Bài tập mô hình toán kinh tế Dành cho sinh viên các trường cao đẳng, đại học khối kinh tế

@}iới thiệu mô hình toán kinh lổW ; w, 1.9 d Mô hình xác định mức cung của doanh nghiệp Gọi TRY là tổng doanh thu khi doanh nghiệp cung ứng ra thị trường một khối lượng sản phẩm là Y.. H

TS BÙI DUY PHÚ (Chủ biên)

TS LÊ TÀI THU - TS TRUƠNG THỊ THUỲ DUƠNG

ThS NGUYỄN VĂN AN

(Dành cho sinh viên các trường cao đẳng, đại học khôi kinh tê)

TS BÙI DUY PHÚ (Chủ biên)

TS LÊ TÀI THU - TS TRƯƠNG THỊ THÙY DƯƠNG

ThS NGUYỄN VĂN AN

Bài tập

M ô hình toán kinh

(DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG CAO ĐẢNG,

ĐẠI HỌC KHỐI KINH TÉ)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

LỜI NÓI ĐẦU

các kiến thức đã được trình bày trong cuốn “Mô hình toán kinh tế”, cuốn “Bài tập mô hình toán kinh tế” đã được biên soạn Các tác giả mong muốn rằng, với các bài tập đưa ra, ngưòi đọc sẽ có được những kiến thức để củng cố và bổ sung các kiến thức cơ bản về những mô hình toán kinh tế Cuốn bài tập này được viết thành 4 chương Trong đó:

- Chương 1: Giói thiệu Mô hình toán kinh t ế do TS Bùi Duy Phú

biên soạn

- Chương 2: Bài toán Quy hoạch tuyến tính - Phưong pháp đon hình

do TS Lê Tài Thu biên soạn

- Chương 3: Mô hình cân đối liên ngành do TS Trương Thị

Thùy Dương biên soạn

- Chương 4: Bài toán quản lý d ụ trữ do ThS Nguyễn Văn An

biên soạn

Do đây là cuốn bài tập được biên soạn lần đầu, các tác giả đã có nhiều

cố gắng để đưa ra đầy đủ dạng của các bài toán, tuy nhiên chắc chắn cũng không thể tránh khỏi những khiếm khuyết về mặt nội dung cũng như hình thức trình bày Vì vậy, các tác giả mong muốn nhận được những ý kiến quý báu từ bạn đọc để nội dung của cuốn sách được phong phú hơn Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ e-mail: bmt.hvnh@gmail.com hoặc buiduyphu@yahoo.com

Xin trân trọng cám ơn

Các tác giả

MỤC LỤC

Lời nói đ ầ u 3

Mục lục 4

Chương 1 GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TÉ A Tóm tắt lý thuyết 5

B Bài tập 17

Chương 2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH A Tóm tắt lý thuyết 35

B VI dụ 45

c Bài tập 58

D Một số bài tập tổng hợp 74

Chương 3 MÔ HÌNH CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH (Input - Output Table I/O) A Tóm tắt lý thuyết 79

B Ví dụ 84

C Bài tập 89

Chương 4 BÀI TOÁN QUÀN LÝ Dự TRỮ A Tóm tắt lý thuyết 108

B Ví dụ 112

c Bài tập 116

Tài liệu tham khảo 123

GIÓI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TỂ

A TÓM TẮ T LÝ THUYẾT

11 Cấu trúc của m ô h ìn h toán k in h tế

Các biến số trong một mô hình toán kinh tế bao gồm: biến ngoại sinh, biến nội sinh và các tham số kinh tế

Các biến số được liên hệ với nhau bởi các phưcmg trình định nghĩa, phương trình hành vi, hay phương trình điều kiện

12 Đ o lư ờ n g sự thay đổi của các b iến n ộ i sin h theo b iến ngoại sinh

1.2.1 Đo lường sự thay đổi tuyệt đối

Giả sử có hàm kinh tế dạng Y = F(Xi, X2, , x n)

AXj

ỠYTrường hợp hàm Y khả vi theo Xi thì ta có p(X¡) = —— là tôc độ

<9Xjthay đổi tức thời của Y theo Xi hay còn gọi là cận biên của Y theo Xi

Trong trường họp hàm F khả vi theo tất cả các biến thì ta dùng vi phân toàn phần

< s4 à i lập ©44ô hìnk toán kinh tế

1.2.2 Đo lường sự thay đối tương đối

Ý nghĩa: Hệ số này cho biết trong 1 đơn vị thời gian, X đã thay đổi rx%.

Giả sử Y = F(Xi, X2, , x n), trong đó các biến đều biến động theo thời gian Khi đó hệ số tăng trưởng toàn phần của hàm Y khi tất cả các nhân tố đều thay đổi với mức tăng trưởng riêng của từng nhân tố được tính theo công thức sau:

n

Ỷ nghĩa: Hệ số này cho biết trong một đơn vị thời gian, khi tất cả các

biến ngoại sinh thay đổi với mức tăng trưởng riêng rx % thì biến nội sinh

thay đổi ĨỴ%.

12.2.3 Hệ số thay thế

Trong các mô hình kinh tế, các biến ngoại sinh có thể thay thế hoặc

bổ sung cho nhau Khi đó để đo mức độ thay thế hoặc bổ sung cho nhau giữa hai biến Xi và Xj chúng ta sử dụng hệ số thay thế hay hệ số bổ sung

Giả sừ hàm Y = F(Xi, X2, , x n) khả vi theo tất cả các biến

C(ỉhươncj 1 (ỷiớì ihiệu mô hình toán kinh tế 7

dXị

(1.5)

MRS(i,j) được gọi là tỷ lệ thay thế cận biên giữa hai yếu tố Xi và Xj

- Nếu MRS(i,j) < 0, hai yếu tố Xi và Xj được gọi là hai yếu tố thay thế cho nhau

- Nếu MRS(i,j) > 0, hai yếu tố Xi và Xj được gọi là đồng bộ, bổ sung cho nhau

I.2.2.4 Vấn đê'tăng quy mô và hiệu quả

Định nghĩa 1.1: Hàm sản xuất Y = F(X) = F(X], X2, , x n) được gọi

là hàm thuần nhất bậc k nếu thỏa mãn điều kiện:

