Tìm tập hợp điểm trong chương trình THCS

Tìm, tập hợp ,điểm, chương trình THCS

§inh V¨n Tíc TrêngTHCS Gia Phong - Gia ViÔn - Ninh B×nh 1

Mục lục

Mục lục

A Lời nói đầu

B Nội dung

Phần I Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm

1 Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích)

2 Phơng pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm

3 Phơng pháp giới hạn tập hợp điểm

4 Một vài phơng pháp khác giải bài toán quỹ tích

Phần II Các tập hợp điểm cơ bản

I Tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần đờng thẳng

1.Tập hợp điểm là đờng trung trực hoặc một phần đờng trung trực

2 Tập hợp điểm là tia phân giác

3 Tập hợp điểm là hai đờng thẳng song song

4 Tập hợp điểm là một đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc

5 Tập hợp điểm là đờng thẳng hợp với đờng thẳng cố định một góc không đổi

II Tập hợp điểm là đờng tròn hoặc một phần của đờng tròn

1 Tập hợp điểm là đờng tròn

2 Tập hợp điểm là cung tròn

Phần III ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán

Phần iv Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm

I Các bài toán tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần của đoạn thẳng Ii Các bài toán tập hợp điểm là đờng tròn hoặc một phần của đờng tròn C Thực nghiệm

Phần IV Kết luận

Phần V Phụ lục

trang 2 trang 3 trang 5 trang 5 trang 5 trang 5 trang 6 trang 6 trang 8 trang 8 trang 8 trang 11 trang 15 trang 17

trang 20 trang 22 trang 22 trang 27 trang 32 trang 34 trang 34 trang 38 trang 42 trang 60 trang 61

A Lời nói đầu

Môn toán là môn học có tính thực tế rất cao Nó ảnh hởng lớn đến đời sống con ngời, ảnh hởng đến các môn khoa học khác Một nhà t tởng Anh đã nói: “Ai không hiểu biết Toán học thì không thể hiểu biết bất cứ khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình” Vì thế dạy học môn toán luôn đợc mọi ngành giáo dục và mọi quốc gia coi trọng Nhất là trong thời

đại ngày nay

Trong dạy và học toán ở cấp học THCS có lẽ dạy và học môn hình học là

khó hơn cả Đa phần học sinh khi đợc hỏi: Em có thích học môn hình học “

không? Vì sao? ,” đều trả lời: em không thích, vì môn này khó hiểu, khó học“ ”

Đặc biệt khi đứng trớc yêu cầu giải bài toán về tìm tập hợp điểm (quỹ tích) thì nhiều học sinh có tâm trạng lo sợ, ngại vì khó Khái niệm quỹ tích của hình học phẳng là cơ sở quan trọng của toán cao cấp nhng đối với học sinh THCS khái niệm này trừu tợng, số lợng sách nói về quỹ tích không nhiều, không đủ cho học sinh hiểu, nếu có cũng chỉ là giới thiệu vì cho rằng đây là vấn đề dành cho học sinh khá

và giỏi Hơn nữa, nếu nh ở bài toán chứng minh hình học thông thờng đề bài đã cho biết kết luận rồi, chẳng hạn nh bài toán yêu cầu chứng minh : tứ giác nội tiếp, hai đờng thẳng song song, hai góc bằng nhau vì thế học sinh đã biết đợc cái

đích cần đạt đợc, chỉ cần tìm con đờng đi tới đích là đợc Trái lại, ở bài toán tìm tập hợp điểm học sinh nh ngời đi trong bóng tối, mù mịt, băn khoăn, cha biết tập hợp điểm cần tìm là gì, nên hớng về đâu, đi theo con đờng nào và đi đến kết luận nào mới đúng

Tuy nhiên, bài toán về tập hợp điểm (quỹ tích) góp phần không nhỏ vào việc phát triển t duy logic, rèn óc sáng tạo, hình thành và phát triển nhân cách cho học sinh, rèn luyện cho học sinh khả năng phán đoán chính xác, khả năng phân tích, tổng hợp góp phần tích cực vào việc thực hiện mục tiêu mà ngành giáo dục

đặt ra cho môn toán và mục tiêu chung của giáo dục Vì thế tập hợp điểm là vấn đề thờng gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 ở cấp huyện, thành phố và quốc gia, thi tuyển vào lớp 10 ở các trờng chuyên, trờng năng khiếu

Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 3

Chính vì những lẽ đó mà tôi chọn chủ đề: “ Tìm tập hợp điểm trong ch

-ơng trình THCS ” Đề tài gồm các nội dung chính sau:

Phần I Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm Phần II Các tập hợp điểm cơ bản

Phần III ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán Phần iv Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm Phần IV Kết luận

Đề tài đợc viết dựa trên những kết quả học tập, những kinh nghiệm thực tế dạy học của bản thân có sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp trong và ngoài trờng, tuy nhiên không tránh khỏi sai sót của ngời viết Dẫu vậy, tôi hy vọng các quan điểm đợc nêu ra trong đề tài góp phần thuận lợi cho việc dạy và học toán

đồng thời đáp ứng phần nào nguyện vọng của một số thày cô và học sinh, phụ huynh yêu thích môn toán và nhằm góp phần nhỏ bé giúp thày và trò hoàn thành mục tiêu mà ngành giáo dục đề ra

B Nội dung

Phần I Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm

1 Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích)

Một hình H đợc gọi là tập hợp điểm của những điểm M thoả mãn tính chất

T khi nó chứa và chỉ chứa tính chất T

2 Phơng pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm

Để tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tính chất T, ta làm nh sau:

 Phơng pháp 2: Phơng pháp vị trí giới hạn

Trong bài toán nếu có điểm chuyển động, chẳng hạn nh điểm A chuyển

động, kéo theo sự chuyển động của điểm M cần tìm tập hợp điểm Từ các vị trí giới hạn của điểm A ta tìm ra vị trí tơng ứng của M trên hình H

Sau khi đã xác định đợc, tập hợp điểm M thuộc hình H là tập hợp điểm cơ bản

4 Một vài phơng pháp khác giải bài toán quỹ tích

Một bài toán tập hợp điểm còn có thể tìm đợc lời giải bằng các phơng pháp khác Chẳng hạn:

1- Phơng pháp chứng minh mệnh đề đảo và mệnh đề phản đảo:

+ Bớc 1:

Chọn hệ trục toạ độ vuông góc Oxy Gọi M (x;y) là điểm thuộc tập hợp

điểm cần tìm Tìm mối liên hệ giữa x và y, hệ thức này chính là phơng trình chứa tập hợp điểm M cần tìm

Nếu hệ thức có dạng y= ax + b hoặc: x = a và y∈ R ( a, b là hằng số) hoặc những hệ thức tơng tự thì M thuộc đờng thẳng Trái lại, thì M có thể thuộc đờng cong

Tuy nhiên phơng pháp chủ yếu đối với chơng trình THCS thì vẫn là phơng pháp đã trình bày ở trên

Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 7

Phần II Các tập hợp điểm cơ bản I/ Tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần đờng thẳng

1.Tập hợp điểm là đờng trung trực hoặc một phần đờng trung trực

a Tóm tắt lí thuyết:

Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt

A, B cố định là đờng trung trực d của đoạn thẳng AB

Dựng đờng thẳng d đi qua tâm O của

hình vuông và d // AB, DC Khi đó d là đờng

trung trực của AD và của BC

Ta thấy, với mọi điểm M không thuộc

đờng thẳng d thì ta có: MA + MB ≠ MC + MD:

 MA +MB > MC +MD khi điểm M nằm khác phía với điểm A so với

đờng thẳng d ;

 MA +MB < MC +MD khi điểm M nằm cùng phía với điểm A so với

đờng thẳng d Vậy M thuộc đờng trung trực d của AD và BC

b Giới hạn:

Mọi điểm M thuộc d đều có MA = MD; MB = MC

⇒ MA +MB = MC +MD Vậy M thuộc đờng thẳng d

CD

M

d Kết luận

Tập hợp điểm M cần tìm là đờng trung trực của AD và BC

Bài toán 2:

Cho góc xOy = 900 Một điểm B cố định trên tia

Oy và một điểm A di động trên tia Ox Tìm tập hợp trung điểm M của AB ( Bài tập 6 trang 82 SGKHH7-NXBGD-1996)

Khi A ≡ O, thì M ≡ M’ ( M’ là trung điểm của OB )

Khi điểm A chạy trên tia Ox ra xa O vô tận thì M chạy ra xa M’ vô tận trên tia M’z

