Giải bài toán ngược 3D xác định sự phân bố mật độ của đá móng theo tài liệu dị thường trọng lực

MỞ ĐẦU Chương 1 – CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƯỜNG TRỌNG LỰC ĐỐI VỚI CÁC VẬT THỂ CÓ DẠNG HÌNH HỌC ĐỀU ĐẶN 1.1.. MỞ ĐẦU Trước đây, khi nghiên cứu cấu trúc địa chất các nhà địa vật lý c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN KIM DŨNG

GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC 3D XÁC ĐỊNH SỰ PHÂN BỐ MẬT ĐỘ CỦA

ĐÁ MÓNG THEO TÀI LIỆU DỊ THƯỜNG TRỌNG LỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN KIM DŨNG

GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC 3D XÁC ĐỊNH SỰ PHÂN BỐ MẬT ĐỘ CỦA

ĐÁ MÓNG THEO TÀI LIỆU DỊ THƯỜNG TRỌNG LỰC

Chuyên ngành: Vật lý địa cầu

Mã số: 60.44.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đỗ Đức Thanh

Hà Nội - 2012

MỞ ĐẦU

Chương 1 – CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƯỜNG TRỌNG LỰC ĐỐI VỚI CÁC VẬT THỂ CÓ DẠNG HÌNH HỌC ĐỀU ĐẶN

1.1 Những khái niệm cơ bản 2

1.2 Các biểu thức tích phân tổng quát về đạo hàm của thế trọng lực 3

1.3 Bài toán thuận cho những vật thể có dạng hình học 6

1.3.1 Hình cẩu hoặc điểm vật chất 6

1.3.2 Thanh vật chất nằm ngang, hình trụ tròn nằm ngang 8

1.3.3 Nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang 9

1.3.4 Hình hộp vuông góc 11

1.3.5 Lăng trụ thẳng đứng 12

1.3.6 Bậc thẳng đứng 12

1.3.7 Bậc nghiêng 15

Chương 2 - PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƯỜNG TRỌNG LỰC CỦA CÁC RANH GIỚI 2D VÀ 3D 2.1 Phương pháp xác định dị thường trọng lực của ranh giới trầm tích 2D trong miền không gian 18

2.1.1 Xác định dị thường trọng lực của ranh giới trầm tích trên cơ sở phân chia nó thành các đa giác có tiết diện ngang bất kỳ 18

2.1.2 Trường hợp mật độ dư thay đổi tuyến tính theo độ sâu 19

2.1.3 Trường hợp mật độ dư thay đổi theo quy luật hàm mũ theo chiều Sâu 20

2.1.4 Mật độ dư thay đổi theo dạng hàm hypepol 21

2.1.5 Mật độ dư thay đổi theo dạng hàm parabolic 23

2.1.6 Xác định dị thường trọng lực của ranh giới trầm tích trên cơ sở phân 24

2.2 Phương pháp xác định dị thường trọng lực của ranh giới trầm tích 3D trong miền không gian 25

2.2.1 Cơ sở lý thuyết 26

2.2.2 Xây dựng chương trình giải bài toán ngược 3D và tính toán thử nghiệm trên mô hình 29

2.3 Các phương pháp xác định độ sâu của bể trầm tích 3D trong miền tần số 31

2.3.1 Nâng cao độ chính xác của việc tính dị thường trọng lực trong miền tần số số bằng phương pháp "trượt mẫu" (Shift-sampling) 32

2.3.2 Xác định dị thường trọng lực của ranh giới 3D trọng lực trong miền tần số 33

2.3.3 Xây dựng chương trình giải bài toán ngược và tính toán

thử nghiệm trên các mô hình 36

Chương 3 - MÔ HÌNH HÓA VIỆC GIẢI BẢI TOÁN NGƯỢC XÁC ĐỊNH SỰ PHÂN BỐ MẬT ĐỘ MÓNG KẾT TINH 3.1 Các phương pháp giải bài toán ngược 38

3.1.1 Xác định sự phân bố mật độ đá móng theo phương pháp lựa chọn 38

3.1.2 Xác định sự phân bố mật độ đá móng theo phương pháp trực tiếp 41

3.2 Thuật toán và sơ đồ khối 42

3.2.1 Thuật toán 42

3.2.2 Sơ đồ khối 43

3.3 Tính toán thử nghiệm trên mô hình 44

3.3.1 Mô hình 1 45

3.3.2 Mô hình 2 50

3.3.3 Mô hình 3 54

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

Danh mục các hình vẽ

Hình 1.1 Xác định thế các đạo hàm của một chất điểm 4

Hình 1.2 Xác định thế và đạo hàm của các vật thể hai chiều 6

Hình 1.3 Xác định thế và các đạo hàm của vật thể hình cầu 7

Hình 1.4 Trường trọng lực của hình cầu 8

Hình 1.5 Tường trọng lực của hình trụ tròn nằm ngang 9

Hình 1.6 Xác định thế và các đạo hàm của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang 10

