đại số

Ma trận chuyển vị của là ma trận cỡ , ký hiệu là A , nhận được từ bằng cách đổi hàng thành cột và cột thành hàng, với thứ tự của các hàng và các cột không thay đổi... Ký hiệu định thức

ĐẠI SỐ

Bộ Môn Toán 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

2.2 Ma trận chuyển cơ sở - Công thức đổi tọa độ 42

Chương 1 Ma trận - Định thức

1 Tập hợp - Mệnh đề

1.1 Tập hợp

1.1.1 Khái niệm Tập hợp (gọi tắt là tập) và các phần tử của nó là những khái niệm cơ bản

của toán học không được định nghĩa, chúng được làm cơ sở để định nghĩa các khái niệm khác Nếu x là phần tử thuộc (/ không thuộc) tập thì ta viết x A ∈A (/x ∉A) Ta nói A là tập con của B, ký hiệu , nếu mọi phần tử của đều là phần tử của Nếu A B

và thì ta nói A và B bằng nhau, ký hiệu Một tập không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅ Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp

b) Chỉ ra tính chất chung của các phần tử trong tập hợp

c) Dùng hình phẳng giới hạn bởi một đường cong kín để minh họa tập hợp; mỗi điểm trong hình phẳng chỉ một phần tử của tập đó

A B∪ = x x ∈A x∨ ∈B c) Hiệu của hai tập A và B là tập được cho bởi

A B = x x ∈A x∧ ∉B d) Tích Descartes của ntập không rỗng A A1, , ,2 A n là tập được cho bởi

1 2 n : 1, , ,2 n : i i, 1,

A ×A × ×A = a a a a ∈A i = n Nếu A1 =A2 = =A n =A thì ta viết

1.2.1 Khái niệm Mệnh đề (toán học) là một khẳng định hoặc đúng hoặc sai Sai hay đúng

được gọi là chân trị của mệnh đề

1.2.2 Các ký hiệu logic Để diễn đạt thuận lợi các lập luận toán học người ta thường dùng

các ký hiệu sau đây

• p =: biểu thức: Định nghĩa p là biểu thức vế phải

• p : Phủ định của mệnh đề , là mệnh đề đúng khi sai và ngược lại p p

• (đọc là và q): Hội của hai mệnh đề và q, là mệnh đề đúng khi và q đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại

• (đọc là hoặc q): Tuyển của hai mệnh đề và q, là mệnh đề sai khi và q đều sai và đúng trong các trường hợp còn lại

• (đọc là suy ra q ): Mệnh đề kéo theo mệnh đề , là mệnh đề đúng khi

đúng q đúng Khi đó ta cũng nói p là điều kiện đủ của q và q là điều kiện cần của p

• : Mệnh đề tương đương với mệnh đề , là mệnh đề được xác định bởi

Khi đó ta cũng nói là điều kiện cần và đủ của q

Số hữu tỷ bao gồm các số nguyên, số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn Số thập phân

vô hạn không tuần hoàn được gọi là số vô tỷ Tập gồm các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập

các số thực, ký hiệu \

Ví dụ

(v1) Các số hữu tỷ

55

1 = ; 1 0,25

4 = ; 1 0, 333

3 =

= khiΔ <0

hay

:

n n

11 12 1

21 22 2

1 2

::

:

n n

Các phần tử a a11, 22, ,a nn của ma trận vuông A tạo nên đường chéo chính của A

• Ma trận đơn vị cấp là ma trận vuông cấp có các phần tử trên đường chéo chính đều

bằng 1 và các phần tử khác đều bằng 0, có dạng

1 0 : 0

0 1 : 0:

2.3.1 Chuyển vị ma trận Cho ma trận Ma trận chuyển vị của là ma trận cỡ

, ký hiệu là A , nhận được từ bằng cách đổi hàng thành cột và cột thành hàng, với thứ tự của các hàng và các cột không thay đổi

