Tiểu luận HÌNH HỌC VI PHÂN LÝ THUYẾT ĐƯỜNG CONG

Nếu grad F0 tại mọi điểm của C thì C là một đường cong chính quy... Các vectơ tiếp xúc của các đường tham số tương đương tại các điểm tương ứng là cùng phương và như vậy các tiếp tuyến

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

Khoa Toán – Tin Học

Tài liệu của chúng tôi chia làm hai phần: phần lý thuyết và phần bài tập Ở mỗi phần

lý thuyết chúng tôi đều có trình bày ví dụ minh họa để bạn đọc tiện theo dõi và hiểu hơn phần lý thuyết Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày thêm phần bài tập tổng hợp nhằm giúp bạn đọc hiểu sâu lý thuyết hơn, giúp các bạn khá giỏi có cơ hội khắc sâu kiến thức và nâng cao khả năng giải bài tập của mình

Do khả năng và thời gian có hạn, tài liệu không tránh khỏi thiếu sót, nhóm chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn để tài liệu này hoàn thiện hơn, trở thành một tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn trong học tập Xin chân thành cảm ơn

TP.Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 1 năm 2011

Nhóm sinh viên thực hiện

L

MỤC LỤC

Phần 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT -4

Phần 2: BÀI TẬP - 16

Chủ đề 1: Hàm vectơ - 16

Chủ đề 2: Xác định ảnh - 21

Chủ đề 3: Độ dài cung - 32

Chủ đề 4: Đường tham số chính quy – tham số tự nhiên - 40

Chủ đề 5: Hai đường tham số tương đương - 45

Chủ đề 6: Tam diện Frenet - 48

Chủ đề 7: Độ cong – độ xoắn - 52

Chủ đề 8: Tiếp tuyến – pháp tuyến – trùng pháp tuyến - 65

Chủ đề 9:Mặt phẳng mật tiếp – mặt phẳng pháp tuyến – mặt phẳng trực đạc - 72

Chủ đề 10: Các vấn đề xoay quanh tính chất đường cong - 77

Chủ đề 11: Bài toán tổng hợp - 83

Chủ đề 12: Quỹ tích - 97

Nếu đường tham số là compact và hai điểm cuối của nó trùng nhau thì đường tham

số được gọi là đường tham số đóng hay còn được gọi là một vòng lặp

trên các khoảng compact x , xi 1 i thuộc lớp k

S t a, b / f không tồn tại  là hữu hạn

(ii) f k liên tục trên a, b \ S

(iii) f k có giới hạn phải và giới hạn trái là hữu hạn tại mọi điểm của S

Khi nói đường tham số lớp Ck thì k được giả sử đủ lớn để các pháp toán có nghĩa

1.3 Định nghĩa:

Đường tham số  I, r

được gọi là chính quy tại điểm tt0 nếu r ' t 0 0

và chính quy (trên I) nếu nó chính quy tại mọi điểm t I

Cần nhớ một vài phép biến đổi tham số như:

- Phép biến đổi tb a  abiến 0,1 thànha, b và phép biến đổi ngược

- Phép biến đổi

2 2t

1





  biến 0,  thành  0,1 

1.5 Định nghĩa: Tham số tự nhiên

Trong các đường tham số tương đương với một đường tham số cho trước, có một đường tham số có ý nghĩa lý thuyết đặc biệt Nó làm đơn giản nhiều chứng minh liên quan đến đường cong mà ta gọi là đường tham số tự nhiên

Ta nói: Đường tham số 2   2 3

1.6 Định nghĩa: Độ dài cung

Độ dài cung của một cung tham số I, r r t  

giữa hai điểm t , t1 2 là số:

r ' t dt

 



Đường tham số có tính chất trên gọi

là tham số địa phương của đường cong M quanh điểm a Khi đường cong M có tham số địa phương  I, r

Giá của một đường tham số bất kỳ chưa chắc là đường cong chính quy Tuy nhiên, ta

có thể hạn chế miền xác định của đường tham số sao cho trên miền hạn chế này giá của nó là đường cong chính quy