F(tX) = F(t.Xi, t.x 2, „ t.x n) = tk.F(X], x 2, , x„) = f.F(X) ( 1.6)

k được gọi là bậc thuần nhất của hàm F Hệ thức (1.6) cho biết rằng khi mọi yếu tố đều cùng tăng lên t lần thì hàm sản xuất thu được sẽ tăng lên t* lần

-©pẦài tập ©Mô hình loán kinh tế

Năng suất cận biên của yếu tố sản xuất thứ i (sàn phẩm hiện vật cận biên):

ỠY

dXị

- Năng suất trung bình của yếu tố sản xuất thứ i: (i = 1, 2, , n)

- Hệ số co giãn của Y theo yếu tố sản xuất thứ i: Eyỵ (i = 1, 2, ,,n)

/ X i

Khi cơ sở sản xuất chỉ có khả năng thay đổi được yếu tố sản xuất thứ i, còn các yếu tố khác không đổi, thì việc sử dụng yếu tố thứ i ở mức độ có lợi nhất sẽ là ở mức năng suất trung bình của yếu tố đó lớn nhất Tình huống này được gọi là tình huống tối ưu hoá về mặt kỹ thuật của sản xuất:

Y - »maxXi

Điều kiện cần và đủ để đạt được điều này là năng suất trung bình bằng năng suất cận biên:

( ,.8)

c) Tôĩ ưu hoá vê'mặt kinh tế của sản xuất - Các mô hình liên quan

Gọi Wi, W2, , wn là giá cùa các yếu tố đầu vào, hàm sản xuất có dạng:

Y = F(X1,X 2, ,X n, a, b, c, )

- Mô hình cực tiểu hoá chi phí:

Bài toán cực tiểu hoá chi phí có dạng:

TC = ^ ] w i.Xỉ => mini=l

với điều kiện ràng buộc về sản lượng:

Y = F(Xi, x 2, , x n, a, b, c , ) = const Điều kiện cần để chi phí thấp nhất là:

9 l'(ohmmcỊ 1 @}iới thiệu mô hình toán kinh lổ

W ;

w,

(1.9)

d) Mô hình xác định mức cung của doanh nghiệp

Gọi TR(Y) là tổng doanh thu khi doanh nghiệp cung ứng ra thị trường một khối lượng sản phẩm là Y Hàm lợi nhuận n(Y) được xác định theo công thức:

tức là, để thu được lợi nhuận cao nhất, trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo, các doanh nghiệp phải lựa chọn mức cung sao cho chi phí cận biên bằng với giá bán sản phẩm

13.1.2 Mô hình phân tích hành vi tiêu dùng

Ta gọi đó là một véc tơ hàng hoá (một giỏ hàng hoá):

Lưu ý rằng, trong giỏ hàng hoá này, nếu loại hàng nào không mua sẽ nhận giá trị bằng 0

Để thể hiện mức độ thoả mãn nhu cầu, chúng ta sử dụng hàm thoả dụng:

trong đó: a, p, y là các tham số biểu thị sở thích, thị hiếu

Giả sử giá bán của các loại hàng hoá là Pi, P 2 , , Pm và ngân sách dành cho tiêu dùng là M

Điều kiện cần của tối ưu là:

n(Y ) = TR(Y) - TC(Y)Điều kiện tối ưu là:

X = (X ,,X 2, ,X m)

U = Ư(X1,X 2, ,X m, a, p, y )

-(¿pỉài lập hình loán kinh lế

1.3.13 Mô hình cung cầu hàng hoá

a) Hàm cung của thị trường

b) Hàm cầu của thị trường

Hàm này sẽ phụ thuộc vào giá của loại hàng cần tiêu dùng, giá các loại hàng hoá liên quan và mức thu nhập của người tiêu dùng:

c(ûhwrnçy 1 @jiới thiệu mô hình toán kinh tế 11

13.1.4 Mô hình cân bằng thị trường

a) Mô hình cân bằng thị trường một loại hàng hóa

Giả sử trên thị trường một loại hàng hoá có hàm cung Qs và hàm cầu Qd như sau:

Qs = Q(P, a, b, c , ); Qd = Q(P, a, ß, y )

Ở đây: p là giá loại hàng đang xét: a, b, c, a, ß, y là các tham số Điều kiện cân bằng thị trường là: Qs = Qd

Nghiệm của phương trình cho ta p phụ thuộc vào các tham số và khi xét ảnh hưởng của các tham số tới giá cân bằng, ta sử dụng các đạo hàm riêng của p theo các tham số đó

b) Mô hình cân bằng trên thị trường hai loại hàng hóa

Giả sử trên thị trường hai loại hàng hoá ta có hai hàm cung và hai hàm cầu:

QS) = Qs(Ph P2, ao, ai, a2, ); Qdl = Qd(Pi, P2, ao, ai, a 2, )

QS2 = Qs(Pi, P2, bo, bl, b2, ); Qd2 = Qd(Pi, P2, ßo, Pi, ß2, - )

Điều kiện cân bằng hai thị trường cho ta hệ hai phương trình hai ẩn Pi

và p2

1.3.2 Mô hình kinh t ế v ĩ mô

13.2.1 Mô hình tống cung và tôhg cầu

Tổng cung là tổng giá trị hàng hoá - dịch vụ mà nền kinh tế tạo ra sau mỗi thời kỳ nhất định (thông thường là 1 năm) Nó phụ thuộc vào trình độ công nghệ, các nguồn lực của nền kinh tế và mức giá cả

Tổng cầu là tổng số chi tiêu hàng hoá - dịch vụ của toàn bộ nền kinh

tế trong một thời kỳ nhất định (thông thường là 1 năm) Nó phụ thuộc vào mức đầu tư, mức tiêu dùng của cá nhân, của Chính phủ và mức giá cả

