Nghiên cứu độ đo trên một đại số và thác triển độ đo từ một đại số lên một σ đại số chứa nó; đặc biệt là độ đo Lehesgue – Stieltjes và độ đo Lebesgue. Khảo sát các ánh xạ và hàm số đo được và xây dựng lý thuyết tích phân các hàm đo được. Tiếp đó xét đến độ đo có dấu, khai triển Hahn, định lý Radon – Nykodim, độ đo tích và định lý 2 Fabini. Cuối cùng giới thiệu sơ qua về độ đo trên không gian metric và độ đo vectơ và tích phân Bochner
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- -
ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC
1 Thông tin về giảng viên:
- Họ và tên: Trần Đức Long
- Chức danh, học hàm, học vị: TS
- Thời gian, địa điểm làm việc: Khoa Toán – Cơ – Tin học
- Các hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết không gian nội suy
2 Thông tin về môn học:
- Tên môn học: Lý thuyết độ đo và tích phân
- Mã môn học:
- Số tín chỉ: 3
- Giờ tín chỉ đối với các hoạt động học tập: 45
+ Nghe giảng lý thuyết trên lớp: 30
+ Làm bài tập trên lớp: 12
+ Tự học: 3
- Đơn vị phụ trách môn học:
+ Bộ môn:Giải tích
+ Khoa: Toán – Cơ – Tin học
- Môn học tiên quyết: Giải tích – Giải tích hàm
3 Mục tiêu của môn học:
- Mục tiêu về kiến thức: trang bị cho người học những kiến thức cơ bản về lý thuyết
độ đo và tích phân để có thể học sâu hơn ở các lĩnh vực khác như lý thuyết xác suất, quá trình ngẫu nhiên, thống kê toán học, hệ động lực, phương trình vi phân trong không gian Banach v.v…
- Mục tiêu về kĩ năng: rèn luyện tư duy trừu tượng, kỹ năng khái quát hóa, tiên đề hóa
4 Tóm tắt nội dung môn học:
Nghiên cứu độ đo trên một đại số và thác triển độ đo từ một đại số lên một σ đại số chứa nó; đặc biệt là độ đo Lehesgue – Stieltjes và độ đo Lebesgue Khảo sát các ánh
xạ và hàm số đo được và xây dựng lý thuyết tích phân các hàm đo được Tiếp đó xét đến độ đo có dấu, khai triển Hahn, định lý Radon – Nykodim, độ đo tích và định lý
Trang 2Fabini Cuối cùng giới thiệu sơ qua về độ đo trên không gian metric và độ đo vectơ
và tích phân Bochner
5 Nội dung chi tiết môn học:
Chương 1 Những khái niệm cơ bản của lý thuyết độ đo
1.1 Đại số và σ – đại số 1.2 Vành và nửa vành 1.3 Hàm tập cộng tính và độ đo 1.4 Độ đo ngoài và thác triển độ đo 1.5 Độ đo Lebesgue – Stieltjes 1.6 Độ đo Lebesgue trên R và Rn
1.7 Độ đo cảm sinh
Chương 2 Tích phân của hàm đo được
2.1 Hàm đo được và không gian các hàm đo được 2.2 Tích phân các hàm đo được
2.3 Các định lý cơ bản 2.4 Không gian Lp 2.5 Độ đo có dấu Khai triển Hahn 2.6 Tính liên tục tuyệt đối Định lý Radon – Nicodym 2.7 Độ đo tích Định lý Fubini
Chương 3 Độ đo trên không gian Metric và tích phân Bochner
3.1 Độ đo chính quy và độ đo Radon 3.2 Tính đo được yếu, đo được mạnh Định lý Pettis 3.3 Tích phân Bochner
6 Học liệu:
6.1 Học liệu bắt buộc:
1 Phạm Kỳ Anh – Trần Đức Long Giáo trình hàm thực và giải tích hàm NXB Đại học Quốc Gia 2001
2 Hoàng Tụy Hàm thực và giải tích hàm NXB Đại học Quốc Gia 2005
3 Nguyễn Duy Tiến – Trần Đức Long Bài giảng giải tích Tập II NXB Đại học Quốc gia 2004
6.2 Học liệu tham khảo:
4 R.E.Edwards Functional analysis Holt, Rinehart and Winston, New York, London 1965
Trang 35 K Yosida Functional analysis Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 1965
6 P Halmnos Measure theory, 1950
7 Hình thức tổ chức dạy học:
7.1 Lịch trình chung:
Nội dung
Hình thức tổ chức dạy học môn học
Tổng
Lên lớp Thực hành,
thí nghiệm, điền dã
Tự học, tự nghiên cứu
Lý thuyết Bài tập Thảo luận
7.2 Lịch trình tổ chức dạy học cụ thể:
Tuần Nội dung chính Yêu cầu sinh viên chuẩn bị chức dạy học Hình thức tổ Ghi chú
1
Đại số và σ – đại số vành,
nửa vành, σ – vành, họ đơn
điệu
Hàm tập cộng tính và độ đo:
định nghĩa, ví dụ
Tự học: nửa vành, σ – vành, lớp đơn điệu trong [1] trang 136 –
143 Bài tập 10 – 14 trong [2] trang 227
2 giờ lý thuyết (LT)
1 giờ tự học
2
Các tính chất của độ đo
ngoài
Định lý Carathéodory
Chữa bài tập
Bài tập 6, 7, 11 - 15 trong [1] trang 230
2 giờ LT
1 giờ bài tập (BT)
3
Định lý Hahn về thác triển
độ đo từ 1 vành (hay đại số)
lên 1 σ – đại số
Độ đo đủ
Chữa bài tập
Làm các bài tập 3 -11 trong [2] trang 121 –
122
2 giờ LT
1 giờ BT
4
Độ đo Lebesgue – Stieltjes
Độ đo Lehesgue trên R và
Rn
Chữa bài tập
BT: 8 -10 trong [1]
trang 229; 16 – 18 trang 231; 15 – 18 trong [2] trang 123
2 giờ LT
1 giờ BT
5 Ánh xạ đo được
Hàm số đo được: định nghĩa
BT: 19, 20 trong [1]
trang 231; 19 -22
2 giờ LT
1 giờ BT
Trang 4Tuần Nội dung chính Yêu cầu sinh viên chuẩn bị chức dạy học Hình thức tổ Ghi chú
và ví dụ
Chữa bài tập
trong [2] trang 123 –
124
6
Các phép toán trên các hàm
đo được
Cấu trúc hàm đo được
Chữa bài tập
BT: 21 – 24 trong [1]
trang 232; 22, 24 trong [2] trang 124
2 giờ LT
1 giờ BT
7
Hội tụ theo độ đo và hội tụ
hầu khắp nơi của dãy hàm
đo được
BT: 25, 26 trong [2]
trang 126
Ôn tập cho kiểm tra giữa kỳ
2 giờ LT
1 giờ BT
8
Chữa bài tập
Kiểm tra giữa kỳ
Tích phân hàm đo được
không âm: định nghĩa, các
tính chất sơ cấp
BT: 25 trong [1]
trang 232
1 giờ BT
1 giờ kiểm tra
1 giờ LT
9
Định lý Beppo – Levi
Định lý Fatou
Tích phân coi như hàm tập
hợp
Tích phân các hàm đo được
bất kỳ
BT: 26 – 39 trong [1]
trang 233 – 235
2 giờ LT
1 giờ BT
10
Định lý Fatou – Lebesgue về
hội tụ bị chặn
So sánh tích phân Riemann
và tích phân Lebesgue
Chữa bài tập
BT: 40 – 55 trong [1]
trang 235 – 237
2 giờ LT
1 giờ BT
11
Không gian Lp: tính đầy đủ
và tách được của Lp
[a,b]
Tự học: bất đẳng thức Holder, Minkowski
Bài tập: 46, 47 trong [1] trang 236
2 giờ LT 1giờ tự học
12
Độ đo có dấu
Khai triển Jordan, khai triển
Hahn
Định lý Radon – Nykodym
Tự học: định lý phân tích Lebesgue trong [1] trang 234 – 236
BT: 57 trong [1]
trang 238
2 giờ LT
1 giờ tự học
13 Độ đo tích BT: 53 – 55 trong [1] 2 giờ LT
Trang 5Tuần Nội dung chính Yêu cầu sinh viên chuẩn bị chức dạy học Hình thức tổ Ghi chú
Định lý Fubini
Chữa bài tập
trang 238 1 giờ BT
14
Độ đo chính qui
Độ đo Radon
Tính đo được yếu, đo được
mạnh
Định lý Pettis
Chữa bài tập
2 giờ LT
1 giờ BT
15 Tích phân Bochner 3 giờ LT
8 Yêu cầu của giảng viên đối với môn học:
- Yêu cầu của giảng viên về điều kiện để tổ chức giảng dạy môn học như: giảng đường, phòng máy…
- Yêu cầu của giảng viên đối với sinh viên như: sự tham gia học tập trên lớp, quy định về thời hạn, chất lượng làm các bài tập về nhà, …
9 Phương pháp và hình thức kiểm tra đánh giá môn học:
9.1 Các loại điểm kiểm tra và trọng số của từng loại điểm
- Phần tự học, tự nghiên cứu, bài tập: 20%
- Thi giữa kỳ: 20%
- Thi cuối kỳ: 60%
9.2 Lịch thi và kiểm tra (kể cả thi lại)
- Thi giữa kỳ: tuần thứ 9
- Thi cuối kỳ: sau tuần thứ 15