TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM
Biên soạn:
LE KHANH LUAN - NGUYEN THANH SON
LY THUYET
ic A | A
%& Danh cho sinh vién Dai hoc, Cao ding cdc tung khbi Kinh & Ngoai
hương, Quan tri kink doanh Ua én thi Gao hoc
Trang 3T; vài chục năm trở lại đây, môn Xác suất thống kê đã được giẳng dạy rộng rãi như một môn học cơ bản trong giai đoạn đầu tại tất cả các trường
đại học Kinh tế, Ngoại thương, Xã hội Nhân văn, Y dược, Kỹ thuật, Tự
nhiên, ở tất cả các hệ đào tạo
Nhằm đáp ứng nhu cầu dạy và học đó, qua kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm cho nhiều đối tượng khác nhau, chúng tôi biên soạn quyển sách này với hy vọng dành cho nhiều đối tượng độc giả
Môn Xác suất thống kê là môn học nghiên cứu về các sự kiện và các đại lượng ngẫu nhiên Nó sẽ trang bị cho chúng ta một công cụ để tìm hiểu quy
luật của một tiêu chuẩn trong một tập hợp đông đảo các đối tượng nghiên cứu Và ta biết cách phân tích, nghiên cứu thông qua các giá trị đặc trưng của nó Từ đó rút ra những kết luận cần thiết cho công việc của chúng ta
Môn học này được xem là khó đối với những người khơng chun tốn
Do đó, trong quyển sách này, chúng tôi cố gắng trình bày súc tích, ngắn gọn nhưng đẩy đủ các khái niệm cốt lõi và đưa ra những ví dụ minh họa để độc giả dễ hiểu Các bài tập được trình bày theo trình tự từ dễ đến khó
Để giúp độc giả học tập tốt và kiểm tra được kết quả học tập của mình, chúng tôi đã biên soạn quyển giải bài tập Và để dễ nhớ, dễ theo dõi, trong đó đầu mỗi chương chúng tôi có tóm tắt giáo khoa
Hy vọng quyển sách lý thuyết và quyển giải bài tập sẽ giúp độc giả học - tập hiệu quả
Mặc dù đã cố gắng nhưng không tránh khỏi những sai sót Mong đón
nhận những ý kiến đóng góp để lần tái bản sau hoàn chỉnh hơn
Trang 4Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp CHƯƠNG 0 TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP §1 NHẮC LẠI TẬP HỢP & ÁNH XẠ 1 TAP HOP:
1 Khai niém tap hop:
Tập hợp là một khái niệm tốn học, khơng định nghĩa được mà chi mô tả
như một họ hay một lớp các cá thể riêng khác nhau và có thể có chung một
Trang 54 Tập con: Tap A là tập con của tập B và ký hiệu A c B_nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B Ví dụ: A=(1,2,5) và B={1,2, 3, 4, 5, 6} Ta có Ac B 5 Các tập hợp số quen thuộc: = 0,1,2,3, } : tập hợp các số tự nhiên ~2,—1,0,1,2, }: tập hợp các số nguyên —|meZneN | seaphap ese sane R: tap hdp cdc số thực Nhân xét: NcNcZcQcR 6 Các phép toán của tập hợp: a) Giao: A giao B, ký hiệu A © B là tập hợp những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Ví dụ 1: ={a,b,c, d, e} B = {c,d, e, f, g, h} tac6 AM B= {c,d, e} AnB b) Hợp: A hợp B, ký hiệu A v2 B là tập hợp gồm những phẫn tử hoặc thuộc A, thoặc thuộc B Với A, B trong ví dụ 1,
ta có AtJ?B = {a, b, c, d, e, Ê, ø,h}
©) Hiệu: Hiệu của tập A đối với tập B, ký hiệu AWB là tập gồm những
Trang 6Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp
A\B = {x € A|x ¢ B} Vi du 3:
A= {a,b,c,d}, B={ce,d,e,f} thi A\B= {a,b}
7 Các tính chất của các phép tốn (¬, VU, bi)
a) Tính giao hoán: ANB=BQOA, AUB=BUA b) Tinhkéthop: (ANB) ANC=AN(BNOQ), (AUB)UCH=AU(BUC) c) Tinh phinbé: AN(BUC)=(ANB)U(ANO), AU(BoŒ)=(AOB)m(At2C) đ) Tính đối ngẫu (De- Morgan): AUB=ANB AQB=AUB tr ANH XA J Dinh nghia
Một ánh xạ f từ tập A vào tập B là một phép gán theo quy tắc, với
Trang 72 Ảnh của tập A bởi f Ký hiệu f(A) định bởi 0= {y cBly= f(a} Vidu 2: Theo vi du 1 ta có: ƒ(4)={y;.w,.,} 3 Toàn ánh Cho ánh xạ ƒ: 4> B Nếu f(A) = B ta nói f toàn ánh Nghĩa là Vy e B, 3x e A: f(x)=y 4 Ề Đơnánh Mọi x, xí e A nếu x # xỈ thì f(x) # f(x) ta nói f đơn ánh 5 Song ánh Khi ánh xạ f vừa toàn ánh vừa đơn ánh ta nói f song ánh Vi du 3:
Các ánh xạ sau, ánh xa nào là toần ánh, đơn ánh, song ánh?