— -<s7ằài tập ©Mô hình toán kình tế

Ta có hệ thức cân bằng: Tổng cung = Tổng cầu

2.3.2.2 Mô hình phân tích môĩ Cịuan hệ giữa đầu tư và sản lượng —

phương 1 (ỳiới thiệu mô hình toán kinh lê' 13

13.2.3 Mô hình thu nhập quốc dãn

13.2.4 Mô hình tăng trưởng Harrod - Domar

- Mô hình gồm các biến số sau:

Y(t): thu nhập quốc dân tại thời kỳ t

K(t): vốn của thời kỳ t

I(t): mức đầu tư cho thời kỳ t

L(t): lực lượng lao động xã hội tại thời kỳ t

Khi đó các biến số của mô hình có những mối quan hệ như sau:

■(¿pỉài lập ©Mô hình toán kinh tế

1.4 P hư ơng pháp tín h cực trị của hàm n h iề u b iến trong phân tích

k ỉn h tế

1.4.1 Cực trị tự do (cực trị không điều kiện)

Định lý 1.1:

- Điều kiện cần để hàm f(xi, X 2 , , Xn) đạt cực trị tại điếm

X = (xi, X2, Xn) là các đạo hàm riêng bậc nhất theo từng biến số tại X

bằng 0, hay:

T - ( x ) = 0 (V i = 1, 2, , n) (1.26)

ÕXị

Khi đó X được gọi là điểm dừng (điểm nghi ngờ)

- Điều kiện đủ: Trường hợp 2 biến y =f(xj, Xỉ) Giả sử tại điểm dừng

X hàm f(xj, Xỉ) có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 theo các biến:

Nếu D < 0 hàm số không có cực trị tại X

Trong trường hợp tổng quát y = f(xu x2> xn)

cĩễhumtq 1 ýỳiớ i ihìệu mô hình loán kinh tế 15

này là nghiệm của hệ:

Nghiệm của hệ (1.31) là ( x, Ả) = ( Xị , x2, , xn,X) được gọi là điểm

"'(ỗhưoncỊ 1 ýỷiới thiệu mô hình toán kinh tế 17

Định lý 1.4: (điều kiện đủ của cực trị)

a) Neu (—lỷỉrlỵ > 0 với mọi k = 2, 3 , n thì hàm (1.46) veri điều kiện (1.47) sẽ đạt cực đại tại điểm dừng X

b) Neu Hk < 0 với mọi k = 2, 3, , n thì hàm (1.46) với điều kiện (1.47) đạt cực tiếu tại điểm dừng X.

B BÀI TẬP

1 . 1 . Một doanh nghiệp độc quyền có đường cầu (ngược) và hàm chi phí cận biên có dạng như sau:

trong đó: Q là mức sản lượng của doanh nghiệp

1 Hãy xác định hàm tổng chi phí TC, tổng doanh thu TR, biết rằng chi

phí cố định của doanh nghiệp là 60

2 Hãy phân tích mối quan hệ giữa doanh thu cận biên và sản lượng.

1 . 2 . Cho hàm chi phí cận biên MC = Q2 - 200Q + 50, chi phí cố định

FC = 45, hàm cầu của công ty là: Q = 11 - P/2

1 Tìm hàm chi phí trung bình AC, cho biết ý nghĩa của dAC/dQ?

2 Tìm lượng hàng Q* mà tại đó lợi nhuận của công ty cực đại.

1 . 3 . Một hãng độc quyền có đường cầu ngược và chi phí cận biên, doanh thu cận biên như sau:

1 Xác định tổng chi phí, chi phí trung bình, tổng doanh thu, biết rằng

FC = 20

2 Xác định mức sản lượng để hàm lợi nhuận cực đại, tính mức lợi nhuận

cực đại Tính hệ sổ co giãn của hàm lợi nhuận theo sản lượng tại mức sản lượng đó và cho biết ý nghĩa kinh tế của hệ số này

<£p2ài lập &M-Ô hình toán kừih lẽ'

1 Xác định giá và sản lượng cân bằng.

2 Tính hệ số co giãn của mức cung và mức cầu theo giá ở trạng thái câm

bằng Cho biết ý nghĩa kinh tế của chúng

1 . 5 . Hàm cầu (D) của một loại hàng hóa phụ thuộc vào giá (p) của hàng hóa đó và thu nhập (M) của người tiêu dùng có dạng như sau:

D = 0,48M - 2p + 15

Hàm cung (S) loại hàng hóa fren có dạng s = 4p - b (b là tham số dương)

1 Xác định biếu thức tìm giá cân bằng và sản lượng cân bằng.

2 Xác định hệ số co giãn của giá cân bằng, của lượng cân bằng theo thu

nhập ở mức M = 100 Giải thích ý nghĩa của hệ số này

3 Hãy xem xét tác động của tham số b tới mức giá cân bằng.

1 . 6 . Mức cầu và mức cung của một loại hàng hóa trên thị trường có dạng như sau:

1 Xác định mức giá cân bằng và sản lượng cân bằng.

2 Xác định hệ số co giãn của cung và cầu theo giá tại mức giá cân bằng

và cho biết ý nghĩa

1.7 Mức cầu (D) của một loại hàng hóa phụ thuộc vào giá hàng hóa đó (p)

và thu nhập (M) của người tiêu dùng có dạng như sau:

D = l,5.M0,l.p"0,3Mức cung (S) loại hàng hóa trên có dạng: s = l,4.p0’3

1 Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập.

