SKKN Các hướng khai thác một bài toán ở THCS

Để thực hiện những ý đồ s phạm nhất định, trong từng tình huống cụ thể đối với từng loại đối tợng học sinh, giáo viên phải có khả năng làm dễ đi những bài toán khó, làm khó những bài toá

Ch ơng I : Lời nói đầu

I- Cơ sở lý luận.

Tìm tòi lời giải là một bớc quan trọng trong hoạt động giải toán Nó quyết định sự thành công hay không thành công, đi đến sự thành công nhanh hay chậm của việc giải toán Điều cơ bản ở bớc này là biết định hớng đúng để tìm ra đợc đờng đi đúng Không có một thuật toán tổng quát nào để giải đợc mọi bài toán cả

Một vài kinh nghiệm giải toán đó là:

- Sử dụng các bài toán đã giải

- Biến đổi bài toán

- Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn

- Mò mẫm, dự đoán bằng nhiều cách thử một số trờng hợp có thể xảy ra

Hoặc tự đặt ra cho mình câu hỏi:

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào cha? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng khác?

- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Một định lý có thể dùng đợc không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa?

- Nếu bạn cha giải đợc bài toán thì hãy giải bài toán có liên quan mà dễ hơn Hoặc giải một phần bài toán, biến đổi bài toán, thay đổi ẩn của bài toán

- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay cha? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay cha? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán hay cha?

Để thực hiện những ý đồ s phạm nhất định, trong từng tình huống cụ thể đối với từng loại đối tợng học sinh, giáo viên phải có khả năng làm dễ đi những bài toán khó, làm khó những bài toán dễ,tạo ra những bài toán có mức

độ khó khăn, phức tạp nh nhau hoặc khác nhau, đa dạng hoá các bài toán theo một chủ đề nhất định để đạt đợc những mục tiêu dạy học Do vậy, việc khai thác một bài toán là hết sức cần thiết

Ii- cơ sở thực tiễn.

Trờng THCS Tiên Hiệp là một trờng có số lợng học sinh ít, nằm cách xa trung tâm huyện Trờng chỉ có 8 lớp Hầu hết các em đều là con em của các gia đình thuần nông, thu nhập chính là làm ruộng Đời sỗng của các gia đình còn gặp nhiều khó khăn Chính vì thế, các gia đình cha thực sự quan tâm nhiều đến việc học tập của con em mình Học sinh của trờng nói chung

có sức học chỉ ở mức trung bình, nhiều học sinh ở mức yếu, đặc biệt là về môn toán Hầu hết là do các em cha có cách học, cha chăm làm bài tập và do

hoàn cảnh gia đình, các em phải giúp gia đình nên các em cha thật sự quan tâm đến việc học tập của mình

Là một giáo viên trẻ mới ra trờng, khi nhận công tác tại trờng THCS Tiên Hiệp, tôi gặp rất nhiều khó khăn vì những lý do đó Tôi luôn luôn suy nghĩ, trăn trở làm thế nào để các em học tốt hơn, làm thế nào để các em say

mê môn toán hơn, yêu thích môn toán hơn Vì tôi nghĩ rằng, các em có yêu thích, có say mê thì các em mới có hứng thú để chăm chỉ hơn trong việc học toán Và làm thế nào để các em học kém học tốt hơn, các em học khá giỏi thì học vững vàng hơn

Sau một thời gian giảng dạy trực tiếp trên lớp, tôi nhận thấy rằng nếu ngời giáo viên biết khai thác tốt một bài toán thì bài học sẽ trở nên dễ hiểu và học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi giải các bài toán Đặc biệt, trong giờ Luyện tập, cả học sinh kém lẫn học sinh giỏi đều cố gắng suy nghĩ tìm ra lời giải vì bài tập đã đợc cô gợi ý rất chi tiết và dễ hiểu

Chính vì thế, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm với nội dung “Các hớng khai thác một bài toán” Đồng thời, sự quan tâm giúp đỡ, đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp trong trờng đã giúp tôi rất nhiều trong quá trình tôi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này

Đây là sáng kiến kinh nghiệm đầu tiên tôi thực hiện nên còn gặp nhiều sai sót Tôi rất mong muốn nhận đợc những ý kiến đóng góp của các đồng chí

để tôi rút ra đợc những kinh nghiệm cho phơng pháp giảng dạy của mình tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Giáo viên

Hoàng Phơng Mai

Nội dung chính của đề tài gồm:

Ch ơng I : Lời nói đầu

Ch ơng II : Các hớng khai thác một bài toán

I- Tìm nhiều cách giải cho một bài toán

II- tìm thêm kết quả mới

III- các tri thức phơng pháp

i V- Thay đổi bài toán theo mục đích dạy học

v- một số con đờng tạo ra bài toán mới từ bài toán ban đầu

Ch ơng Iii : phần thực nghiệm

Ch ơng Iv : kết luận

Ch ơng II : Các hớng khai thác một bài toán

I- Tìm nhiều cách giải cho một bài toán:

Một bài toán có thể nhìn ở nhiều góc độ khác nhau, mỗi cách nhìn cho

ta một cách giải khác nhau Việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán giúp ta tái hiện đợc nhiều kiến thức, mỗi cách giải ứng với kiến thức thuộc nhiều mục khác nhau Cần nhiều cách giải cho một bài toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức, hệ thống kiến thức, nhớ bài tập đó lâu hơn và là tiền đề giúp cho ta giải các bài toán khác Vì vậy việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán là hết sức cần thiết Song vì thời gian làm bài có hạn nên việc chọn lời giải để trình bày lại là một nghệ thuật của ngời giải toán

Bài toán 1: Cho ABC cân tại A, đờng trung tuyến CD Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = BA Chứng minh rằng CD = CK

2 1

Lời giải: Nếu nhìn bài toán dới góc độ là một tam giác cân và

giải quyết bài toán bằng những kiến thức về tam giác cân và đờng trung bình của tam giác thì ta có cách giải nh sau:

Cách 1:

Gọi I là trung điểm của CK

 CI = CK

2 1

 CBI =  CBD (c.g.c)

 CI = CD = CK

2 1

Cách 2: Gọi E là trung điểm của AC thì BE = CK

2 1 3

A D

B

I

C

K

A D

E

Chứng minh:

BE = CD do  CBI =  CBD (c.g.c) Hớng tạo thứ 2 là tạo ra đoạn thẳng gấp đôi CD ta có cách giải sau:

Cách 3: Trên tia đối của tia CB lấy CM = CB

 CD là đờng trung bình của ABM

 AM = 2CD Sau đó chứng minh: AM = CK

do  ACM =  KBC (c.g.c) vì AC=KB (gt)

CM = BC (cách dựng) ACM = KBC

Cách 4:

Trên tia đối của tia CAlấy CN=CA thì BN = 2CD

(vì CD là đờng trung bình của  ABN)

Do  BCN =  CBK (c.g.c) Vì BC chung BCN = CBK = A + B = A + C

(góc ngoài của )

NC = KB

Cách 5:

Trên tia đối của tia DC lấy E sao cho:

DE = DC  BE = AC, BE // AC (Vì  BDE =  ACD (c.g.c) Sau đó chứng minh:  CBE =  CBK (c.g.c)

Từ đó suy ra: CE = CK

 CK = 2 CD Cách giải 1, 2, 3, 4 sử dụng các kiến thức về đờng trung bình của tam giác Cách giải 5 sử dụng tính chất của tam giác cân và góc ngoài của tam giác Bài toán trên, vẻ ngoài nhìn rất đơn giản nhng nếu ngời giải toán biết cách khai thác bài toán thì sẽ lĩnh hội đợc nhiều tri thức cũng nh phơng pháp ghép hình từ bài toán trên

Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu một tam giác có trung tuyến cũng là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân

A D

B

K

M C

A D B

C

K

A D E

Cách 1: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D

sao cho: MA = MD Xét  AMB và  DMC có: AM = BM (cách dựng) AMB = DMC (đối đỉnh)

MB = MC (AM là trung tuyến) Vậy  AMB =  DMC (c.g.c)

 A1 = D1

(góc tơng ứng của tam giác bằng nhau)

Mà A1 = A2 (gt)

 A2 = D1

  ADC cân

 AC = DC Lại có: AB = DC

 AB = AC hay  ABC cân tại A Nếu sử dụng tính chất đờng trung bình của tam giác thì ta có các cách giải sau:

Cách 2:

Trên tia đối của tia AB lấy K sao cho AK = AB

 AM là đờng trung bình củ a  BKC

 A1 = K (góc đồng vị của AM và KC)

 A2 = C1 (so le trong)

Mà AK = AC (tính chất tam giác cân) AB=AK(Cách dựng)AB =AC ABC cân

Cách 3:Chứng minh bằng phản chứng

Giả sử AB > AC Trên cạnh AB lấy AD = AC thì  ADC cân

Gọi I là giao điểm của CD và AM

 ADCcân có AI là phân giác ứng với cạnh đáy nên DI = IC

Mà MC = MC (gt)