♦ Suy trực tiếp từ định nghĩa.♦

2.3.3 Nhân ma trận với một số Cho Tích của số với ma trận là một ma

trận cùng cỡ m , ký hiệu là , được xác định bởi

(t3) λ μ( ) ( )A = λμ A=( )μλ (t4) 1.A=A

Nhận xét Các tích AB và BA nói chung không bằng nhau, thậm chí một trong chúng hoặc

cả hai không tồn tại

• Một cách tổng quát, cho Định thức của ma trận hay định thức

cấp n được cho bởi

1

j j j

trong đó D i i1, =1,n là định thức cấp n−1 được suy từ A bằng cách bỏ đi hàng i, cột 1

♦ Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh định lý Dễ kiểm tra công thức (1.2) đúng khi

là ma trận vuông cấp 2 Giả sử (1.2) đúng với các ma trận vuông cấp Để chứng minh (1.2) đúng khi là ma trận vuông cấp ta dùng công thức (1.1) khai triển các định thức và dùng công thức (1.2) khai triển các định thức theo các định thức cấp của ta sẽ thấy các số hạng ở vế phải của (1.1) và (1.2) sẽ trùng nhau.♦

3.2 Các tính chất cơ bản của định thức

Định lý 1.2 Định thức của ma trận là một bất biến đối với phép chuyển vị, tức là

detA T =detA với A∈ \n n×

♦ Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh Dễ kiểm tra tính chất đúng khi A là ma trận vuông cấp 2 Giả sử định lý đúng với các ma trận vuông cấp , ta sẽ chứng minh định lý vẫn đúng khi A là ma trận vuông cấp Ký hiệu và lần lượt

là định thức cấp có được bằng cách bỏ đi hàng i cột của Khi đó theo tính chất của ma trận chuyển vị và giả thiết quy nạp ta có

Nhận xét Định lý 1.2 cho ta thấy rằng, trong một định thức vai trò của hàng và cột là như

nhau Do đó mọi kết quả về định thức, nếu đã đúng với hàng thì cũng sẽ đúng cho cột và ngược lại

Định lý 1.3 Đổi chỗ hai hàng (/ cột) cho nhau thì định thức đổi dấu

♦ Trước hết ta đổi chỗ hàng 1 và hàng 2 của A cho nhau ta được ma trận mới Ký hiệu định thức cấp có được bằng cách bỏ đi hàng 1 cột j của lần lượt là

Bây giờ muốn đổi chỗ hai hàng i và k bất kỳ của A cho nhau (với i ), đầu tiên ta

đưa hàng i đến hàng k bằng lần đổi chỗ hai hàng liên tiếp Khi đó hàng i chiếm về trí hàng k ta lại đưa hàng k đến về trí hàng i cũ bằng lần đổi chỗ hai hàng liên

tiếp Vậy việc đổi chỗ hai hàng i và k là kết quả của

Hệ quả 1.3.1 Nếu ma trận có hai hàng (/ cột) giống nhau thì định thức của nó bằng không

♦ Gọi định thức có hai hàng giống nhau là Δ Đổi chỗ hai hàng đó ta được định thức bằng Δvà đổi dấu nên Vậy ♦

′Δ

Δ = Δ = −Δ Δ =0

trong đóD ij,(i, j =1,n) là định thức cấp n −1 được suy từ bằng cách bỏ đi hàng i , cột A j

♦ Công thức (1.3) được suy từ công thức (1.1) và định lý 1.3; còn công thức (1.4) được suy

Hệ quả 1.5.2 Định thức có hai hàng (/ cột) tỉ lệ với nhau thì bằng không

Định lý 1.6 Định thức không thay đổi nếu ta cộng thêm vào một hàng (/ cột) với một hàng (/

cột) khác nhân với một số

♦ Dựa vào công thức (1.3) (/ công thức (1.4)) và hệ quả 1.3.1.♦

Định lý 1.7 Cho A∈ \n n× và gọi A ij = −( )1i j+ D ij là bù đại số của Khi đó, ta có