2 Hãy xét tác động của thu nhập M tới mức giá cân bằng

1 . 8 . Cho hàm chí cận biên về một loại hàng hóa là:

/ Tính và giải thích ý nghĩa của dAC/dQ; d2AC/dQ2, trong đó AC là chi phí trung bình

hieonçj ỉ ^f iái thiệu mô hình toán kinh tế 19

2 Cho hàm doanh thu trung bình AR = ß - 2Q, ừong đó ß là tham số a) Tham số ß có dấu như thế nào để phù họp với lý thuyết kinh tế và

thực tiễn

b) Hãy phân tích tác động của tham số ß tới mức sản lượng làm tối đa

hóa lợi nhuận

1.9 Cho hàm cung (S) và hàm cầu (D) về một loại hàng hóa như sau:

trong đó: p là giá của loại hàng hóa đang nghiên cứu

1 Hãy xác định giá cân bằng và sản lượng cân bằng.

2 Hãy xác định hệ số co giãn của cung và cầu theo giá ở trạng thái cân bằng Giải thích ý nghĩa của các hệ số đó

1.10 Kim ngạch nhập khẩu dầu mỏ (X) sang Mỹ của một quốc gia ở vùng Trung Đông phụ thuộc vào thu nhập quốc dân (Y) của Mỹ và mức giá

cả (P) của quốc gia đó và có dạng:

X = y°’5/p0'5

1 Tính hệ số co giãn của X theo Y và theo p.

2 Giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ số đó

3 Nếu thu nhập quốc dân của Mỹ tăng 2,5%, mức giá của quốc gia xuất

khẩu dầu mỏ tăng thêm 1,5% thì kim ngạch xuất khẩu dầu mỏ sẽ biến động như thế nào?

1.11 Mức cầu về một loại hàng hóa của người tiêu dùng (D) phụ thuộc vào thu nhập của họ (M) và vào giá của hàng hóa (P) có dạng:

<zpằài lập <3^tô hình loan kinh lẽ'

AC = Q2- 12Q + 60

trong đó: Q là sản lượng

1 Hãy xác định hàm tổng chi phí, hàm chi phí cận biên.

2 Hãy xác định giá bán tối thiểu (giá sàn) và quy mô sản lượng của

doanh nghiệp để đảm bảo doanh nghiệp hoạt động có lãi

trong đó: p là giá bán hàng hóa, Q là sản lượng

Hãy xác định mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận và tính mức lợi nhuận đó

tố đầu vào là vốn K và lao động L có dạng Q = K0'5 + L0,5, trong đó ọ

là sản lượng Giá một đon vị đầu vào K là 5, đầu vào L là 2, giá bán một đon vị sản phẩm là p = 20

1 Hãy xác định mức sử dụng các yếu tố đầu vào và mức sản lượng tối

đa hóa lợi nhuận Tính mức lợi nhuận đó

2 Hãy xác định tỷ lệ thay thế giữa 2 yếu tố vốn và lao động, cho biết ý nghĩa.

3 Khi doanh nghiệp tăng quy mô sản xuất có hiệu quả hay không? Vì sao?

tố đầu vào là vốn K và lao động L có dạng Q = 25.K°’5.L0’5, trong đó

Q là sản lượng Giá một đơn vị đầu vào K là 12ƯSD, giá một đơn vị đầu vào L là 3ƯSD

1 Hãy xác định mức sử dụng các yếu tố đầu vào để cực tiểu chi phí nếu

doanh nghiệp muốn sản xuất 1.250 sản phẩm

2 Hãy xác định tỷ lệ thay thế giữa 2 yếu tố vốn và lao động, cho biết ý

nghĩa của hệ số này

3 Khi doanh nghiệp tăng quy mô sản xuất có hiệu quả hay không? Vì sao?

Hàm cầu của thị trường đối với sản phẩm của công ty có dạng:

Q = 8 0 0 - 2 ,5p

(với: Q là mức sản lượng, p là giá mỗi đơn vị sản phẩm)

1 Hãy xác định hàm chi phí cận biên, chi phí trung bình và mức giá đế

tối đa hóa lợi nhuận

2 Xác định hệ số co giãn của TC tại mức giá p = 80 và cho biết ý nghĩa.

trong đó: Q là sản lượng của hãng, p là giá một đơn vị sản phẩm

1 Hãy xác định chi phí cận biên, doanh thu cận biên, doanh thu trung

bình, chi phí trung bình

2 Hãy xác định mức giá, mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận và tính mức lợi nhuận đó

trung bình là AC = 2.000 - Q (trong đó: Q là mức sản lượng của hãng)

c(ịhươncỊ 1 (ỹiới ikiệu mô kìnk toán kinh tế

<3%ài tập ( b M ô hình toán kinh tế

1 Hãy xác định hàm tổng chi phí TC, chi phí trung bình MC nếu cho chi

phí cố định FC = 30

2 Hãy phân tích tác động của FC tới mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận.

1 Hãy xác định mức sản lượng và mức giá ở trạng thái cân bằng.

2 Xác định hệ số co giãn của cầu và cung theo giá ở trạng thái cân bằng

và cho biết ý nghĩa của các giá trị này

trong đó: Q là sản lượng, p là giá một đon vị sản phẩm

1 Xác định chi phí cận biên, chi phí trung bình và doanh thu cận biên.

2 Xác định mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận đó.

3 Nếu thuế suất là 6% thì ở tại mức lợi nhuận tối đa, doanh thu thuế là

bao nhiêu?

biên và hàm cầu ngược như sau:

trong đó: Q là sản lượng, p là giá của mỗi đcm vị sản phẩm

1 Hãy xác định hàm tổng chi phí, chi phí trung bình và tổng doanh thu,

biết rằng chi phí cố định FC = 20

2 Hãy xác định mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận

đó Tại mức sản lượng này, doanh thu thuế sẽ là bao nhiêu nếu thuế suất là 7%

trong đó: Q là sản lượng cung ứng, p là giá của mỗi đon vị sản phẩm

^ẽhuxma 1 Jỳíới ihiêu mô hình toán kỉnh tế 23

1 Hãy xác định hàm chi phí cận biên, chi phí trung bình và doanh thu biên.

2 Hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và giá bán tưong ứng.

1.25 Qua phân tích sổ liệu thống kê của một quốc gia, người ta thấy rằng có mối quan hệ giữa tỷ lệ lạm phát hàng năm (p) với mức thâm hụt ngân sách của Nhà nước (BD) và với tỷ lệ thất nghiệp (u) có dạng như sau:

p = a-BDa u9

trong đ ó : a > 0; 0 < a < 0,5 ; — 0,3 < ß < 0

Trong khuôn khổ mô hình hên:

1 Hãy nêu tính chất và vai trò của các nhân tố trong mô hình trên.

2 Nếu Nhà nước muốn giảm tỷ lệ lạm phát 1% thì có thể có những biện

pháp gì?

