BÀI TẬP ÂM HỌC SỰ LAN TRUYỀN SÓNG ÂM TRONG CÁC CHẤT LƯU

BÀI TẬP ÂM HỌC SỰ LAN TRUYỀN SÓNG ÂM TRONG CÁC CHẤT LƯU

3. KHA KIM QUỐC NGUYÊN 40801401

4. NGUYỄN VĂN THUẬN 20802164

Áp dụng 2

SÓNG CẦU

Về mặt lý thuyết, các mặt phẳng sóng của một sóng phẳng mở ra vô hạn, nhưng quan niệm sóng phẳng chỉ có thể được xét một cách tiên nghiệm trong những miền mở rộng có giới hạn vì năng lượng của một sóng không thể là vô hạn Các sóng cầu, có biên độ biến thiên trong quá trình lan truyền, cho phép

mô tả các sóng phát ra bởi, chẳng hạn, một nguồn âm có kích thước nhỏ đặt tại một điểm O

1) Hãy xác lập dạng tổng quát của các sóng cầu mà biên độ chỉ phụ thuộc t

và khoảng cách r =OM tới điểm gốc O

Là các nghiệm của phương trình lan truyền d’ALEMBERT

2) Hãy giải thích 2 số hạng có mặt trong biểu thức đó.

3) Hãy nêu đặc trưng của các mặt sóng và bình luận sự có mặt của một hệ số

giảm dần theo trong biên độ sóng

Cho biết: Laplacian trong tọa độ cầu của một hàm là:

BÀI GIẢI :

1) Phương trình d’ALEMBERT 3 chiều:

Đối với sóng cầu thì thu về phương trình lan truyền 1 chiều :

Với , ta suy ra biểu thức : Vậy các sóng cầu là nghiệm của phương trình lan truyền có dạng:

2) Hai số hạng có thể được giải thích như là 2 sóng cầu lan truyền xuyên

tâm với vận tốc Sóng thứ nhất là 1 sóng cầu phân kỳ xuất phát từ điểm O Sóng thứ hai là 1 sóng cầu hội tụ tại O.( Được suy ra tương tự so với trường hợp sóng phẳng )

3) Các mặt sóng của sóng cầu là các mặt cầu đồng tâm tại O Diện tích của

chúng tăng tỉ lệ với bình phương khoảng cách r=OM ( Các đại lượng về nănglượng gắn với sóng thì gắn với biên độ của nó theo bậc 2.Để NL do sóng truyền tải trên những mặt tăng tỉ lệ với được bảo toàn thì biên độ sóng sẽ giảm tỉ lệ với

Áp dụng 3

CÂN BẰNG NĂNG LƯỢNG ĐỊA PHƯƠNG VỚI SÓNG PHẲNG

Đối với một sóng phẳng truyền song song với trục Ox, hãy biểu thị các mật

độ động năng, thế năng và năng lượng sóng cũng như vector mật độ lưu lượng năng lượng Hãy kiểm tra lại sự cân bằng năng lượng địa phương trongtrường hợp riêng này

 Mật độ khối của năng lượng sóng:

 Vector mật độ mặt của công suất:

Kiểm tra sự cân bằng năng lượng:

Ta có:

Do đó, sự cân bằng năng lượng địa phương trong trường hợp riêng này được thỏa mãn

Áp dụng 4

SỰ PHẢN XẠ VÀ TRUYỀN QUA CỦA CÁC SÓNG ÂM

Ở NGANG MỨC CHỖ NỐI CỦA 2 ỐNG DẪN

Ta khảo sát sự phản xạ và sự truyền qua của các sóng âm phẳng ở ngang mứcchỗ nối của 2 ống dẫn có tiết diện S1 và S2

1) Chứng tỏ rằng có sự liên tục áp suất tại x = x 0 :

p 1 (x 0 ,t) = p 2 (x 0 ,t)

2) Chứng tỏ rằng có sự liên tục lưu lượng khối ở ngang mức chỗ nối

D V1 (x 0 ,t) = S 1 v 1 (x 0 ,t) = D V2 (x 0 ,t) = S 2 v 2 (x 0 ,t)

Cho biết : trở kháng âm của một ống dẫn có tiết diện S được xác định bởi tỉ

số

3) Thiết lập biểu thức các hệ số phản xạ và truyền qua về biên độ (đối với

lưu lương khối và áp suất dư) tùy theo trở kháng âm của cac1ong61 dẫn nối với nhau

