cực trị hàm bậc 2 trên bậc nhất

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT... Nhận xét: Trong trường hợp hàm phân thức có cực đại, cực tiểu thì yCĐ < yCT, điều này khẳng định sự khác biệt giữa khái niệm về cực đại, cực t

I TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT

Phương pháp tìm cực trị của hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 +𝑐

𝑑𝑥 +𝑒

Bước 1: Tập xác định D = R \ −𝑒/𝑑

Bước 2: Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình y’ = 0

Bước 3:Lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 1 trong sách giáo khoa

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y = 𝑥

2 − 2𝑥+2 𝑥−1

Giải:

Tập xác định D = R\ 1

y’ = 𝑥

2 − 2𝑥

(𝑥−1) 2 => y’ = 0  x = 0 hoặc x = 2

Vây, ta được:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -∞ ; 0 ) và ( 2; +∞ )

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 0; 1 ) và ( 1; 2 )

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại y = - 2

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu y = 2

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT

Nhận xét: Trong trường hợp hàm phân thức có cực đại, cực tiểu thì yCĐ < yCT, điều này khẳng định sự khác biệt giữa khái niệm về cực đại, cực tiểu và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y = f(x) = 𝑥

2 −2 𝑥+2 𝑥−1

Đáp án: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; ycđ = -2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yct = 2

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT CHỨA THAM SỐ

Phương pháp: Tìm điều kiện để hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 +𝑐

𝑑𝑥 +𝑒 có cực trị:

Tập xác định: D = R \ −𝑒/𝑑

Đạo hàm: 𝑦′ = 𝑎𝑑 𝑥2+ 2𝑎𝑒𝑥 +𝑏𝑒−𝑐𝑑

(𝑑𝑥+𝑒) 2 = 𝐴𝑥2+ 𝐵𝑥+𝐶

(𝑑𝑥+𝑒) 2

y’ = 0  g(x) = Ax2 + Bx + C = 0 (1) Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x)

a Hàm số không có cực trị Ta xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu A= 0 thì y’ = 𝐵𝑥+𝐶

(𝑑𝑥+𝑒) 2

Điều kiện là y’ không đổi dấu  𝐵 = 0

𝐶 ≠ 0 TH2: Nếu A ≠ 0

Điều kiện là y’ không đổi dấu  ∆𝑔 ≤ 0

b Hàm số có cực trị

TH1 Nếu A = 0 thì y’ = 𝐵𝑥 +𝐶

(𝑑𝑥+𝑒) 2 Điều kiện là B ≠ 0 TH2 Nếu A ≠ 0 Điều kiện là phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  𝐴 ≠ 0

∆> 0

c Hàm số có cực đại, cực tiểu

 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –e/d

𝐴 ≠ 0

∆> 0 𝑔(−𝑒

𝑑) ≠ 0

d Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu

 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác – e/d



𝐴 ≠ 0

∆> 0 𝑔(−𝑒

𝑑) ≠ 0 Khi đó (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức viet

Bước 2: Kiểm tra điều kiện K

e Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I

 Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –e/d trong khoảng I

f Hàm số có cực đại, cực tiểu xcđ < xct

 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác – e/d và A > 0 

𝐴 > 0

∆> 0 𝑔(−𝑒

𝑑) ≠ 0

g Hàm số có cực đại, cực tiểu xcđ > xct

 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác – e/d và A < 0 

𝐴 < 0

∆> 0 𝑔(−𝑒

𝑑) ≠ 0

h Hàm số đạt cực tiểu tại x0 

𝑥0 ∈ 𝐷

𝑦′ 𝑥0 = 0 𝑦′′ 𝑥0 > 0

i Hàm số đạt cực đại tại x0

𝑥0 ∈ 𝐷

𝑦′ 𝑥0 = 0 𝑦′′ 𝑥0 < 0

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1 Cho hàm sô y = 𝑥

2 +𝑚 𝑥−2

𝑚𝑥 −1

Xác định m để:

a Hàm số có cực trị

b Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn x1+ x2 = 4x1x2

c Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dương

Đáp án: a 𝑚 < 1𝑚 ≠ 0 ; b m = ½; c 0 < m < 1

Ví dụ 2 Cho hàm số y = 𝑥

2 − 𝑚 +1 𝑥+2𝑚 −1

𝑥 −𝑚 (1)

a Tìm m để hàm số (1) có cực đâị, cực tiểu

b Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ

Đáp án: a m > 1; b m > 5

Ví dụ 3 Cho hàm số y = 𝑥

2 + 𝑚 +1 𝑥+𝑚 +1

Chứng minh rằng với m bất kỳ, (Cm) luôn có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa 2 điểm đó là

20

Ví dụ 4 Tìm m để hàm số y = 2𝑥

2 −3𝑥+𝑚 𝑥−𝑚 có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện 𝑦𝑐đ− 𝑦𝑐𝑡 > 8

Đáp án: m < 1− 5

2 hoặc m > 1+ 5

2