3 Nếu mức thâm hụt ngân sách tăng thêm 3%, tỷ lệ thất nghiệp cũng

tăng thêm 3% thì tỷ lệ lạm phát biến động như thế nào?

4 Đe ổn định (giữ nguyên) tỷ lệ lạm pháp và giảm tỷ lệ thất nghiệp, Nhà

nước cần phải điều chỉnh thâm hụt ngân sách như thế nào?

1.26 Tiết kiệm của dân cư (S) phụ thuộc vào thu nhập (Y) và lãi suất (r) có dạng như sau:

s = aY“r9 (trong đó: a > 0; a > 0; ß > 0)

1 Hãy nêu tính chất và vai trò của các nhân tố trong mô hình trên.

2 Trong trường hợp thu nhập không đổi, muốn tiết kiệm tang 10% thì

phải điều chỉnh lãi suất như thế nào?

3 Nếu thu nhập tăng 6%, lãi suất tăng thêm 2% thì tiết kiệm sẽ biến

lập @M'Ô kình loán kinh tế

2 Nếu để nhập khẩu tăng thêm 3%, thu nhập tăng thêm 5% thì thuế

nhập khẩu phải biến đổi nhu thế nào? Từ đó cho biết, trong khuôn khổ mô hình trên, để hạn chế nhập khẩu nhằm bảo hộ hàng hóa nội địa, Nhà nước cần có những biện pháp gì?

1.28 Mức cầu tiền tệ (M) phụ thuộc vào thu nhập (Y) và lãi suất (r) có dạng như sau:

M = 0,1.Y0'02 T~°’2

1 Hãy xác định hệ số co giãn của cầu tiền theo thu nhập và lãi suất và

cho biết ý nghĩa các hệ số này

2 Trong trường hợp không đổi, để mức cầu tiền tệ tăng thêm 5% thì

phải điều chỉnh lãi suất như thế nào?

1.29 Mức cung một loại hàng hóa trên thị trường (S) phụ thuộc vào giá (p), thuế suất (t) của thuế doanh thu đánh vào loại hàng hóa đó và có dạng như sau:

1 Hãy giải thích ý nghĩa của các giả thiết trên.

2 Trong khuôn khổ mô hình trên, để kích thích sản xuất loại hàng hóa

trên, Nhà nước cần có những biện pháp gì?

1.30 Trong lý thuyết tiền tệ, chúng ta có mô hình Tobin như sau:

trong đó: M là mức cầu tiền tệ, T là mức thu nhập, b là chi phí môi giới chứng khoán và i là lãi suất chứng khoán

1 Trong khuôn khổ mô hình, nếu thu nhập tăng gấp đôi (các yếu tố khác

không đổi) thì mức cầu tiền tệ có tăng gấp đôi hay không? Vì sao?

2 Nếu lãi suất i tăng 2% thì mức cầu tiền tệ thay đổi như thế nào, trong

điều kiện các yếu tố khác không đổi?

‘tể hĩtơncỊ 1 (ỳiới thiêu mô hình toán kinh tế 25

3 Khi thu nhập tăng thêm 3%, lãi suất chứng khoán tăng thêm 2%, để

mức cầu tiền tệ tăng thêm 3% thì cần có biện pháp nào trong khuôn khổ mô hình trên?

1.31 Một hãng độc quyền có hàm sản xuất trong ngắn hạn là: Q = 4.L0,5 Hàm cầu đối với sản phẩm của hãng như sau: p = 200 - 2.Q Trong đó: Q là mức sản lượng cung ứng, p là giá thành mỗi sản phẩm Giả

sử hãng có thể thuê lao động tại mức lương cố định là 200VND/1 đơn

vị lao động

1 Hãng cần thuê bao nhiêu lao động (L) để tối đa hóa lợi nhuận?

2 Tính mức lợi nhuận tối đa mà hãng có thể thu được.

1.32 Hàm sản xuất trong ngắn hạn của một doanh nghiệp có dạng sau:

Q = LaCho biết: p là giá sản phẩm, w là tiền công lao động

1 Tìm điều kiện của a để quá trình sản xuất của doanh nghiệp đạt lợi

nhuận tối đa

2 Với giá trị a tìm được, tìm biểu thức hàm lợi nhuận của doanh nghiệp.

1.33 Một hãng độc quyền hoạt động ờ 2 cơ sở sản xuất với các hàm chi phí tương ứng là:

Già sử hàm cầu về sản xuất của hãng có dạng: p = 60 - 0,04.Q; trong

đó p là giá thành mồi đơn vị sản phẩm, Q = Qi + Q2 Để tối đa hóa lợi nhuận, hãng phải tiến hành sản xuất ờ mỗi cơ sở bao nhiêu sản phẩm?1.34 Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm trên 2 thị trường với các hàm cầu tương ứng là:

trong đó: Pi, p2 tương ứng là giá mồi sản phẩm của từng loại sản phẩm bán trên thị trường

<^23ài lậv sM ô hình loán kinh tế

1 Hãy xác định giá bán sản phẩm trên từng thị trường để tối đa hóa tổng

doanh thu của hãng

2 Cho biết 2 loại sản phẩm này là 2 loại sản phẩm thay thế hay bổ sung

cho nhau trên thị trường? Tại sao?

1.35 Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm và bán ở 2 thị trường khác nhau với các hàm cầu tưong ứng là:

trong đó: q là sản lượng, p là giá bán mồi đon vị sản phấm

Hàm chi phí của doanh nghiệp có dạng: TC = 12 + qf + 2 qị.