Nhận xét Để tính định thức, ta có thể dùng định nghĩa, các công thức khai triển định thức

theo một hàng hay một cột hoặc dùng các tính chất của định thức đưa định thức về định thức của ma trận tam giác

thức con cấp của ma trận , ký hiệu là

Trong đó ∑ lấy trên mọi định thức con 1

1

k k

i i

j j

d của A

♦ Xem tài liệu tham khảo [2], [3], [5] hoặc [6].♦

Ví dụ Khai triển theo cột 1 và cột 3 của định thức, ta được

Định lý 1.9 Với A B, ∈ \n n× , ta có

( )

det AB =det detA B

♦ Với A=( )a ij ,B =( )b ij , dùng định lý Laplace, khai triển theo n hàng đầu, ta được

n n

Khai triển Δ theo n hàng đầu ta được

α α

y

14 Cho ma trận vuông A là trực giao (tức là AA T =I) Chứng minh rằng detA = ±1

15 Chứng minh rằng: ∀ ∈α \,∀ ∈A \n n× : det( )α A =α n det A

Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính

1 Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

• Một hệ mphương trình tuyến tính, n ẩn x x1, , ,2 x n là hệ phương trình có dạng

n

x x X x

:

m

b b B b

Nhận xét Hệ thuần nhất AX bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm hay

Nghiệm đó được gọi là nghiệm tầm thường; mọi nghiệm khác (nếu có) được gọi là nghiệm không tầm thường

O

X =O

• Hai hệ phương trình có cùng số ẩn gọi là tương đương nếu chúng có chung nghiệm

hoặc cùng vô nghiệm

2 Ma trận nghịch đảo – Hệ Cramer

Định nghĩa Ma trận được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận , được

gọi là ma trận nghịch đảo của A, sao cho

n n

1 1

AA− =A A− =I

(n2) Nếu A khả nghịch thì A− 1 là duy nhất và A không suy biến (tức là detA ≠ 0)

♦ Thật vậy, giả sử cũng là ma trận nghịch đảo của A Ta có B

Định nghĩa Các phép biến đổi sau đây trên ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp

(p1) Đổi chỗ hai hàng (/ cột) cho nhau, ký hiệu

H ↔H C ↔C j (p2) Nhân một hàng (/ cột) với một số λ ≠ 0, ký hiệu

A

Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A trong ví dụ (v2) không suy biến bằng các phép

biến đổi sơ cấp trên ma trận

có duy nhất nghiệm cho bởi

Hơn nữa nghiệm đó là duy nhất vì

Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng

số ẩn và ma trận hệ số A∈ \ là không suy biến (detA ≠0)

Định lý 2.3 (Cramer) Hệ Cramer luôn có duy nhất nghiệm cho bởi công thức

, 1,det

j j

Định nghĩa Cho A∈ \m n× Ta gọi

(i) Định thức con cấp k của là định thức được suy từ bằng cách bỏ đi m hàng

và n cột

k

−

(ii) Hạng của A là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của , ký hiệu A r A( ) hay

( )

rank A và quy ước coi hạng của ma trận không là bằng 0

Nhận xét

(n1) Nếu A∈ \m n× thì 0≤r A( )≤min{m n, }

(n2) Nếu A∈ \m n× thì r A( )=n ⇔ detA≠0 và r A( )<n ⇔ detA=0

(n3) Nếu mọi định thức con cấp k của A đều bằng không thì mọi định thức con có cấp cao

hơn k của A cũng đều bằng không Do đó r A( )=r khi và chỉ khi A tồn tại có ít nhất một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp r +1 đều bằng 0

Định lý 2.4 Hạng của ma trận là một bất biến đối với phép chuyển vị, tức là

r A =r A

♦ Nếu A=O thì định lý là hiển nhiên Giả sử A≠O và r A( )=r Khi đó tồn tại định

thức con cấp của là Rõ ràng suy từ D bằng phép chuyển vị và nó là định

Định lý 2.5 Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp Nói cách khác,

nếu ta thực hiện một số phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A tới ma trận T thì r A( )=r T( )