Hình 1.7 Trường trọng lực của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang 11

Hình 1.8 Bậc thẳng đứng 13

Hình 1.9 Trường trọng lực trên bậc thẳng đứng 15

Hình 1.10 Bậc nghiêng 15

Hình 2.1 Vật thể hai chiều có tiết diện ngang bất kỳ 18

Hình 2.2 Xấp xỉ vật thể có tiết diện ngang 20

Hình 2.3 Việc phân chia mỗi cạnh đa giác 20

Hình 2.4 Ranh giới phân chia mật độ và xấp xỉ nó bằng các lăng trụ 24

Hình 2.5 Mô hình lăng trụ 3 chiều 26

Hình 2.6 Mô hình khối đa diện 28

Hình 2.7 Kết quả xác định độ sâu bể trầm tích trong miền không gian 31

Hình 2.8 Kết quả xác định độ sâu bể trầm tích trong miền tần số 37

Hình 3.1 Sơ đồ khối giải bài toán ngược 3D xác định sự phân bố mật độ của đá móng 43

Hình 3.2 Mô hình sự phân bố mật độ dư trong đá móng 45

Hình 3.3 Địa hình các ranh giới và các thành phần trường tương ứng 46

Hình 3.4 Trường quan sát 46

Hình 3.5 Tương quan giữa trường phông bậc 3 và các mức nâng trường 47

Hình 3.6 Trường phông khu vực 47

Hình 3.7 Trường móng dư 47

Hình 3.8 Trường móng dư ở lần lặp cuối 48

Hình 3.9 Sai số giữa trường móng dư và trường móng dư ở lần lặp cuối 48

Hình 3.10 Tốc độ hội tụ 48

Hình 3.11 Kết quả tính toán sự phân bố mật độ dư trong đá móng 49

Hình 3.12 Sai số giữa sự phân bố mật độ theo mô hình và tính toán 49

Hình 3.13 Địa hình các ranh giới và các thành phần trường tương ứng 50

Hình 3.14 Trường quan sát 50

Hình 3.15 Tương quan giữa trường phông bậc 3 và các mức nâng trường 51

Hình 3.16 Trường phông khu vực 51

Hình 3.17 Trường móng dư 51

Hình 3.18 Trường móng dư ở lần lặp cuối 52

Hình 3.19 Sai số giữa trường móng dư và trường móng dư ở lần lặp cuối 52

Hình 3.20 Tốc độ hội tụ 52

Hình 3.21 Kết quả tính toán sự phân bố mật độ dư trong đá móng 53

Hình 3.22 Sai số giữa sự phân bố mật độ theo mô hình và tính toán 53

Hình 3.23 Địa hình các ranh giới và các thành phần trường tương ứng 54

Hình 3.24 Trường quan sát 54

Hình 3.25 Tương quan giữa trường phông bậc 3 và các mức nâng trường 55

Hình 3.26 Trường phông khu vực 55

Hình 3.27 Trường móng dư 55

Hình 3.28 Trường móng dư ở lần lặp cuối 56

Hình 3.29 Sai số giữa trường móng dư và trường móng dư ở lần lặp cuối 56 Hình 3.30 Tốc độ hội tụ 56

Hình 3.31 Kết quả tính toán sự phân bố mật độ dư trong đá móng 57

Hình 3.32 Sai số giữa sự phân bố mật độ theo mô hình và tính toán 57

MỞ ĐẦU

Trước đây, khi nghiên cứu cấu trúc địa chất các nhà địa vật lý chủ yếu tập trung nghiên cứu trong việc xác định độ sâu, hình dạng của các mặt ranh giới như: Moho, conrat, đáy trầm tích Kainozoi với giả thiết sự phân bố mật độ trong trầm tích và mật độ đá móng là không đổi Trong những năm gần đây, với việc tìm thấy dầu trong đá móng, việc nghiên cứu sự bất đồng nhất của mật độ cũng như sự phân

bố mật độ của đá móng đã hấp dẫn sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu địa vật lý trong nước Tuy nhiên, cho tới nay, sự phân bố mật độ của đá móng mới chỉ dừng lại trong việc phân tích định tính hoặc cũng chỉ được xác định bằng phương pháp tương quan nên độ chính xác vẫn còn nhiều hạn chế Để góp phần vào việc nghiên cứu này, trong phạm vi của bản luận văn, chúng tôi tiến hành nghiên cứu kết hợp tổ hợp phương pháp bóc lớp dị thường với việc giải bài toán ngược 3D theo phương pháp bình phương tối thiểu Marquart, xây dựng thuật toán và chương trình máy tính xác định sự phân bố mật độ trong đá móng theo tài liệu dị thường trọng lực Thuật toán và chương trình xây dựng được tính toán thử nghiệm trên các mô hình 3D nhằm nghiên cứu khả năng áp dụng của phương pháp