Neu doanh nghiệp muốn đạt lợi nhuận tối đa thì nên bán mỗi loại sản phẩm với sản lượng và giá là bao nhiêu?

1.36 Một công ty có hàm cầu (ngược) là: P = a - 0,3.Q, trong đó p là giá bán mồi đon vị sản phẩm, Q là sản lượng cung ứng của công ty, a > 0

là tham số

/ Hãy xác định hàm doanh thu cận biên (MR), hàm tổng chi phí (TC) của công ty, nếu hàm chi phí cận biên (MC) có dạng: MC = 0,4.Q và chi phí cố định FC = 30

2 Với điều kiện như ở câu 1, xác định mức sản lượng để công ty tối đa

hóa lợi nhuận

3 Hãy phân tích tác động của tham số a tới mức lợi nhuận tối đa của

1.38 Một hãng độc quyền có hàm cầu và hàm tổng chi phí như sau:

trong đó: Q là sản lượng cung ứng, FC là chi phí cố định của hãng

1 Xác định hàm chi phí cận biên MC và doanh thu cận biên MR.

2 Xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận nếu FC = 20.

3 Phân tích tác động của FC tới mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận.

1.39 Một công ty có hàm tổng chi phí có dạng như sau:

TC = 4.000 + 10.Q + 0,1 Q2 (Q là sản lượng)

Hàm cầu của thị trường đối với sản phẩm của công ty có dạng:

Q = 800 - 2,5.p (p là giá mỗi đơn vị sản phẩm)

1 Tìm hàm chi phí cận biên MC, chi phí trung bình AC, khảo sát sự

thay đổi của MC theo sản lượng

3 Phân tích tác động của giá tới mức lợi nhuận tối đa của công ty.

1.40 Hàm doanh thu trung bình của một công ty có dạng:

AR = 20 - Q (Q là mức sản lượng)

1 Xác định mức doanh thu cận biên (MR) tại các mức sản lượng Qi = 5

và Q2 = 8 Giải thích ý nghĩa của các kết quả

2 Xác định mức sản lượng để công ty đạt doanh thu cao nhất.

3 Nếu Nhà nước đánh thuế doanh thu với thuế suất t, hãy phân tích tác động

(tuyệt đối) của thuế doanh thu tới mức doanh thu tối đa của công ty.1.41 Mỗi cá nhân sẽ thu được lợi ích từ thu nhập I (Income) và nghỉ ngơi L (Leisure) Giả sử mỗi ngày có 12 giờ để người đó chia ra thời gian làm việc và nghỉ ngơi Tiền lương cho mỗi giờ làm việc là 4ƯSD và hàm lợi ích của mỗi cá nhân có dạng: u = L°’5.I0,75, trong đó L là số giờ nghỉ ngơi, I là thu nhập

Cá nhân sẽ cân đối giữa thời gian nghỉ ngơi và làm việc như thế nào

để tối đa hóa lợi ích của mình? Minh họa kết quả tìm được lên đồ thị

Q(ỉyhưoncj 1 (ỳiới thiện mô hình toán kinh tế

-(¿pầài lập ©Mô hình loán kinh lế

1.42 Hàm cầu (D) và hàm cung (S) về một loại hàng hóa có dạng như sau:

trong đó: p là giá hàng hóa, M là thu nhập của người tiêu dùng, q là mức giá chung của các yếu tố sản xuất được sử dụng để sản xuất hàng hóa Với mô hình trên, hãy trà lời các câu hỏi sau:

1 Nếu giá hàng hóa tăng thêm 10% thì mức cầu biến động như thế nào?

2 Có ý kiến cho rằng, khi giá hàng hóa và mức giá chung của các yếu tố sản

xuất tăng cùng tỷ lệ thì mức cung không đổi Hãy nhận xét ý kiến này

3 Hãy phân tích tác động của thu nhập, của mức giá chung của các yếu

tố sản xuất tới mức giá cân bằng

4 Có ý kiến cho rằng: hàng hóa trên là loại hàng hóa thông thường, điều

2 Có ý kiến cho rằng: mức cầu sẽ không thay đổi nếu giá hàng và thu

nhập tăng cùng 1 tỷ lệ Điều đó có đúng không?

3 Neu Nhà nước đánh thuế vào việc sản xuất và tiêu thụ loại hàng trên, hãy

phân tích tác động của thuế đối với người sản xuất và người tiêu dùng1.44 Cho hàm cung, cầu về loại hàng hóa X như sau:

<Tfykieoncj 1 'kỳiới thiệu mớ hình toán kinh lố 29

2 Tìm mối quan hệ giữa b, c và d để khi p, m, q thay đổi cùng 1 tỷ lệ

(thay đổi tương đối) thì cầu hàng hóa X không đổi,

3 Cho biết X và Y là 2 mặt hàng thay thế nhau, hãy phân tích tác động

của thu nhập (m), của giá q tới giá cân bằng của hàng hóa X

định thu nhập quốc dân, cán cân thương mại ở tình huống cân bằng

2 Với các chỉ tiêu ở câu 1, có ý kiến cho rằng, nếu Chính phủ tăng thuế

suất thêm 10% thì có thể tăng chi tiêu thêm 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập quốc dân ở tình huống cân bằng Hãy cho nhận xét đối với ý kiến trên

1.46 Một số chỉ tiêu vĩ mô của 1 nền kinh tế (đóng) có các mối liên hệ sau:

Y = c + I + G

c = 0,75.Yd + 50

1 = 3 0 0 - l.ooo.r

Yd = Y - T

trong đó: Y - thu nhập quốc dân; c - mức tiêu dùng của dân cư;

Yd - thu nhập khả dụng; I - đầu tư; G - chi tiêu Chính phủ; T - thuế;

r - mức lãi suất Với G = 550, T = 500

1 Xác định mối quan hệ giữa thu nhập quốc dân và mức lãi suất để đảm

bảo trạng thái cân bằng (xác định đường IS)

- <zpỉài lậf) ©4ỈÔ hình loán kinh, tế

2 Phân tích chủ trương “kích cầu” của Chính phủ thông qua chính sách

giảm lãi suất

1 . 47 . Một số chỉ tiêu vĩ mô của một nền kinh tế có các mối quan hệ sau:

1 Nếu Nhà nước muốn cân đối ngân sách thì phải xác định mức thuế

suất là bao nhiêu?

