1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Lý thuyết Xác suất thống kê - có hướng dẫ sử dụng máy tính giải bài toán thống kê

289 1,4K 0
Tài liệu được quét OCR, nội dung có thể không chính xác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 289
Dung lượng 5,87 MB

Nội dung

Khai niém tap hop: Tập hợp là một khái niệm toán học, không định nghĩa được mà chi mô tả như một họ hay một lớp các cá thể riêng khác nhau và có thể có chung một thuộc tính nào đó.. Một

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM

Biên soạn:

LE KHANH LUAN - NGUYEN THANH SON

LY THUYET

ic A | A

%& Danh cho sinh vién Dai hoc, Cao ding cdc tung khbi Kinh & Ngoai

hương, Quan tri kink doanh Ua én thi Gao hoc

3 đó hướng dẫn sit dung may tinh tay để giải các bài toán thống kê

Trang 3

T; vài chục năm trở lại đây, môn Xác suất thống kê đã được giẳng dạy rộng rãi như một môn học cơ bản trong giai đoạn đầu tại tất cả các trường

đại học Kinh tế, Ngoại thương, Xã hội Nhân văn, Y dược, Kỹ thuật, Tự

nhiên, ở tất cả các hệ đào tạo

Nhằm đáp ứng nhu cầu dạy và học đó, qua kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm cho nhiều đối tượng khác nhau, chúng tôi biên soạn quyển sách này với

hy vọng dành cho nhiều đối tượng độc giả

Môn Xác suất thống kê là môn học nghiên cứu về các sự kiện và các đại lượng ngẫu nhiên Nó sẽ trang bị cho chúng ta một công cụ để tìm hiểu quy

luật của một tiêu chuẩn trong một tập hợp đông đảo các đối tượng nghiên cứu

Và ta biết cách phân tích, nghiên cứu thông qua các giá trị đặc trưng của nó

Từ đó rút ra những kết luận cần thiết cho công việc của chúng ta

Môn học này được xem là khó đối với những người không chuyên toán

Do đó, trong quyển sách này, chúng tôi cố gắng trình bày súc tích, ngắn gọn nhưng đẩy đủ các khái niệm cốt lõi và đưa ra những ví dụ minh họa để độc giả

dễ hiểu Các bài tập được trình bày theo trình tự từ dễ đến khó

Để giúp độc giả học tập tốt và kiểm tra được kết quả học tập của mình, chúng tôi đã biên soạn quyển giải bài tập Và để dễ nhớ, dễ theo dõi, trong đó đầu mỗi chương chúng tôi có tóm tắt giáo khoa

Hy vọng quyển sách lý thuyết và quyển giải bài tập sẽ giúp độc giả học - tập hiệu quả

Mặc dù đã cố gắng nhưng không tránh khỏi những sai sót Mong đón

nhận những ý kiến đóng góp để lần tái bản sau hoàn chỉnh hơn

TP.HCM, ngày 10/10/2010

Các tác giả

Trang 4

1 Khai niém tap hop:

Tập hợp là một khái niệm toán học, không định nghĩa được mà chi mô tả

như một họ hay một lớp các cá thể riêng khác nhau và có thể có chung một

thuộc tính nào đó Mỗi cá thể của tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp

Trang 5

ta có AtJ?B = {a, b, c, d, e, Ê, ø,h}

©) Hiệu: Hiệu của tập A đối với tập B, ký hiệu AWB là tập gồm những

phần tử chỉ thuộc A mà không thuộc B.

Trang 6

Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp

A\B = {x € A|x ¢ B}

Vi du 3:

A= {a,b,c,d}, B={ce,d,e,f} thi A\B= {a,b}

7 Các tính chất của các phép toán (¬, VU, bi)

a) Tính giao hoán: ANB=BQOA,

AUB=BUA b) Tinhkéthop: (ANB) ANC=AN(BNOQ),

Một ánh xạ f từ tập A vào tập B là một phép gán theo quy tắc, với

mọi phần tử của A, cứ mỗi xe A gán với một phần tử duy nhất y e B, ghi là

y = f(x)

Ký hiệu ƒ:A-+B

xt f(x) Phần tử f(x) gọi là ánh của x bởi f

Trang 7

Các ánh xạ sau, ánh xa nào là toần ánh, đơn ánh, song ánh?