5

C

A

B

M

D

1 2

1

2

1

K

A

1 2

A

D

I

1

 IM là đờng trung bình của  CBD

 BD // IM

Điều này trái với giả thiết là BD cắt AM ở A Giả sử AB < AC cũng chứng minh tơng tự dẫn đến mâu thuẫn

Vậy AB = AC hay  ABC cân tại A Nếu sử dụng trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông thì ta có cách giải sau:

Cách 4:

Vẽ MH  AB; MK  AC Sau đó chứng minh: AK = AH, BH = CK

 AB = AC

  ABC cân tại A

Nếu sử dụng tính chất của tam giác cân ta cũng có lời giải sau:

A

Cách 5:

- Giả sử AB > AC Trên cạnh AB lấy D sao cho AD = AC ta có:

 AMD =  AMC (c.g.c)

 D1 = C (1)

MD = MC Ta lại có MC = MB (gt)

 MB = MD

  DMB cân

 B = D2 (2)

Từ (1) và (2): B + C = D1 + D2 = 180o (vô lý)

- Giả sử AB < AC Cũng làm tơng tự nh trên dẫn đến mâu thuẫn

Vậy AB = AC hay  ABC cân tại A Một số bài toán tuy rất đơn giản nếu ta chỉ giải một cách đơn thuần mà

ta cũng có thể nhận ra, quên đi việc tìm nhiều cách giải thì sẽ mất sự thú vị sẽ không thấy cái hay của bài toán

II- tìm thêm kết quả mới:

Nếu ta biết cách khai thác triệt để giả thiết bằng cách tìm thêm các kết quả mới thì không những hiểu sâu về bài toán mà còn trải ra cho ta một con đ-ờng để đi tìm kiến thức mới

Ví dụ 1: Gọi H là trực tâm và AP, BN, CM là các đờng cao của  ABC

có các góc nhọn Chứng minh rằng tứ giác AMHN và BMCN nội tiếp

Nhận xét 1: Bì  ABC nhọn nên vai trò M, N, P là nh nhau Do đó ta có thể đề xuất thêm câu hỏi: Tìm tất cả các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ

Nhận xét 2: Xét  BHC có HP  BC, NC  BH, MB  HC mà 3 đờng cao HB, NC, BM đồng quy tại A  A là trực tâm của  BHC

Đề xuất kết quả mới: Chứng minh rằng mỗi đỉnh của  ABC là trực tâm của tam giác tạo bởi H và 2 đỉnh còn lại

A

D

1

2

A

M

N

K

H G

I 1 1 2

Nhận xét 3: Do AMHN nối tiếp  A1 = N1 (cùng chắn cung MH)

ANPB nội tiếp  A1 = N2 (cùng chắn cung BP)

 N1 = N2

 NH là phân giác trong của  MNP

Đề xuất kết quả mới: Chứng minh H là tâm đờng tròn nội tiếp  MNP Nhận xét 4:

NH là phân giác trong của  MNP

Mà CN  HN (gt)

 NC là phân giác ngoài của góc MNP (1)

Do NH là phân giác trong của  MNP



NG

MN HG

HM

 (Tính chất phân giác trong)

Do NC là phân giác ngoài của góc MNG trong  MNG nên:

CG

MC HG

HM

 (2) (Tính chất phân giác ngoài)

Từ (1) và (2) 

CG

CM NG

MN HG

HM





 Kết quả mới: Chứng minh rằng:

CG

MC HG

HM

 :

BK

BN HK

HM

 :

AI

AP HI

HP



Nhận xét 5: Xét  MNP ta có MC là phân giác trong của góc NMP còn

PC, CN là phân giác ngoài của góc MPN và MNP  C là tâm đờng tròn bàng tiếp  MNP Nên ta có thể đề xuất kết quả mới: Chứngminh rằng các đỉnh A,

B, C là các tâm đờng tròn bàng tiếp của  MNP

Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức:

(x - y)3 + (y - x)3 + (z - x)3 = 3 (x-y) (y-z) (z-x)

Nhận xét: (x - y) - (y - z) - (z - x) = 0

Đặt x - y = A, y - z = B, z - x = C

 A + B + C = 0

 A = -(B + C)

 A3 = [(B3 + C3 + 3 (B + C)]

 A3 = -B3 - C3 + 3 ABC

Từ bài toán này ta đề xuất 2 kết quả mới:

Chứng minh rằng nếu A + B + C = 0 thì A3 + B3 + C3 = 3 ABC

Chứng minh rằng nếu A + B + C = 0 thì A3 + B3 + C3 : A.B.C.