2.3 Định lý:

Cho I, r r t  

là đường tham số chính quy Khi đó, tại mọi điểm t0 luôn tồn tại Imột lân cận W sao cho I r W 

là đường cong chính quy đơn

3 Biểu diễn giải tích của đường cong phẳng

3.1 Định nghĩa: Đường cong phẳng

Một đường cong M   gọi là đường cong phẳng nếu như nó được chứa trong một 3

mặt phẳng   nào đó Trong phần này ta giả sử   là mặt phẳng Oxy

3.2 Biểu diễn tham số:

Ta gọi  1 là phương trình tham số của đường cong trong lân cận điểm a

3.3 Biểu diễn tường minh:

Cho f : I   là một hàm số khả vi với I là khoảng mở của  Khi đó đồ thị của f là





 , thì theo định lý hàm ẩn tồn tại:

- Một lân cận mở U của điểm x , y0 0 trong 2

- Một hàm khả vi yf x  xác định trên lân cận mở I của x0 trong  sao cho

 

CU x, f x xI Nếu grad F0 tại mọi điểm của C thì C là một đường cong chính quy

4 Biểu diễn giải tích của đường cong trong không gian

4.1 Biểu diễn tham số:

Tương tự như trường hợp đường cong phẳng, ta biểu diễn đường cong dưới dạng:

và gọi là biểu diễn tham số của đường cong

4.2 Biểu diễn tường minh:

Nếu f ,g : I   là hai hàm số khả vi cùng xác định trên một khoảng mở I thì tập hợp

5 Tiếp tuyến và mặt phẳng pháp tuyến

  là vectơ tiếp xúc hay vectơ vận tốc

của đường cong tại điểm t 0

Nếu t0 là điểm chính quy thì đường thẳng qua điểm r t 0

được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm r t 0

hay tại điểm t0 Phương trình vectơ của tiếp tuyến tại điểm t0 là: R  r t 0  r ' t  0

5.2 Mệnh đề:

Các vectơ tiếp xúc của các đường tham số tương đương tại các điểm tương ứng là cùng phương và như vậy các tiếp tuyến tại các điểm này là trùng nhau

Cho đường tham số I, r r t  

và có phương là vectơ đơn vị m

là mặt phẳng đi qua điểm r t 0

và vuông góc với tiếp tuyến của đường cong tại r t 0

là đường thẳng đi qua r t 0

và vuông góc với tiếp tuyến của đường cong tại r t 0

Phương trình tiếp tuyến là:

5.5.3 Đường cong có tham số dạng ẩn:

Cho đường cong cho bởi phương trình  

Ghi chú:

Khái niệm điểm song chính quy không phụ thuộc vào tham số hay một điểm là song chính quy với một đường cong tham số cho trước thì nó cũng là song chính quy tại điểm tương ứng qua phép biến đổi tham số

đi qua điểm r t 0

 Đặt

    0    

d t d r t  t , 

6.4.1 Định lý:

Mặt phẳng   là mặt phẳng mật tiếp của đường tham số r r t 

tại điểm song chính quy r t 0

Nếu một đường tham số song chính quy là cong phẳng thì mặt phẳng mật tiếp tại mọi điểm của đường cong này trùng với mặt phẳng của đường cong Ngược lại, đường tham số song chính quy có cùng mặt phẳng mật tiếp tại mọi điểm thì nó là đường cong phẳng Mặt phẳng chứa nó chính là mặt phẳng mật tiếp

7 Độ cong của đường cong

Công thức trên cho ta đường tham số I, r r t  

là song chính quy tại điểm t khi 0

và chỉ khi k t 0 0

Công thức trên cho phép ta tính được độ cong của đường tham số bất kì

8 Tam diện Frenet của một đường tham số

8.1 Định nghĩa:

Tam diện Frenet hay mục tiêu Frenet của một đường tham số song chính quy

 