đơn ánh toàn ánh song ánh
II TẬP ĐẾM ĐƯỢC:
Định nghĩa: Cho X là một tập vô hạn Nếu có thể thiết lập một song ánh giữa tập số tự nhiên Ñ với tập X thì ta nói X là tập đếm được
Nhân xét:
Trang 8Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp
§2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1 Nguyên lý nhân
Mội công việc được tiến hành qua 2 giai đoạn Nếu giai đoạn 1 có mị cách, giai đoạn 2 có mạ cách, thì số cách n để thực hiện toàn bộ công việc là: n=m, xm Vi du 1:
Đoạn đường từ A đến C phải đi qua B Từ A tới B có 2 lối đi, và từ B tới C
có 3 lối đi Vậy ta có 6 cách đi từ A tới C
B
A< ®% >2
Khi đó mị = 2, mạ = 3 và n= mị xmạ= 2x 3=6
Ví du 2:
“Tại một cửa hàng ăn sáng có 3 món ăn và 4 món uống Tâm được mẹ cho phép ăn một món và uống một món Hồi có bao nhiêu cách để Tâm lựa chọn
Số cách để Tâm lựa chọn là: n= m¡ x mạ= 3 x 4= 12
Tổng quát: Một công việc được tiến hành qua k giai đoạn Giai đoạn l có mị
cách, giai đoạn 2 có m; cách, , giai đoạn k có mụ cách Thì số cách n để thực hiện tồn bộ cơng việc là:
n=m,xXmxX xm Vidu 3:
Cụ Huy c6é 5 b6 quan áo mới, 4 cà vạt và 3 đôi giầy Mỗi lần đi chơi cụ mặc một bộ quần áo mới, thắt một cà vạt và máng một đôi giày Hỏi có bao
nhiêu cách để cụ Huy lựa chọn
Giải:
Số cách để cụ Huy lựa chọn là:
Trang 92 Chỉnh hợp
Một cách chọn lần lượt khơng hồn lại (chọn khơng lặp, có thứ tự) k phần
tử từ một tập hợp có n phân tử khác nhau, được gọi là một chỉnh hợp chập k trên n phần tử Goi A‘ 1a số các chỉnh hợp chập k trên n phân tứ Ta có: nÌ (n—k)! A‡ =n(n=1) -@—k+1)= Chứng mình: Để có một chỉnh hợp chập k, ta chọn phân tử đứng đầu có n cách, phần tử đứng thứ hai có (n— 1) cách, , phần tử đứng thứ k có (n — k + 1) cách Vậy theo nguyên lý nhân ta có: n _ _— = = A, =n(n-l) (n-k +1) (aby Nhận xét: Hai chỉnh hợp khác nhau nếu: —_ Có ít nhất một phần tử khác nhau —_ Hay thứ tự sắp xếp khác nhau Ví dụ I:
Biết rằng biển số xe gắn máy tại TP.HCM có 4 chữ số Hỏi có thể có tối đa bao nhiêu biển số trên đó có 4 chữ số hoàn toàn khác nhau
Giải:
Bốn chữ số hoàn toàn khác nhau trên một biển số xe là một chỉnh hợp chập 4 trên 10 phần tử {0, 1, 2, 9}, Nên số tối đa biển số trên đó 4 chữ số
hoàn toàn khác nhau là:
101 — 101
Trang 10Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào một dãy có 8 ghế Giải: Một cách sắp xếp 5 người vào 8 ghế là một chỉnh hợp chập 5 trên 8 phần tử Vậy số cách sắp xếp là: 8! 8! 4= =—=4x5x6ưx7x8§=6720 (8-5)! 3! Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chọn 4 người đi làm công việc khác nhau trong số 6 người được để cử Giải:
Một cách chọn 4 người đi làm 4 công việc khác nhau trong số 6 người được
Trang 11Vidu I: Mỗi giáo viên làm chủ nhiệm một lớp Hỏi có bao nhiêu cách bố trí 5 giáo viên làm chủ nhiệm 5Š lớp Giải: Một cách bế trí 5 giáo viên làm chủ nhiệm 5 lớp là một phép hoán vị: Vậy số cách bố trí là: P =5!=120 Vi du 2: Có 3 nam và 3 nữ, Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thành 3 đôi nam nữ để khiêu vũ Giải: Một cách sắp xếp thành 3 đôi nam nữ là một phép hoán vị Vậy số cách là: P,=3!=6 4, Chỉnh hợp lặp Một cách chọn lặp k phân tử có để ý đến thứ rự từ một tập hợp có n phần tử khác nhau (các phần tử có thể lặp lại tối đa k lần) được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k trên n phần tử Gọi 4# là số các chỉnh hợp lặp chập k trên n phân tử đó Ta có: 4 =nh k có thể lún hơn n Chung mình:
Trang 12Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp Ví dụ 1: Biết rằng vé số của TP.HCM có 6 chữ số Hỏi có thể có tối đa bao nhiêu vé số Giải: Sáu chữ số trên mặt vé số là một chỉnh hợp lặp chập 6 trên 10 phần tử {0, 1,2, , 9} Vậy số vé số có thể có là: A’, =10° =1.000.000 Ví dụ 2: Tau lửa có 8 toa, có 5 người lên tàu Hỏi nếu lên tùy ý thì có bao nhiêu cách lên tàu Giải:
Người thứ nhất có 8 cách lên tàu Người thứ hai có 8 cách lên tàu Người thứ năm có 8 cách lên tàu
Áp dụng nguyên lý nhân, ta có số cách lên tầu
8x8x8x8x8=8Ÿ
Cách khác:
Một cách lên tàu tuỳ ý của 5 người lên 8 toa là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 8 phân tử Vậy số cách là:
YS _ 95 4; =8 Ví dụ 3:
Giả sử có một vị thần có quyền ban phát ngày sinh cho con người Hỏi có bao nhiêu cách phân phối ngày sinh cho 5 cm bé ra đời trong năm 1993?