2 Có ý kiến cho rằng: việc gia tăng đầu tư I không ảnh hưởng tới tình huống cân đối ngân sách ở câu 1, hãy cho nhận xét ý kiến này

1 . 48 . Một số chỉ tiêu vĩ mô của một nền kinh tế có các mối quan hệ sau:

Y = c + I + G + EX - IM

c = 0,9.Yd

IM = 0,15.Yd

Yd = ( l - t ) Ytrong đó: Y - thu nhập quốc dân; c - tiêu dùng dân cư; Yd - thu nhập sau thuế; G - chi tiêu Chính phủ; EX - xuất khẩu; IM - nhập khấu;

t - thuế suất Với I = 200; G = 279; EX = 180; t = 0,15

1 Tại mức thu nhập quốc dân cân bằng, có thặng dư hay thâm hụt ngân

sách, thặng dư hay thâm hụt cán cân thương mại?

2 Có ý kiến cho rằng: Nấu giảm xuất khẩu 10% thì Chính phủ có thể tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng Hãy cho nhận xét về ý kiến này

30

^(ỉhươncỊ 1 Jỳiới thiệu mô hình toán kinh lố 31

3 Chi tiêu Chính phủ G tăng lên bao nhiêu để thu nhập quốc dân đạt

mức Y = 1.800 Khi đó các chỉ tiêu khác (đo bằng các biến nội sinh khác của mô hình) thay đổi như thế nào?

trong đó: Y - thu nhập quốc dân; c - mức tiêu dùng của dân cư; I - mức đầu tư; G - chi tiêu Chính phủ; EX - xuất khẩu; IM — nhập khẩu;

r - lãi suất; p - mức giá cả; Mo - lượng tiền cung ứng; MD - mức cầu tiền tệ; t - thuế suất thuế thu nhập

1 Với G = 400; lo = 20; EX ='150; t = 0,1, hãy xác định quan hệ giữa

thu nhập quốc dân và lãi suất để đảm bảo cân bằng trên thị trường hàng hóa - dịch vụ; trong tình huống này, tình trạng ngân sách phụ thuộc vào những nhân tổ nào?

2 Hãy phân tích tác động của chính sách tài khóa, chính sách tiền tệ tới

tổng cầu

1.50 Một số chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của một nước có các mối quan hệ sau:

trong đó: Y - thu nhập quốc dân; c - tiêu dùng; I - đầu tư; G - chi tiêu Chính phủ; EX - xuất khẩu; IM - nhập khẩu; r - lãi suất; p - mức giá cả; Mo - lượng tiền cung ứng; t - thuế suất thuế thu nhập; MD - mức cầu tiền tệ

1 Với G = 500; lo = 40; EX = 120; t = 0,1, hãy xác định tổng cầu.

2 Hãy phân tích tác động của chính sách tài khóa, chính sách tiền tệ tới

<zpìàỉ lập ©4iô hình loán kinh lê'

1 5 1 Một hãng có hàm sản xuất Q = 12.K0,4.L0,4 và cần mua các yếu tố đầu vào vổn (K) và lao động (L) với giá tưomg ứng là 40USD và 5USD Nếu hãng được phép sử dụng một ngân sách là 800USD thì phải lựa chọn sự kết hợp giữa vốn và lao động như thế nào để sản lượng đạt mức tối đa

1 5 2 Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm X, Y với sản lượng tưcmg ứng là X, y Giả sử hàm lợi nhuận được cho dưới dạng:

7T = 6 4 X - 2 X 2 + 4 x y - 4 y 2 + 3 2 y - 1 4

Hãy xác định mức sản xuất các loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa

1 5 3 Một hãng sử dụng 3 yếu tố đầu vào K, L, R để sản xuất 1 loại sản phẩm với hàm sản xuất có dạng:

Q = 5O.Ko’4.L°’2.R0’2

Hãng được sử dụng nguồn ngân sách là 24.000USD để mua các yếu

tố đầu vào với các mức giá tương ứng là 80, 12 và 10 (USD/1 đơn vị yếu tố) Hãy xác định sự kết hợp giữa các yếu tố để tối đa hoá lợi nhuận

1 5 4 Một doanh nghiệp có hàm chi phí sản xuất được cho dưới dạng:

TC = 5 + 8Q - - Q2 + - Q3

1 Với giá bán sản phẩm là p, hãy xác định khối lượng sản phẩm Q cần

sản xuất để doanh nghiệp thu được lợi nhuận cao nhất

2 Cho mức giá cả p biến thiên, hãy phân tích sự biến động của mức sản

lượng sản xuất Q của doanh nghiệp theo giá cả

1 5 5 Một doanh nghiệp có 2 yếu tố đầu vào X và Y với các mức giá tương ứng là Pi và p2, trong đó các yếu tố đầu vào có mối quan hệ X.Y2 = Q Hãy xác định khối lượng các yếu tố đầu vào sao cho chi phí sản xuất thấp nhất Từ đó phân tích tính chất của hàm chi phí theo các yếu tốgiá cả và mức sản lượng Q

cfolwơnổỊ 1 kỳiới ihiệu mô hình toán kinh tế 33

1 56. Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng: Q = 40.K°’6.L0’3, trong

đó K là nguồn vốn, L là lực lượng lao động với mức giá các yếu tố tương ứng là 20 và 6 (ƯSD/1 đơn vị yếu tố) Nguồn ngân sách của doanh nghiệp là 3.789USD

1 Tìm sự kết hợp giữa các yếu tố sản xuất để doanh nghiệp đạt mức sản

lượng cao nhất

2 Hàm sản xuất của doanh nghiệp có tăng hiệu quả theo quy mô hay

không? Vì sao?