Khóa luận này được chia làm ba chương sau:

- Chương 1: Các phương pháp xác định dị thường trọng lực đối với các vật thể có dạng hình học đều đặn

- Chương 2: Phương pháp xác định dị thường trọng lực của các ranh giới 2D

và 3D

- Chương 3: Mô hình hóa việc giải bài toán ngược xác định sự phân bố mật

độ móng kết tinh

Chương 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƯỜNG TRỌNG LỰC

ĐỐI VỚI CÁC VẬT THỂ CÓ DẠNG HÌNH HỌC ĐỀU ĐẶN

1.1 Những khái niệm cơ bản

Sau khi tu chỉnh số liệu đo đạc bằng máy trọng lực, ta thành lập bản đồ hoặc

đồ thị đạo hàm bậc nhất, hoặc bậc hai của thế trọng lực (dị thường trọng lực nói chung) Giải thích địa chất dị thường trọng lực bao gồm phân tích các quy luật phân

bố của nó trên mặt đất (hoặc gần mặt đất) và mối liên hệ để nó giải quyết các nhiệm

vụ khác

Giải thích địa chất dị thường trọng lực được hình thành như sau: Dựa vào số liệu trọng lực đo đạc và số liệu địa chất, địa vật lý sẵn có, vào kinh nghiệm giải thích trọng lực tại các vùng tương đương, ta có thể đưa ra những kết luận địa chất

về vùng cho trước tương ứng với nhiệm vụ địa chất đề ra

Nhiệm vụ giải thích dị thường trọng lực được phân loại dưới hai hình thức: Phân tích định tính và định lượng

Khi giải thích định tính cần xác định:

- Các yếu tố địa chất chắc chắn ảnh hưởng lên trường trọng lực cũng như các trường vật lý khác (nếu như các phương pháp Địa vật lý khác cũng được áp dụng)

- Vị trí của yếu tố địa chất hoặc vật quặng

- Vùng hoặc khu vực cần phải tiến hành nghiên cứu tỉ mỉ hơn

- Điểm hoặc vùng nhỏ tại đó tại đó có thể đặt được các lỗ khoan hoặc đào hầm lò

- Khả năng và điều kiện để phân tích định lượng

Trong trường hợp tổng quát, có bốn yếu tố địa chất chính gây nên dị thường trọng lực:

- Cấu tạo các lớp trầm tích

- Địa hình mặt nền kết tinh

- Cấu tạo bên trong của nền kết tinh

- Cấu tạo sâu vỏ Trái đất

Khi minh giải định tính ta tiến hành mô tả một cách hệ thống các vùng dị

thường và dị thường riêng biệt, chỉ rõ bản chất địa chất dị thường được mô tả với xác suất lớn nhất, đưa ra những đề nghị về việc tiến hành những nghiên cứu tiếp theo

Công tác phân tích định lượng được tiến hành khi:

- Có lượng thông tin đầy đủ hoặc tương đối đầy đủ về địa chất của vùng, do

đó có khả năng hình thành mẫu vật lý của môi trường địa chất dùng để phân tích dị thường trọng lực

- Tác dụng của một trong những yếu tố địa chất gây nên dị thường trội hơn

Để đảm bảo yêu cầu này, trong thực tế người ta sử dụng các phương pháp biến đổi trường

- Các yếu tố địa chất trong vùng tương đối ổn định có thể sử dụng một hoặc

tổ hợp phương pháp phân tích chung

- Các số liệu đo đạc có độ chi tiết và chính xác cao

- Cơ sở lý thuyết phân tích tốt

1.2 Các biểu thức tích phân tổng quát về đạo hàm của thế trọng lực

Để thuận tiện cho việc tính toán sau này người ta viết lại các biểu thức tích

phân tổng quát của thế hấp dẫn và các đạo hàm của chúng khi giải các bài toán thuận và nghịch

Thế V tại điểm với tọa độ x1, y1, z1 được biểu diễn bằng công thức:

   

r

dm G z y x

V 1, 1, 1 (1.1) trong đó:

1 2

1 2

x x

3

r

z z x x k x z

V

1 1

y k x

V y

V

2 1 2

1 2

1

2

2 1

2

Trong đó:

K : là hệ số hấp dẫn

Vxz: Đạo hàm của thế trọng lực theo phương nằm ngang x

Vyz: Đạo hàm của thế trọng lực theo phương nằm ngang y

g: Đạo hàm của thế trọng lực theo phương thẳng đứng z

Đặt gốc tọa độ tại điểm quan sát A, tức là trong công thức đặt x1=y1=z1=0 thì

dxdydz r

z k

dxdydz r

yz k V

v

r

x y k V

Để làm ví dụ, chúng ta xét trường hợp Vz(g) Từ công thức ba chiều (1.2)

ta có:

dxdydz r

z z k z

V g

1

2 1

1

dxdydz z

z k

1

1 1

1

z z x

x

z z k

y , x V

x

z z k

1 2

1

1

 (1.13) Cũng như trong trường hợp ba chiều, nếu đặt điểm quan sát tại gốc tọa độ tức cho x1=y1=0 thì:

z k

1 2

r y

s rco x

1.3 Bài toán thuận cho những vật thể có dạng hình học

1.3.1 Hình cầu hoặc điểm vật chất

Trong thực tế, thường gặp các vật thể địa chất tương đối có dạng đẳng thước, kích thước ngang của chúng theo các hướng cùng một bậc Khi tính toán tác dụng trọng lực của các vật thể này, người ta thường xem chúng có dạng hình cầu hoặc là điểm vật chất Các vật thể địa chất này thường rất khác nhau: các vật quặng dạng ổ, dạng bướu, các vòm mối, các lỗ hổng cáctơ…

Khảo sát vật thể hình cầu tâm C nằm trong mặt phẳng xoz với các tọa độ xc=

x, yc=y, zc= h (hình 1.3) Khối lượng của toàn bộ hình cầu là M, nằm tại tâm hình cầu Vì thế ta không phải tính các tính phân khối trên

Hình 1.2: Xác định thế và đạo hàm của vật thể

hai chiều

xh kM

2 2

2

r

x h kM

2 2

2

r

x h kM

1.3.2 Thanh vật chất nằm ngang, hình trụ tròn nằm ngang

Các vật thể địa chất dạng này là các cấu tạo dài (các nếp uốn), dạng thấu kính, các mạch quặng, các vỉa quặng… Hình trụ tròn nằm ngang, nằm dọc theo tâm của hình trụ

Nếu một đơn vị độ dài của thanh có khối lượng là m thì tương ứng với hình trụ ta có: =R2 với  là khối lượng một đơn vị dài

Trong trường hợp thành phần vật chất nằm ngang ta có thể tính được giá trị

Vz trực tiếp từ công thức (1.14) mà không cần lấy tích phân, tức là:

 0,0  0,0 2  2 22

h x

h k

h x

h k

2 0 , 0 0

, 0

h x

x h k V

Để thuận tiện ta viết lại công thức khi đặt gốc tọa độ trên trục của hình trụ,

còn x là các tọa độ của điểm quan sát Muốn vậy ta chỉ cần thay đổi x bởi –x trong

các công thức trên là được:

Hình 1.4: Trường trọng lực của hình cầu

  , 0   , 0 2 2 2

h x

h k

x V x

h x

h k

2 0 , 0

,

h x

x h k x

V x

Sử dụng công thức tổng quát (1.14) cho trường hợp này =dz, z=h, ta lấy tích phân theo x từ x đến +, kết quả thu được:

h x

dx kh

V x

2 2 2

(1.35)

Hình 1.5: Trường trọng lực của hình trụ tròn nằm

ngang

Từ đó, người ta tính được hàm bậc hai của thế trọng lực là:

h x

h kh

h x

kh h

x

xdx kh

2 2

2 2

0

h x

x kh

h x

dx h x kh

Để thuận tiện cho việc tính toán sau này, ta đặt gốc tọa độ tại điểm chiếu của cạnh bên trên trục x, còn lấy là tọa độ của điểm quan sát Trong trường hợp này ta chỉ cần thay đổi dấu của x trong các công thức (1.34), (1.35), (1.36) là được

x V x

h kh

x kh

1.3.4 Hình hộp vuông góc

Nhiều vật thể địa chất gần đúng có thể được biểu diễn dưới dạng những khối

bị giới hạn bởi những mặt phẳng, các cấu tạo địa lũy, địa hào, các khối quặng riêng biệt, những vật thể có thể được xem là các dạng hình hộp vuông góc Tính toán tác dụng trọng lực do hình hộp vuông góc gây ra được dùng để nghiên cứu các vật thể khác thường gặp trong thực tế như bậc thẳng đứng, lớp thẳng đứng Các công thức trọng lực của hình hộp vuông góc còn được sử dụng để tính toán hiệu ứng trọng lực