đơn ánh toàn ánh song ánh

Trang 8

Đoạn đường từ A đến C phải đi qua B Từ A tới B có 2 lối đi, và từ B tới C

có 3 lối đi Vậy ta có 6 cách đi từ A tới C

Tổng quát: Một công việc được tiến hành qua k giai đoạn Giai đoạn l có mị

cách, giai đoạn 2 có m; cách, , giai đoạn k có mụ cách Thì số cách n để thực hiện toàn bộ công việc là:

Trang 9

2 Chỉnh hợp

Một cách chọn lần lượt không hoàn lại (chọn không lặp, có thứ tự) k phần

tử từ một tập hợp có n phân tử khác nhau, được gọi là một chỉnh hợp chập k

trên n phần tử

Goi A‘ 1a số các chỉnh hợp chập k trên n phân tứ Ta có:

nÌ (n—k)!

Biết rằng biển số xe gắn máy tại TP.HCM có 4 chữ số Hỏi có thể có tối

đa bao nhiêu biển số trên đó có 4 chữ số hoàn toàn khác nhau

Trang 10

Một cách chọn 4 người đi làm 4 công việc khác nhau trong số 6 người được

để cử là một chỉnh hợp chập 4 trên 6 phân tử Vậy số cách là:

Áp dụng nguyên lý nhân Ta có số cách là:

P,=nx(n-])x x3x2x1= nl

Trang 12

Người thứ nhất có 8 cách lên tàu

Người thứ hai có 8 cách lên tàu

Người thứ năm có 8 cách lên tàu

Áp dụng nguyên lý nhân, ta có số cách lên tầu

Ví dụ 3:

Giả sử có một vị thần có quyền ban phát ngày sinh cho con người Hỏi có bao nhiêu cách phân phối ngày sinh cho 5 cm bé ra đời trong năm 1993?

Giải:

Năm 1993 có 365 ngày, nên mỗi cách ban phát ngày sinh cho 5 em bé là

một chỉnh hợp lặp chập 5 trên 1993 phân tử Vậy số cách là:

4$; =(65)'

Trang 13

5 Hoán vị lặp

Nếu trong n phần tử có m phần tử giống nhau thì mỗi hoán vị của n phân tử

đó được gọi là một hoán vị lặp

Gọi Pa(m) là số các hoán vị lặp đó, ta có:

Pm) = = m

Vì yêu nên buộc phải đi

Mỗi ngày khác trước tính thì bao nhiêu

Bế Mẹ nàng đố ấy điều

Nếu chàng tính đúng thì chiều ý ngay A 7

(Đi trên các cạnh của ô vuông Cho biết các ô vuông bằng nhau và đi theo

- đường ngắn nhất)

12

Trang 14

Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp

Giải:

Gọi cạnh ô vuông theo cạnh chiều ngang là x, chiều đứng là y Thì đường

đi in đậm trên hình vẽ được biểu diễn như sau:

Một cách chọn k phần tử (không phân biệt thứ tự) từ một tập có n phần tử

khác nhau được gọi là một tổ hợp chập k trên n phần tử

Trang 16

Có 6 người được để cử, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra bốn người và bố trí

vào 4 công việc khác nhau

Giai đoạn I: — Chọn 4 người trong 6 người, có C¿ cách

Giai đoạn 2: Sắp xếp 4 người ra để chọn vào 4 công việc, có 4! cách

7 Nhị thức Newton

(a+ by” - 5 Catbprt =>) C}a"*p

k=o k=o

Trang 17

(a+ by" =Cea’b" +Clab"! + 4C7 la" 'b+Cra"b®

Vậy công thức trên cũng đúng cho n

Trang 18

Chương 0: Tập hợp và giải tích tổ hợp

BÀI TẬP

Bài 1: Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi xanh Lấy từ hộp ra 2 bi Có 3 cách lấy: 1) Lấy ngẫu nhiên 2 bi

a) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi?

b) Có bao nhiêu cách lấy 2 được bi trắng?

c) Có bao nhiêu cách lấy được 1 bị trắng, 1 bi xanh?