♦ Do định nghĩa hạng của ma trận và các tính chất của định thức.♦

Định nghĩa Ma trận bậc thang là ma trận có hai tính chất như sau

(t1) Các hàng bằng không (nếu có) luôn nằm dưới các hàng khác không

(t2) Trên hai hàng khác không thì phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng trên

Ví dụ Các ma trận sau đây là các ma trận bậc thang

Nhận xét Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng (r) khác không của nó vì ta có thể chỉ ra

được một định thức con cấp r khác 0, được tạo nên từ r hàng khác không và r cột có chứa phần tử đầu tiên khác 0; còn các định thức cấp cao hơn r đều bằng 0 do có chứa ít nhất một hàng bằng không Vì vậy, để tìm hạng của ma trận A, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp trên

ma trận để đưa A về dạng bậc thang

Ví dụ Tìm hạng của ma trận A bằng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

3.2.1 Các phép biến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sau đây trên hệ phương trình tuyến tính được gọi là các phép biến đổi

sơ cấp

(p1) Đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau

(p2) Nhân một phương trình của hệ với một số khác không

(p3) Cộng vào một phương trình với tích của một số và một phương trình khác

Nhận xét Việc thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên một hệ phương trình, ta đi tới một hệ

phương trình tương đương với hệ đã cho

3.2.2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát (2.1) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên

hệ phương trình tuyến tính tương ứng là thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của

ma trận mở rộng

( ) ( )

2

2 2 2 2 2,

2, 2, 1

, , , 1

1 1

(m2) Hệ (2.1) có duy nhất nghiệm (DNN) khi và chỉ khi r A( )=r A( ) = số ẩn

(m3) Hệ (2.1) vô nghiệm (VN) khi và chỉ khi r A( )<r A( )

♦ (m1) Nếu b r( )r+1 = và r0 <n thì r A( )=r A( ) < số ẩn và hệ (2.1) có vô số nghiệm vì từ

hàng thứ r có thể xác định theo , với nhận giá trị tuỳ ý Thay giá trị tìm được vào hàng thứ , ta xác định được và cứ tiếp tục như vậy ta xác định được

(m3) Nếu b r( )r+1 ≠ thì 0 r A( )<r A( ) và hệ (2.1) vô nghiệm vì tương ứng với hàng thứ

là một phương trình vô nghiệm

1

r +

Hệ quả 2.6.1 Hệ phương trình thuần nhất gồm m phương trình với n ẩn có nghiệm

không tầm thường khi và chỉ khi

AX =O

( )

r A <n

Hệ quả 2.6.2 Hệ thuần nhất có số phương trình = số ẩn = n, có nghiệm không tầm

thường khi và chỉ khi

35

Hệ phương trình đã cho có VSN (do r A( )=r A( )= <2 4= số ẩn)

Hệ phương trình đã cho VN (do r A( )= < =3 4 r A( )) ♣

Ví dụ Giải và biện theo tham số m hệ phương trình

111

* Th2: Nếu m ≠1 thì

( ) ( )

2 2

/ 1 / 1

1 1 ; ,

x + + = ⇔y z x = − − ∀y z y z ∈ \ + Th2b: m = −2 Ta có r A ≤( ) 2 & Δ ≠1 0 ⇒ r A =( ) 3, nên hệ vô nghiệm

60

1 Không gian vector

n

1.2 Không gian vector

Định nghĩa Xét một tập V; mỗi phần tử của V được gọi là một vector Ta định nghĩa hai

, x V x V

Ta nói tập V với hai phép toán vừa định nghĩa được gọi là một không gian vector (thực)

nếu thoả mãn 8 tiên đề sau:

(T1) ∀x y, ∈V x: + = +y y x

(T2) ∀x y z, , ∈V :(x +y)+ = +z x (y +z)

(T3) ∃ ∈0 V (gọi là vector không),∀ ∈x V x: + =0 x

(T4) ∀ ∈x V,∃ −( )x ∈V (gọi là vector đối của x ):x + −( )x = 0

1.3 Không gian con

Định nghĩa Cho W là một tập con của không gian vector V Nếu đối với phép cộng vector và phép nhân vector với một số (đã xác định trong V) mà W cũng lập thành một không gian vector thì W được gọi là không gian con của V