do các vật thể ba chiều có hình dạng bất kỳ gây ra

Giả sử có hình hộp vuông góc bị giới hạn bởi các mặt:

ln ln

0 , 0 , 0 0

xy

zr g t c r za r

x y r y x z g

1 1

ln0

r y

xz g t c r a k

1 1 2

2 1 1

y x z y

xy

zr g t c r za r x n r

y

xz g t c r a xr

yz g t c r a k

2 1

2

1 2

2 1 2 2

2 2 2 2 2 2 1 2 1

2 2 2 1

x g t c r a z z

x g t c r a z z x

z x x z x

z x x k

2 1 2 1 2 2 2 1

ln2

0

,

0

z x z x

z x z x k

1 1

1 2

z g t c r a x

z g t c r a z

x g t c r a k

,0

h d x

h d x k

h d x

dh g

t c r a k

Từ (hình 1.8a và 1.8b) ta thấy rằng bậc thẳng đứng tương tự như mặt phẳng vật chất nằm ngang nhưng nó tổng quát và phức tạp hơn

Theo định nghĩa trên, người ta sử dụng mật độ dư của các bậc thẳng đứng là khác không còn toàn bộ không gian là bằng không Nhưng nếu phần không gian dưới bậc có mật độ dư khác không thì dị thường trọng lực gây ra vẫn không thay đổi

Trong thực tế các vật địa chất dạng này là các cấu tạo tiếp xúc với vòm muối hoặc là các khối xâm nhập với các vùng đất đá vây quanh Có thể nói rằng bậc thẳng đứng là một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết và thực tế khi phân tích

dị thường trọng lực

Gọi h là tọa độ ngang của đường biên của bậc, h1 và h2 là độ sâu đến các mép giới hạn trên và dưới của bậc Để tính hiệu ứng trọng lực trong trường hợp này, người ta lấy tích phân các công thức tổng quát (1.6), (1.7), (1.8), (1.9) theo các biến

x, y, z, sau đó thay cận tích phân y=, x đến  và z từ h1 đến h2 Cụ thể là:

1 1

ln ln

0 , 0 ,

h x z

xy

zr g t c r za r

x y r y x k

1 1

ln0

,0,

h x

1 1

0 , 0 ,

h x zz

zr

xy g t c r a k

1 1

0,0,

h x

r y

xz g t c r a xr

yz g t c r a k

Trong đó:

2 2 2

z y x

0 , 0 0

x x k g

1

2 2

ln0

h z

x

z g t c r a k

ln 2

0 ,

z

x g t c r a z g

1

2 2

ln0

2 2 2

1 2 2

1

12

20

,00

,

0

h x

h x x h

x g t c r a h h

x g t c r a h h

h k

2 2 2

ln0

,

h x

h x k

h g t rc a k

x

0

độ Tọa độ giao điểm của tuyến với đường biên của bậc nghiêng kéo dài là x Tại độ sâu bất kỳ là Z( h1<Z<h2), lấy một lớp mỏng yếu tố ngang bằng dz và mật độ  Tọa

độ biên của lớp nghiêng đó là (x-zcotg, z)

Dùng các công thức của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang (1.35), (1.36) và (1.37) chúng ta có thể tính được hiệu ứng trọng lực của bậc nghiêng

Hình 1.9: Trường trọng lực trên bậc thẳng

đứng

Hình 1.10: Bậc nghiêng

h h

h h

z

zctg x

arctg k

dz k

20,0

h h

z g

t zc x

z k

20,0

h h

z zctg

x

zctg x

k V

x z

tgs zc x arctg z

2 2

sin

sin cos cos

sin sin

h

h x

x z tg c r a x

sin 2 ln

sin 2

2

sin

sin cos sin

2

h

h x

x z arctg   

sin 2 ln

sin 2

1 0

2

sin

sin cos sin

2

h

h x

x z arctg   

Nếu gọi 1, 1, 2, 2 là các thông số tương ứng với các góc trên và dưới của bậc ta có thể viết lại công thức (1.66 - 1.68) ở dạng:

1 2

2 0

2sinln

sin20

2sin20

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƯỜNG TRỌNG LỰC CỦA

CÁC RANH GIỚI 2D VÀ 3D 2.1 Phương pháp xác định dị thường trọng lực của ranh giới trầm tích 2D trong miền không gian

2.1.1 Xác định dị thường trọng lực của ranh giới trầm tích trên cơ sở phân

chia nó thành các đa giác có tiết diện ngang bất kỳ

Theo Talwari và Ewing [18] dị thường trọng lực của vật thể có tiết diện

ngang bất kỳ và mật độ dư thay đổi theo chiều sâu có thể được xác định bằng cách chia vật thể thành những lớp nằm ngang rồi lấy tổng dị thường trọng lực của chúng

