ĐỀ TÀI TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI

Có lẽ nhắc đến bài toán tháp Hà Nội, một bài toán cổ xưa mang đậm chất tính toán, song cũng như một trò chơi tri thức được lưu truyền tới nay với nhiều ứng dụng trong thực tế.. Bài toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN – CÔNG NGHỆ

******o0o******

Báo cáo bài tiểu luận

MÔN: CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ GIẢI THUẬT

Đề tài:

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI

Giảng viên hướng dẫn:

Nguyễn Thị Hảo

Nhóm sinh viên thực hiện:

1 Trương Thị Thúy Hương

2 Nguyễn Hoàng Phong

3 Lã Thị Ánh Tuyết

4 Nguyễn Thị Châm

5 Nguyễn Thị Thanh Huyền

6 Nguyễn Quang Trung

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 3

Chương 1 MỞ ĐẦU VỀ BÀI TOÁN 4

1.1 Tìm hiểu bài toán 4

1.2 Phân tích & đánh giá ban đầu 5

Chương 2 GIẢI THUẬT ĐỆ QUY THUẬT TOÁN & CÀI ĐẶT CHƯƠNG TRÌNH 6

2.1 Sơ lược về giải thuật đệ quy 6

2.1.1 Khái niệm đệ quy 6

2.1.2 Giải thuật đệ quy 6

2.1.3.Thiết kế giải thuật đệ quy 6

2.2 Thuật toán 7

2.3 Cài đặt chương trình 11

2.4 Độ phức tạp của thuật toán……… 12

Chương 3 Ý NGHĨA CỦA BÀI TOÁN 12

3.1 Về khoa học 12

3.2 Trong lĩnh vực toán – tin 12

3.3 Trong lĩnh vực giải trí 12

3.4 Về lịch sử 13

3.5 Thành tựu 13

Tài liệu tham khảo 14

LỜI NÓI ĐẦU

Các bạn thân mến!

Có lẽ nhắc đến bài toán tháp Hà Nội, một bài toán cổ xưa mang đậm chất tính toán, song cũng như một trò chơi tri thức được lưu truyền tới nay với nhiều ứng dụng trong thực tế Hẳn không ai là sinh viên IT chúng ta không biết tới Nó như một lời thách thức, hay một bước khởi đầu cho những

ai muốn chinh phục tầm hiểu biết trong môn tính toán

Trong khoa học tính toán ngày nay, phép truy hồi là thuật toán cơ bản

để lập trình Ưu điểm của phương pháp truy hồi là ở chỗ nó dùng một công thức nhất định để diễn tả những phép tính lặp đi lặp lại bất chấp số lần lặp lại

là bao nhiêu Nếu số lần lặp lại lên đến con số hàng triệu hàng tỷ thì con người không đủ sức và thời gian để làm, nhưng máy tính thì có thể giải quyết trong chớp mắt Điểm mạnh của computer là ở chỗ nó không hề biết e ngại và mệt mỏi trước những công việc lặp đi lặp lại lên đến hàng triệu hàng tỷ lần

Và vì thế, việc cộng tác giữa computer với con người là mô hình lý tưởng của lao động trí óc trong cuộc sống hiện đại Bài toán Tháp Hà Nội không chỉ thú

vị ở chỗ nó mang tên Hà Nội, thủ đô của Việt Nam, mà nó hấp dẫn các nhà Toán-Tin học, bởi nó liên quan đến nhiều vấn đề như giải thuật đệ qui, hệ đếm, tam giác Pascal, thảm Sierpinski, lý thuyết đồ thị và chu trình Hamilton, ôtômát hữu hạn, độ phức tạp tính toán,v.v Bài toán Tháp Hà Nội gợi ý cho nhiều nghiên cứu trong khoa học máy tính và toán học

Chính vì thế nhóm Sv k8 Tin chọn đề tài này để cùng các bạn khám phá những gì còn bí ẩn sau bài toán THÁP HÀ NỘI

Chương 1.