4) Từ đó rút ra các hệ số phản xạ và truyền qua về năng lượng

5) Giản ước các biểu thức thu được khi các ống dẫn chứa cùng 1 chất lưu, và

chỉ khác nhau do tiết diện của chúng Bình luận các trường hợp giới hạn S2 =

∞ và S2 = 0 bằng cách chỉ ra các tương tự điện của chúng

BÀI GIẢI :

1) Áp dung nguyên lí cơ bản của động lực học cho 1 piston khối lượng bằng

0, áp suất ở 2 bên piston là bằng nhau:

p1(x0,t) = p2(x0,t)Vậy ta có sự liên tuc áp suất ở 2 bên piston

2) Độ dài L của nhiễu loạn là nhỏ hơn so với bước sóng λ, như vậy có thể bỏ

qua những biến đổi khối lượng của lớp chất lưu chuyển động dựa vào nhiễu loạn đó Ta có sự liên tục của lưu lượng khối ở ngang mức chỗ ghép nối :

DV1(x0,t) = DV2(x0,t)

ta rút ra hệ số phản xạ về biên độ

hệ số truyền qua về biên độ

4) Thông lượng gắn với sóng âm đi qua ống dẫn là P = SΠ = pSv = pDV Vậy ta có hệ số phản xạ về năng lượng

hệ số truyền qua về năng lượng

PHÉP ĐO LƯU LƯỢNG MÁU NHỜ HIỆU ỨNG DOPPLER.

Âm hưởng kí là một phương pháp có thể cho hình ảnh các cơ quan bên trong

cơ thể người Một miếng gốm giữ vai trò bộ biến đổi, nó biến đổi một kích thích điện thành một song siêu âm ( các siêu âm được phát ra một kích thích các đoàn song nối tiếp nhau, có thời gian ngắn)

Bộ biến đổi cũng dung làm máy dò các tín hiệu dội (các song phản xạ trên các cơ quan khác)

Phương pháp này cũng cho phép đo lưu lượng máu nhờ hiệu ứng Doppler

Bộ biến đổi cố định phát ra một sóng siêu âm đơn sắc có tần số , nó phản xạ trên một vật di động mà vận tốc là

Trong một chu kỳ của sóng, khoảng cách mà vật đi được là rất nhỏ hơn khoảng cách d giữa nguồn và vật, và , vận tốc âm trong môi trường

1) Trong hệ quy chiếu gắn với vật, khoảng thời gian giựa các lần thu được

hai cực đại liên tiếp nhau của sóng, phụ thuộc thế nào vào và góc α giữa chùm do nguồn phát ra và vận tốc ?

2) Các hồng cầu trong động mạch có vận tốc khoảng Người ta dung một

Tìm hệ thức giữa và , tần số của sóng phản xạ mà bộ biến đổi thu được

4) Để phát hiện một số bất bình thường, người ta mong muốn đo được lưu

lượng máu chảy qua một động mạch Sự quan sát bằng âm hưởng kí với một chùm hội tụ, tạo thành góc α với động mạch, phát ra dưới dạng xung cho ta một tín hiệu là hàm của thời gian, vẽ trên sơ đồ dưới đây

a) Giải thích thế nào một mặt hai tín hiệu với biên độ lớn, và mặt khác tín

hiệu trung gian?

b) Những thông báo này có đủ để xác định lưu lượng máu không?

5) Trong trường hợp động mạch, và người ta chọn

Vận tốc trung bình của sự truyền âm trong các mô sinh học là

Người ta có thể chờ đợi một sự biến đổi về tần số như thế nào?

BÀI GIẢI :

1) Sóng mà nguồn âm S phát ra lúc được động tử thu lúc

Chu kỳ của sóng phát bởi nguồn âm S:

Sóng nguồn âm phát ra lúc được động tử thu lúc

Do đề bài ta đã giả sử khoảng cách mà vật đi được là rất nhỏ so với khoảng cách d giữa nguồn và động tử, hay cụ thể hơn là rất nhỏ so với , ta có và ta rút ra chu kỳ T của sóng trong hệ quy chiếu gắn với vật:

2) Với số liệu của đề bài, ta có:

Rất nhỏ so với khoảng cách từ nguồn âm S đến các hồng cầu d chỉ vàobậc nhỏ nhất là vài mm

3) Trong hệ quy chiếu gắn với vật, thì vật phản xạ một sóng có chu kỳ T về

phía bộ biến đổi đang chuyển động với vectơ vận tốc

Một phép tính tương tự như ở câu 1 dẽ dẫn đến chu kỳ của sóng mà bộ biến đổi nhận được từ động tử:

Từ đó ta có:

do hay nên ta có gần đúng:

và:

4)

a) Khi nguồn âm S phát sóng đi đến động mạch, đầu tiên sóng âm sẽ gặp

thành mạch thứ nhất, đến các hồng cầu rồi gặp thành mạch thứ hai ( đường đicủa sóng đến động mạch như trên hình vẽ )

Dựa vào đó, ta có thể giải thích được dạng tín hiệu của sóng thu được:

+ Mặt tín hiệu với biên độ lớn đầu tiên là do sóng âm đến gặp thành động mạch thứ nhất phản xạ lại nguồn

+ Mặt tín hiệu trung gian có biên độ nhỏ hơn là do các hồng cầu phản xạ lại.