III- các tri thức ph ơng pháp:

Nếu ngời giáo viên chỉ chăm chú vào việc giải toán mà không rút ra tri thức phơng pháp thì học sinh chỉ biết những bài tập đó ma không biết phơng pháp để giải những bài toán tơng tự hay tổng quát hơn

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức

B = 3  1  21  12 3

Giải: B = 3  1  21  12 3  3  1  2 3  3  3  4  2 3

= 3  3  1  1  1

 Tri thức phơng pháp:

- Khai căn từ trong ra

- Chú ý hằng đẳng thức: A  A

- Chú ý tích 2 số để xác định số thứ nhất, số thứ hai

iV- Thay đổi bài toán theo mục đích dạy học:

Để đảm nhiệm đợc vai trò "ngời trọng tài" ngời giáo viên phải có khả năng thay đổi bài toán làm bài toán dễ đi, làm bài toán khó lên theo mục đích dạy học phù hợp với từng đối tợng học sinh

Giải hệ bất phơng trình:

5x - 9 < 2x - 3 3x < 6 x < 2

5x - 10 > 20 - 3x  5x > 30  x > 6  x  

3x + 5  -2x + 9 x  -4 x  -4

Vậy hệ bất phơng trình vô nghiệm

Muốn là bài toán khó hơn ta đa một phơng trình tích vào:

Ví dụ: Giải hệ bất phơng trình:

(3x - 1) (5x + 2)  0 5x - 10 > 20 - 3x 3x + 5  -2x + 9 Giải bài toán này sẽ khó hơn bài toán trên Dành cho đối tợng học sinh khá Tuy nhiên ta cũng có thể làm cho bài toán dễ đi

Ví dụ: Giải hệ bất phơng trình:

3x - 1  0 5x - 10  0

x - 2 > 0

một số con đ ờng tạo ra bài toán mới từ bài toánban đ ầu

I- Tác dụng của việc tạo ra bài toán mới từ bài toán ban đầu:

Để đảm nhận đợc vai trò “ Ngời thiết kế” xây dựng nội dung giảng dạy, thiết kế những tình huống để học sinh tự giác học tập, tự giác tham gia các hoạt động giải toán, ngời giáo viên phải có năng lực tạo ra các bài toán mới phù hợp với yêu cầu của tiết dạy, phù hợp với trình độ thực tế của học sinh Bài toán mới có thể la bài toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở rộng, đào sâu khai thác những bài toán đã biết Thật ra, khó có thể tạo nên một bài toán hoàn toàn không có quan hệ gì về nội dung, phơng pháp với những bài toán đã

có Để thực hiện những ý đồ s phạm, trong từng tình huống cụ thể, đối với từng loại đối tợng học sinh, giáo viên phải có khă năng làm dễ đi những bài toán khó, làm khó thêm những bài toán dễ, tạo ra những bài toán có mức độ khó khăn, phức tạp nh nhau hoặc đa dạng hoá các loại bài toán theo một chủ

đề nhất định

Dới đây là một số con đờng dẫn đến cácbài toán mới từ bài toán ban

đầu

iI-các con đờng tạo ra bài toán mới

1 Lập bài toán tơng tự với bài toán ban đầu

Ví dụ 1: Bài toán ban đầu: Cho tỉ lệ thức

d

c b

a



Chứng minh rằng:

d c

c b a

a





 Bài toán mới: Giữ nguyên giả thiết trên nhng thay kết luận bằng:

Chứng minh rằng:

d c

d c b a

b a

3 2

3 2 3 2

3 2











Cách giải bài toán mới và bài toán ban đầu tơng tự nhau nhng chúng đã tạo cho học sinh những kết quả mới và quan trọng Hơn nữa, với phơng pháp

và kinh nghiệm thu đợc qua việc giải các bài toán trên, học sinh có thể tự mình tìm ra những kết quả khác từ các bài toán ban đầu Chẳng hạn, từ tỉ lệ thức:

d

c

b

a

 học sinh có thể chứng minh các kết quả sau:

BàI

TOáN

BAN

ĐầU

BàI TOáN MớI

Lập bài toán tơng tự Lập bài toán đảo Thêm một số yếu tố, đặc biệt hóa Bớt một số yếu tố, khái quát hóa Thay đổi một số yếu tố