MỞ ĐẦU VỀ BÀI TOÁN

1.1 Tìm hiểu bài toán

Có thể còn ít người Việt Nam biết Tháp Hà Nội, nhưng rất nhiều thanh niên sinh viên trên toàn thế giới lại biết đến nó Đó là vì, Tháp Hà Nội là tên một bài toán rất nổi tiếng trong Chương trình khoa học tính toán (Computing Science) dành cho sinh viên những năm đầu tại các trường đại học ở nhiều nơi trên thế giới

Bài toán hay trò chơi tháp Hà Nội được nhắc tới trong rất nhiều tài liệu

Tương truyền rằng: Ngày xửa ngày xưa, lâu lắm rồi, ở một vùng xa xôi viễn

đông, thành phố Hà Nội của Việt Nam, vị quân sư của Hoàng đế vừa qua đời, Hoàng đế cần một vị quân sư mới thay thế Bản thân Hoàng đế cũng là một nhà thông thái, nên ngài đặt ra một bài toán đố, tuyên bố ai giải được sẽ được phong làm quân sư Bài toán của Hoàng đế là: cho n cái đĩa (ngài không nói chính xác là bao nhiêu) và ba cái trục: A là trục nguồn, B là trục đích, và C là trục trung chuyển Những cái đĩa có kích cỡ khác nhau và có lỗ

ở giữa để có thể lồng vào trục, theo quy định "nhỏ trên lớn dưới" Đầu tiên, những cái đĩa này được xếp tại trục A Vậy làm thế nào để chuyển toàn bộ các đĩa sang trục B, với điều kiện chuyển từng cái một và luôn phải đảm bảo quy định "nhỏ trên lớn dưới", biết rằng trục C được phép sử dụng làm trục trung chuyển?

Vì địa vị quân sư được coi là vinh hiển nên có rất nhiều người dự thi

Từ vị học giả đến bác nông phu, họ đua nhau trình lên Hoàng đế lời giải của mình Nhiều lời giải dài tới hàng nghìn bước, và nhiều lời giải có chữ

"chuyển sang bước tiếp theo" (go to) Nhưng hoàng đế thấy mệt mỏi vì những lời giải đó, nên cuối cùng hạ chiếu: "Ta không hiểu những lời giải này Phải

có một cách giải nào khác dễ hiểu và nhanh chóng hơn" May mắn thay, cuối cùng đã có một cách giải như thế.

Thật vậy, ngay sau khi chiếu vua ban ra, một vị cao tăng trông bề ngoài giống như một kỳ nhân hạ sơn tới xin yết kiến hoàng đế Vị cao tăng nói:

"Thưa Bệ hạ, bài toán đố đó dễ quá, hầu như nó tự giải cho nó" Quan trùm cấm vệ đứng hầu ngay bên cạnh vua quắc mắt nhìn gã kỳ nhân, muốn quẳng

gã ra ngoài, nhưng Hoàng đế vẫn kiên nhẫn tiếp tục lắng nghe "Nếu chỉ có 1 đĩa, thì ; nếu có nhiều hơn 1 đĩa (n>1), thì ", cứ thế vị cao tăng bình tĩnh giảng giải Im lặng được một lát, cuối cùng Hoàng đế sốt ruột gắt: "Được, thế cao tăng có nói rõ cho ta lời giải hay không cơ chứ?" Thay vì giải thích tiếp, gã kỳ nhân mỉm cười thâm thúy rồi biến mất, bởi vì hoàng đế tuy giỏi giang nhưng rõ ràng là chưa hiểu ý nghĩa của phép truy hồi (recursion) Nhưng các bạn sinh viên ngày nay thì có thể thấy cách giải của vị cao tăng là hoàn toàn đúng

Từ việc tìm hiểu lịch sử bài toán ta thấy rõ được yêu cầu bài toán như sau:

• Mỗi lần chỉ được chuyển một đĩa

• Một đĩa có thể được chuyển từ một cọc này sang cọc khác bất kỳ

• Không thể để đĩa lớn bên trên đĩa nhỏ

1.2 Phân tích & đánh giá ban đầu

Bài toán Tháp Hà Nội là một bài toán rất thú vị Bạn có thể bắt đầu bằng

bài toán 3 đĩa, rồi nâng lên 4 đĩa Với 4 đĩa chắc bạn bắt đầu thấy rắc rối Nâng tiếp lên 5 và cao hơn nữa, chẳng hạn n = 1 triệu, bài toán sẽ rắc rối đến mức không ai đủ kiên trì và đủ thì giờ để thử từng đĩa một Vậy mà vị cao tăng nêu trên lại nói là dễ quá! Vì vị đó đã sử dụng phép truy hồi, một quy tắc toán học cho phép xác định số hạng thứ n từ số hạng đứng trước nó, tức số

hạng thứ n-1 Cái giỏi của vị cao tăng là ông tìm ra một quy tắc chung, tức

một thuật toán chung cho tất cả các bước chuyển đĩa

Thay vì mô tả toàn bộ quá trình chuyển đĩa từng cái một, người ta đã mô

tả một quy tắc chung Cứ làm theo quy tắc đó, lặp đi lặp lại chẳng cần suy nghĩ gì, rồi cuối cùng tự nhiên sẽ tới đích Vì thế vị cao tăng nói rằng bài toán này "tự nó giải nó"

Và vì vậy, một hướng tối ưu để giải quyết bài toán này là bằng cách sử dụng phép truy hồi, hay còn được gọi là phép đệ quy

Chương 2.

GIẢI THUẬT ĐỆ QUY THUẬT TOÁN & CÀI ĐẶT CHƯƠNG TRÌNH

2.1 Sơ lược về giải thuật đệ quy

2.1.1 Khái niệm đệ quy

Ta nói một đối tượng là đệ quy (recursive algorithm) nếu nó bao gồm chính nó như một bộ phận hoặc nó được định nghĩa dưới dạng của chính nó

Ví dụ:

1 Số tự nhiên

a) 1 là một số tự nhiên b) x là số tự nhiên nếu x-1 là số tự nhiên

2 Hàm n giai thừa: n!

a) 0! = 1 b) Nếu n > 0 thì n! = n(n-1)!

2.2.2 Giải thuật đệ quy

Nếu lời giải của bài toán T được thực hiện bằng lời giải của một bài toán T’, có dạng giống T, thì đó là một lời giải đệ quy Giải thuật tương tự với

lời giải như vậy gọi là giải thuật đệ quy.

Thoạt nghe thì có vẻ hơi lạ, nhưng điểm mấu chốt cần lưu ý đó là: T’ tuy có dạng giống như T, nhưng theo một nghĩa nào đó, nó phải “nhỏ” hơn T

2.2.3 Thiết kế giải thuật đệ quy

Khi bài toán đang xét hoặc dữ liệu được định nghĩa dưới dạng đệ quy thì việc thiết kế các giải thuật tỏ ra rất thuận lợi Hầu như nó phản ánh rất sát nội dung của định nghĩa đó

*** Trên cơ sở thừa kế tinh thần của các mục trên, dưới đây sẽ trình bày thuật toán đệ quy áp dụng vào việc giải quyết bài toán Tháp Hà Nội đã được nêu ở chương 1.

2.2 Thuật toán

Trước tiên ta đánh số thứ tự cho 3 cọc, giả sử là c1, c2, c3 Và cũng giả

sử rằng có n đĩa với đường kính giảm dần được đánh số thứ tự từ trên xuống dưới, xếp vào cọc c1 như hình vẽ:

Bài toán với một khối dữ liệu lớn được đưa vào để tính toán Để giải quyết vấn đề trên, ta phải tìm cách để chia nhỏ được khối dữ liệu đó Với bộ

dữ liệu đưa vào là n đĩa, ta sẽ chia bộ dữ liệu này thành 2 bộ dữ liệu con là n-1 đĩa trên, từ đĩa thứ nhất tới đĩa thứ n-1, và 1 đĩa lớn nhất ở dưới cùng, tức

là đĩa thứ n Việc chia như vậy phải có tính đệ quy, tức là chia nhỏ cho tới khi giải quyết được bằng cách đơn giản nhất

Trước hết, ta xét vài trường hợp đơn giản:

• Trường hợp n=1 đĩa:

- Chuyển đĩa từ c1 sang c2

• Trường hợp n=2 đĩa:

- Chuyển đĩa 1 từ c1 sang c3

- Chuyển đĩa 2 từ c1 sang c2

- Chuyển đĩa 1 từ c3 sang c2

• Trường hợp n > 2, nếu coi (n-1) đĩa ở trên, đóng vai trò như đĩa thứ nhất thì có thể xử lý giống như trường hợp 2 đĩa được, nghĩa là:

- Chuyển (n-1) đĩa trên từ c1 sang c3

- Chuyển đĩa thứ n từ c1 sang c2

- Chuyển (n-1) đĩa từ c3 sang c2 Một cách tổng quát, khi không còn là một đĩa, toàn bộ quá trình thực hiện di chuyển được chia làm 3 giai đoạn:

Giai đoạn 1: chuyển n-1 đĩa trên từ cọc gốc đến cọc trung gian

Giai đoạn 2: chuyển một đĩa (đĩa thứ n) từ cọc gốc đến cọc đích

Giai đoạn 3: chuyển n-1 đĩa từ cọc trung gian đến cọc đích

Có thể hình dung việc thể hiện 3 giai đoạn này theo mô hình:

Để giải quyết các giai đoạn trên, ta đưa ra một chương trình con

“dich_chuyen” với cấu trúc như sau:

dich_chuyen(n_dia, tu_coc, toi_coc, coc_trung_gian);

procedure dich_chuyen(n, c1, c2, c3:integer);

begin

if n=1 then writeln(c1, ‘ -> ‘,c2) else begin

dich_chuyen(n-1, c1, c3, c2);

dich_chuyen( 1, c1, c2, c3);

dich_chuyen(n-1, c3, c2, c1);

end;

end;

Trong đoạn chương trình con trên, tại sao ta phải có lời gọi đệ quy của chính nó tới 3 lần? Bởi vì mỗi một lần gọi như vậy thể hiện một giai đoạn vừa

kể trên Ban đầu, ta muốn di chuyển toàn bộ n đĩa từ cọc gốc (c1) sang cọc đích (c2) Muốn làm được công việc đó, trước hết phải kiểm tra xem số đĩa cần chuyển có phải là một đĩa không n=1 là điều kiện đóng hay trường hợp suy biến của bài toán, nếu điều này đúng thì sau khi thực hiện công việc dịch chuyển xong, thủ tục sẽ kết thúc Còn nếu không phải là một đĩa thì qua các lời gọi, các lớp chương trình sẽ tiếp tục được đưa ra để thực hiện công việc đến khi điều kiện n=1 đúng thì thôi

Xét một ví dụ với n=3 Quá trình thực hiện của trình biên dịch như sau: Mức chương trình đầu tiên được gọi tới:

{muc 1} dich_chuyen(3, c1, c2, c3);

Ở đây n<> 1 cho nên điều kiện n=1 không thỏa mãn Mức chương trình tiếp theo sẽ được gọi tới như sau:

{muc 2} dich_chuyen(2, c1, c3, c2);

dich_chuyen(1, c1, c2, c3);

dich_chuyen(2, c3, c2, c1);

Chuyển sang mức chương trình thứ hai (n - 1 = 2):

{procedure} dich_chuyen(2, c1, c3, c2);

Trong thủ tục này thì n=2, vẫn khác 1, chưa thể kết thúc được, lại tiếp tục gọi tới lớp chương trình tiếp theo:

{muc 3} dich_chuyen(1, c1, c3, c2);

dich_chuyen(1, c1, c2, c3);

dich_chuyen(1, c3, c2, c1);

Lúc này, điều kiện n=1 được thỏa mãn nên không còn lời gọi mức chương trình tiếp theo Công việc được thực hiện ở mức này đó là:

- Chuyển 1 đĩa từ cọc (c1) đến cọc (c3)

Mức 3 hoàn thành ở câu lệnh thứ nhất của mức 2, mức 2 tiếp tục thực hiện công việc tiếp theo của nó:

- Chuyển 1 đĩa từ cọc (c1) đến cọc (c2)

- Chuyển 1 đĩa từ cọc (c3) đến cọc (c1)

Vậy mức 2 đã hoàn thành ở câu lệnh thứ nhất của mức 1 Mức 1 thực hiện tiếp các lệnh tiếp theo:

- Chuyển 1 đĩa từ cọc (c1) sang cọc (c2)

- Chuyển n-1 đĩa từ cọc (c3) sang cọc (c2)

Đến đây, toàn bộ quá trình đệ quy trên lại được lặp lại Bắt đầu mức 2 của câu lệnh thứ 3 Và cứ như vậy, bài toán dịch chuyển 3 đĩa đã được hoàn thành

Mô tả lại toàn bộ quá trình như sau:

{muc 1} dich_chuyen(3, c1, c2, c3);

{muc 2} dich_chuyen(2, c1, c3, c2);

{muc 3} dich_chuyen(1, c1, c2, c3);

dich_chuyen(1, c1, c3, c2);

dich_chuyen(1, c2, c3, c1);

dich_chuyen(1, c1, c2, c3);

dich_chuyen(2, c3, c2, c1);

{muc 2} dich_chuyen(1, c3, c1, c2);

dich_chuyen(1, c3, c2, c1);

dich_chuyen(1, c1, c2, c3);

Như vậy, bài toán Tháp Hà Nội tổng quát với n đĩa được dẫn đến bài toán tương tự với kích thước nhỏ hơn Và ta đã có lời giải cho bài toán tháp

Hà Nội rất nổi tiếng.Việc áp dụng thuật toán đệ quy vào việc giải quyết bài toán này là một trong những giải pháp tối ưu nhất, dễ nghiên cứu, dễ hiểu

2.3 Cài đặt chương trình

Program thaphanoi;

uses crt;

var

n: integer;

procedure dich_chuyen(n, c1, c2, c3:integer);

begin

if n=1 then writeln(c1, ‘  ‘,c2) else begin

dich_chuyen(n-1, c1, c3, c2);

dich_chuyen( 1, c1, c2, c3);

dich_chuyen(n-1, c3, c2, c1);

end;

end;

Begin

Clrscr;

Writeln(‘***************************************’);

Writeln(‘* BAI TOAN THAP HA NOI *’);

Writeln(‘***************************************’);

write(‘Nhap so dia can chuyen: ‘);

readln (n);

writeln(‘Cac buoc chuyen dia nhu sau: ‘);

dich_chuyen (n,1, 2, 3);

readln ;

end.

*** Lưu ý rằng ở đây, khi thay đổi các mức đệ quy thì vai trò cũng như trật

tự của các cọc đã được tự động hoán đổi cho nhau

2.4 Độ phức tạp của bài toán:

Nhận xét:

• Kích thước của dữ liệu là n

• Khi n=1 thì thời gian thực hiện la O(1)

• Với n>1 cần thực hiện lệnh dich_chuyen, số lần dich chuyển tới 2n-1 lần

 Ta có quan hệ đệ quy như sau :

T(1)=O(1)

T(n) = O(1)+T(n-1)

Từ đó ta tính được độ phức tạp của bài toán là:

O(n)=T(n)=2n

Chương 3.

Ý NGHĨA CỦA BÀI TOÁN

3.1 Về khoa học

Tháp Hà Nội còn sử dụng trong nghiên cứu giáo dục về giải quyết vấn

đề, trong chuẩn đoán và điều trị thần kinh sinh lí đối với các chức năng thực hành

3.2 Trong lĩnh vực nghiên cứu toán-tin

Đó là giải thuật đệ quy, hệ đếm, tam giác Pascal, thảm Sierpinski, lý thuyết đồ thị và chu trình Hamilton, ôtômát hữu hạn, độ phức tạp tính toán,

3.3.Trong lĩnh vực giải trí

Tháp Hà Nội là một trò chơi trí tuệ rất vui, bổ ích, dễ học, dễ chơi, rèn luyện tính kiên nhẫn

4.4 Về mặt lịch sử

Tháp Hà Nội được E Lucas phát hiện từ năm 1883, nhưng mãi đến gần đây người ta mới nhận ra ý nghĩa hiện đại của nó Hiện vẫn chưa rõ vì sao Lucas lại gọi chồng đĩa trong bài toán là Tháp Hà Nội, mà không gọi là Tháp Bắc Kinh, hay Tháp Tokyo

4.5 Thành tựu

Tháp Hà Nội đã mở tung cánh cửa cho tương lai khi nhiều nghiên cứu lấy Tháp Hà Nội làm điểm xuất phát đã đạt được thành tựu mới:

(1) Nâng câu hỏi của Tháp Hà Nội lên một mức cao hơn, sao cho số lần chuyển đĩa là nhỏ nhất Các nhà toán học đã phát hiện ra rằng Tháp Hà Nội có cùng bản chất với bài toán tìm Đường Hamilton (Hamilton Path) trên một hình giả phương cấp n (n-Hypercube), một bài toán cũng rất nổi tiếng

(2) Nhà toán học D.G Poole đã sáng tạo ra Lược Đồ Hà Nội - một tam giác có các đỉnh tương ứng với các cách sắp xếp đĩa trong Tháp Hà Nội, từ đó tìm ra những liên hệ lý thú giữa Tam giác Pascal với Lược đồ Hà Nội Liên

hệ này đã được công bố trong một công trình mang một cái tên đầy liên tưởng: Pascal biết Hà Nội (Pascal knows Hanoi) Hiện nay, tại một số đại học

ở Australia, uy tín của sinh viên Việt Nam trong lĩnh vực lập trình được đánh giá ngang với sinh viên Ấn Độ - một cường quốc lập trình của thế giới, làm cho Tháp Hà Nội vốn đã nổi tiếng lại càng nổi tiếng hơn

***************o0o***************