hạng nào đó tr

x x

n n

n

f x

 



0

ở đi.

Nếu số dương này là 1 thì ( ) 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tòn tại ít nhất một số \ sao cho ( ) 1.

n

k

f x

Bài tập 6 Cho hàm số y=f(x) xác định trên a; Chứng minh rằng nếu

lim ( )

x f x

   thì luơn tồn tại ít nhất một số c thuộc a; sao cho f(c)<0

Hướng dẫn:

 

Tư định nghĩa suy ra ( ) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ mo

x

n n

n n

n

f x

f x







 

số hạng nào đó trở đi.

 

Nếu số dương này là 2 thì - ( ) 2 kể từ một số hạng nào đó trở đi

Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số ; sao cho - ( ) 2 hay

n

k

k

f x

f x



  