Vậy M thuộc tia M’z,với tia M’z thuộc đờng thẳng trung trực của đoạn thẳng OB và thuộc miền trong góc xOy

c Phần đảo

Lấy điểm M bất kì thuộc tia M’z, kẻ BM’ cắt tia Ox tại A M thuộc trung trực của đoạn thẳng OB ⇒ MO = MB ⇒∠MOB = ∠ MBO (1) (góc MOB bằng góc MBO)

Mặt khác ∆ OAB có ∠ AOB = 900 nên ∠ MBO + ∠ MAO = 900 (2) và ∠ BOM +

∠ MOA = 900 (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒∠ MAO = ∠ MOA ⇒ MO = MA

Vậy ta có: MO = MB, MO = MA ⇒ MA = MB

Do đó M là trung điểm của AB

Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 9

d Kết luận:

Tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB là tia M’z thuộc đờng thẳng trung trực của đoạn thẳng OB và thuộc miền trong góc xOy

Bài toán 3:

Cho góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó Gọi B là điểm

di động trên tia Ox, C là điểm di động trên tia Oy, sao cho ∆ ABC vuông tại A Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC, tìm tập hợp điểm M ( Dựa theo bài tập

48 Tr118- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8- NXBGD- Bùi Văn Tuyên)

( M1 là giao điểm của đờng trung trực OA với tia Oy)

Khi C ≡ O thì M ≡ M2 ( M2 là giao điểm của đờng trung trực OA với tia Ox)Vậy M thuộc đoạn thẳng M1M2 của đờng trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm trong góc xOy

C

M1

M2

Vẽ đờng tròn (M, MO) đờng tròn này qua A và cắt Ox tại B, cắt Oy tại C Vì

∠ BOC = 900 ⇒ BC là đờng kính của đờng tròn (M, MO) ⇒ M là trung điểm của BC

d Kết luận:

Tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng BC là đoạn thẳng M1M2 thuộc ờng trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm trong góc vuông xOy ( với M1, M2 là giao điểm của đờng trung trực của đoạn thẳng OA với tia Ox và tia Oy)

đ-2 Tập hợp điểm là tia phân giác

Tập hợp các điểm M cách đều hai đờng thẳng

cắt nhau xOx và yOy là bốn tia phân giác’ ’

của bốn góc tạo thành, bốn tia này tạo thành

hai đờng thẳng vuông góc với nhau tại

giao điểm O của hai đờng thẳng đó.

b Các bài toán:

Bài toán 1:

Cho một góc vuông xOy, trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển

động trên tia Oy Tìm tập hợp các điểm C sao cho ∆ ABC vuông cân tại C

Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 11

zy

xO

Hớng dẫn giải:

a.Phần thuận:

Vẽ CH ⊥ Ox ( H ∈Ox), CK ⊥ Oy ( K ∈ Oy)

Xét ∆ CAH ( ∠ H = 900), và ∆ CBK ( ∠ K = 900 )

Có: CA = BC ( ∆ ABC vuông cân tại C)

∠ CAH = ∠ CBK ( hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc)

Do đó ∆ CAH = ∆ CBK( cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ CH = CK; ∠ xOy cố định, do đó C thuộc tia phân giác Oz của góc vuông xOy

b Giới hạn:

Khi B ≡ O thì C ≡ C’; C’ là phân giác Oz và ∆ C’OA vuông cân tại C’

Khi B chạy xa O vô tận trên tia Oy thì C chạy xa O vô tận trên tia Oz

Vậy C chuyển động trên tia C’z của tia phân giác Oz của góc xOy

c Phần đảo:

Lấy điểm C bất kỳ thuộc tia C’z Vẽ đờng thẳng vuông góc CA tại C cắt tia

Oy tại B Vẽ CH ⊥ Ox ( H ∈ Ox); CK ⊥ Oy (K ∈ Oy), ta có CH = CK,

∠ KHC =900 Xét ∆ CAH và ∆ CBK có: ∠ CHA = ∠ BKC ( = 900 ); CH = CK ; ∠ ACH= ∠ BCK ( hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc), do đó ∆ CAH = ∆CBH (góc- cạnh – góc) ⇒ CA = CB

∆ ABC vuông tại C, có CA = CB ⇒∆ ABC vuông cân tại C

x

C

HA

C’

⇒ O thuộc hai đờng thẳng cắt nhau

zAz’ và tAt’, là bốn tia phân giác

của bốn góc tạo thành bởi hai đờng

thẳng xAx’ và yAy’

b Giới hạn:

O là điểm tuỳ ý trên hai đờng thẳng zAz’

và tAt’ đều vẽ đợc đờng tròn (O) tiếp xúc

với hai đờng thẳng xAx’ và yAy’

c Phần đảo:

Lấy O bất kỳ thuộc đờng thẳng zAz’, kẻ OB ⊥ xx’ ; OC ⊥ yy’

Ta có: OB = OC ⇒ đờng tròn (O, OB) tiếp xúp với hai đờng thẳng xAx’ và yAy’.Chứng minh tơng tự khi lấy O bất kì thuộc đờng thẳng tAt’

d Kết luận:

Tập hợp các tâm O của các đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại A là hai đờng thẳng zAz’ và tAt’ chứa bốn tia phân giác của bốn góc tạo thành bởi hai đờng thẳng xAx’ và yAy’

Tìm tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy sao cho tỉ số diện tích giữa tam giác

MOA và tam giác MOB là

y’

t

t’z

z’

BC

JA

B

Theo gi¶ thiÕt OB OA = 12 ⇒ S∆ MOA / S∆ MOB =12 MJ MI

⇒ MJ MI = 1 ⇒ MJ = MJ ⇒ M thuéc tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy

LÊy ®iÓm M bÊt kú thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy M kh¸c O; trªn Ox lÊy

®iÓm A; trªn tia Oy lÊy ®iÓm B sao cho OB = 2OA; kÎ MI ⊥ Oy; MJ ⊥ Ox (J∈Ox; I∈ Oy)

DiÖn tÝch ∆ MOA: S∆ MOA= 12 MJ OA

DiÖn tÝch ∆ MOB: S∆ MOB = 21 MI OB

Suy ra:

S∆ MOA = 12 MJ OA = MJ OA

Tập hợp điểm M cần tìm là tia phân giác Oz của góc xOy, loại trừ điểm

3 Tập hợp điểm là hai đờng thẳng song song

Vì DE // AB; DF // AC ⇒ tứ giác AEDF là

hình bình hành suy ra trung điểm O của

đờng chéo EF cũng là trung điểm của

đờng chéo AD

Vẽ đờng cao AH, vẽ OK ⊥ BC (K ∈ BC)

Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 15

a

M

Md

B

KH

F

CD

a

Vì OK // AH, O là trung điểm của AD nên OK là đờng trung bình của ∆ ADH ⇒

Cho đờng thẳng a Tìm tập hợp tâm của các đờng tròn có bán kính R

(R > 0) tiếp xúc với đờng thẳng a

Hớng dẫn giải

a Phần thuận:

Gọi O là tâm đờng tròn bán kính R

tiếp xúc với đờng thẳng a, ta có

khoảng cách từ O đến đờng thẳng a luôn bằng R

O

yH

xa

Do đó, O thuộc đờng thẳng x và đờng thẳng y sông song với đờng thẳng a và cách đờng thẳng a một khoảng bằng R.

b Giới hạn:

O là điểm tuỳ ý trên hai đờng thẳng x hoặc y đều vẽ đợc đờng tròn (O,R) tiếp xúc với đờng thẳng a

c Phần đảo:

Lấy điểm O bất kỳ thuộc đờng thẳng x hoặc đờng thẳng y

Vẽ OH ⊥ a (H ∈ a), ta có OH = R Vẽ đờng tròn (O; OH)

Vì OH = R nên đờng tròn (O; OH) tiếp xúc với đờng thẳng a

hai đờng thẳng song song

cho trớc là một đờng thẳng song song và nằm cách đều hai đờng thẳng đã cho

dd’

Kẻ OA ⊥ d ( A ∈ d); OB ⊥ d’ ( B ∈ d’)

Ta có: d // d’ ( gt), OA ⊥ d ⇒ OA ⊥ d’

OA ⊥ d’, OB ⊥ d’ ⇒ A, O, B thẳng hàng

⇒ OA = OB = R ⇒ OA = OB = R = 12 AB= 21 h

⇒ O cách đều hai đờng thẳng d và d’

⇒ O thuộc đờng thẳng a nằm giữa hai đờng thẳng d và d’

cách mỗi đờng thẳng đó một khoảng

Lấy O bất kì thuộc đờng thẳng a, kẻ OA ⊥ d; OB ⊥ d’ ( A ∈ d; B ∈ d’)

Khi đó ta có: OA = OB = 21 h Vẽ (O; 21 h) ⇒ A ∈ (O; 21 h); B ∈ (O; 21 h)

