Trong đó, là số hữu hạn các nút đƣợc chọn trên biên. là điện thế tính đƣợc và điện thế đo đƣợc tại các nút đó. Vấn đề của chúng ta là tìm lƣỡng cực có các trƣờng điện thế làm giảm thiểu hàm đánh giá này.
Khi đó, bài toán đảo trở thành tìm nguồn điện trong tim sao cho điện thế phát sinh làm tối thiểu hóa hàm f.
2.3.3 Nguồn lƣỡng cực tƣơng đƣơng tối ƣu
Nhƣ đã trình bày ở trên, mô hình nguồn điện đƣợc giả sử là một nguồn lƣỡng cực đơn hay còn gọi là nguồn lƣỡng cực tƣơng đƣơng vì nó đƣợc xem nhƣ là mô hình đại diện của các nguồn điện thật trong tim.
Với mô hình này, nguồn đƣợc đặc trƣng bởi năm tham số : vị trí tâm (x, y), góc quay , độ lớn của nguồn IV và khoảng cách nguồn d. Tại mỗi vị trí, có thể có nhiều lƣỡng cực khác nhau (khác nhau về góc quay, độ lớn). Lƣỡng cực tƣơng đƣơng tối ƣu là lƣỡng cực có cùng vị trí với các lƣỡng cực khác nhƣng có hƣớng và độ lớn làm tối thiểu hóa hàm mục tiêu của thuật toán tối ƣu toàn cục. Các lƣỡng cực tối ƣu này gọi là lƣỡng cực tƣơng đƣơng tối ƣu cục bộ [5]. Tại mỗi vị trí, luôn có ít nhất một lƣỡng cực tƣơng đƣơng tối ƣu cục bộ.
Hình 2.1 Luôn tồn tại lưỡng cực tối ưu cục bộ tại mỗi vị trí xác định
Mỗi lƣỡng cực đƣợc xem là một vector có hƣớng từ đơn cực âm đến đơn cực dƣơng. Khi đó, vector momen lƣỡng cực đƣợc xác định bởi công thức :
.
V
P I d
(2.4) Trong đó, d là khoảng cách nguồn và IV là độ lớn của các đơn cực. Khi đó, lƣỡng cực đƣợc đặc trƣng bởi momen lƣỡng cực và vị trí tâm.
Theo công thức tính trong chƣơng 1, các điện thế này tỷ lệ tuyến tính với momen lƣỡng cực, P, theo công thức
Φ = A(r).P (2.5)
Trong đó, A(r) gọi là ma trận chuyển tƣơng ứng với mỗi vị trí r cũng nhƣ moment của lƣỡng cực. Gọi Popt là momen của lƣỡng cực tối ƣu cục bộ, khi đó ta cũng có:
Popt = [At(r) A(r)]-1 At(r) Φopt (2.6) Gọi Φobs=(Φ1
obs,Φ2
obs,…,ΦN
obs) là điện thế đo đƣợc thực tế đƣợc xác định tại N vị trí trên lồng ngực thông qua các điện cực (electrode). Khi đó, Hàm mục tiêu của thuật toán tối ƣu toàn cục đƣợc xác định theo công thức bình phƣơng tối thiểu giữa điện thế đo đƣợc thực tế và điện thế phát sinh bởi lƣỡng cực. Ta có công thức:
S(r,P) = (Φobs-Φ)t(Φobs-Φ) (2.7) Khi đó, sai số của lƣỡng cực tối ƣu cục bộ sẽ đƣợc xác định nhƣ sau :
S(r,Popt) = (Φobs-Φopt)t(Φobs-Φopt)
= Φtobs{E-A(r)[At(r)A(r)]-1At(r)}Φobs (2.8) Trong đó, E là ma trận đơn vị, ký hiệu t là ký hiệu chuyển vị ma trận. Từ công thức trên ta thấy, hàm mục tiêu S(r, Popt) chỉ phụ thuộc duy nhất vào vị trí của lƣỡng cực chứ không phụ thuộc vào các tham số khác nhƣ hƣớng và độ lớn của lƣỡng cực. Và việc xác định lƣỡng cực tƣơng đƣơng tối ƣu toàn cục có thể đƣợc xác định bằng thuật toán tối ƣu toàn cục.