+ Mặt tín hiệu với biên độ lớn thứ 2 là do sóng âm đến gặp thànhđộng mạch thứ 2 và phản xạ lại nguồn

b) Để đo được lưu lượng máu, ta sử dụng công thức: (*)

Vậy ta cần phải xác định được 2 thông số là : vận tốc của hồng cầu và D : đường kính của động mạch dựa vào tín hiệu sóng thu được

Phép đo hiệu tỉ số đối các tần số :

giữa tín hiệu phát ra và tín hiệu thu được có biên độ nhỏ cho phép tính vận tốc các hồng cầu

Phép đo hiệu thời gian giữa 2 gốc của 2 tín hiệu có biên độ lớn mà bộ biến đổi thu được cho phép xác định đường kính của động mạch:

Từ đó thế vào công thức (*), ta tìm được lưu lượng máu

5) Áp dụng số với , và , ta có thể chờ đợi một sự biến đổi tỉ đối về tần số vào

khoảng:

Bài tập 3

TRUYỀN SÓNG QUA VÁCH NGĂN

Một ống hình trụ rất dài,có trục (x’Ox) và tiết diện không đổi S,chứa không

khí trong điều kiện nhiệt độ và áp suất bình thường Trong những điều kiện

đó,vận tốc c của các sóng âm trong không khí và mật độ khối lượng ρ o của

không khí lần lượt là c = 340 m.s-1 và ρ o = 1,29 kg.m-3 Tại x = 0 có đặt một tấm rất mỏng (một cái màng, một tấm kính thủy tinh, một cái thành bêtông,

…) có mật độ khối lượng mặt đồng đều σ , có khả năng rung lên dưới tác

dụng của các sóng âm được tạo thành trong ống

Một SPC dạng sin, có tần số ω, lan truyền trong miền (1) theo chiều dương,

về phía cái vạch Khi tới vạch, nó tạo ra một sóng phản xạ trong miền (1) và sóng truyền qua trong miền (2) Dưới tác dụng của các sóng đó, cái vạch thu

được một chuyển động tịnh tuyến cưỡng bức dạng sin theo phương (x’,x), mà

ta đặt là ξ (0,t) = a o cos ωt.

1) Bằng cách viết các điều kiện truyền qua đối với sóng âm toàn thể tại x= 0 ,

hãy xác định các biên độ phức a t của sóng ξ t (0,t) truyền qua, a r của sóng ξ r

(0,t) phản xạ tại x = 0, tùy theo biên độ phức a i của sóng tới ξ i (0,t) tại x= 0, theo ω và theo các hằng số khác đã đưa vào ở trên.

2) Cái màng giữ vai trò một bộ lọc tần số Bản chất của bộ lọc đó là gì, và

mạch số cắt ω 0 của nó ở -3dB là bao nhiêu ?

Khảo sát các đặc điểm của các sóng có mặt khi ω nằm trong giải tần truyền qua, và ngược lại khi ω cách rất xa giải tần truyền qua.

3) Biểu đạt bước sóng cắt λ 0 , tùy theo ρ o , theo độ dày d và mật độ khối ρ d củavạch

Cái vạch bằng bêtông (ρ d = 2300 kg.m-3 ) Tính bề dày d để thu được một độ giảm 50dB ở 300Hz Rút ra các giá trị của tần số cắt f 0 và của λ 0

Các độ giảm ở 100Hz và 500Hz là bao nhiêu đêxiben ? Rút ra kết luận về độ giảm của âm giữa hai căn phòng liền kề, đối với một âm trầm hoặc một âm cao

Hãy chỉ rõ có thể sử dụng ở đây đến mức độ nào mô hình mật độ khối lượng mặt đối với cái vách

BÀI GIẢI :

1) Đối với sóng phẳng chạy dạng sin, áp suất dư p và vận tốc v (theo kí hiệu

phức) có mối quan hệ :

- p = ρ o cv đối với sóng tới theo chiều tăng của x

- p = -ρ o cv đối với sóng phản xạ ngược chiều tăng của x

(2)