Dị thường trọng lực dg của lớp nằm ngang có chiều dày dz, nằm ở độ sâu z và được

giới hạn bởi chu vi của vật thể được xác định bởi:

dg = 2f(z )(2 - 1 ) dz (2.1)

ở đây 2 - 1 là góc nhìn từ điểm cần tính dị thường trọng lực P(0,0) tới lớp nằm

ngang (Hình 2.1), (z) là mật độ dư của vật thể được xem như là một hàm của chiều sâu z, f là hằng số hấp dẫn

Dị thường trọng lực g của toàn bộ vật thể tại điểm P(0,0) được xác định bằng cách lấy tích phân vế phải của đẳng thức (2.1) trong phạm vi từ z đỉnh đến

z đáy ,đó tương ứng là chiều sâu tới đỉnh và đáy vật thể

Hình 2.1: Vật thể hai chiều có tiết diện

ngang bất kỳ

và mật độ dư (z) là hàm của độ sâu z

g = -2f [(z) 1 dz + (z) 2 dz] = -2f (z) dz (2.2)

Đẳng thức (2.2) chỉ ra rằng việc tính toán dị thường trọng lực của vật thể 2 chiều có mật độ dư thay đổi theo độ sâu được thực hiện bằng cách lấy tích phân đường dọc theo chu vi của vật thể theo chiều kim đồng hồ Trên cơ sở công thức

này, Murthy I V.R và Bhaskara Rao D [14] đã đưa ra các thuật toán xác định dị

thường trọng lực của vật thể 2 chiều có mật độ dư thay đổi ở dạng hàm mũ như dưới đây

2.1.2 Trường hợp mật độ dư thay đổi tuyến tính theo độ sâu

Trong trường hợp này dị thường trọng lực được tính bằng cách xấp xỉ tiết diện

ngang của vật thể bởi một đa giác N cạnh ABCDEF (Hình 2.2) Tọa độ (x k , y k ) của các đỉnh A, B, C được tính trong hệ tọa độ mà gốc đặt tại điểm cần tính dị thường trọng lực P(0,0) Giả sử rằng mật độ dư thay đổi theo quy luật:

(z) = (0) + az (2.3)

trong giới hạn của vật thể Ở đây (0) là giá trị của mật độ dư tại mặt quan sát còn a

biểu thị tốc độ biến đổi theo chiều sâu của mật độ dư Trong trường hợp này để tính

dị thường trọng lực của vật thể ta tiến hành tính tích phân trong vế phải của đẳng

thức (2.1) dọc theo mỗi cạnh của vật thể (ví dụ cạnh BC) rồi sau đó lấy tổng các giá

BC f z dz

dg   (2.4)

Thay (z) từ (2.3) vào (2.4) rồi thực hiện việc lấy tích phân ta được:

dg BC = 2f {  (0).A[sini k ln ( r k+1 / r k ) - cos i k (k+1 -k )]+ (a/2)(z k+1 -z k ) sini k

- (a/2) A 2 [cos 2i k ln(r k+1 /r k ) - sin 2i k (k+1 - k )]-[ (0) (z k+1k+1 -z kk )

- (a/2) (z 2 k+1k+1 -z 2 kk )} (2.5)

Đối với r k+1 ta có các công thức tương tự

2.1.3 Trường hợp mật độ dư thay đổi theo quy luật hàm mũ theo chiều sâu

Việc xác định hiệu ứng trọng lực do vật thể hai chiều có hình dạng bất kỳ và mật độ dư thay đổi theo quy luật hàm số mũ theo chiều sâu:

(z ) = (o) e - z (2.6)

được thực hiện như sau:

Xấp xỉ vật thể bằng một đa giác N cạnh

Chia mỗi cạnh của đa giác thành s đoạn nhỏ và giả sử rằng trên mỗi đoạn đó

mật độ dư thay đổi một cách tuyến tính

Nếu (x k , y k ) và (x k+1 , y k+1 ) tương ứng là tọa độ hai đỉnh của một cạnh nào đó của đa giác N cạnh (ví dụ cạnh BC) (Hình 2.3) thì tọa độ (x' j, z' j ) của các đoạn được

chia ra trên cạnh đó là:

x' j = x k + [(x k+1 - x k ) / s ](j -1) với j = 1,2 s+1 (2.7)

Hình 2.2: Xấp xỉ vật thể có tiết diện

ngang bất kỳ bằng đa giác N cạnh

Hình 2.3: Việc phân chia mỗi

cạnh đa giác giác thành các đoạn

Dị thường trọng lực dg của cả cạnh BC của đa giác sẽ được tính bằng cách lấy tổng

s lần tính giá trị trọng lực của các đoạn này

Quá trình được tiến hành tương tự cho các cạnh khác của đa giác Kết quả dị thường trọng lực do toàn bộ vật thể gây ra là:

0 , 0 dg 0

, 0

g (2.11)

Thật rõ ràng trong trường hợp vật thể có mật độ dư thay đổi theo chiều sâu

theo quy luật hàm mũ thì thời gian tính dị thường trọng lực sẽ s lần lớn hơn thời gian

tính trong trường hợp mật độ dư thay đổi tuyến tính theo chiều sâu

2.1.4 Mật độ dư thay đổi theo dạng hàm hypepol

Theo Litinsky, sự thay đổi mật độ dư của vật thể theo chiều sâu có thể được xấp xỉ bằng một hàm hypepol như sau:

2 0

g 0 2  2 2 (2.12a) Trong đó G: là hằng số hấp dẫn

Thay thế (z) trong phương trình (2.12a) bằng các giá trị của phương trình (2.12) có thể viết được như sau:

    s  z x z 

zds G

k dg 0

1 1 2

k

1 1 k 2 1 2

' 1 k 1

' k 2 0

P P

i cos P Q

r

Q r ln P

i sin P Q Q G

' 1 k 1

' k

Q Q

1 1 2

k

1 1 k 2

n 1 k 1 2 0 n

1

i cos P Q

r

Q r ln P

i sin P G

2 k dg 0

(2.14)

2.1.5 Mật độ dư thay đổi theo dạng hàm parabolic

Sự thay đổi mật độ dư theo độ sâu cũng có thể được biểu diễn bởi hàm có dạng parabolic sau đây:

0

3 0

k dg 0

k 2 2

1 1

' 1 k 2

' k 3 0

r S

r S ln A

i sin C T T A 2

B S

S G

2 k

i cos C z arctan

i cos C z

S      S 2 0 z k1

i cos z i sin x

0 0

2 2

i cos C 2 C

A        

và:

B = - 2cos cosi -2 o

Phương trình này có thể được viết trong dạng đơn giản bởi giới hạn của số

hạng đầu tiên bởi vì tổng kết của chúng cho tất cả các mặt của vùng sẽ biến mất Vì vậy, chúng ta có:

k 2 2

1 3

0

r S

r S ln A

i sin C T T A 2

B G

2 0 g



2.1.6 Xác định dị thường trọng lực của ranh giới trầm tích trên cơ sở phân

chia nó thành các lăng trụ thẳng đứng đặt cạnh nhau

Thông thường trong trường hợp bài toán hai chiều việc xác định dị thường trọng lực do một đối tượng địa chất có tiết diện ngang bất kỳ gây ra được thực hiện

bằng cách xấp xỉ tiết diện ngang của nó bằng một đa giác N cạnh Như vậy thực

chất của việc giải bài toán ngược là xác định vị trí các đỉnh của đa giác sao cho sự sai lệnh giữa dị thường quan sát và tính toán là nhỏ nhất Với các phương pháp này quá trình tính toán đòi hỏi đưa vào các tọa độ đỉnh tiên nghiệm của các đa giác và chúng phải đủ gần với các tọa độ thật thì phương pháp mới có độ hội tụ tốt Tuy nhiên trên thực tế việc đảm bảo điều kiện này là một việc hết sức khó khăn Trong mục này, ta áp dụng một phương pháp khác để tính dị thường trọng lực, đó là

phương pháp do Murthy I.V.R đưa ra Ở đây thay thế cho việc xấp xỉ bằng một đa

giác, đối tượng gây dị thường trọng lực được xấp xỉ bằng một chuỗi các lăng trụ thẳng đứng đặt cạnh nhau Trên cơ sở phương pháp này ta tiến hành việc giải bài toán ngược theo phương pháp lựa chọn nhằm xác định độ sâu tới ranh giới phân

chia mật độ ở từng điểm quan sát trên tuyến Ngoài độ sâu trung bình Z và mật độ

dư  quá trình tính toán không đòi hỏi đưa vào bất kỳ một giá trị tiên nghiệm nào khác về mặt ranh giới phân chia

Xét một mặt phân chia mật độ có dạng như (Hình 2.4), ở đây Z là độ sâu trung

bình của ranh giới mà trên đó có sự thay đổi cấu trúc địa chất gây nên dị thường trọng