"⇒": Các điều kiện (i) và (ii) chứng tỏ rằng phép cộng vector và phép nhân vector với một

vô hướng, đã định nghĩa trong V cũng là những phép toán trên tập W Phép cộng có tính giao

(n3) Tập W ={ }0 chỉ có vector không là một không gian con của V và được gọi là không gian không Bản thân V cũng là một không gian con của V

n

2 Cơ sở - Tọa độ

2.1 Phụ thuộc tuyến tính - Độc lập tuyến tính

Định nghĩa Cho hệ các vector { 1, , } n

1 1a m m a 0 1 m 0

λ + +λ = ⇒λ = =λ =

và được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu hệ không độc lập tuyến tính, nghĩa là tồn tại các số

không đồng thời bằng 0 sao cho

S

1, , m

Vậy a =2a1 +a2 nên a biểu diễn tuyến tính được qua hệ S

(v2) Vector b biểu diễn tuyến tính được qua hệ S khi và chỉ khi

1 1, 2 2, 3 1 :a1 2a2 a3 0

Định lý 3.2 Nếu một bộ phận của một hệ vector là phụ thuộc tuyến tính thì toàn thể hệ ấy

cũng phụ thuộc tuyến tính Nói cách khác, nếu một hệ vector là độc lập tuyến tính thì mọi bộ phận của nó đều độc lập tuyến tính

♦ Không giảm tính tổng quát giả sử trong hệ vector {a1, ,a m} có vector đầu tiên p

{a1, ,a p} (p <m) phụ thuộc tuyến tính (nếu không ta chỉ cần đánh số lại thứ tự các vector) Khi đó sẽ tồn tại λ1, ,λ ∈ p không đồng thời bằng 0, sao cho

1 1a p p a 0 1 1a p p a 0a p 1 0a m 0

λ + +λ = ⇒λ + +λ + + + + = ⇒ {a1, ,a m} phụ thuộc tuyến tính.♦

Định lý 3.3 Hệ gồm m vector khác vector không (với m > 1) là phụ thuộc tuyến tính khi và

chỉ khi tồn tại ít nhất một vector của hệ đó biểu diễn tuyến tính được qua các vector còn lại của hệ

Nhận xét Hệ có chứa vector 0 bao giờ cũng phụ thuộc tuyến tính do

Vậy hệ biểu diễn tuyến tính qua cơ sở và do độc lập tuyến tính nên k theo

định lý 3.4 Lý luận tương tự ta có m Do đó Hơn nữa theo nhận xét trên thì

Nhận xét Mọi hệ gồm vector độc lập tuyến tính của không gian đều là cơ sở của

và số lượng các vector trong các hệ vector độc lập tuyến tính của không gian đều

số λ λ, , ,1 λ n không đồng thời bằng 0 sao cho

nghĩa là, các số x1, ,x n chính là tọa độ của x trong cơ sở chính tắc

Ví dụ Cho cơ sở E′={e1′=(1,1,1 ,) e2′ =(1,1,2 ,) e3′ =(1,2, 3) } của không gian Tìm tọa

2.4 Ma trận chuyển cơ sở - Công thức đổi tọa độ

Giả sử không gian n có các cơ sở là E ={e1, ,e n} và E′={e1′, ,e n′} Khi đó

1 1 2 2 1

Ma trận S =( )s ij ∈Mat n n( × được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E ′

Với vector x ∈ n bất kỳ có hai cách phân tích theo cơ sở (cơ sở cũ) và E (cơ sở

1 11 1 1 1 1 1

Các công thức (3.9) và (3.10) được gọi là các công thức đổi tọa độ Công thức (3.9) cho phép

ta tính được tọa độ của một vector trong cơ sở cũ (tọa độ cũ) theo tọa độ trong cơ sở mới (tọa

độ mới); còn công thức (3.10) tính tọa độ mới theo tọa độ cũ Như vậy, nếu là ma trận chuyển cơ sở từ sang E thì là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E