2) Lấy lân lượt 2 bị Hỏi như câu l

3) Lấy có hoàn lại 2 bị (chọn lặp) Hỏi như câu 1

Bài 2: Có 10 người định cư vào 3 nước Nước Mỹ: 4 người, Pháp: 3 người, Anh:

3 người Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

Bài 3: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 20 là nam Có bao nhiêu cách

chọn ra một Ban cán sự gồm 4 sinh viên nếu:

1) Có đúng 2 nam 2) Không có nam

3) Nhiều nhất 2 nam 4) Có ít nhất 1 nam

Đáp số

3) C?y x Cũ + Của X Cỉy + Của Clo

4) 4-8, Cho X Cis + Cho ¥ Cio + Coo ¥ Clo + C30

Bài 4: Trong một buổi dạ vũ có 22 nam va 18 nữ Hỏi có bao nhiêu cách

1) Hai người ra khiêu vũ 2?

2) Một đôi nam nữ ra khiêu vii ?

3) Ba đôi nam nữ ra khiêu vũ ?

Đáp số

Trang 19

Bài 5: Người ta dùng 5 cột cờ để báo hiệu trên biển Biết rằng có tất cả 7

màu cờ khác nhau Hỏi có bao nhiêu tín hiệu khác nhau nếu:

Bài 6: Một lớp học 30 sinh viên trong đó có 20 nam Có bao nhiêu cách chọn

ra một Ban cán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên học tập, 1 ủy viên đời sống Nếu : ˆ

Trang 20

1) Có bao nhiêu số chấn gồm 5 chữ số (bỏ trường hợp số 0 ở đầu)

2) Có bao nhiêu số nguyên đương, mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau

Đáp số

1) 9.10°.5 = 45000 2) 4 — AZ = 648

Bài 10: Năm người cùng lên một đoàn tàu hỏa có 8 toa xe C6 bao nhiéu cách để:

I) Lên tùy ý 2) _ Lên cùng một toa

3) Lên 5 toa đầu 4) — Lên 5 toa khác nhau

5) A và B lên cùng toa đầu 6) _ A và B lên cùng một toa

7) A và B lên cùng toa và không có ai khác trên toa này

Trang 21

Bài 12: Có 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 chữ số này thành h¿i nhóm, chữ số chắn và chữ số lẻ riêng biệt nhau?

(Thí dụ: 13524, 42351 ; không xét 21352)

^

Đáp số

2!x3!x2!=24

Trang 22

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác $uất

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

CỦA XÁC SUẤT

§1L CÁC KHÁI NIỆM BAN ĐẦU

1 Phép thử - không gian mẫu - biến cố:

» _ Phép thử: Khi quan sát một hiện tượng hay làm một thí nghiệm và chú

ý đến kết quá của hiện tượng hay thí nghiệm đó, ta nói đã làm một phép thử Người ta thường ký hiệu một phép thử bởi chữ T

“Không gian mẫu: Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử T, được gọi là không gian mẫu và ký hiệu là Q

= - Biến cố: Mỗi tập con AC ©, được gọi là một biến cố (hay còn gọi là biến cố ngẫu nhiên)

» _ Biến cố sơ cấp: Mỗi phần tử œ€ ©, được gọi là một biến cố sơ cấp

=_ Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất thiết xảy ra khi phép thử được thực hiện Đó chính là không gian mẫu ©

=_ Biến cố không thể có: Là biến cố không thể xẩy ra khi phép thử được

thực hiện Ký hiệu Ø

» Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy

ŸÏ đụ; Cho phép thử T là tung một con súc sắc

Ta có: Không gian mẫu © = {1,2,3,4,5,6}

Trang 23

Nếu mặt một xuất hiện: ta nói biến cố {1}, B, C, D xảy ra

Nếu mặt hai xuất hiện: ta nói biến cố {2}, A, C, D xảy ra

Từ nay về sau trong bài toán tung súc sắc hay tung đồng xu và không nói

gì thêm, ta hiểu đó là con súc sắt hay đổng xu cân đối đồng chất Còn nếu

đồng xu hay con súc sắc bất thường thì bài toán sẽ nêu ra,

Trang 24

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất

4 Các phép toán về biến cố

Cho A, BC QO

a) Téng cha 2 biến cố A và B, ký hiệu A + B định bởi:

A+B=AUB

A+B xay ra khi A xay ra hay B-xảy ra

b) Tích của 2 biến cố A và B, ký hiệu A.B định bởi:

AB=A(MB

A.B xây ra khi A và B đồng thời xây ra

c) Phần bù của biến cố A CO, ký hiệu A định bởi:

A =OA=[weOl wø A}

Vidu 1: Hai sinh vién A,B cùng dự thi môn XSTK Gọi A là biến cố sinh

viên A thi đậu, B là biến cố sinh viên B thi đậu, và C là biến cố sinh viên có ít nhất một trong hai sinh viên trên thi đậu

Trang 25

- 5, Các tính chất của các phép toán (+, , bù)

a) Tính lũy đẳng: A+A=A

A,A=A b) Tính giao hoán : A+B=B+A

A.B=B.A

c) Tính kết hợp: A+(B+C)=(A+B)+C

A(BC) = (AB)C d) Tính phân bố: A(CB+C)= AB + AC

6 Quan hệ giữa các biến cố

a) Xung khắc: hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu biến cố này xây ra thì biến cố kia không xây ra

Tức là : A.B= Ø

b) Họ xung khắc: (còn gọi là họ xung khắc từng đôi)

Họ các biến cố A;, A,, A„ được gọi là họ xung khắc nếu một biến cố bất kỳ trong họ xây ra thì các biến cố còn lại không xây ra

+) Đối lâp: hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu chúng thỏa:

1 Xung khắc nhau: A.B= Ø

ii) Phải có một trong hai biến cố xây ra: A + B = Ô

d) Họ đầy đủ: Họ các biến cố Ai, A¿, A„ được gọi là một họ đây đủ nếu chúng thỏa

l) Họ xung khắc:A;,A¡=@Ø Vi,jG+j)

Trang 26

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất

2) Phải có một biến cố trong họ xảy ra:

A, +A, + +A,=2

Ví dụ: Tung một con súc sắc Gọi A; là biến cố mặt ¡ xuất hiện

Ta có: A¡, A; xung khắc nhau

A.A đối lập nhau

Ai,A;,A;, A„ là một họ xung khắc

A;,A;, A¿, Au, A¿, Á¿ là một họ đây đủ

§2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Là số đo khả năng xắy ra của biến cố đó Có 3 cách định nghĩa

Đinh nghña xác suất theo cổ điển:

Cho A c- O, xác suất của biến cố A, ký hiệu P(A) định bởi:

P(A) =

n

n: số trường hợp đồng khả năng của phép thử

m: số trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra

Ví dụ 1:

Tung một đồng xu Ta có xác suất mặt sấp xuất hiện là:

1 P(S) (S) 2 = =

Ví dụ 2:

Chọn ngẫu nhiên một viên bị trong một bình có 3 bị xanh, 4 bị đỏ và 5 bi vàng Tính xác suất để chọn được bi đỏ

Trang 27

Gọi A là biến cố chọn được bi đỏ

"Ta có: P(A) = —=—

12 3 Dinh nghĩa xác suất theo thống kê:

—_ Nếu ta thực hiện n lần một phép thử và thấy r lần biến cố A xảy ra, thì

tỷ số:

f(A) =~

n

được gọi tần suất của biến cố A

— Gọi f,({A) là tần suất của biến cố A sau n lần thực hiện một phép thử Nếu số lần thử n tăng lên mà tân suất luôn giao động quanh một số không đổi

p và ngày một gần tới số này, thì giá trị p này được gọi là xác suất biến cố A

2) Néu ta tung déng xu méo dé n lan và khi n khá lớn nếu thấy /„(S)

dao động quanh giá trị 0,25 thì ta có P(S)=0,25

* Ghỉ chí: Đối với những phép thử không có số trường hợp đồng khả năng, người ta phải dùng tấn suất và định nghĩa xác suất theo thống kê để xác định xác suất của một biến cố nào đó

Ngoài ra còn có định nghĩa:

Đinh nghĩa xác suất theo hệ tiên đề:

Cho P(Q) = {A} Ac Q} Anh xạ P: P(O) — [0, 1] thỏa:

Tiên để 1: 0<P(A) <I, VACO

Tién dé 2: P(Q) = 1

Tién dé 3: P(A + B) = P(A) + P(B) nếu A.B =@Ø

Trang 28

Chương I: Các khát niệm cơ bản của xác suất

Khi đó với Ac ©, giá trị P(A) được gọi là xác suất của biến cố A

Định nghĩa xác suất theo hình học

Một phép thử + có vô hạn biến cố sơ cấp kết cục đồng khả năng A là biến

cố bất kỳ trong phép thử Nếu có thể biểu diễn:

1) Tập hợp vô hạn biến cố sơ cấp trong phép thử trên là miễn S,

2) Tập hợp tất cả biến cố sơ cấp thuận lợi cho A là miền s, thì xác suất của biến cố A là:

P(A)= độ đo của s

độ đo của S

(độ đo có thể là độ dài, diện tích, thể tích)

Vị dụ 4; Hai người yêu nhau hẹn nhau tại một quán café, trong khoảng từ 7.00

~ 8.00 tối, mỗi người có thể đến chỗ hẹn vào bất kỳ thời điểm nào trong

khoảng thời gian này Hôm đó cả hai cùng có việc bận đột xuất nên giao hẹn

rằng người nào đến trước sẽ chờ người kia, quá 20 phút thì đi

Tính xác suất hai người gặp được nhau

Từ 7.00 — 8.00 là ó0 phút

Thời điểm đến chỗ hẹn của A là x (kể từ 7.00)

Thời điểm đến chỗ hẹn của B là y (kể từ 7.00)

0<x<60 3 0<y<60

Điều kiện 2 người gặp nhau là : | x— yl <20

Biểu diễn x, y trong hệ tọa độ, với đơn vị là phút

Trang 29

60

20

Nhận xét:

Miễn biểu điễn của lx - yl < 20 là miễn có gạch chéo

Suy ra xác suất để 2 người gặp nhau là tỷ số diện tích của miễn có gạch

chéo và diện tích hình vuông

60? ~407 - P(G) =

Trang 30

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất

Cho Aj, Ao, As, ., A, A mét ho xung khac

Ta c6 P(A, + Ap + + Aq) = P(A1) + P(A2) + + P(A)

Chứng mình:

Chẳng hạn n = 3

Ta có : P(A; +A2 +A3)

= P[Ai +CAa+ À¿)] đo Ai(As+ As)=Ø

= P( Ay) +P(A2 +A3)

= P(Ai)+P(A¿) +P(A¿) do A¿.A:=Ø

Ví dụ 5: Một người bắn vào bia, bia có 3 vòng Xác suất để trúng vòng 1 là

0,2; trúng vòng 2 là 0,4; trúng vòng 3 là 0,3 Tính xác xuất người đó bắn I phát

trúng bia :

2 tale

Goi V; biến cố bắn trúng vòng ¡, F là biến cố trúng bia

Ta có: Vị, Vo, V3 1a mot họ biến cố xung khắc

Trang 31

Chứng mình:

Ký hiệu ©: n là O có n phần tử

Ta có: A+B:m+r-s

m+r—-s Nên P(A+ B)= —————

n

mrs nền n

= P(A) + P(B) - P(AB)

Vidu6: Trong số 100 người nữ, số người thích nước hoa A là 60, số người

thích hoa B là 70, và số người thích cả 2 loại trên là 50 Chọn ngẫu nhiên một

người Tính xác suất để người này thích ít nhất một trong hai loại nước hoa

~ P(AD) - P(BD) - P(CD) + P(ABC) + P(BCD) + P(CDA) + P(DAB) - P(ABCD)

Trang 32

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất

§3 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Đỉnh nghĩa: Cho A,B c Ô© có P(B) > 0 Xác suất của biến cố A được tính với điểu kiện biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A đối với biến cố B và viết P(A/B)

Khi d6 P(A/B) = Š- P49)

r P(B)

r: số trường hợp thuận lợi để B xảy ra

s: _ số trường hợp thuận lợi để AB xây ra

Ví dụ: Tung một con súc sắc Gọi A là biến cố mặt nhất xuất hiện, B là biến

cố mặt lẻ xuất hiện Tính P( A/B), P(B/A )

Giải:

Tacó: A=(l}, B= {1,3, 5}

P(A/B)== , (A/B)= 3 p(B/A)===1 (B/A)= +

Dinh ly 1: (công thức nhân xác suất)

A)= ——— P(AB) = P(A)P(B/A 2

P(B/A) Pray Fi )=P(A)P(B/A) (2)

Trang 33

(1) và (2) suy ra kết quả trên ©

Công thức cũng đúng cho trường hợp P(A) = 0 hay P(B) = 0

a

Tổng quát:

P(AiA¿A¿ A,) =P(A,) P(⁄4)P(⁄44) -P(3⁄44 4.)

Vidu: Bỏ ba lá thư viết sẵn cho 3 cô vào 3 phong bì một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để cả 3 cô đều nhận được thư viết cho mình

§4 SỰ ĐỘC LAP CUA BIẾN CỐ

Định nghĩa:Cho A,B c © Ta nói A, B độc lập nhau nếu:

Trang 34

Chương Ì: Các khái niệm cơ bản của xác suất

Chỉ xét xu 2 ta có không gian mẫu ©; = {S;, Nạ}

Định lý Il: Cho A,BC © Ta có:

A, B độc lập nhau © A,B độc lập nhau

Chitng minh:

Chỉ cần chứng minh chiểu — là đủ:

Vì A= A.B+A.B có (AB).(A.B) =Ø

nên P(A) = P(AB) + P(AB)

= P(AB) + P(A)P(B) vi A.B độc lập

= P(AB) = P(A)[1 - P()] = P(A)P(B)

Trang 35

P(A,.A,)=P(A,)P(A,) vi,j(#j)

Định nghĩa:(Họ độc lập toàn thể)

Họ các biến cố Ai, A› Aa được gọi là độc lập toàn thể, nếu một biến cố

trong họ và tích của một số bất kỳ các biến cố còn lại là độc lập với nhau Tức là:

(

PÍA.1A,)= P(A,)P|

jeJ HA,|, VIe{l2 n}= jeJ

Dinh ly 2: Cho A;¿, A; A„ là một họ độc lập toàn thé

Ta có P(A,.Az An) = P(A) P(A2) P(A¿)

Chitng minh:

Từ công thức nhân tổng quát, ta có:

P(A, A2A3 An)

= P(A,)P(A,/A, )P(A5/A,A, ) P(A,/4,4, -4, ) CD)

Do tnh độc lập toàn thể, ta có:

P(A/A,) = P(A)

P(A3/A, A>) = P(A3) P(A,/A Az An-1) = P(A,)

Thay vào (1), ta có được công thức cần tìm

Ví dụ: Ba người chơi bóng rổ, mỗi người ném ! quả Xác suất ném trúng rổ lần lượt của mỗi người là 0, 5 ; 0,6; 0,7

Trang 36

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất

P(A) = P(A)) P(A¿) P(A3)=0,5 0,6 0,7=0,21

b) B=Ai+ A +A3¢> B=A1A2A3

PCB) =P(A ,) P(A) P(A 3)=0,5.0,4.0,3=0,06

P(B) =1 - PCB) =! - 0,06= 0,94

¢) C= 4 A2A3+ A, A) A3+ A, ApA\(téng của 3 biến cố xung khắc)

d) D=A,+ A,+ A= D =A¡A›A;

PWD) = I-P(D )=1-P(A,A2A3)=1-0,21= 0,79

Nhat xét:

Họ biến cố độc lập toàn thể => Họ biến cố đó độc lập từng đôi

Ví dụ: Cho Q={1, 2,3, 4} và các kết quả xấy ra đồng khẩ năng

XétA={1,2},B={1,3},C= {1,4}

Ta co A, B, C là độc lập từng đôi nhưng không độc lập toàn thể vì:

2 11 1 P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB)= ậ x 2 x 7 = 7

1} i 1 4

con P(A).P(B).P(C) = 215 “3

“ “ Vậy P(ABC) z P(A) P(B) P(C) (không thỏa định nghĩa)

§5 CONG THUC XAC SUAT DAY DU

Bàitoán: Cho A¿, A¿, Aa là một họ đầy đủ Biết các xác suất P(A,), P(A;), P(A,) và P(F/A,), PŒE/A;), PŒ/A,) với F là một biến cố nào đó

Tính PŒ), P (A/)

Đinh lý 1: (công thức xác suất đây đủ)

Trang 37

AIE, AsF, , AaF là họ xung khắc Nên

P(F) = P(A\F) + P(AsF) + + P(A,F)

= P(A))P(F/A,) + P(A;)P(F/A;)+ + P(Aa)PŒ/A,)

Dinh ly 2: (công thức Bayès)

Ví dụ: Có 5 bình đựng bị, trong đó có 2 bình loại | mdi bình đựng 3 bi trắng 4

bị đỏ, một bình loại 2 đựng 3 bi trắng 2 bi đồ và 2 bình loại 3 mỗi bình đựng 4

bị trắng 3 bi đỏ.Chọn ngẫu nhiên một bình và từ bình đó chọn ngẫu nhiên một

Trang 38

Chương Ï: Các khái niệm cơ bản của xác suất

2) P(A;/F) =

Trang 39

BÀI TẬP

Bail: Bắn vào bia 5 phát Gọi A;¡ là biến cố bắn trúng ít nhất ¡ phát, B, là biến cố bắn trúng đúng ¡ phát

1) Diễn tả các biến cố: 4,,8,, 4,,,

2) Hai biến cố 4,, #8, có xung khắc nhau không ?

3) Diễn tả các biến cố:A+B,, 8, + 4,, A,B,, AB,

Bài2: Kiểm tra 3 sản phẩm Gọi A¿ là biến cố sản phẩm thứ k tốt Hãy trình bày các cách biểu diễn qua A, và qua giản đổ Venn các biến cố sau đây: a)

h) H : không có hơn 2 người bắn trúng

i) 1 : người thứ nhất bắn trúng, hoặc người thứ hai và người thứ ba cùng

bắn trúng

j) K_: người thứ nhất bắn trúng hay người thứ hai bắn trúng

Bài 4: Tung 2 con súc sắc Gọi A là biến cố “số nút trên súc sắc I chia hết cho số nút trên súc sắc 2”, B là biến cố “tổng số nút trên 2 súc sắc là một số chắn” : Hỏi A và B có độc lập nhau không, có xung khắc nhau không 2

.Bài5: Tung một con súc sắc 2 lần Goi A; (i =1,6) 14 biến cố xuất hiện mặt !

chấm ở lần tung thứ nhất; B; (j = 1,6) là biến cố xuất hiện mặt j chấm ở lần

Trang 40

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất

tung thứ hai A là biến cố: “tổng số chấm của hai lẫn tung là 8”; B là biến cố:

“tích số chấm của hai lần tung là 8” và C là biến cố: “giá trị tuyệt đối của hiệu

số chấm hai lẫn tung là 2” Hãy biểu diễn biến cố A,B,C theo các biến cố A¡

và B,

Bài6: — Quan sát 4 sinh viên làm bài thi Kí hiệu B,(j = I,2,3.4) là biến cố sinh viên j làm bài thi đạt yêu câu Hãy viết các biến cố sau đây:

a) Có đúng I sinh viên đạt yêu cầu — b) Có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu

c) Có ít nhất I sinh viên đạt yêu cầu d) không có sinh viên nào đạt yêu cầu

Bài 7: Cho một ví dụ mình họa độc lập từng đôi không suy ra độc lập toàn thể

Bài§: Tung I đồng xu sấp ngửa 3 lần Đặt các biến cố sau:

Az (SNS, NSN}, B= {NNN, NNS, NSN, NSS} ,

C= (NNN, NSN, SNN, SSN}

Chứng mình A, B, C độc lập từng đôi nhưng không độc lập toàn thể

ow l l l Bài 9: Cho A và B là 2 biến cố sao cho P(A) = 3" P(B)= 3° P(A.B) = 5 Hay tinh: -

1) P(A+B) 2)P(A+B) 3) P(A+B) 4) P(A.B) 5) P(A.B) 6) P(A.B) 7) P(A+B) 8) P(A/B)

9 P(1/B) 10) P(AB/B) 11)P(A 8/8) 12) P(A B/B) 13) P(A4B/ AB) 14) P(AB/ A+B)

HD: 1)190 2)4/5 3) 11/30 4) 4/5 5) 3/10 6) 2/15 7) 7/10 8) 3/5 9)2/5 10) 3/5 11) 0 12) 9/20 13) 1 14) 4/21

Bài 10: Một hộp có 5 bị trắng, 3 bị xanh Lấy từ hộp ra 2 bi theo 3 cách lấy: 1) Lấy ngẫu nhiên 2 bì

2) Lấy lần lượt không hoàn lai 2 bi

_ 3) Lay Hin lượt có hoàn lại 2 bí

Theo từng cách lấy Tính xác suất:

a) Lấy được 2 bị trắng b) Lấy được ! bị trắng

Bài II: Ba chữ số cuối cùng của một số điện thoại có 3 số đầu là 123 bị xóa nhòa trong sổ Tính xác suất:

Ngày đăng: 22/03/2015, 19:16

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w