⇒ (O; 21 h) tiếp xúc với đờng thẳng d và d’.Vậy O thuộc đờng thẳng a

Kẻ OM ⊥ AB, khi đó M là hình chiếu của điểm O

trên AB, và MA = MB ( đờng kính và dây cung)

AH và M luôn nằm cùng phía với A so với đờng thẳng d Vậy điểm M

thuộc đờng thẳng ∆ // d cách đờng thẳng d một khoảng 12 AH, đi qua trung điểm của AH

Vì đờng thẳng ∆ // d và đi qua trung điểm của AH ⇒ M là trung điểm của

AB Mà OM ⊥ AB ⇒ OM là đờng trung trực của đoạn thẳng AB

⇒ OA=OB Vẽ đờng tròn tâm O bán kính OA, khi đó B ∈ (O; OA) Vì OB ⊥ d,

B ∈ d, B ∈ (O; OA) ⇒ (O; OA) tiếp xúc với đờng thẳng d

d Kết luận: Tập hợp hình chiếu tâm O của đờng tròn đi qua điểm A và tiếp xúc

với đờng thẳng d cố định là đờng thẳng ∆ // d nằm cùng một nửa mặt phẳng với

điểm A bờ là đờng thẳng d, cách đờng thẳng a một khoảng bằng nửa khoảng cách

Cho góc xOy = 900 cố định, điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy, vẽ ∆ ABC đều ( C và O khác phía đối với AB) Tìm tập hợp trung điểm

⇒ tứ giác OBMA nội tiếp đợc trong một đờng tròn

⇒∠ AOM = ∠ ABM, mà ∠ AOM = 600

Mặt khác, do OA cố định, nên M thuộc đờng thẳng

hợp với Ox một góc bằng 600

b Giới hạn:

Khi B ≡ O thì C≡ D, nên M ≡ E ( E là trung điểm của OD)

Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì C chạy xa vô tận trên tia Dz nên M chạy xa vô tận trên tia ED

Vậy M chuyển động trên tia ED

y

x

z

CM

D

O

E

AB

Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì C chạy xa vô tận trên tia Dz Vậy C chuyển

động trên tia Dz vuông góc với đờng thẳng AD

+ ∠ OAB = ∠ DAC ( ∠ OAB + ∠ BAD = ∠ DAC + ∠ BAD = 600)

Do đó ∆ OAB = ∆ DAC ( g.c.g) ⇒ AB = AC ⇒∆ ABC cân tại A, mà ∠BAC=600

B

Tập hợp các điểm C là tia Dz của đờng thẳng vuông góc với AD.

II/ Tập hợp điểm là đờng tròn hoặc một phần của đờng tròn

Giả sử x và y là hai đờng thẳng vuông góc

với nhau tại O, hai điểm A, B lần lợt nằm trên x, y

Do ∆AOB vuông tại O, OM là đờng trung tuyến

M

Lấy điểm M tuỳ ý trên đờng tròn (O;

∆ MOA cân tại M ⇒∠ MOA = ∠ MAO (1)

∆ AOB có ∠ AOB = 900⇒∠ OBA + ∠ OAB = 900 (2)

Khi C chuyển động trên (O;R),

D chuyển động trên đờng tròn (A; 2R)

Lấy D bất kỳ thuộc đờng tròn (A; 2R), ta có

AD = 2R, BD cắt (O;R) tại C Ta có AD = AB =2R

⇒∆ ABD cân tại A

Mặt khác ∠ ACB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn )

∆ ABD cân tại A, AC ⊥ BD ⇒ AC là trung tuyến của ∆ ABD Vậy C là trung

điểm của BD

d Kết luận:

Tập hợp các điểm D cần tìm là đờng tròn (A; 2R)

2- Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dới góc 90 0 là đờng tròn đờng kính AB.

đờng tròn tâm O), vì thế ∆ OEF = ∆ CDO ( c g c)

⇒∠ OEF = ∠ ODC = 900 Điểm E luôn nhìn OF

dới một góc không đổi 900 nên E thuộc đờng tròn đờng kính OF

b Giới hạn:

Vì điểm C chuyển động trên nửa đờng tròn đờng kính AB nên khi C ≡ A hoặc C≡ B thì D trùng với A hoặc B lúc đó điểm E trùng với O, còn khi C trùng với F thì D trùng với O, lúc đó E ≡ F Vậy E chạy trên cả đờng tròn đờng kính OF

c Phần đảo:

CA