Hình 2.4: Ranh giới phân chia mật độ và việc xấp xỉ nó bằng

các lăng trụ trụ thẳng đứng đặt cạnh nhau

lực, x k là điểm quan sát thứ k trên tuyến Giả sử rằng tuyến quan sát đủ dài sao cho có

thể phủ hết cả phần thay đổi cấu trúc địa chất

Để xác định hiệu ứng trọng lực do ranh giới phân chia mật độ này gây ra ta xấp xỉ nó bằng một chuỗi các lăng trụ có hình chiếu tâm lên tuyến quan sát trùng

với vị trí các điểm quan sát, có độ rộng bằng khoảng cách dx giữa các điểm quan sát (Hình 2.4)

Bằng cách như vậy việc xác định hiệu ứng trọng lực của ranh giới phân chia mật độ thực chất được thay thế bằng việc tính tổng hiệu ứng trọng lực của các lăng

trụ có chiều cao khác nhau Tại điểm quan sát P(x k ) trên tuyến ta có:

1 

( ) 2

( ) ( )

ZT i i

F z  F Z  F ZT k là hiệu ứng trọng lực của lăng trụ nằm dưới điểm

quan sát thứ i Theo Rao B.S.R và Murthy I.V.R [14] ta có:

F k (z) = 2f{z[arctg((x k +dx/2)/z)-arctg((x k -dx/2)/z)]+

+0.5[(x k +dx/2)ln((x k +dx/2) 2 +z 2 )-(x k -dx/2)ln((x k -dx/2) 2 +z 2 )]} (2.20)

ở đây dx là khoảng cách giữa các điểm quan sát trên tuyến, ZT(i) là độ sâu tới mặt ranh giới phân chia mật độ nằm dưới điểm quan sát thứ i, f là hằng số hấp dẫn,  là mật độ dư

2.2 Phương pháp xác định dị thường trọng lực của ranh giới trầm tích

3D trong miền không gian

thường trọng lực gây ra bởi bể trầm tích được tính bằng cách lấy tổng dị thường

trọng lực của tất cả các lăng trụ này

Hình 2.5 – Mô hình lăng trụ 3 chiều

Dị thường trọng lực của mỗi lăng trụ

được xác định theo công thức sau (Prakash

W y Z

Z

Zdxdydz z

f y x

ở đây f là hằng số hấp dẫn; Z 1 ,Z 2 tương ứng là độ sâu đến đỉnh và đáy của lăng trụ

T và W tương ứng là nửa bề rộng của lăng trụ theo các trục x và y KÕt qu¶ cña viÖc

tính tích phân này sau khi thay  (z) từ công thức (2.21) là :

X R

X R Y y R

Y R X zR

XY arctg z fa y x dg

) , ( 0

2 1 2 1 2 1

Z

Z z

Y

Y Y

zR

XY arctg

2 2

2 2

z X arctg

2 1 2 1 2 1

Z

Z z

Y

Y Y

X R Y Y R

Y R X zR

XY arctg z

3

2 ln

6

ln 3 3

3 3

Z

Z z

Y

Y Y

X

X

X   , (2.23) trong đó:

X 1 = x+T, X 2 = x-T, Y 1 = y+W, Y 2 = y-W và R = 2 2 2

z Y

X  

Ta nhận thấy rằng công thức này rất phức tạp Khi tính dị thường trọng lực

của bể trầm tích nêú dị thường của tất cả các lăng trụ đều được tính theo công thức

này thì sẽ tốn rất nhiều thời gian tính trên máy Để khắc phục khó khăn này,

V.D.Braskara Rao đề nghị sử dụng công thức gần đúng sau đây để tính dị thường

của các lăng trụ nằm xa điểm quan sát Công thức này đạt được khi xấp xỉ hiệu ứng của lăng trụ bằng một thanh vật chất thẳng đứng đặt tại tâm của lăng trụ

dg(x,y)=fa 0xy 2

1 2

1

) ln(

1

1

Z Z z Z

Z

R

z y x fa

2 ( 2 2 2 Z

Z z R

z y x

2 ( 2 2 2 Z

Z z R

z y x

x   còn x,y tương ứng là khoảng cách giữa các điểm quan sát theo các trục x và y

Cuối cùng, dị thường trọng lực của bể trầm tích được xác định theo công thức sau:

( , ) ( . )

1 1

y x dg y

x g

N j

M i

Trong đó: M là số lăng trụ được chia theo trục x

N lµ sè l¨ng trô ®-îc chia theo trôc y

Theo Talwani and Ewing (1960) đã chia môi trường thành rất nhiều lớp

mỏng và mỗi lớp này lại được xấp xỉ là một đa giác m cạnh Do vậy ảnh hưởng của mỗi lớp mỏng được xác định theo công thức :

1

.

m k k



   ; (2.26) Trong đó V là dị thường do mỗi lớp mỏng có bề dày Z gây ra V được biều diễn

bởi 1 tích phân mặt Talwani và Ewing biểu diễn V như sau :