đề tài tìm hiểu về dạng toàn phương

GIỚI THIỆU - Nhằm trang bị đầy đủ kiến thức cho tất cả các bạn sinh viên về phần Đại số tuyến tính.. Đặc biệt là những kỹ năng cơ bản để học tốt những bài tập dạng toàn phương,nhằm chuẩn

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM

TP.HỒ CHÍ MINH

ĐỀ TÀI :

TÌM HIỂU VỀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG

- - GVHD : NGUYỄN TRƯỜNG SINH

NHÓM 13 :

DANH SÁCH THÀNH

VIÊN

• Phạm Xuân Khánh

• Chắng Gia Đức

• Trần Thanh Phong

• Phạm Thành Công

• Lưu Hải Triều

• Nguyễn Thanh Vương

Công Việc :

o Làm

PowerPoint

o Hoàn thiện tài

liệu

o Tìm kiếm tài

liệu

o Tìm kiếm tài

liệu

o Thuyết trình

bài giảng

o Xây dựng đề tài

Phần mở đầu : DẠNG TOÀN PHƯƠNG ! GIỚI THIỆU

- Nhằm trang bị đầy đủ kiến thức cho tất cả các bạn sinh viên về phần Đại số tuyến tính Đặc biệt là những

kỹ năng cơ bản để học tốt những bài tập dạng toàn phương,nhằm chuẩn bị cho tất cả các bạn sinh viên trước kỳ kiểm tra cuối kỳ này Đó cũng chính là một trong những lý do, mà nhóm 13 chúng tôi làm đề tài tiểu luận với việc “cung cấp kiến thức cho các bạn hiểu rõ” Chúng tôi chia bài tiểu luận thành những mục khác nhau, với những mục riêng của từng phần Trong đó có: 1.Tóm tắt lý thuyết và Giải bài tập ví dụ trong dạng toàn phương Ngoài ra chúng tôi còn đưa thêm một số bài liên quan đến dạng toàn phương ,nhằm góp cho tất

cả các bạn hiểu rõ hơn về bài tập đó…

2 Tuy nhiên chắc chắn chúng tôi sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Nhóm 13 rất mong nhận

được những ý kiến đóng góp của tất cả các thầy

cô và các bạn sinh viên ở trong trường cũng như ngoài trường, để lần sau nhóm 13 viết tiểu luận đạt kết quả cao hơn

- Nhóm 13 xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Trường Sinh, Trường Đại học Công Nghiệp Thực phẩm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp nhóm 13 hoàn thành bài tiểu luận này

Những chỉ dẫn và đóng góp của các bạn xin gửi

về Nhóm 13 qua Email:luclamkhanh@gmail.com

Xin chân thành cảm ơn!

1 Định nghĩa :

- Cho V là không gian vector n chiều trên R, hàm :

xác định như sau, với mỗi  :V  R

1 2 ( , , , )n

x  x x x  V

2

11 1 12 1 2 13 1 3 1 1

2

22 2 23 2 3 2 2

2

33 3 3 3

2

2

n n

n n

n n

n n n

a x



I Khái niệm dạng toàn phương

trên V.

 Chứng minh định nghĩa :

- Dạng toàn phương V

2

2

2

2

2

n n n

a x



khi đó, sẽ có dạng ma trận sau:

n n

A





 Ví dụ : Cho dạng toàn phương:

3

1 2 3

1 1 2 1 3 2 2 3 3

1 1 2 2 1 1 3 3 1 2 2 3 3 2 3

R R x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x





Ta viết lại :

Ta có :

Do đó ma trận có dạng toàn phương là :

A



II Dạng chính tắc của toàn phương :

 Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo





























n n

a

a a

0 0

0

0

0

0

0

22 11

Hay  ( x )  a11x12  a22x22   ann xn2.

 Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng

toàn phương

K(x)= 2 x12  x22  8 x32 ma trận tương ứng



L(x)= x12  5 x32 ma trận tương ứng

1 0 0

0 0 0

0 0 5

V(x)= x12  6 x22 ma trận tương ứng

1 0 0

0 6 0

0 0 0

1 Định lí 1 :

- Chỉ số quán tính dương(âm) trong dạng

chính tắc của một dạng toàn phương không phụ thuộc vào phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.

III Luật quán tính :

2 Định lí 2 :

- Cho dạng toàn phương Q(x) trên Rn ,Q(x) xác định dương (âm) khi và chỉ khi số quán tính dương (âm) bằng n.

2) Trong R4 , dạng toàn phương

Q x  x  x  x

có chỉ số quán tính dương bằng 3 nên nó

xác định dương.

 Ví dụ:

1) Trong R3 , dạng toàn phương :

Q x  x  x  x  x

có chỉ số quán tính âm bằng 4 nên nó xác định âm

1) Một dạng toàn phương xác định dương (âm) khi và chỉ khi ma trận của nó chỉ có các giá trị dương (âm)

 Nhận xét :

2) Một dạng toàn phương là nữa xác định dương (âm) khi và chỉ khi ma trận của nó

có giá trị riêng = 0 và các giá trị riêng còn lại đều dương (âm).



3.Định lí 3 :

- Cho dạng toàn phương Q có ma trận là A Khi đó ta có :

a) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chính của A đều dương;

b) Q xác định âm khi và chỉ khi các định

thức con chính của A đan dấu với

2 2 2

1 1 2 2 2 3 3 1 3

Q x  x  x x  x  x x  x  x x

1 1 1

1 2 1

1 1 2

A



    

   



1 0

A

Ma trận của dạng toàn phương là

Các định thức con chính

 Vậy Q(x) là dạng toàn phương xác định

âm.

 Ví dụ :

THE END !

Xin chân thành cảm ơn mọi người đã lắng

nghe !