Giải:
Năm 1993 có 365 ngày, nên mỗi cách ban phát ngày sinh cho 5 em bé là
một chỉnh hợp lặp chập 5 trên 1993 phân tử Vậy số cách là:
Trang 135 Hoán vị lặp
Nếu trong n phần tử có m phần tử giống nhau thì mỗi hoán vị của n phân tử
đó được gọi là một hoán vị lặp
Gọi Pa(m) là số các hoán vị lặp đó, ta có: Pm) = = m Vidu I: Có 5 chữ số bằng nhựa: 2,1,1,1,3 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 1 dẫy số 5 chữ số đó Một cách sắp xếp 5 chữ số trên là một phép hoán vị lặp Vậy số cách là: ! ñ.Q)=Š =4x5=20
Tổng quát: Trong n phần tử có m¡ phân tử giống nhau, mạ phân tử giống nhau, , m, phần tử giống nhau
Số hoán vị của n phần tử này là: n ĐỚN, ***, Hụ ) = To m!m,! -m,! Vi du 2: ;' Nhà nàng cách 7 ô Đông 8 5 Cách § ô Bắc đường không đễ gì Vì yêu nên buộc phải đi
Mỗi ngày khác trước tính thì bao nhiêu Bế Mẹ nàng đố ấy điều
Nếu chàng tính đúng thì chiều ý ngay A 7
(Đi trên các cạnh của ô vuông Cho biết các ô vuông bằng nhau và đi theo - đường ngắn nhất)
Trang 14
Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp
Giải:
Gọi cạnh ô vuông theo cạnh chiều ngang là x, chiều đứng là y Thì đường
đi in đậm trên hình vẽ được biểu diễn như sau: XYYXXXYYVYYXXXYY Đó là sự đổi chỗ của 7 chữ x và 8 chữ y, chính là hoán vị lặp Vậy số đường đi là: 151 h,Œ.,8§)= 7181 = 6435 ngay 6 Tổ hợp
Một cách chọn k phần tử (không phân biệt thứ tự) từ một tập có n phần tử
Trang 16Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp Ta được: on -Œ) +Œ?—, +( Đ UP 'C? nà] + 1C? *> >0 f)_ Từ hai biểu thức đ) và e) suy ra biểu thức f Nhận xét 2: A‘ =C# xk! Vi du:
Có 6 người được để cử, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra bốn người và bố trí
vào 4 công việc khác nhau
Gidi:
Cach 1: Một cách chọn ra 4 người và bố trí vào 4 công việc khác nhau trong số 6 người được dé cử, là một chỉnh hợp chập 4 trên 6 phần tử Vậy số cách là: 6l 61 4 = =—=300 (6-4)! 2! Cach 2:
Giai đoạn I: — Chọn 4 người trong 6 người, có C¿ cách
Trang 17- Chứng mình: Chứng minh bằng truy chứng với n=1:(a+b)` = C?ab° + CŒ\a°b' =a+b đúng Giả sử công thức đúng với (n — ]), ta có: (a+b)” =(a+b)""'(a+b) =(Cha°b"'+C) a°b"? + Cab )\(a+ð) h =CÐP ,ab""! +C\ a2 + + C?"la"b + +C)a°b" +Cl_ ab"! + 4C7}a"'b =C) ab"! + (Cl, +Cl, Jab" + + (Œ? + )a”'b +Œ7a"p° a-l do CG +Ch aC, va C=C, C=C) nên ta có thể thay:
(a+ by" =Cea’b" +Clab"! + 4C7 la" 'b+Cra"b®
Trang 18Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp
BÀI TẬP
Bài 1: Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi xanh Lấy từ hộp ra 2 bi Có 3 cách lấy: 1) Lấy ngẫu nhiên 2 bi
a) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi? b) Có bao nhiêu cách lấy 2 được bi trắng?
c) Có bao nhiêu cách lấy được 1 bị trắng, 1 bi xanh? 2) Lấy lân lượt 2 bị Hỏi như câu l
3) Lấy có hoàn lại 2 bị (chọn lặp) Hỏi như câu 1
Bài 2: Có 10 người định cư vào 3 nước Nước Mỹ: 4 người, Pháp: 3 người, Anh: 3 người Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Bài 3: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 20 là nam Có bao nhiêu cách
chọn ra một Ban cán sự gồm 4 sinh viên nếu:
1) Có đúng 2 nam 2) Không có nam 3) Nhiều nhất 2 nam 4) Có ít nhất 1 nam
Đáp số
1) Của x Củ 2) Cũ
3) C?y x Cũ + Của X Cỉy + Của Clo
4) 4-8, Cho X Cis + Cho ¥ Cio + Coo ¥ Clo + C30
Bài 4: Trong một buổi dạ vũ có 22 nam va 18 nữ Hỏi có bao nhiêu cách
1) Hai người ra khiêu vũ 2? 2) Một đôi nam nữ ra khiêu vii ? 3) Ba đôi nam nữ ra khiêu vũ ?
Trang 19Bài 5: Người ta dùng 5 cột cờ để báo hiệu trên biển Biết rằng có tất cả 7
màu cờ khác nhau Hỏi có bao nhiêu tín hiệu khác nhau nếu: 1) Dùng màu tùy ý 2) Dùng 5 màu khác nhau 3) Hai cội kế tiếp không được cùng màu 4 Đáp số 1) A=? 2) A 3) 7x6x6x6x6
Bài 6: Một lớp học 30 sinh viên trong đó có 20 nam Có bao nhiêu cách chọn
ra một Ban cán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên học tập, 1 ủy viên đời sống Nếu : ˆ 1) Chọn bất kỳ 2) Lớp trưởng là nữ 3) Có đúng một nam 4) Toàn là nữ 5) Có ít nhất một nam Đáp số Ð 4s hoặc (C+XC„XC„XC; hoặc „x4 2) Clo x Ady 3) ChoxCiox 4! 4) Ato › C to x 4! 5) Cho X Chp * 4! + C?ax Cầax 4L + C?a x C]a x 4+ C4 x CP x 4! hode (C4)—Chy) x 4!
Bài7: Cùng câu hỏi như bài số 6, nếu Ban cán sự gồm: 1 lớp trưởng, 2 lớp phó và 1 ủy viên đời sống
Đáp số
Trang 20Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp Bài8: Có bao nhiêu sốn: 100< n <999 sao cho n gỗm : 1) 3 chữ số khác nhau 2) 3 chữ số lẻ 3) nlé và théa 1) 4) nchan va théa 1) Bài 9:
1) Có bao nhiêu số chấn gồm 5 chữ số (bỏ trường hợp số 0 ở đầu) 2) Có bao nhiêu số nguyên đương, mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau
Đáp số
1) 9.10°.5 = 45000 2) 4 — AZ = 648
Bài 10: Năm người cùng lên một đoàn tàu hỏa có 8 toa xe C6 bao nhiéu cách để:
I) Lên tùy ý 2) _ Lên cùng một toa
3) Lên 5 toa đầu 4) — Lên 5 toa khác nhau
5) A và B lên cùng toa đầu 6) _ A và B lên cùng một toa
Trang 21Bài 12: Có 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 chữ số này thành h¿i nhóm, chữ số chắn và chữ số lẻ riêng biệt nhau?
(Thí dụ: 13524, 42351 ; không xét 21352)
^
Đáp số
Trang 22Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác $uất CHƯƠNG 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT
§1L CÁC KHÁI NIỆM BAN ĐẦU
1 Phép thử - không gian mẫu - biến cố:
» _ Phép thử: Khi quan sát một hiện tượng hay làm một thí nghiệm và chú ý đến kết quá của hiện tượng hay thí nghiệm đó, ta nói đã làm một phép thử Người ta thường ký hiệu một phép thử bởi chữ T
“Không gian mẫu: Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử T, được gọi là không gian mẫu và ký hiệu là Q
= - Biến cố: Mỗi tập con AC ©, được gọi là một biến cố (hay còn gọi là biến cố ngẫu nhiên)
Ví dụ:
a) Quan sát tình trạng hoạt động của một máy là làm một phép thử Việc máy chạy tốt hay hỏng hóc là hai biến cố
b) Tung một đồng xu là làm một phép thử Mặt sấp xuất hiện hay mặt ngửa xuất hiện là những biến cố
2 Các loại biến cố
» _ Biến cố sơ cấp: Mỗi phần tử œ€ ©, được gọi là một biến cố sơ cấp =_ Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất thiết xảy ra khi phép thử được thực hiện Đó chính là khơng gian mẫu ©
=_ Biến cố không thể có: Là biến cố không thể xẩy ra khi phép thử được
thực hiện Ký hiệu Ø
» Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy
Trang 23A = {2,4,6}: biến cố mặt chấn B = {1,3,5}: biến cố mặt lẻ C = {1,2}: bién cd D = {1,2,3,4,5,6}: bién cd chdc ch4n, tc JA D=Q E= {7}: biến cố không thể có, tức là E = Ø
Nếu mặt một xuất hiện: ta nói biến cố {1}, B, C, D xảy ra Nếu mặt hai xuất hiện: ta nói biến cố {2}, A, C, D xảy ra
3 Số trường hợp đồng khả năng
—_ Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng xảy ra như nhau, được gọi là đồng khả năng
—_ Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp đều đồng khả năng thì số phần tử của không gian mẫu được gọi là số trường hợp đồng khả năng của phép thử : Vi du: 1) Tung một đồng xu cân đối đồng chất, ta có số trường hợp đồng kha năng là 2 2) Tung một con súc sắc cân đối đồng chất, ta có số trường hợp đồng khả năng là 6 Quy ước:
Từ nay về sau trong bài toán tung súc sắc hay tung đồng xu và không nói
gì thêm, ta hiểu đó là con súc sắt hay đổng xu cân đối đồng chất Còn nếu
Trang 24Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất 4 Các phép toán về biến cố
Cho A, BC QO
a) Téng cha 2 biến cố A và B, ký hiệu A + B định bởi:
A+B=AUB
A+B xay ra khi A xay ra hay B-xảy ra
b) Tích của 2 biến cố A và B, ký hiệu A.B định bởi:
AB=A(MB
A.B xây ra khi A và B đồng thời xây ra
c) Phần bù của biến cố A CO, ký hiệu A định bởi:
A =OA=[weOl wø A}
Vidu 1: Hai sinh vién A,B cùng dự thi môn XSTK Gọi A là biến cố sinh
Trang 25- 5, Các tính chất của các phép toán (+, , bù) a) Tính lũy đẳng: A+A=A A,A=A b) Tính giao hoán : A+B=B+A A.B=B.A c) Tính kết hợp: A+(B+C)=(A+B)+C A(BC) = (AB)C d) Tính phân bố: A(CB+C)= AB + AC A+BC=(A +B) (A + C) e) Tính đối ngẫu (De-Morgan): A+B=A.B AB = A+B
6 Quan hệ giữa các biến cố
a) Xung khắc: hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu biến cố này xây ra thì biến cố kia không xây ra
Tức là : A.B= Ø
b) Họ xung khắc: (còn gọi là họ xung khắc từng đôi)
Họ các biến cố A;, A,, A„ được gọi là họ xung khắc nếu một biến cố bất kỳ trong họ xây ra thì các biến cố còn lại không xây ra
Tứclà:A,A=Ø Vij@G#j
+) Đối lâp: hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu chúng thỏa: 1 Xung khắc nhau: A.B= Ø
ii) Phải có một trong hai biến cố xây ra: A + B = Ô
d) Họ đầy đủ: Họ các biến cố Ai, A¿, A„ được gọi là một họ đây đủ nếu chúng thỏa
Trang 26Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất 2) Phải có một biến cố trong họ xảy ra:
A, +A, + +A,=2
Ví dụ: Tung một con súc sắc Gọi A; là biến cố mặt ¡ xuất hiện Ta có: A¡, A; xung khắc nhau
A.A đối lập nhau
Ai,A;,A;, A„ là một họ xung khắc A;,A;, A¿, Au, A¿, Á¿ là một họ đây đủ
§2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Là số đo khả năng xắy ra của biến cố đó Có 3 cách định nghĩa Đinh nghña xác suất theo cổ điển:
Cho A c- O, xác suất của biến cố A, ký hiệu P(A) định bởi: P(A) =
n
Trang 27Gọi A là biến cố chọn được bi đỏ
„ 4 1
"Ta có: P(A) = —=—
12 3 Dinh nghĩa xác suất theo thống kê:
—_ Nếu ta thực hiện n lần một phép thử và thấy r lần biến cố A xảy ra, thì tỷ số:
f(A) =~
n
được gọi tần suất của biến cố A
— Gọi f,({A) là tần suất của biến cố A sau n lần thực hiện một phép thử Nếu số lần thử n tăng lên mà tân suất luôn giao động quanh một số không đổi p và ngày một gần tới số này, thì giá trị p này được gọi là xác suất biến cố A và viết P(A) =p , Vi du 3: 1) Tung 10 lần một đổng xu méo thấy 3 lần mặt sấp xuất hiện Ta có 3 f(S)= — =0,3 - 10
2) Néu ta tung déng xu méo dé n lan và khi n khá lớn nếu thấy /„(S)
dao động quanh giá trị 0,25 thì ta có P(S)=0,25
* Ghỉ chí: Đối với những phép thử không có số trường hợp đồng khả năng, người ta phải dùng tấn suất và định nghĩa xác suất theo thống kê để xác định xác suất của một biến cố nào đó
Ngoài ra còn có định nghĩa:
Đinh nghĩa xác suất theo hệ tiên đề:
Cho P(Q) = {A} Ac Q} Anh xạ P: P(O) — [0, 1] thỏa: Tiên để 1: 0<P(A) <I, VACO
Tién dé 2: P(Q) = 1
Trang 28Chương I: Các khát niệm cơ bản của xác suất
Khi đó với Ac ©, giá trị P(A) được gọi là xác suất của biến cố A Định nghĩa xác suất theo hình học
Một phép thử + có vô hạn biến cố sơ cấp kết cục đồng khả năng A là biến cố bất kỳ trong phép thử Nếu có thể biểu diễn:
1) Tập hợp vô hạn biến cố sơ cấp trong phép thử trên là miễn S,
2) Tập hợp tất cả biến cố sơ cấp thuận lợi cho A là miền s, thì xác suất của biến cố A là:
P(A)= độ đo của s độ đo của S
(độ đo có thể là độ dài, diện tích, thể tích)
Vị dụ 4; Hai người yêu nhau hẹn nhau tại một quán café, trong khoảng từ 7.00
~ 8.00 tối, mỗi người có thể đến chỗ hẹn vào bất kỳ thời điểm nào trong
khoảng thời gian này Hôm đó cả hai cùng có việc bận đột xuất nên giao hẹn
rằng người nào đến trước sẽ chờ người kia, quá 20 phút thì đi Tính xác suất hai người gặp được nhau
Từ 7.00 — 8.00 là ó0 phút
Thời điểm đến chỗ hẹn của A là x (kể từ 7.00)
Thời điểm đến chỗ hẹn của B là y (kể từ 7.00)
0<x<60 3 0<y<60
Trang 2960
20
Nhận xét:
Miễn biểu điễn của lx - yl < 20 là miễn có gạch chéo
Suy ra xác suất để 2 người gặp nhau là tỷ số diện tích của miễn có gạch
Trang 30Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất ` m+r m r Nên P(A +B)= =— + —=P(A)+P(B) n noon 4) A cén—mphan tit Nén P(A) = Dinh ly 2:
Cho Aj, Ao, As, ., A, A mét ho xung khac
Ta c6 P(A, + Ap + + Aq) = P(A1) + P(A2) + + P(A)
Chứng mình: Chẳng hạn n = 3
Ta có : P(A; +A2 +A3)
= P[Ai +CAa+ À¿)] đo Ai(As+ As)=Ø
= P( Ay) +P(A2 +A3)
= P(Ai)+P(A¿) +P(A¿) do A¿.A:=Ø
Ví dụ 5: Một người bắn vào bia, bia có 3 vòng Xác suất để trúng vòng 1 là 0,2; trúng vòng 2 là 0,4; trúng vòng 3 là 0,3 Tính xác xuất người đó bắn I phát trúng bia : 2 tale Io
Trang 31Chứng mình: Ký hiệu ©: n là O có n phần tử Ta có: A+B:m+r-s m+r—-s Nên P(A+ B)= ————— n mrs nền n = P(A) + P(B) - P(AB)
Vidu6: Trong số 100 người nữ, số người thích nước hoa A là 60, số người
thích hoa B là 70, và số người thích cả 2 loại trên là 50 Chọn ngẫu nhiên một
người Tính xác suất để người này thích ít nhất một trong hai loại nước hoa
trên
Giải:
Gọi A là biến cố gặp người thích nước hoa A, B là gặp người thích nước hoa B, và F là biến cố gặp người thích ït nhất một trong hai loại Ta có F=A+B và P(F) = P(A) +P(B) - P(AB) 60 70 -.60, 10 50 40 0g “100 100 100 100- > Mở rộng: 1) P(A+B+C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) — P(BC) — P(CA) + P(ABC)
2) P(A+B+C+D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) - P(AB) - P(BC) - P(CA)
Trang 32Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất
§3 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Đỉnh nghĩa: Cho A,B c Ơ© có P(B) > 0 Xác suất của biến cố A được tính với điểu kiện biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A đối với biến cố B và viết P(A/B)
Khi d6 P(A/B) = Š- P49)
r P(B)
r: số trường hợp thuận lợi để B xảy ra s: _ số trường hợp thuận lợi để AB xây ra
Ví dụ: Tung một con súc sắc Gọi A là biến cố mặt nhất xuất hiện, B là biến
cố mặt lẻ xuất hiện Tính P( A/B), P(B/A )
Giải:
Tacó: A=(l}, B= {1,3, 5}
1 1
P(A/B)== , (A/B)= 3 p(B/A)===1 (B/A)= +
Dinh ly 1: (công thức nhân xác suất) Cho A,BC 9 Ta c6: P(A.B) = P(A) P( B/A ) = P(B) P( A/B) Chitng minh: Gi sit P(A), P(B) > 0 Công thức xác suất có điều kiện cho ta xưa P(AB) P(A/B)= ——” (A/B) = ogy = PAB) = P)PCA/B) P(AB) = P(B)P( A/B (1) 1 P(AB)
A)= ——— P(AB) = P(A)P(B/A 2
Trang 33(1) và (2) suy ra kết quả trên ©
Cơng thức cũng đúng cho trường hợp P(A) = 0 hay P(B) = 0
a
Tổng quát:
P(AiA¿A¿ A,) =P(A,) P(⁄4)P(⁄44) -P(3⁄44 4.)
Vidu: Bỏ ba lá thư viết sẵn cho 3 cô vào 3 phong bì một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để cả 3 cô đều nhận được thư viết cho mình Giải: Gọi A; là biến cố cô thứ ¡ nhận đúng thư, F là biến cố cả 3 cô đều nhận đúng thư Ta có: F=A,A,A3 PCF) = P(A,)P(4%,) P(4/.4) 1 1 1 1 =—x—x—=— 3 21 6
§4 SỰ ĐỘC LAP CUA BIẾN CỐ
Định nghĩa:Cho A,B c © Ta nói A, B độc lập nhau nếu:
P(A.B) = P(A).P(B)
Nhén xét 1: Cho A,B <Q có P(B) > 0
Ta có: A, B độc lập nhau <> P(%) = P(A)
Nhận xét 2: Các biến cố độc lập nhau thường nằm trong những không gian mẫu đơn giản khác nhau
Ví dụ: Tung một lúc 2 đồng xu Gọi S; là biến cố mặt sấp xuất hiện ở đồng xu thứ ¡ Ta có S¡, S; độc lập nhau
Giải:
Trang 34Chương Ì: Các khái niệm cơ bản của xác suất
Chỉ xét xu 2 ta có không gian mẫu ©; = {S;, Nạ} Xét cả 2 đồng xu ta có Q = {(S,S), (5,N),(N,S), (N,N)} Va S, = ((S,S), (S,N)} So = {(S,S), (N,S)} Q,, Qs 1a nhtfng khéng gian đơn giản khác nhau Ta có P(S/5,)= P(S,S)=~ 1 1.1 P(S,).P(S;)=2x*z =2 Vậy P(S¡S;) = P(S¡) P(S¿) Nên S¡, 5; độc lập nhau
Định lý Il: Cho A,BC © Ta có:
A, B độc lập nhau © A,B độc lập nhau
Chitng minh:
Chỉ cần chứng minh chiểu — là đủ:
Vì A= A.B+A.B có (AB).(A.B) =Ø nên P(A) = P(AB) + P(AB)
= P(AB) + P(A)P(B) vi A.B độc lập
= P(AB) = P(A)[1 - P()] = P(A)P(B)
Vậy A, B độc lập nhau
Hệ quả: A, B độc lập nhau > Â,B độc lập nhau
Định nghĩa: (Họ độc lập từng đôi)
Trang 35P(A,.A,)=P(A,)P(A,) vi,j(#j)
Định nghĩa:(Họ độc lập toàn thể)
Họ các biến cố Ai, A› Aa được gọi là độc lập toàn thể, nếu một biến cố
trong họ và tích của một số bất kỳ các biến cố còn lại là độc lập với nhau Tức là:
(
PÍA.1A,)= P(A,)P|
jeJ HA,|, VIe{l2 n}= jeJ
Dinh ly 2: Cho A;¿, A; A„ là một họ độc lập toàn thé
Ta có P(A,.Az An) = P(A) P(A2) P(A¿) Chitng minh:
Từ công thức nhân tổng quát, ta có: P(A, A2A3 An)
= P(A,)P(A,/A, )P(A5/A,A, ) P(A,/4,4, -4, ) CD)
Do tnh độc lập toàn thể, ta có:
P(A/A,) = P(A)
P(A3/A, A>) = P(A3) P(A,/A Az An-1) = P(A,)
Thay vào (1), ta có được công thức cần tìm
Trang 36Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất
P(A) = P(A)) P(A¿) P(A3)=0,5 0,6 0,7=0,21
b) B=Ai+ A +A3¢> B=A1A2A3
PCB) =P(A ,) P(A) P(A 3)=0,5.0,4.0,3=0,06
P(B) =1 - PCB) =! - 0,06= 0,94
¢) C= 4 A2A3+ A, A) A3+ A, ApA\(téng của 3 biến cố xung khắc) d) D=A,+ A,+ A= D =A¡A›A;
PWD) = I-P(D )=1-P(A,A2A3)=1-0,21= 0,79
Nhat xét:
Họ biến cố độc lập toàn thể => Họ biến cố đó độc lập từng đôi Ví dụ: Cho Q={1, 2,3, 4} và các kết quả xấy ra đồng khẩ năng XétA={1,2},B={1,3},C= {1,4} Ta co A, B, C là độc lập từng đôi nhưng không độc lập toàn thể vì: 2 11 1 P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB)= ậ x 2 x 7 = 7 1} i 1 4 con P(A).P(B).P(C) = 215 “3 “ “
Vậy P(ABC) z P(A) P(B) P(C) (không thỏa định nghĩa)
§5 CONG THUC XAC SUAT DAY DU
Bàitoán: Cho A¿, A¿, Aa là một họ đầy đủ Biết các xác suất P(A,), P(A;), P(A,) và P(F/A,), PŒE/A;), PŒ/A,) với F là một biến cố nào đó
Tính PŒ), P (A/)
Trang 37Chứng mình: Do giả thiết ta có: Ai, Aa, , Aa là một họ xung khắc và A, + Azg+ +A,=Q DoFcQnénF=0.F Suy ra F= (A, + Ap + + Ay) F =A,F+ AF + + A,F
AIE, AsF, , AaF là họ xung khắc Nên P(F) = P(A\F) + P(AsF) + + P(A,F)
= P(A))P(F/A,) + P(A;)P(F/A;)+ + P(Aa)PŒ/A,) Dinh ly 2: (công thức Bayès) P(A,).PŒể/A,) P(A,!F)= PU Chứng mình: Từ công thức nhân ta có: P(A;F) = PŒ) P(A/#) = P(A)PŒ/A) Suy ra công thức cần tìm
Trang 39BÀI TẬP
Bail: Bắn vào bia 5 phát Gọi A;¡ là biến cố bắn trúng ít nhất ¡ phát, B, là biến cố bắn trúng đúng ¡ phát
1) Diễn tả các biến cố: 4,,8,, 4,,,
2) Hai biến cố 4,, #8, có xung khắc nhau không ?
3) Diễn tả các biến cố:A+B,, 8, + 4,, A,B,, AB,
Bài2: Kiểm tra 3 sản phẩm Gọi A¿ là biến cố sản phẩm thứ k tốt Hãy trình bày các cách biểu diễn qua A, và qua giản đổ Venn các biến cố sau đây: a) b) €) d) C) f)
Bài 3: Có ba người cùng bắn vào mục tiêu, mỗi người bắn một phát Gọi A; là biến cố người thứ ¡ bắn trúng Hãy biểu diễn qua A; các biến cố sau : : tất cả đêu xấu > : có ít nhất một sản phẩm xấu : có ít nhất một sản phẩm tốt : không phải tất cả sản phẩm đều tốt mừmởữaœUư : có đúng một sản phẩm xấu Tl : có íL nhất 2 sản phẩm tốt a) A : chỉ có người thứ nhất bắn trúng b) B : người thứ nhất bắn trúng còn người thứ hai bắn trật cì C : có ít nhất l người bắn trúng d) D : cả 3 người đều bắn trúng e) E : có ítnhất 2 người bắn trúng f E : chỉ có 2 người bắn trúng g) G : không ai bắn trúng
h) H : không có hơn 2 người bắn trúng
i) 1 : người thứ nhất bắn trúng, hoặc người thứ hai và người thứ ba cùng bắn trúng
j) K_: người thứ nhất bắn trúng hay người thứ hai bắn trúng
Bài 4: Tung 2 con súc sắc Gọi A là biến cố “số nút trên súc sắc I chia hết cho số nút trên súc sắc 2”, B là biến cố “tổng số nút trên 2 súc sắc là một số chắn” : Hỏi A và B có độc lập nhau không, có xung khắc nhau không 2
mal
.Bài5: Tung một con súc sắc 2 lần Goi A; (i =1,6) 14 biến cố xuất hiện mặt !
chấm ở lần tung thứ nhất; B; (j = 1,6) là biến cố xuất hiện mặt j chấm ở lần
Trang 40Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất
tung thứ hai A là biến cố: “tổng số chấm của hai lẫn tung là 8”; B là biến cố:
“tích số chấm của hai lần tung là 8” và C là biến cố: “giá trị tuyệt đối của hiệu số chấm hai lẫn tung là 2” Hãy biểu diễn biến cố A,B,C theo các biến cố A¡ và B,
Bài6: — Quan sát 4 sinh viên làm bài thi Kí hiệu B,(j = I,2,3.4) là biến cố sinh viên j làm bài thi đạt yêu câu Hãy viết các biến cố sau đây:
a) Có đúng I sinh viên đạt yêu cầu — b) Có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu
c) Có ít nhất I sinh viên đạt yêu cầu d) không có sinh viên nào đạt yêu cầu
Bài 7: Cho một ví dụ mình họa độc lập từng đôi không suy ra độc lập tồn thể Bài§: Tung I đồng xu sấp ngửa 3 lần Đặt các biến cố sau: Az (SNS, NSN}, B= {NNN, NNS, NSN, NSS} , C= (NNN, NSN, SNN, SSN} Chứng mình A, B, C độc lập từng đôi nhưng không độc lập toàn thể ow l l l Bài 9: Cho A và B là 2 biến cố sao cho P(A) = 3" P(B)= 3° P(A.B) = 5 Hay tinh: -
1) P(A+B) 2)P(A+B) 3) P(A+B) 4) P(A.B) 5) P(A.B) 6) P(A.B) 7) P(A+B) 8) P(A/B)
9 P(1/B) 10) P(AB/B) 11)P(A 8/8) 12) P(A B/B) 13) P(A4B/ AB) 14) P(AB/ A+B)
HD: 1)190 2)4/5 3) 11/30 4) 4/5 5) 3/10 6) 2/15 7) 7/10 8) 3/5 9)2/5 10) 3/5
11) 0 12) 9/20 13) 1 14) 4/21
Bài 10: Một hộp có 5 bị trắng, 3 bị xanh Lấy từ hộp ra 2 bi theo 3 cách lấy: 1) Lấy ngẫu nhiên 2 bì
2) Lấy lần lượt khơng hồn lai 2 bi _ 3) Lay Hin lượt có hoàn lại 2 bí Theo từng cách lấy Tính xác suất:
a) Lấy được 2 bị trắng b) Lấy được ! bị trắng