2 2

d c

b a cd

ab d c

d c b

a

b

a

















v….v v

2 lập bài toán đảo của bài toán ban đầu:

Con đờng thứ hai đi đến bài toán mới là bài toán đảo của bài toán ban

đầu Để lập đợc bài toán đảo, ta cần biết cách lập mệnh đề đảo của mệnh đề cho trớc

Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu tam giác vuông có một góc bằng 300 thì cạnh đối diện với góc ấy bằng một nửa cạnh huyền

Giả sử  ABC góc A bằng 900, B = 300 Ta phải chứng minh AC =

2

1 BC

Bài toán có dạng: P (A = 900)  Q(B = 300) => R (AC =

2

1 BC) Ta có thể lập đợc 3 mệnh đề đảo:

Mệnh đề đảo 1: P => P  Q

AC =

2

1

BC => A = 900; B = 300

Mệnh đề đảo 2: P  R => Q

A = 900; AC =

2

1

BC => B = 300

Mệnh đề đảo 3: Q  R => P

B = 300; AC =

2

1

BC => A = 900

Vì mệnh đề đảo 1 sai, mệnh đề 2 và 3 đúng nên ta có hai bài toán đảo

nh sau:

Bài toán đảo 1: Chứng minh rằng nếu một tam giác có một góc bằng

300 và cạnh đối diện với góc bằng nửa của một trong 2 cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông

Ví dụ 2: Trong tam giác cân, trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đ-ờng cao, đđ-ờng phân giác

Định lý đảo 1: Trong tam giác cân, đờng cao ứng với cạnh đáy cũng là phân giác trung tuyến

Định lý đảo 2: Trong tam giác cân, phân giác ứng với cạnh đáy cũng là

đờng cao trung tuyến

Hai định lý này là nội dung của định lý thuận

Định lý đảo 3: Nếu một tam giác có đờng cao cũng là trung tuyến thì tam giác đó là tam giác cân

Định lý đảo 4: Nếu một tam giác có đờng cao cũng là trung tuyến thì tam giác đó là tam giác cân

Định lý đảo 5: Nếu một tam giác có phân giác cũng là trung tuyến thì tam giác đó là tam giác cân

3 Thêm vào bài toán ban đầu một số yếu tố đặc biệt hoá bài toán:

Để tạo ra bài toán mới ta có thể thêm vào bài toán ban đầu một số yếu

tố Có thể thêm vào giả thiết một số dữ kiện hoặc thêm vào kết luận một số

điều phải chứng minh Việc thêm yếu tố vào bài toán ban đầu có thể làm cho

nó phức tạp hơn nhng cũng có thể làm cho nó trở nên dễ dàng hơn cho việc giải bài toán

Ví dụ 1: Từ bài toán ban đầu

Hãy tính tổng sau:

A =

10 9

1 9 8

1

_ 4 3

1 3 2

1 2 1

1









Bài toán mới: Hãy tính tổng sau:

B =

132

1 110

1 90

1 72

1 56

1 42

1 30

1 20

1















Khi giải bài toán ban đầu, ta đã có sẵn các mẫu của các phân số đợc viết dới dạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, trong khi giải bài toán sau ta phải làm thêm công việc phân tích các mẫu thành tích của hai số có đặc điểm nh trên Việc này không phải bao giờ cũng nhận thấy ngay và gây khó khăn cho ng ời giải

Mức độ phức tạp của bài toàn càng tăng nếu ta lại tăng thêm công việc phải làm Chẳng hạn: Hãy tính tổng sau:

C =

156

3 132

3 110

3 90

3 72

3 56

3 42

3 30

3 20

3















Ví dụ 2: Bài toán đầu: Cho  ABC cân có góc A = 1000 Trong góc C vẽ tia Cx sao cho góc BCx = 300 Tia này cắt tia phân giác của góc B tại E Chứng minh rằng AB = EB và tính góc AEB

Bài toán này vào loại khó vì nó đòi hỏi phải vẽ thêm đờng phụ khá đặc biệt Vì vậy, để làm bài toán dễ giải hơn, ta có thể thêm câu hỏi nhằm gợi ý cho việc giải bài toán

Bài toán mới: Cho  ABC cân có góc A bằng 1000 Trong góc C vẽ tia

Cx sao cho góc BCx bằng 300 Tia này cắt phân giác của góc B tại E

a) Vẽ  ABC đều (A và D thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ BC) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc BDC

b) Chứng minh rằng AB-EB và tính góc AEB

Rõ ràng việc đa thêm câu hỏi a là nhằm gợi ý cho việc giải câu b