I, r r t 

tại một điểm t0I là một mục tiêu trực chuẩn trong  , có gốc tại điểm 3 r t 0

và các vectơ cơ sở trên ba trục là      t0 , t0 , t0 

0

r ' tt

0

k tt

và gọi là vectơ đơn vị trùng pháp tuyến

+ Các trục tọa độ tương ứng với mục tiêu Frenet lần lượt gọi là: tiếp tuyến, pháp tuyến chính và trùng pháp tuyến

+ Các mặt phẳng tọa độ có cơ sở lần lượt là:    ,

,    ,

,    , được gọi tương ứng là: mặt phẳng mật tiếp, mặt phẳng pháp tuyến và mặt phẳng trực đạc

Nếu đường có tham số tự nhiên J,    s 

thì các vectơ cơ sở trong mục tiêu Frenet là:

r ' t

r ' t r " tt

- Khi ' t  hai tam diện Frenet tương ứng trùng nhau 0

- Khi ' t  hai tam diện Frenet tương ứng có cùng gốc, cùng vectơ đơn vị pháp 0tuyến chính Còn các vectơ đơn vị tiếp tuyến, trùng pháp tuyến là các vectơ đối nhau

9 Đường cong định hướng Tam diện Frenet của đường cong định hướng

Một đường cong chính quy C  3 với một định hướng được gọi là đường cong chính quy định hướng

Giá của một đường tham số song chính quy nằm trong một mặt phẳng nếu và chỉ nếu

độ xoắn của đường cong đồng nhất bằng không

Ghi chú:

Nếu độ cong đo độ lệch của đường cong bằng tiếp tuyến thì độ xoắn đo độ lệch của đường cong bằng trùng pháp tuyến hay độ lệch của đường cong từ đường cong phẳng

10.6 Tính chất của đường cong có độ cong và độ xoắn không đổi:

Như đã biết: Nếu độ cong của một đường tham số đồng nhất bằng không tại mọi điểm thì giá của nó nằm trên một đường thẳng và ngược lại

Độ cong của một đường tròn bằng nghịch đảo bán kính của nó Ngược lại lấy một đường tham số có độ cong là hằng số thì liệu giá của nó có nằm trên một đường tròn không? Trong trường hợp tổng quát điều này không đúng

10.6.1 Mệnh đề:

Nếu I, r r s  

là đường tham số tự nhiên với độ cong k bằng hằng số dương k và 0

độ xoắn bằng 0, s I thì giá của nó nằm trên đường tròn bán kính

0

1

k

10.6.2 Mệnh đề:

Nếu đường tham số tự nhiên I, r r s  

có giá nằm trên mặt cầu tâm tại gốc O, bán

kính bằng a thì độ cong k của nó thỏa k 1

Đường cong trong không gian với độ cong k là một đường Helix nếu và chỉ nếu 0

tỉ số giữa độ xoắn và độ cong của nó là hằng số

Phần 2: Bài tập

Bài 1: Cho đường tham số r : I   3

  , các kết quả sau đây có đúng không?

t  với I r t 0

gần gốc tọa độ nhất Chứng minh rằng r t 0 r ' t  0

Vậy r t r ' t 

Bài 3: Cho hàm vectơ khả vi I, r 1r t1  

, I, r 2 r t2  

và khả vi I  3 Chứng minh các kết quả sau đây:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra R

//R '

Suy ra R

có phương không đổi Mà R 1

nên R const

Lấy O là điểm cố định và OM r t 

Suy ra R.OM 0

Do đó điểm M thuộc mặt phẳng (P) qua O và có vectơ pháp tuyến là R

Mà r 0 n  0

(do r 0 n

) nên r t n  const0

Vậy r t 

cũng trực giao với n

, t  I

(*) với f t , g t là những hàm theo t, hãy xác định giá của    

 M M0 f t OA g t OB    

(**)