1 5 7 Hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa X và y c ó dạng:

Điều kiện ràng buộc ngân sách là: p.x + q.y = I

1 Xác định phương án tiêu dùng tối ưu.

2 Nhận xét phần thu nhập dùng để chi tiêu cho từng loại hàng hóa này.

1 5 8 Một doanh nghiệp có hàm cầu đối với sản phẩm là Q = 40 - p0,5, trong đó p > 0 là giá bán, Q là sản lượng thỏa mãn điều kiện Q > 0 Hàm tổng chi phí có dạng:

TC = Q3 - 2,5.Q2 + 50.Q + 16

1 Tìm giá bán và lượng bán để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.

2 Tính hệ số co giãn của cầu theo giá tại mức giá p = 100.

1 5 9 Trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo có:

- Hàm cầu: p = 100-2.Q

- Hàm cung: p = 12,5 + 2,5.Q

Trong đó: Q là sản lượng bán ra, p là giá mỗi đơn vị sản lượng Giả

sử Nhà nước định mức thuế suất t cho mỗi đơn vị sàn phẩm bán ra Hãy xác định t để tối đa hóa doanh thu thuế

Trong đó: Q là sản lượng bán ra, p là giá mỗi đorn vị sản lượng Giả

sừ Nhà nước định mức thuế suất t cho mỗi đơn vị sản phẩm bán ra Hãy xác định t để tối đa hóa doanh thu thuế

2.1 Các k h á i n iệ m cơ bản v ê đại số tu y ến tính

2.1.1 Véc tơ và không gian véc tơ

Định nghĩa 2.1: Ta gọi một bộ n số có thứ tự được sắp xếp thành 1

hàng hay 1 cột là một véc tơ n chiều

Ký hiệu X = ( X i , X2, xn) là véc tơ hàng hay X là véc tơ cột

a) Các phép toán đổi với véc tơ

- Phép cộng hai vec tơ và phép nhân véc tơ với 1 số

- Tích vô hướng của hai véc tơ: Ta gọi tích vô hướng của hai véc tơ cùng chiều là một số được xác định bởi tổng của tích các tọa độ hai véc tơ

i=l

( 2 1 )

ÓTẦài lập sM ô hình toán kinh tế

Đ ịnh nghĩa 2.2: Tập hợp tất cả các véc tơ n chiều, đóng đối với phép toán cộng hai véc tơ và nhân véc tơ với 1 số cùng 8 tính chất cơ bản sẽ

b) Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Giả sử ta có một hệ m véc tơ: sm = j x ',x 2, ,xmỊ c R n

Đ ịnh nghĩa 2.3: Ta gọi véc tơ X e Rn có biểu diễn tuyến tính qua hệ

sm hay X là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ hệ sm nếu có các số di, Ơ2, , a m sao cho:

Đ ịnh nghĩa 2.5: Ta gọi hệ véc tơ sm là hệ độc lập tuyến tính nếu hệ

thức (2.3) thỏa mãn khi và chỉ khi các số Ằ.1 = X 2 - •••= ‘km = 0.

Đ ịnh lý 2.1: Hệ s m phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi trong hệ có

ít nhất một véc tơ được biểu diễn tuyến tỉnh qua một tổ họp các véc tơ của hệ.

Đ ịnh nghĩa 2.6: Một hệ véc tơ Sk c Sm được gọi là hệ con độc lập tuyến tính cực đại nếu Sk độc lập tuyến tính và khi thêm một véc tơ khác bất kỳ

’Tẵliĩtơng 2 (¡ýyẴài loán I<ịmj hoạch luyến lính 3 7

Khi đó, hệ Sịc được gọi là một hệ cơ sở của sm, còn số véc tơ của Sk được gọi là hạng của hệ sm, ký hiệu là r(Sm) = k

c) Cơ sở của không gian

Định nghĩa 2.7: Ta gọi một hệ gồm n véc tơ n chiều độc lập tuyến

tính là một cơ sờ của không gian đó

b) Các phép toán đổi với ma trận

- Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 sổ.

- Phép nhân ma trận với 1 số: a A ^ = (a • aịj)

Định nghĩa 2.9: Ta gọi hạng của hệ véc tơ cột (và cũng là hạng cùa

hệ véc tơ hàng) tạo lên ma trận là hạng của ma trận đó

Định lý 2.2: Các phép biến đoi sơ cẩp không thay đổi hạng của ma trận d) Ma trận nghịch đảo

Nếu A là ma trận không suy biến, sẽ tồn tại duy nhất một ma trận cấp

n cũng không suy biến, được gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu là A_l thỏa mãn hệ thức: A.A~’ = A-1.A = E

-(¿pẴài tập ©4ỈÔ kình toán kink tế

2.1.3 H ệ ph ư ơ n g trìn h tu y ê n tín h

ạ) Các khải niệm cơ bản

Đ ịnh nghĩa 2.11: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là một hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn có dạng như sau:

Phương án mà tại đó J(x) đạt giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) gọi là

phương án tối ưu (PATƯ)

(1) Bài toán có ít nhất một phương án tối ưu gọi là bài toán giải được.(2) Bài toán không có phương án tối ưu gọi lả không giải được

c(í>hifơn.ẹ 2, (Zpỉài toán (ịtaj hoạch tuyển lính 39

Phương án cực biên: Phương án thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính gọi là phương án cực biên

Bài toán ờ dạng chuẩn tắc có phương án cực biên ban đầu (bi, b2, , bm,

2.2.4 C ác tín h c h ấ t chung của b à i to á n q u y h oạch tu y ế n tín h

Tính chất 1 (Sự tồn tại phương án cực biên): Nếu bài toán có phương

án và r(A) = n thì bài toán có phương án cực biên

Tính chất 2 (Sự tồn tại phương án tối ưu): Nếu bài toán có phương án

và giá trị hàm mục tiêu bị chặn dưới (hoặc bị chặn trên) đối với bài toán min (max) trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu