Nghiên cứu và đánh giá các phương pháp tối ưu cho bài toán điện tâm đồ

MỞ ĐẦU Cho đến nay việc tính toán nguồn năng lượng điện trong tim từ các điện thế trên bề mặt cơ thể người là một bài toán về điện tâm đồ chưa được nghiên cứu nhiều, hơn nữa cũng khó có

Nguyễn Thị Thanh Vân

NGHIÊN CỨU VÀ ĐÁNH GIÁ CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN

ĐIỆN TÂM ĐỒ

LUẬN VĂN THẠC SỸ

HÀ NỘI 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

Nguyễn Thị Thanh Vân

NGHIÊN CỨU VÀ ĐÁNH GIÁ CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN

ĐIỆN TÂM ĐỒ

Ngành: Công nghệ thông tin

Chuyên ngành: Hệ thống thông tin

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 7

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 8

1.1 Giới thiệu chung 8

1.1.1 Giới thiệu sự cần thiết nghiên cứu điện tâm đồ 8

1.1.2 Điện trường sinh học 10

1.1.3 Hoạt động điện của tim và nguồn gốc điện tâm đồ 11

1.1.4 Nguồn điện sinh học và điện trường của nó 12

1.1.5 Điều kiện ghép tĩnh điện (quasistatic condition) 14

1.2 Những bước tiến trong nghiên cứu bài toán đảo điện tâm đồ 15

1.3 Mô hình toán học của bài toán 16

CHƯƠNG 2: CÁCH TIẾP CẬN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN 21

2.1 Cách tiếp cận chung để giải bài toán 21

2.1.1 Các phương pháp khả thi đối với lời giải bài toán đảo 22

Phương pháp kinh nghiệm 22

Tuân thủ các nghiêm luật của sinh lí học 23

Phương pháp lí thuyết trường dẫn 23

Mô hình hóa nguồn 23

2.1.2 Mô hình hóa 24

2.1.3 Tạo lưới phần tử hữu hạn 31

2.2 Bài toán thuận điện tâm đồ 33

2.3 Bài toán đảo điện tâm đồ 34

2.3.1 Bài toán 34

2.3.2 Xác định hàm mục tiêu 34

2.3.3 Nguồn lưỡng cực tương đương tối ưu 35

2.3.4 Giải quyết bài toán 37

CHƯƠNG 3: ĐÁNH GIÁ CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU 39

3.1 Thuật toán di truyền (Genetic algorithm) 39

3.2 Thuật toán mô phỏng luyện kim (Simulated Annealing) 46

Không gian trạng thái 49

Hàm nhiệt độ và hàm chi phí 49

3.3 Phương pháp Downhill simplex 51

3.4 So sánh ba phương pháp 55

3.4.1 Mô phỏng tính toán 55

3.4.2 Đánh giá của nguồn lưỡng cực 56

3.4.3 Kết quả thực nghiệm 56

3.4.4 So sánh ba phương pháp 57

KẾT LUẬN 59

Kết quả thu được 59

Hướng nghiên cứu tiếp theo 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT

ECG : Electrocardiography – Điện tâm đồ

FEM : Finite Element Method – Phương pháp phần tử hữu hạn

GA : Genetic Algorithm – Thuật toán gen di truyền

SA : Simulated annealing – Thuật toán mô phỏng luyện kim DS: Downhill simplex – Phương pháp downhill simplex

MỞ ĐẦU

Cho đến nay việc tính toán nguồn năng lượng điện trong tim từ các điện thế trên bề mặt cơ thể người là một bài toán về điện tâm đồ chưa được nghiên cứu nhiều, hơn nữa cũng khó có thể đưa ra được một phương pháp chính xác cho bài toán này Để giải quyết bài toán đảo điện tâm đồ, người ta sử dụng việc phân tích số với một mô hình nguồn năng lượng đặc biệt Tiếp theo, các giải pháp của bài toán đảo điện tâm đồ được tiếp cận bởi việc sử dụng một kỹ thuật lặp, tìm kiếm tối ưu toàn cục Trong luận văn này, đưa ra so sánh sự thực thi của ba thuật toán tối ưu đã được sử dụng rộng rãi cho bài toán đảo điện tâm đồ đó là thuật toán di truyền, thuật toán mô phỏng luyện kim và phương pháp downhill simplex Các kết quả mô phỏng trên máy tính thể hiện rằng thuật toán di truyền

là cách tiếp cận hiệu quả nhất trong việc định vị nguồn lưỡng cực

Nội dung luận văn được chia làm 4 chương, bao gồm:

Chương 1: Giới thiệu bài toán đảo điện tâm đồ

Chương 2: Cách tiếp cận để giải bài toán

Chương 3: Đánh giá các phương pháp tối ưu trong giải bài toán điện tâm đồ

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU BÀI TOÁN

1.1 Giới thiệu chung

1.1.1 Giới thiệu sự cần thiết nghiên cứu điện tâm đồ

Trong suốtnhững thập kỷ qua, những tiến bộ trong lý thuyết và công nghệ của các thiết bị điện tử hiện đại đã cải tiến đáng kể các phương pháp chẩn đoán

và điều trị y tế, kết quả là, hiện tượng điện sinh học và điện từ sinh học ngày càng trở nên quan trọng Ngày nay, chúng ta không thể tưởng tượng được nếu một bệnh viện mà không có các máy ghi điện tim và điện não thì sẽ trở nên nguy hiểm như thế nào Chính sự phát triển của vi điện tử đã dẫn đến sự ra đời của những thiết bị cầm tay như vậy đồng thời làm tăng khả năng chẩn đoán của các bác sĩ

Điện tâm đồ là công cụ đơn giản, hiệu quả trong việc phát hiện và điều trị các rối loạn tim mạch và đóng vai trò quan trọng trong chuẩn đoán bệnh tim Tín hiệu điện tim (ECG - Electrocardiogram) là tín hiệu biến đổi theo thời gian, phản ánh dòng điện ion gây ra bởi các tế bào tim khi co lại hay giãn ra

Hiện nay, hầu hết các phương pháp chủ yếu để chuẩn đoán các bệnh liên quan đến tim là các chuyên gia dựa vào lược đồ của tín hiệu điện tim cùng với kinh nghiệm lâu năm của mình để đánh giá Trên thực tế, rất khó để xác định được chính xác nguyên nhân, vị trí phát sinh ra các vấn đề này Với việc phân tích nguồn điện từ các tín hiệu điện tâm đồ đo được, đối với mỗi bênh nhân, nó cho phép các chuyên gia, bác sĩ biết được vị trí phát sinh ra các bất thường trong tim bệnh nhân để từ đó đưa ra các quyết định chính xác hơn

Các bài toán đảo điện tâm đồ (ECG Inverse Problem) thường là việc khám phá ra những nguyên nhân chưa biết từ các kết quả đã biết Nói cách khác, bài toán mà trong đó trường điện từ và vật dẫn đã được biết nhưng nguồn phát điện chưa biết được gọi là bài toán đảo điện tâm đồ [1] Trong những ứng dụng y học của hiện tượng điện sinh học thì bài toán đảo điện tâm đồ có tầm quan trọng đặc biệt

Do tầm quan trọng và hữu ích của nó, bài toán đảo điện tâm đồ đã thu hút rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm đến trong những thập kỷ trước (Rudy,

Mesinger và Rapport 1988, Huiskamp và van Oosterom 1989, Furukawa và các cộng sự 1989, T.Musha và các cộng sự 1998, Jaakko Malmivuo và Robert Plonsey 1995, Gulrajani và các cộng sự 1988,…) Và có một số phương pháp nghiên cứu về vấn đề này như: giải các công thức Gabor-Nelson một cách trực tiếp (Nelson 1981), sự kết hợp của biểu thức Brody và phương pháp Levenberg Marquardt (Gulrajani 1985) Gần đây, một cách tiếp cận mới đưa ra một giải pháp chính xác hơn đã được nghiên cứu để thu được lời giải cho bài toán đảo bằng việc kết hợp của các phân tích số, như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên, phương pháp khác nhau hữu hạn,… kết hợp với một

kỹ thuật lặp như phương pháp đơn hình, thuật toán mô phỏng luyện kim, thuật toán di truyền, thuật toán Tabu

Bài toán đảo ECG là bài toán đảo điện sinh học trong đó các giá trị điện thế tại một số hữu hạn các điểm đo trên vùng biên là có thể xác định và chúng ta phải xây dựng lại những nguồn điện chưa biết sinh ra những điện thế này Việc giải bài toán đảo ECG là rất khó bởi vì nó thuộc lớp các bài toán yếu theo tiêu chuẩn Hadamard, tức là nghiệm không phụ thuộc một cách liên tục trên miền dữ liệu và chỉ cần xuất hiện những sai sót nhỏ trong phép đo lường các điện thế trên

bề mặt cơ thể thì có thể sinh ra các sai số rất lớn đối với nghiệm

Do đó, điều tốt nhất mà chúng ta có thể làm là xây dựng một mô hình tham

số và cố gắng điều chỉnh các tham số chưa biết dựa trên những quan sát có sẵn Trong nghiên cứu này, các mô hình mô phỏng của vật dẫn thể tích (mô hình lồng ngực) được xây dựng từ những hình ảnh mặt cắt lồng ngực [12] Nguồn điện được coi như một lưỡng cực đơn nằm hoàn toàn trong vật dẫn thể tích hữu hạn, không đồng nhất

Đầu tiên, tôi sử dụng một phương pháp số để giải quyết bài toán Có nhiều cách tiếp cận như phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method), phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method), phương pháp sai phân hữu hạn có thể được áp dụng để giải quyết vấn đề này Trong luận văn này, tôi đề xuất phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) [10] vì đây là phương pháp tương đối dễ và phổ biến Với cách tiếp cận này, vật dẫn thể tích (miền nghiệm) được phân rã thành một số hữu hạn các phần tử và được kết nối thông qua các nút Tại mỗi nút, một phương trình vi phân được xấp xỉ bởi một biểu thức đại số gọi là hàm nội suy Những hàm nội suy này sau đó được thay thế vào các phương trình tích phân, tích hợp và kết hợp với các kết quả từ các miền nghiệm

rời rạc để có được một hệ các phương trình tuyến tính Cuối cùng, hệ này sẽ được giải cho các biến chưa biết

Tiếp theo, tôi áp dụng 3 thuật toán là thuật toán di truyền, thuật toán mô phỏng luyện kim và thuật toán downhill simplex và so sánh việc giải bài toán bằng 3 phương pháp trên Về mặt toán học, đây là một bài toán khó vì hình dạng của mô hình vật dẫn là không đồng nhất và hàm mục tiêu của nó rất phức tạp.Các kết quả mô phỏng trên máy tính thể hiện rằng thuật toán di truyền cục

bộ là cách tiếp cận hiệu quả nhất trong việc định vị nguồn lưỡng cực

kỹ thuật chụp ảnh mà nhờ nó tín hiệu được ghi lại bởi E J Marey và G J Lippman (1876) Waller phát hiện ra rằng bộ phát sinh điện tim có bản chất là lưỡng cực và đề nghị rằng điện tâm đồ nên được đo giữa 5 điểm đo bao gồm hai tay, hai chân và miệng (tổng cộng 10 lưỡng cực dẫn) Ông cũng là người đầu tiên ghi lại bộ 3 đường dẫn gần trực giao, bao gồm miệng tới tay trái, miệng tới chân trái, và trước ra sau

Horatio Williams, người đầu tiên xây dựng dãy các vector tức thời (Williams, 1914), thường được coi là người phát minh ra điện tâm đồ vector Hubert Mann đã nghiên cứu xa hơn về điện tâm đồ vector và phát triển nó như

là một công cụ lâm sàng Ông xuất bản điện tâm đồ vector hai chiều đầu tiên dựa trên tam giác Eithoven năm 1916 và gọi cấu trúc này là “monocardiogram” (Mann, 1920) Sau J B Johnson (1921) của công ty Western Electric đã phát minh ra ống tia catốt điện áp thấp, nó đã bắt đầu trở nên có thể hiển thị tín hiệu điện sinh học ở dạng vector trong thời gian thực Phát minh này cho phép điện tâm đồ vector được sử dụng như là công cụ lâm sàng

Phát minh về ống electron bởi Lee de Forest (người Mỹ, 1873-1961) năm

1906 cho phép tín hiệu điện sinh học được khuyếch đại, cách mạng hóa kỹ thuật

đo lường Cuối cùng, phát minh về transistor của John Bardeen và Walter Brattain năm 1948 đánh dấu bước khởi đầu cho thời đại bán dẫn Nó cũng cho phép các thiết bị điện từ sinh học được thu nhỏ lại, có thể di động và cấy vào cơ thể, và đáng tin cậy hơn

Hình 1.1.Việc ghi điện tim đầu tiên bởi Augustus Waller (1887) Bản ghi này được ghi với tĩnh điện kế mao dẫn Bản ghi tín hiệu điện tim (e) là đường ranh giới giữa vùng màu trắng và vùng màu đen Đường cong khác, là điện tim đỉnh,

một bản ghi về chuyển động cơ học của đỉnh của tim

1.1.3 Hoạt động điện của tim và nguồn gốc điện tâm đồ

Trong tế bào cơ tim, hay tế bào cơ, hoạt động điện giữ vai trò ý nghĩa như

cơ chế trong tế bào thần kinh,đó là: từ dòng chảy vào của các ion natri qua màng

tế bào Biên độ của điện thế hoạt động cũng tương tự, là khoảng 10 mV cho cả

tế bào thần kinh và tế bào cơ Tuy nhiên khoảng thời gian của một xung cơ tim

là dài hơn hai bậc so với tế bào thần kinh hay cơ xương Một pha ổn định theo sau quá trình khử cực, và sau đó là quá trình tái khử cực Như trong tế bào thần kinh, quá trình tái khử cực là hậu quả của dòng chảy ra ngoài của các ion kali Khoảng thời gian của xung hoạt động là khoảng 300 ms, như được thể hiện ở hình 1.2(Netter, 1971)

Một sự phân biệt quan trọng giữa mô cơ tim và cơ xương là trong cơ tim, hoạt động có thể kích hoạt từ một tế bào tới các tế bào khác theo mọi hướng Kết quả là, mặt sóng hoạt động có một dạng khá phức tạp Ngoại lệ duy nhất là ranh giới giữa tâm nhĩ và tâm thất, đó là nơi sóng hoạt động thường không thể đi qua ngoại trừ đi theo một hệ thống dẫn đặc biệt, bởi vì có một tấm chắn không dẫn là

mô xơ

Hình 1.2 Điện sinh lý học của tế bào cơ tim

Như trên, các trường hợp điện xảy ra tại tim ở mức nội bào, giống như các tín hiệu điện có thể được ghi lại bởi các siêu điện cực được đặt bên trong một tế bào cơ tim Tuy nhiên điện tâm đồ (ECG) là một phép ghi thế tĩnh điện được phát ra từ các hoạt động điện của tim trên bề mặt lồng ngực Có hai đặc tính quan trọng của tế bào tim chúng ta sẽ áp dụng để phân tích sự phân bố dòng điện

và điện thế kết hợp với quá trình truyền sóng Thứ nhất, các tế bào liên kết với nhau bởi các đường trở kháng nhỏ (các mối nối chỗ hở), kết quả là dòng điện chảy trong môi trường nội mô của một tế bào sẽ chảy tự do sang tế bào tiếp theo Thứ hai, không gian giữa các tế bào rất hạn chế (theo tính toán là nhỏ hơn 25% tổng thể tích) Kết quả là cả dòng điện nội mô và ngoại mô đều được hạn chế theo hướng song song với quá trình truyền các mặt sóng

1.1.4 Nguồn điện sinh học và điện trường của nó

Để xác định nguồn điện một cách chính xác thì trước hết ta phải đưa ra một tập điều kiện vì nó chỉ đúng đối với các dạng nguồn điện nằm dưới dạng các bộ dẫn điện Vì vậy trước tiên phải đưa ra một vài giả thiết giới hạn hay các điều kiện đầu

Tất cả các bộ dẫn điện được giả thiết là tuyến tính (linear) Nếu bộ dẫn điện được coi như đồng nhất, nó cũng được giả định là đẳng hướng

a) Nguồn điện trong bộ dẫn điện thuần nhất

Mật độ dòng tác động (x,y,z,t) là dòng không bảo toàn mà nó tăng lên từ hoạt động điện sinh học của tế bào thần kinh và tế bào cơ, do sự chuyển đổi năng lượng từ dạng hóa năng sang điện năng Các thành phần riêng rẽ của các nguồn điện sinh học này được coi như các lưỡng cực dòng điện (electric current dipoles) Do đó, mật độ dòng điện tác động bằng mật độ momen lưỡng cực khối của nguồn và nó bằng không tại những vùng nằm bên ngoài tế bào hoạt động (active cell)

Nếu bộ dẫn điện là vô hạn, thuần nhất và có độ dẫn là σ thì các nguồn chính tạo nên một điện trường E và một dòng điện dẫn có giá trị bằng σE Kết quả là: mật độ dòng điện tổng được xác định bởi:

(1.1) Giá trị σE thường được coi là giá trị dòng điện quay về Dòng này cần để tránh sự tích lũy điện tích do nguồn dòng tạo nên

Vì điện dung của mô là không đáng kể (các điều kiện ghép tĩnh điện) nên các điện tích nạp sẽ tự phân bố lại trong 1 khoảng thời gian ngắn để tương thích với bất kể sự thay đổi nào từ nguồn Do sự khác nhau của giá trị J tính toán theo tốc độ thay đổi mật độ điện tích với thời gian và mật độ điện tích nạp phải bằng không nên các giá trị chênh lệch của J phải bằng không Do đó, công thức 1.1 trở thành công thức Poisson:

(1.2) Công thức 1.2 là công thức vi phân từng phần biểu diễn theo Ф, trong đó

là hàm nguồn (source function hay forcing function)

Tính công thức 1.2 theo hàm vô hướng với một vùng đồng nhất và vô hạn,

ta có:

(1.3) Trong đó :

Δ dv trong công thức 1.3 được coi là nguồn điểm trong đó nó thiết lập nên

1 trường, biến đổi theo 1/r

Δ được định nghĩa như mật độ nguồn dòng ( IF )

Do ta tìm kiếm các giải pháp cho các điểm trường bên ngoài vùng xác định của nguồn điện nên công thức 1.3 có thể viết lại:

(1.4) Công thức trên biểu diễn sự phân bố của điện thế Ф theo nguồn điện sinh học trong một bộ dẫn điện thuần nhất và vô hạn có độ dẫn σ Ở đây, dv được coi

là thành phần lưỡng cực

b) Nguồn điện trong bộ dẫn điện không thuần nhất

Giả thiết rằng môi trường là đồng nhất, giả thuyết như vậy cho phép ta sử dụng các công thức đơn giản, chỉ đúng với các môi trường đồng nhất và thuần nhất Tuy nhiên, các môi trường thực tế nhìn chung là không thuần nhất Để xem xét tính không thuần nhất bằng cách xấp xỉ bộ dẫn điện bởi các vùng mà mỗi vùng được coi như là thuần nhất, thuần trở và đẳng hướng trong đó mật độ dòng điện quan hệ tuyến tính với điện trường E

Một bộ dẫn điện không thuần nhất có thể được chia thành một số lượng hữu hạn các vùng thuần nhất với đường bao quanh là Sj Trên các đường bao này, cả điện thế Ф và thành phần thông thường của mật độ dòng cần phải liên tục:

(1.5) Trong đó thành phần có 1 dấu phẩy và 2 dấu phẩy trên đầu biểu thị cho các cạnh đối diện nhau của đường bao và nj có hướng từ vùng 1 phẩy (vùng đại diện bởi thành phần có 1 dấu phảy trên đầu) tới vùng 2 dấu phẩy (vùng đại diện bởi thành phần có 2 dấu phẩy trên đầu)

1.1.5 Điều kiện ghép tĩnh điện (quasistatic condition)

Trong việc mô tả các nguồn điện được cấu thành bên trong cơ thể người, thành phần điện dung của trở kháng mô là không đáng kể trong dải tần của các tín hiệu điện sinh học bên trong cơ thể (theo kết quả nghiên cứu của Schwan và Kay (1957)) Các dòng điện dẫn khối (volume conductor currents) chủ yếu là

dòng dẫn (conduction current) và chỉ phụ thuộc vào điện trở của mô Những tác động của việc truyền sóng điện từ cũng có thể được bỏ qua (Geselowitz, 1963) Điều kiện này chỉ ra rằng: các điện áp và dòng điện sinh học biến thiên theo thời gian trên cơ thể người có thể được nghiên cứu trong giới hạn ghép tĩnh điện thông thường (conventional quasistatic limit) Đó là: tất cả dòng điện và trường hoạt động ở bất kì thời điểm nào như thể chúng không thay đổi Sự mô tả

về các trường được tạo nên từ các nguồn dòng (current source) được dựa trên những hiểu biết về các môi trường có trở kháng và có thể bỏ qua sự biến thiên thời gian

1.2 Những bước tiến trong nghiên cứu bài toán đảo điện tâm đồ

Về mặt tư duy, điện tâm đồ có thể dùng để mô tả hoạt động điện hóa học của mỗi phần tử của tim dựa trên các điện tâm đồ bề mặt cơ thể Hiện nay, trong mỗi lần thực nghiệm, các bác sỹ lâm sàng sử dụng điện tâm đồ để chẩn đoán tim của người bệnh có khỏe hay không dựa trên một mô hình lưỡng cực hiện thời của nguồn năng lượng điện của tim Chẩn đoán này chủ yếu có tính chất định tính hơn định lượng, và dựa trên nhận dạng mẫu theo kinh nghiệm hơn là dựa trên mô hình hóa sinh lý Nói cách khác, nó được thực hiện trong hầu hết thời gian thực và phải chấp nhận việc sử dụng các biến lâm sàng khác để ràng buộc

và xác nhận các kết quả chẩn đoán Dù là tư duy hay thực tế sử dụng điện tâm

đồ trong lâm sàng thì chúng cũng đều cần giải quyết bài toán đảo của điện tâm

đồ, và chúng đưa ra hai giải pháp quan trọng nhất trong số rất nhiều giải pháp cho bài toán này Có nhiều giải pháp hữu ích, tổng quát và có tính định lượng hơn so với việc thực nghiệm chẩn đoán hiện nay; các độ đo điện tâm đồ đa kênh (các bản đồ điện thế bề mặt cơ thể) cùng với một mô hình toán học của các nguồn năng lượng điện sinh học trong tim được sử dụng để mô tả hoạt động điện tim vĩ mô bằng việc đánh giá các giá trị của các nguồn năng lượng được mô hình hóa

Việc giải quyết bài toán đảo điện tâm đồ là vấn đề khó bởi hai đặc điểm Đặc điểm thứ nhất là mối quan hệ không đồng nhất giữa các nguồn năng lượng trong tim thực tế và các quan sát thu được - tập các độ đo giống nhau có thể là kết quả từ nhiều cấu hình nguồn năng lượng khác nhau Để đồng nhất vấn đề này, chúng tôi tìm kiếm các phát biểu về bài toán đảo có các mô hình nguồn đồng nhất, và chấp nhận một điều là có thể làm mất đi tính tổng quát, khả năng

ứng dụng và khả năng để xác định tính hợp lệ Đặc điểm thứ hai là ngày càng có

ít kết quả nghiên cứu về bài toán đảo (do sự không tập trung vào vấn đề này) và làm mịn (do sự đồng nhất không gian) các trường điện giữa nguồn và khả năng quan sát Việc khôi phục lại các nguồn từ kết quả các phép đo từ xa đòi hỏi sự tăng cường và “không mịn” Khi áp dụng các phép đo không sạch kèm theo nhiễu, hay việc sử dụng các mô hình có những lỗi về mô hình mà không thể tránh được, kết quả có thể lớn, không tuyến tính, thậm chí là các lỗi không liên tục trong bài toán đảo

Vấn đề của bài toán đảo điện tâm đồ đã được tổng kết đầy đủ trong những năm 1988-89 trong một loạt các tổng kết của Rudy và Messinger-Rapport và Gulrajani và các cộng sự Các bài báo đó mô tả các phương pháp giải quyết vấn

đề cơ bản không được xây dựng một cách thuyết phục, với các kết quả đưa ra không chính xác và ý nghĩa của nó chỉ có tác dụng trong nghiên cứu hoặc trong phạm vi lâm sàng Nghiên cứu trong những năm đó đã tập trung vào các chủ đề như sự gia tăng mạnh lỗi rời rạc hóa và những giả thiết về mô hình, cực đại hóa

sử dụng priori, phát biểu bài toán đảo theo các cách để làm giảm sự nhập nhằng

và tăng tính hữu dụng của các kết quả, xóa bỏ các trở ngại trong ứng dụng lâm sàng, và làm hợp lệ các giải pháp Gần đây, một cách tiếp cận mới đưa ra một giải pháp chính xác hơn đã được nghiên cứu để thu được lời giải cho bài toán đảo bằng việc kết hợp của các phân tích số, như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần tử biên (BEM), phương pháp khác nhau hữu hạn (FDM),… với một kỹ thuật lặp như lặp downhill simplex (T.Musha 1999), mô phỏng luyện kim (Gerson 1994), Newton-Raphson hoặc Levenberg Marquardt (Xanthis 2006),… [1], [2], [10]

1.3 Mô hình toán học của bài toán

Về mặt toán học, hầu hết các bài toán điện trường sinh học có thể được tính bằng công thức Poisson như sau [2], [9]:

Trong đó, là trường điện thế, là tensor dẫn suất điện, là dòng điện nguồn ( là đơn vị thể tích) trong dẫn suất khối và “ ” là toán tử vi phân Bài toán đặt ra là tính trong biểu thức 1.6 với đã cho, và điều kiện biên Neumann (biểu thức 1.7) và điều kiện Dirichlet (biểu thức 1.8):

trên (1.7)

Do sự phức tạp về mặt hình học và tính không đồng nhất của vật dẫn khối, nên rất khó để tìm ra một cách giải chính xác cho bài toán này Hầu hết các kỹ thuật tính toán số học giải quyết bài toán này đều chia một miền liên tục (vật dẫn khối) thành các phần tử rời rạc, được gọi là lưới, và khi đó bài toán vật dẫn khối chỉ có lời giải khi sử dụng một phương pháp xấp xỉ số học đặc thù nào đó

Trong luận văn này, tôi áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để giải quyết bài toán.Ý tưởng chính của phương pháp này là rời rạc hóa đối tượng thành các phần tử sử dụng hàm nội suy Đầu tiên, phương pháp phần tử hữu hạn tính toán biểu thức Poisson (1.6) với các điều kiện biên (1.7), (1.8)

Có một số chiến lược khác nhau cho quá trình rời rạc hóa miền nghiệm thành các phần tử cơ bản [9] như: chiến lược chia để trị, chiến lược tam giác Delaunay [2] …

Hình 1.3 Phần tử tam giác

Để đơn giản, chúng tôi sử dụng các phần tử hình tam giác được sinh ra từ chiến lược hình tam giác Delaunay [2] và hàm xấp xỉ hàm tuyến tính của trường điện thế bên trong một phần tử tam giác biểu diễn bởi phương trình sau đây:

(1.9) Miền nghiệm được chia thành các phần tử tam giác =e Trong mỗi phần tử tam giác e, các hệ số chưa biết a, b, c có thể tìm thấy từ ba phương trình độc lập của các điện thế , , tại ba nút (i, j, k) (Hình 1.3) bằng cách thay thế từng phương trình vào nút tương ứng của nó (1.9):

(1.10)

Trong đó (xi, yi), (xj, yj), (xk, yk) là tọa độ ba đỉnh tương ứng của phần tử tam giác (i, j, k) Viết dưới dạng ma trận ta có :

1 1 1

c y

(1.15)

là vector thành phần kích thước [1x3] Ký hiệu T trong phương trình là ký hiệu chuyển vị ma trận (ví dụ là chuyển vị của ma trận )

Từ đó, hàm năng lượng có thể được viết lại như sau

(1.16) Trong đó, M là số phần tử hữu hạn trong miền nghiệm Nghiệm của phương trình Poisson, hay gọi là nghiệm của bài toán thuận là giá trị tối thiểu hóa của hàm năng lượng Tức là điều kiện tối thiểu của hàm năng lượng đạt được tại giá trị này, khi đó ta có điều kiện tối thiểu của hàm năng lượng là :

(1.17) Phương trình này tương đương với hệ phương trình

1

2

00

Trong đó, N là số nút của lưới các phần tử trong miền nghiệm

Năng lượng điện thế tổng thể có thể được viết lại theo dạng phương trình

ma trận như sau :

(1.19)

{i1,i2, } là vector hệ số chứa thông tin và sự phân tán nguồn điện, và ma trận K

là ma trận chuyển vị chứa mọi thông tin về hình dạng, suất dẫn điện của miền nghiệm Bởi vì hàm cơ sở là khác 0 trong một số khoảng và số nút trong lưới là rất lớn nên ma trận K là ma trận thưa (số các phần tử khác 0 là rất nhỏ) và có kích thước rất lớn

Việc giải quyết hệ thống biểu thức tuyến tính (1.19) với các điều kiện biên

cụ thể, chúng tôi có thể tính điện thế tại mỗi nút với dẫn suất khối Sau đó, bài toán có thể được giải quyết bằng việc giải biểu thức:

(1.20)

CHƯƠNG 2: CÁCH TIẾP CẬN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN

2.1 Cách tiếp cận chung để giải bài toán

Hoạt động điện tim (Cardiac electric activity) có thể đo được trên bề mặt vùng ngực và được gọi là điện tâm đồ Tương tự như vậy, điện cơ đồ, điện não đồ, là các tín hiệu của các cơ, tế bào thần kinh và các bộ phận khác được đo trên bề mặt cơ thể người Câu hỏi đặt ra với các bác sĩ là phải xác định nguồn gốc điện của các tín hiệu đo được và sau đó, quan sát xem các nguồn này là bình thường hay bất bình thường Để làm được việc đó, người ta đã đặt ra bài toán đảo điện tâm đồ

Ta xem xét khả năng giải bài toán đảo điện tâm đồ thông qua một ví dụ đơn giản về nguồn và bộ dẫn (hình 2.1) Trong mô hình này, nguồn được đặc trưng bởi một pin đơn và bộ dẫn là một mạng gồm 2 điện trở Có 3 trường hợp trong

đó nguồn điện áp được đặt tại các vị trí khác nhau trong mạng và có các giá trị khác nhau Chú ý rằng: mặc dù biên độ của điện áp nguồn pin trong mỗi trường hợp là khác nhau, điện áp ra trong 3 trường hợp vẫn giống nhau, đều bằng 2 V Chúng ta có thể kiểm tra từng mạng bằng định lí Thevenin Định lí chỉ ra rằng: luôn luôn có thể thay thế một tập hợp các nguồn điện áp và một mạch liên hợp bằng một nguồn tương đương đơn và trở kháng nối tiếp Với định lí này, chúng ta có thể tính toán một mạng tương đương Thevenin cho 3 mạng ở trên Trong mọi trường hợp, mạng tương đương được tính ra là giống nhau, sức điện động 2V nối tiếp với trở kháng 4Ω Điều này chứng tỏ rằng, dựa trên các phép

đo ở bên ngoài, chúng ta chỉ có thể tính ra duy nhất một mạng Thevenin Chúng

ta đã chỉ ra rằng: mạng này tương ứng với cả 3 mạng có thực nhưng khác nhau

Ví dụ trên chỉ ra tính thiếu nhất quán trong việc tìm lời giải cho bài toán đảo Khả năng giải quyết bài toán đảo đã được bàn luận thông qua việc sử dụng một mạch điện đơn giản Người đầu tiên phát biểu rằng: bài toán đảo không thể

có một lời giải nhất quán là Hermann von Helmholtz (1853)

Hình 2.1 Biểu hiện của sự thiếu nhất quán trong việc tìm lời giải của bài

toán đảo

2.1.1 Các phương pháp khả thi đối với lời giải bài toán đảo

Xác định nguồn là lời giải của bài toán đảo điện tâm đồ Như đã nhắc đến ở trên, không có lời giải duy nhất cho bài toán đảo Vậy chúng ta có thể thắc mắc các bác sĩ chẩn đoán bệnh bằng cách nào Bốn phương pháp chủ yếu sẽ được đề cập ở dưới đây:

1 Phương pháp kinh nghiệm dựa trên sự thừa nhận một số mẫu tín hiệu chuẩn đã biết trước để kết hợp với các cấu trúc nguồn đã biết

2 Tuân thủ các nghiêm luật của sinh lí học dựa trên các thông tin hữu ích

về giải phẫu và sinh lí học của các mô hoạt động (active tissue) Phương pháp này phải tuân theo các giới hạn nghiêm ngặt về số lượng các giải pháp hữu hiệu

3 Kiểm tra mẫu trường dẫn (the lead-field pattern) dựa vào độ nhạy của các đầu đo (lead) và do đó cấu trúc nguồn xác định theo tính thống kê có thể dự đoán được

4 Mô hình hóa các nguồn và vật dẫn điện bằng các mô hình được đơn giản hóa Nguồn này được đặc trưng bởi các biến độc lập

Chúng ta sẽ đề cập chi tiết hơn về các phương pháp này ở dưới đây:

Phương pháp kinh nghiệm

Phương pháp này dựa trên kinh nghiệm của các bác sĩ để nhận dạng một số mẫu tín hiệu đặc trưng liên quan tới một số triệu chứng rối loạn đã biết Điều này có nghĩa là phép chẩn đoán dựa trên sự so sánh các mẫu tín hiệu thu được với một danh sách các mẫu liên quan tới những triệu chứng rối loạn bệnh lí Nếu tín hiệu được nhận dạng thì phép chẩn đoán có thể được tiến hành Quá trình này

cũng chính thức sử dụng một biểu đồ chẩn đoán (diagnostic tree) Quá trình chẩn đoán được thực hiện một cách có trình tự thông qua một số bước, xuất phát

từ cơ sở dữ liệu đã được thu thập Do đó, chúng ta có thể xây dựng chương trình trên máy tính để tự động hóa quá trình chẩn đoán

Tuân thủ các nghiêm luật của sinh lí học

Không có lời giải duy nhất cho bài toán đảo,điều đó có nghĩa là một cấu trúc nguồn sẽ tạo ra nhiều trường tương ứng khi thực hiện các phép đo Tuy nhiên, trong số nhiều lời giải, có thể chọn ra một lời giải đáp ứng đủ các tiêu chuẩn về mặt sinh lí học Chúng ta nói rằng: quy trình này đòi hỏi phải tuân thủ các nghiêm luật của sinh lí học

Phương pháp lí thuyết trường dẫn

Có thể xác định phân bố độ nhạy (sensitivity distribution) của các đầu đo (lead) Chúng ta có thể xác định hoạt động của nguồn dựa trên những thông tin này Đối với tất cả các đầu dò và các nguồn phân bố một cách thuần nhất, nguồn của tín hiệu dò được sẽ được xác định ở vùng mà độ nhạy của đầu dò là cao nhất Nếu hệ thống đầu dò được thiết kế để dò các nguồn tương đương như lưỡng cực, mạng 4 cực , thì tín hiệu dò được sẽ đặc trưng cho các nguồn tương ứng với nó Các nguồn này là mô hình được đơn giản hóa so với nguồn trên thực tế Trong khi các mô hình được đơn giản hóa không nhất thiết phải là nguồn thì nó lại đăc trưng cho các cấu trúc chính của nguồn

Mô hình hóa nguồn

Bài toán đảo có thể được giải quyết bằng việc mô hình hóa nguồn của tín hiệu điện sinh học hay từ sinh học và khối vật dẫn theo các cách sau đây:

1 Một mô hình được xây dựng cho nguồn tín hiệu Mô hình có một số giới hạn các biến độc lập nhưng vẫn phù hợp với tính giải phẫu và sinh lí của sự phân bố nguồn trên thực tế

2 Một mô hình được xây dựng cho khối vật dẫn Độ chính xác của mô hình khối vật dẫn phải bằng hoặc tốt hơn mô hình nguồn

3 Các phép đo độc lập được thực hiện trong khi mô hình có nhiều biến độc lập Bây giờ, chúng ta có những đẳng thức chưa biết và cần tính toán các biến của mô hình

Trong phương pháp mô hình hóa, ta phải chú ý tới việc xem xét thực nghiệm Đầu tiên, ta phải giảm độ nhạy đối với nhiễu, số phép đo độc lập tiến hành trên bề mặt cơ thể thường xuyên phải lớn hơn số biến trong mô hình nguồn Các đẳng thức được giải dựa trên phép xấp xỉ bình phương tối thiểu (least squares approximation) Thứ hai, độ nhạy đối với nhiễu sẽ tăng khi ta tăng

số biến độc lập Chẳng hạn như, ta có thể thu được nhiều thông tin hơn khi sử dụng nhiều hơn các đa lưỡng cực nhưng kết quả có thể trở nên vô nghĩa khi ta tăng số lượng lên quá nhiều

Lời giải này liên quan tới việc xác định cấu trúc nguồn tương ứng với việc tạo ra tín hiệu điện đo được Nó giúp ta dễ dàng thực hiện các phép chẩn đoán Bài toán đảo không có lời giải duy nhất Tuy nhiên, có thể dùng nhiều phương pháp xấp xỉ khác nhau để giải quyết bài toán

Trong các phương pháp trên, ở đây tôi sử dụng phương pháp mô hình hóa

để giải quyết bài toán đảo điện tâm đồ bằng việc mô hình hóa nguồn điện trong tim và vật dẫn điện

2.1.2 Mô hình hóa

Một phương pháp nghiên cứu chức năng của các cơ quan sống trên cơ thể

là xây dựng các mô hình mô phỏng hoạt động của các cơ quan một cách chính xác đến mức có thể Mô hình này có thể coi như tượng trưng cho các giả thuyết ứng với các quan sát vật lý Thông thường thì các điểm trong giả thuyết thường làm phức tạp hóa mối tương tác giữa các biến mà mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau của chúng rất khó xác định bằng thực nghiệm Hoạt động của các mô hình nên được điều khiển bởi các định luật cơ bản trong khoa học (ví dụ như định luật Ôm, định luật Kirchhop, các định luật nhiệt động học …)

Mục đích của mô hình là nhằm rút ra các kết luận và biểu hiện sống động các giả thuyết được đưa ra Có thể thực hiện các thí nghiệm với mô hình trong khi không thể làm điều này với các cơ thể sống Các mô hình đưa ra các thông tin đầu ra dựa trên các thông số cấu trúc và các đầu vào khác nhau.Từ đó có thể hiểu rõ hơn các hiện tượng thực tế thông qua việc so sánh kết quả trên mô hình với kết quả thực tế

a) Các mô hình cơ bản của nguồn điện

Có rất nhiều mô hình có thể sử dụng để mô hình hóa nguồn điện phát sinh trong tim như: nguồn điện đơn cực, đa cực, lưỡng cực, đa lưỡng cực, …

 Đơn cực: là mô hình đơn giản nhất chỉ có duy nhất một điểm nguồn và được đặc trưng bởi 4 tham số độc lập : vị trí (x,y,z) và độ lớn

Hình 2.1 Mô hình đơn cực

 Lưỡng cực: Mô hình lưỡng cực là dựa trên một lưỡng cực đơn với vị trí

cố định, hướng và biên độ biến đổi Mô hình này có 3 loại biến độc lập là biên

độ của 3 thành phần của nó theo hệ trục Đề các là x, y, z

Hình 2.2 Mô hình lưỡng cực

 Lưỡng cực chuyển động: Mô hình lưỡng cực chuyển động là một lưỡng

cực đơn có biên độ và hướng thay đổi giống như lưỡng cực cố định nhưng có vị trí thay đổi Do đó, nó có tới 6 biến độc lập

Hình 2.3 Mô hình lưỡng cực chuyển động

 Đa lưỡng cực: Mô hình đa lưỡng cực gồm một số các lưỡng cực, mỗi

lưỡng cực biểu diễn một vùng giải phẫu của tim Các lưỡng cực này cố định về phân bố vị trí và có biên độ thay đổi, hướng thay đổi Nếu hướng của đa lưỡng cực cũng cố định thì mỗi lưỡng cực chỉ có duy nhất một biến độc lập, đó là biên

độ Khi đó, số biến độc lập sẽ bằng với số lưỡng cực

Hình 2.4 Mô hình đa lưỡng cực

 Đa cực: Lưỡng cực được tạo nên từ 2 cực đơn bằng nhau nhưng ngược

dấu, được đặt cạnh nhau Một mạng 4 cực được tạo nên từ 2 lưỡng cực bằng nhau nhưng ngược dấu, đặt cạnh nhau Chúng ta có thể tạo được nguồn với số cực nhiều hơn bằng cách tiếp tục thực hiện như trên Mỗi nguồn như vậy được coi là 1 đa cực Điểm quan trọng về các đa cực là chúng có thể chỉ ra được các cấu hình của nguồn được đưa ra và nó có thể được biểu diễn bằng một tổng vô hạn các đa cực tăng theo bậc mũ Kích thước của mỗi đa cực thành phần phụ thuộc vào phân bố nguồn đặc biệt Mỗi thành phần của đa cực lại lần lượt được xác định bởi một số các hệ số Ví dụ, ta thấy lưỡng cực được mô tả bởi 3 hệ số Mạng 4 cực có 5 hệ số và cứ thế tiếp tục Đa cực có thể được minh họa theo

nhiều cách khác nhau Một trong số đó là đa cực điều hòa cầu (spherical

harmonic multipole)

Hình 2.5 Mô hình đa cực

Trong luận văn này, tôi xem nguồn điện phát sinh điện tâm đồ trong tim là một lưỡng cực động Tức là, nguồn là một lưỡng cực đơn có độ lớn, hướng và vị

trí thay đổi theo thời gian và có hướng từ đơn cực âm đến đơn cực dương

b) Các mô hình cơ bản của vật dẫn

Vật dẫn có thể được mô hình hóa theo một trong số các cách sau đây và chúng ta phân chia chúng theo mức độ phức tạp khó dần

 Vô hạn, thuần nhất: Mô hình thuần nhất của vật dẫn cùng với một sự mở

rộng vô hạn thường ít quan trọng Nó hoàn toàn bỏ qua các ảnh hưởng của đường bao vật dẫn và tính không thuần nhất bên trong

 Hữu hạn, thuần nhất: Dạng hình cầu: dạng đơn giản nhất của các mô

hình thuần nhất hữu hạn là mô hình dạng cầu (với nguồn là trung tâm của nó)

Nó chỉ ra rằng: đối với nguồn lưỡng cực thì điện trường tại bề mặt có dạng giống với trường hợp vật dẫn vô hạn thuần nhất tại cùng một bán kính ngoại trừ

có biên độ của nó là lớn gấp 3 lần mà thôi Do đó, có thể coi nó là một trường hợp không quan trọng

Dạng thực tế, thuần nhất: bộ dẫn điện thuần nhất có giới hạn hoặc hữu hạn cùng với hình dạng thực tế có xem xét đến ảnh hưởng của đường bao ngoài vật dẫn nhưng nó lại bỏ qua tính không thuần nhất ở bên trong

 Hữu hạn, không thuần nhất: Mô hình hữu hạn không thuần nhất đưa ra

các kích thước hữu hạn của vật dẫn và một hoặc nhiều hơn các tính chất không thuần nhất bên trong

Phần thân người - Mô cơ tim - Lượng máu trong tim có độ dẫn cao - Mô phổi có độ dẫn thấp - Lớp cơ bề mặt - Các xương không dẫn điện như xương sống và xương ức - Các bộ phận khác như các mao mạch lớn,gan

c) Trở kháng mô (Tissue Resistivities)

Cơ thể người có thể xem như một bộ dẫn điện tuyến tính, thuần nhất và có trở kháng Đa số các mô là đẳng hướng Tuy nhiên, cơ rõ ràng là không đẳng hướng Hình 2.1 mô tả lát cắt của vùng ngực và bảng 2.1 tổng kết lại trở kháng

mô của một số cơ quan trên cơ thể người Bảng liệt kê đầy đủ hơn về trở kháng

mô được đưa ra trong Geddes và Baker (1967), Barber và Brown (1984), Stuchly và Stuchly (1984)

5,6

Theo chiều dọc Theo chiều ngang

Rush, Abildskov, và McFee, 1963

13,2

Theo chiều dọc Theo chiều ngang Epstein vàFoster, 1982

21,7

Schwan vàKay, 1956 Rush, Abildskov, và McFee, 1963

Saha và Williams, 1992

Bảng 2.1 Giá trị trở kháng của các mô khác nhau

Hình 2.6 Lát cắt của ngực Giá trị trở kháng được đưa ra cho 6 loại mô khác nhau

khác nhau về điện trở, suất dẫn điện cho từng bộ phận trong mô hình đó

Ứng dụng trong lĩnh vực điện sinh lí học được quan tâm nhiều nhất là điện tâm đồ Nguồn điện được đặt hoàn toàn ở trong tim, trong khi bộ dẫn điện được cấu tạo từ tim và các cơ quan ở phần ngực Rush, Abildskov và McFee (1963)

đã giới thiệu 2 mô hình đơn giản về ngực Trong cả 2 mô hình này, đường bao ngoài có hình dạng của phần ngực Trong một mô hình đơn giản hơn, trở kháng của ngực được chọn là 10 Ωm Trở kháng của máu trong tim được gán là 1 Ωm Trong một mô hình chính xác hơn, trở kháng của phổi được chọn là 20 Ωm Cùng với đó, các cơ tim và cơ liên sườn được mô hình hóa với trở kháng là 4

Ωm, máu trong tim được gán trở kháng là 1,6 Ωm, như mô tả trong hình 2.7 Vì trở kháng mô đo được trên thực nghiệm có một khoảng biến thiên đáng kể nên

sẽ có một dải các giá trị được chọn để sử dụng trong các mô hình về ngực

Trong mô hình điện não đồ bậc nhất, toàn bộ tim được coi như đồng nhất

và có dạng cầu Trong mô hình bậc 2, buồng tâm thất trái có thể được mô hình hóa bởi 1 hình cầu bán kính 5,6 cm và do đó, có thể tích là 736 cm3 và giả thuyết

nó chứa đầy máu

Trong những năm trở lại đây, một vài mô hình đã được phát triển, dựa trên

cả 2 mô hình trên cũng như độ dẫn của tim, máu trong các khoang của tim, màng ngoài tim, phổi, các cơ bề mặt, mỡ, hình dạng bên ngoài của cơ thể Một

mô hình vật lý không thuần nhất và không đẳng hướng về phần thân người đã được xây dựng và mô tả bởi Rush (1971) Mô hình này cũng được Hyttinen sử dụng làm nền tảng cho mô hình máy tính

Hình 2.7 Mô hình đơn giản về ngực của Rush (1971) Các vùng tim, phổi và máu được phân biệt rõ ràng Vùng phổi được đồng nhất với tim và cơ bề mặt

Trong phần thí nghiệm của tôi, với các kết quả mô phỏng, chúng tôi sử dụng mô hình cơ thể xây dựng từ các ảnh lát cắt cơ thể người thật được lấy từ dự

án “The NPAC/OLDA visible human viewer”[9] Trong phạm vi luận văn này,

mô hình cơ thể được mô hình hóa chỉ bởi các bộ phận : tim, phổi và phần còn lại của lồng ngực,mỗi bộ phận sẽ có một suất dẫn điện, điện trở khác nhau và tôi chỉ dừng lại với các tính toán trong mô hình 2 chiều

Trong mô hình này, Các tham số suất dẫn điện cho từng bộ phận được sử dụng trong quá trình tính toán được mô tả trong bảng 2.2

Bảng 2.2 Suất dẫn điện cho từng bộ phận trong cơ thể

2.1.3 Tạo lưới phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số để giải các bài toán được

mô tả bởi các phương trình vi phân riêng phần cùng với các điều kiện biên cụ thể Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài toán Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con (phần tử) Các miền này được liên kết với nhau tại các điểm nút Để đảm bảo độ chính xác cho

mô hình miền nghiệm cũng như tỷ lệ giữa các miền khác nhau, mô hình vật dẫn được xây dựng từ các bức ảnh thực về lát cắt cơ thể người Từ đó, việc xây dựng miền nghiệm cho bài toán được thực hiện bằng cách tạo lưới các phần tử cơ bản

Có rất nhiều chiến lược để rời rạc hóa một miền nghiệm bất kỳ thành các phần

tử cơ bản,ở đây, tôi sử dụng lưới tam giác Delaunay Các giải thuật xây dựng lưới tam giác Delaunay được chia thành các hướng tiếp cận sau:

Hướng tiếp cận chia để trị: Đầu tiên, tập điểm đầu vào được chia thành các

tập con, thực hiện xây dựng lưới tam giác cho mỗi tập con rồi hợp nhất lại để tạo

ra lưới tam giác kết quả cuối cùng Tuy nhiên, phần hợp nhất các kết quả con thường cài đặt khá phức tạp

Hướng tiếp cận thêm từng điểm tuần tự [4]: Các giải thuật thuộc hướng

tiếp cận này khá đơn giản để cài đặt.Giả sử chúng ta có lưới tam giác Delaunay được xây dựng từ i-1 điểm Điểm thứ i sẽ được thêm vào lưới tam giác theo cách sau:

• Xác định tam giác chứa điểm i mới thêm vào lưới