- Trường hợp: OA OB   0

Suy ra điểm M thuộc mặt phẳng (P) qua M và có hệ vectơ chỉ phương là 0 OA, OB 

Trên (P) chọn mục tiêu M ;OA, OB0  

Suy ra điểm M thuộc đường thẳng  qua M và có vectơ chỉ phương là 0 OB

Bài 1: Trong  cho 3 r , r , r   0 1 2const

Tìm giá của các vectơ sau:

Trên (P) chọn mục tiêu M ;OA, OB0  

Ta có:  2

M t, t

là đường parabol nằm trên mặt phẳng (P)

 OM OM0cos tOA sin tOB 

 M M0 cos tOA sin tOB 

(*)

- Trường hợp: OA OB   0

Suy ra điểm M thuộc mặt phẳng (P) qua M0 và có hệ vectơ chỉ phương là OA, OB 

Trên (P) chọn mục tiêu M ;OA, OB0  

Suy ra điểm M thuộc đường thẳng  qua M0 và có vectơ chỉ phương là OB

Đặt f t k cos tsin t, ta có:  1 k 2 f t  1 k 2

Vậy giá của r

là một đoạn thẳng thuộc đường thẳng 

Trên (P) chọn mục tiêu M ;OA, OB0  

là đường hyperbol nằm trên mặt phẳng (P)

- Trường hợp: OA OB   0

Do đó k : OAkOB

(*)  M Mkcht sht OB 

Suy ra điểm M thuộc đường thẳng  qua M0 và có vectơ chỉ phương là OB

Đặt f t kcht sht , ta có: f t    , 

Vậy giá của r

Biết r r0f u, v r 1g u, v r 2h u, v r 3

(*) với f u, v , g u, v , h u, v      là những hàm theo u và v, hãy xác định giá của r u, v 

 M M0 f u, v OA g u, v OB h u, v OC     

ta khử u và v rồi suy ra giá của r t 

là mặtF x, y, z  hoặc là giao tuyến 0

, ta có  2 

M u, u , v

, ta có Mu cos v, u sin v, u2

Trong  cho đường cong tham số 3 r t x t , y t , z t      

, chứng minh giá của r t 

nằm trên một mặt phẳng ( và lập phương trình mặt phẳng chứa giá của r t 

 M M0 f t OA g t OB    

- Nếu OA, OB 

phụ thuộc tuyến tính thì giá của r t 

nằm trên đường thẳng qua M và có 0phương OA

(hiển nhiên giá của r t 

cũng nằm trên một mặt phẳng)

- Nếu OA, OB 

độc lập tuyến tính thì thì giá của r t 

 nằm trên mặt phẳng qua M0 và có hệ vectơ chỉ phương là OA, OB 

 thì ta tìm ra được mặt phẳng chứa giá của r t 

là: AxBy Cz D0

Bài 3: Cho đường (C): r t x t , y t , z t      

(*)  OMln t.OA sin t.OB OM  0

Bài 4: Cho đường tham số \   1 , r t 1 t, 1 2, 1

Vậy (C) nằm trên mặt phẳng có phương trình là 7x2y 3z 260

Bài 6: Chứng minh rằng các đường cong sau trong  là đường cong phẳng Lập phương 3trình mặt phẳng chứa vết của mỗi đường cong đó

Tìm cách khử tham số đưa về dạng F x, y  hoặc 0 F x, y, z  0

Bài 7: Xác định giá của các đường tham số sau:

b Ta có:  

2 2

- Nếu t  thì 1 xy0 vẫn thỏa phương trình (*)

Vậy giá của r t 

- Nếu t thì 0 xy0 vẫn thỏa phương trình (*)

Vậy giá của r t 

Bài 9: Hãy xác định vết của các đường tham số sau:

y  2 sin t cos t 4 sin t 1 sin t 4x 1 x

Vết của đường tham số là đường số 8: 2 2 2

Chủ đề 3: ĐỘ DÀI CUNG

3.1 Dạng 1:

Cho đường cong được tham số hóa bởi r t 

(biễu diễn tường minh), hãy xác định độ dài cung đoạn xác định bởi t , t1 2

Cách giải:

Áp dụng công thức tính độ dài cung:   2  

1 2 1

a r t   3a cos t,3a sin t, 4at

giữa giao của đường cong với mặt phẳng Oxy đến một điểm bất kì

Bài 5: Tìm độ dài các cung sau đây giữa hai điểm t0, t1

a r t  a cos bt b cos at, a sin bt b sin at, 4 ab cosa b t

đó tìm t1, t2 lần lượt ứng với A, B rồi áp dụng công thức tính độ dài cung:

3a3a   ta 93

Áp dụng công thức tính độ dài cung cho đường tham số   

Bài 8: Cho cung trong 2\ 0 

 xác định bởi r  ,  trong tọa độ cực r, 

r Hãy tính độ dài của cung đoạn xác định bởi 0 ,

c Áp dụng công thức liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Đêcac vuông góc ta được:

  a 1 cos cos , a 1 cos sin 

Chủ đề 4: ĐƯỜNG THAM SỐ CHÍNH QUY - THAM SỐ

- Nếu r ' t   0

thì chỉ ra một giá trị t0I thỏa r ' t 0 0

(có thể tìm giá trị t0 này bằng cách giải phương trình r ' t   0

) Kết luận đường tham số I, r t  

không chính quy trên I

- Lưu ý: nếu trong các hàm thành phần của r t 

là đường tham số chính quy

b r t cos t 2 cos t 1 ,sin t 2 cos t 1 , 0      

Chứng minh đường tham số I, r t  

là đường tham số tự nhiên

Cách giải:

Để chứng minh đường tham số I, r t  

là đường tham số tự nhiên ta chứng minh

b r t  4cos t,1 sin t, 3cos t

Cho đường tham số chính quy I, r t  

, hãy tìm tham số tự nhiên của nó

đã cho

Bài 3: Trong những đường cong dưới đây trường hợp nào là chính quy và tìm tham số tự

nhiên của các đường chính quy đó:

Chủ đề 5: HAI ĐƯỜNG THAM SỐ TƯƠNG TƯƠNG

Cách giải:

Tìm một ánh xạ : I1I2 thỏa đồng thời các điều kiện sau:

(i) Ánh xạ  khả vi trên I , ánh xạ ngược 1  1 khả vi trên I 2

là hai đường tham số tương đương

Bài 2: Đường xixôit của Điocles trong tọa độ cực r,  có phương trình:  rsin tan ,

2 3

x r cos sin tan cos sin

I ) Tức điều giả sử là sai Vậy chúng là hai đường tham số không tương đương

Bài 3: Hai đường tham số sau có tương đương không?

3 1

Chủ đề 6: TAM DIỆN FRENET

r ' t

r ' t r " tt

trong tam diện Frenet tại một điểm tùy ý của các đường

tham số hóa sau:

dsd

dsd

Chủ đề 7: ĐỘ CONG – ĐỘ XOẮN

7.1 Dạng 1:

Cho đường tham số I, r t  

, tìm độ cong và độ xoắn tại điểm t bất kì

2 2 6

2 2a

tk

2

2 2 8

Vậy k t   t tại mọi điểm

Bài 4: Cho đường cong (C) r t x t , y t , z t      

:

 

 

0 0

t t t t

a Chứng minh (C) là đường cong song chính quy

b Tìm tỉ số độ cong và độ xoắn của (C)

Bài 5: Tìm các điểm của cung (C) mà tại đó độ cong đạt giá trị nhỏ nhất

a r t  a t sin t , a 1 cos t , 4a cos    t

Vậy với b a thì độ cong và độ xoắn của đường tham số r t 

bằng nhau tại mọi điểm

Bài 7: Tìm độ cong của đường tham số    3 3 

r t  cos t, sin t



và chứng minh rằng độ cong tiến tới vô cùng tại lân cận một trong bốn điểm 1, 0,0, 1 