Sóng truyền qua Sóng phản xạ

(1) Sóng tới

Xét điều kiện biên trên màng.Vì dưới tác dụng của các sóng tạo ra một

chuyển động cưỡng bức dạng sin ξ (0,t) nên khảo sát sự liên tục thành phần

vận tốc của sóng ở hai bên màng là bằng nhau :

Và phương trình cân bằng động học với màng :

(p1(0,t) , p2(0,t) lần lượt là áp suất 2 miền)

Khi ω >> ω0 , thì ar ≈ -a i nên sóng tới hầu như phản xạ hoàn toàn Sóng truyền qua có biên độ rất nhỏ, và trễ một phần tư chu kì so với sóng tới :

3) Với tần số cắt ω 0 = 2ρ o c/σ , ta có ω 0 = 2πf 0 = 2πc/λ 0 và σ = ρ d d

Thay các giá trị vào ta có

Gọi H = a t / a i là hàm truyền thì độ khuếch đại âm G = 20 log |H|, thay các

giá trị ω = 2πf , ω 0 = 2πf 0 và σ = ρ d d vào ta được

Để thu được độ giảm 50dB ở f = 300Hz thì G= -50, tính ra ta được d= 6,4cm Tần số cắt f 0 và λ 0 :

Đối với f = 100Hz thì G = -40dB và f = 500Hz thì G= -54dB.

Như vậy độ giảm âm giữa hai căn phòng gần kề là rất mạnh và hơi mạnh hơn đối với các âm cao.

Có thể sử dụng các kết quả đã tính ở trên vì bề dày d của cái vách là rất nhỏ

so với bước sóng của sóng âm trong bêtông

Bài tập 4

HẤP THỤ ÂM BẰNG SỰ DẪN NHIỆT

Trong phạm vi phép gần đúng âm học, sự lan truyền các sóng âm (sóng có áp

suất dư p ) trong lòng một chất lỏng bị chi phối bởi phương trình :

Đối với một sự biến thiên đẳng entropy, vận tốc âm c s được cho bởi :

Ở đây ta dự định đánh giá thừa số đứng trước những trao đổi năng lượng do truyền nhiệt

Ta nhắc lại rằng nếu δQ là lượng nhiệt cung cấp cho một đơn vị thể tích của chất lưu trong thời gian dt và K là độ dẫn nhiệt, thì định luật Fourier đối với

sự dẫn nhiệt dẫn đến :

Phương trình trạng thái của chất lưu được coi như phương trình trạng thái của

một chất khí lý tưởng có hệ số γ.

1) Sự trao đổi nhiệt được giả định là chuỗi tĩnh (giả thuyết cân bằng nhiệt

động lực học địa phương, cho phép xác định các tham số trạng thái của chất lưu ), hãy thành lập hệ thức

trong đó c v chỉ nhiệt dung đẳng tích

2) Ta giả định rằng sóng âm là một SPCĐS, và ta có thể viết theo cách kí

hiệu phức :

Hãy rút ra hệ thức :

3) Hãy thành lập hệ thức tán sắc k= k(ω) của các sóng ta đang xét Bằng

cách đặt k dưới dạng k=k 1 – jα , hãy cho biểu thức của α trong giới hạn

k 1 >>α, Wk 1 α<<c v và Wk 1 2 <<c v

Cho biết : đối với không khí, ở điều kiện bình thường :

P 0 =105Pa ; c v = 717 J.kg-1.K-1 ;

K = 0,026 W.m-1.K-1

Hãy biện minh cho các phép gần đúng đã thực hiện và bình luận các kết quả

thu được đối với các tần số f 1 = 100Hz (âm trầm) và f 2 = 40000Hz (siêu âm).

BÀI GIẢI :

1) Ta có nhiệt dung riêng đẳng tích c v có dạng :

Áp dụng nguyên lý thứ nhất nhiệt động lực học cho một hạt chất lưu (khí lý tưởng) có khối lượng đơn vị, ở trạng thái nghỉ :

Do đó trong một đơn vị thời gian, với

Ta được :

2) Phương trình trạng thái khí lý tưởng : PV = nRT

mà n = m/M và ρ = m/V nên ta có :

Đạo hàm hai vế ta được :

Trong phạm vi gần đúng của âm học ( |p 0 | << P 0 , |θ 0 | << T 0 và |μ 0 | << ρ 0 ) và

Đối với khí lý tưởng :

Chất lưu ở trạng thái cân bằng P 0 = ρ 0 RT 0 /M (5).

Kết hợp (2),(3),(4),(5) rút ra được :

3) SPCĐS nghiệm đúng phương trình lan truyền :

k và ω gắn với nhau bằng hệ thức tán sắc : k 2 = ω 2 / c s 2 , ta rút ra được:

Khi đặt k = k 1 – jα :

Khi đó sóng giảm dần trong quá trình truyền vì biên độ giảm dần đến 0

• Khi không có truyền nhiệt thì W = 0 Ta thấy một sự lan truyền không giảm dần : α = 0 và vận tốc truyền âm

• Khi truyền nhiệt là nhỏ, Wk 1 α<<c v và Wk 1 2 <<c v , vậy k 1 >>α, ta được

Do đó

Áp dụng bằng số với c s = 346 m.s-1

• Nếu f 1 = 100Hz thì k 1 = 1,82 m-1 và α = 4,22.10-8 m-1

• Nếu f 2 = 40000Hz thì k 2 = 726,4 m-2 và α = 6,75.10-3 m-1

Ta thấy rằng ở 100Hz hiện tượng dẫn nhiệt có thể bỏ qua được α ≈ 0, nhưng không còn đúng ở tần số siêu âm 40000Hz vì sao một quãng đường x = 10m, biên độ sóng sẽ giảm e -αx = 0,93 lần

Bài tập 5

SỬ DỤNG GLIXÊRIN CHO SIÊU ÂM TRUYỀN QUA

Một sóng siêu âm phẳng lan truyền trong một mẫu nhôm dọc theo trục (Ox).

Người ta muốn khảo sát sóng đó bằng một bộ đồ dò (miếng gốm áp điện nốivới một tăng âm) đặt sát vào mẫu Mặc dù tiếp xúc là tốt, vẫn còn một lớpkhông khí

1) Giả thử các môi trường không hấp thụ, hãy xác định cường độ âm d

1 2

41

2) Tính tỉ số: 0

d

I I

3) Để giới hạn sự mất mát cường độ, người ta đặt giữa miếng nhôm và bộ dò

một lớp glixêrin để đảm bảo một sự tiếp xúc tốt Hãy xác định giá trị mới I’ d

của cường độ âm trong bộ dò, tùy theo r n , r g , r d , và I 0

4) Hãy tính giá trị mới của tỉ số 0

'd

I I

1) Gọi R và T là các hệ số phản xạ và truyền qua về năng lượng ứng với giao

diện nhôm - không khí, và gọi R’ và T’ là các hệ số ứng với giao diện khôngkhí - bộ dò:

=+

r r T

=+

(2)

Ta có sơ đồ sau:

Sóng âm truyền qua 3 môi trường đồng chất lần lượt là nhôm, không khí và

bộ dò Do ba môi trường là khác nhau nên sóng âm truyền qua hay phản xạgiữa các lớp tiếp xúc là khác pha Hơn nữa vì có những thăng giáng độ dàycủa lớp không khí, các sóng truyền trong bộ dò có các pha ngẫu nhiên cái nọ

đối với cái kia Suy ra các sóng âm có cường độ tương ứng I 1 , I 2 , I 3, … làkhác pha nhau tại mọi thời điểm và là những sóng không kết hợp, không giao

thoa Cường độ tổng hợp khi đó bằng tổng các cường độ I n của mỗi sóng

1'

n g d d

r r r I

Thay các giá trị tương ứng suy ra: 0

'0.2

d

I

Kết luận: ta nhận thấy rõ ràng I’ d >> I d và glixêrin cho phép nâng cao rõ rệt

sự truyền qua của các sóng âm trong bộ dò Cũng chính vì lí do đó mà khi

làm một khảo sát bằng tín hiệu dội, người thầy thuốc phết lên lớp da bệnhnhân một lớp gel trước khi đặt bộ biến đổi áp điện.

Bài tập 6

CÁI CỘNG HƯỞNG HELMHOLTZ

Cái cộng hưởng là một cái hốc, khi được kích thích bởi âm của một nhạc cụ,

nó cho phép tăng cường một trong những họa ba tạo thành âm đó

Cái cộng hưởng HELMHOLTZ gồm một cái hốc hình cầu, thể tích V 0, thông

ra ngoài bằng một ống rất ngắn, độ dài d, tiết diện s, chứa không khí (có thể

coi như chất khí lí tưởng) có mật độ khối lượng ρ0

, có áp suất khí quyển P 0

Thể tích V 0 được giả định là rất lớn so với thể tích của ống

Một sóng âm lan truyền gần lỗ hở làm không khí trong hốc dao động, bằng

0 ( )

.Dao động của không khí trong cái hốc được giả định là đoạn nhiệt vàthuận nghịch Người ta cho

p v

c c

γ =

1) Viết phương trình vi phân mà áp suất dư y(t) nghiệm đúng.