Đại số tuyến tính dùng trong kinh tế

_________— ^ w THƯ VIỆN ỈS.TS TRẤN VĂN HẠO ụ HỌC NHA TRANG dại học nha trang 512.5 Tr 121 H JJ > Ạ I S Ố T U Y Ế N T Í N H DÙNG TRONG KINH TỂ GS.TSTRẦN VĂN HẠO ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG KINH TỂ NHÀ XUẤT BẲN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT 1997 LỜI NÓI ĐẦU Từ nàm học 1995 - 1996 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Chương trình toán cao cấp C1 và toán cao cấp C2 dùng cho các ngành kinh tế, Tài chính kế toán, Quản trị kinh doanh, Ngoại thương. Vì chương trình này có nhiều điểm khác biệt so vói chương trình và sách hiện đang dùng tại các Trường Đại Học, nên việc viết một quyển sách mới phù hợp với chương trình để sinh viên tiện dùng là một việc rất cần thiết. Ngoài ra những nội dung về kinh tế, tài chính nếu được đưa vào trong các ví dụ cũng sẽ làm cho quyển sách phù hợp với yêu cầu đào tạo của ngành nhiều hơn Với những lý do đó, chúng tôi viết quyển sách này. Vì thời gian gấp rút nên chắc chấn còn cổ những thiếu sót. Chủng tôi mong sẽ nhận được ý kiến của bạn đọc dể cuốn sách được hoàn thiện hơn, nhàm đạt yêu cầu quyển sách cơ sỗ đầu tiên trong một bộ sách Toán dùng cho các ngành kinh tế. CHƯƠNG 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC > Phép toán trên các ma trận. > Định nghĩa và cách tính định thức. > Ma trận nghịch đảo. > Hạng của ma trận. §1 MA TRẬN 1.1. ĐỊNH NGHĨA . 1.1.1 Vectơ n-chiểu . Ớ phổ thông ta đã quen với việc viết các vectơ trong mặt phẳng dưới dạng tọa độ Ịà cặp sô' thực a = (ai, a2) và các vectơ trong không gian như bộ ba sô'thực b =(bj,b2 ,b3). Tổng quát, chúng ta có định nghĩa sau : o Định nghĩa 1 . Một bộ n sô' được gọi là một vectơ n-chiều. ♦ Thí dụ 1. Khi kiểm kê hàng tồn kho ỗ một cửa hàng về các mặt hàng điện tử gồm (Tivi JVC, Tivi SONY, đầu Video, cassette, băng) ta ghi lại như sau : (10, 12, 15, 27, 30) Đó là một vectơ 5 chiều ứng với 5 loại mặt hàng. 1.1.2. Định nghĩa ma trận . Một bảng gồm m vectơ n-chiều, viết dưới dạng: 5 an a12 aln A = a21 a22 • • a2n '■®ml ®m2 • được gọi là một ma trận câp m X n Như vậy, một ma trận cấp m X n có m dòng, n cột. Ở đây ajj là phần tử nằm ở dòng i và cột j. Ta cũng ký hiệu tắt ma trận là A= (a„) mxn. ♦ Thí dụ 2 . Một công ty có 4 cửa hàng điện tử, lập bảng thông kê 5 mặt hàng tồn kho như trong thí dụ 1 cho cả 4 cửa hàng, ta được một ma trận cấp 4 x 5 : 10 12 15 27 30' 9 14 18 16 24 ~ 13 15 20 19 28 41 18 17 25 3L ♦ Thí dụ 3 . Sau đây là một sô" thí dụ về ma trận : f 3^ -2 B - ' i 3 i C - 5 0 I X) ; D = (4, 5, - 3, 2, 7, 9) 6 B là ma trận cấp 2 x 2 , c là ma trận cấp 5 x 1 , D là ma trận cấp 1 x 6 . © Định nghĩa 2 . Ma trận cấp n X n được gọi là ma trận vuông cấp n. - Ma trận cấp m X 1 được gọi là vectơ cột. - Ma trận cấp 1 X n được gọi là vectơ dòng (đó chính là vectơ n-chiều đã nêu trên). 1.1.3. Ma trận bằng nhau . Hai ma trận A = (ay)m X n, B= (bịj)m X n được gọi là bằng nhau, nếu chúng có cùng câp m X n, và các phần tử nằm ở các dòng và các cột tương ứng đều bằng nhau, tức là a ịj = by với mọi l ắ i ắ m, 1 £ j £ n. 1.1.4. Ma trộn chuyển vị . Cho ma trân A = (ajj)m X n- Nếu lây dòng 1 của ma trân A sắp thành cột 1 của một ma trận mdi, dòng 2 thành cột 2, dòng m thành cột m thì ta được một ma trận cấp n X m, gọi là ma trận chuyển vị của ma trân A, và ký hiệu là AT. ♦ Thí dụ 4 . Cho ma trận A = lo 2 3 -1 ả thì ma trận chuyển vị AT là : ( 1 0' 2 -1 3 4 ^-5 % Rõ ràng nếu chuyển vị ma trận AT ta lạ 1 dược ma trận A. 7 1.1.5. Ma trận không và ma trận đơn vị . Ta hãy xét hai loại ma trận đặc biệt. Ma trận 0 = (o) (mọi phần tử a,j = 0) được gọi là ma trận không (cấp m X n). Ma trận đơn vị là một ma trận vuông cấp n In = (a¡j) „ x „ mà a¡¡ = 1, a„ = 0, Vi * j 1.2. PHÉP TOÁN TRÊN CÁC MA TRẬN . 1.2.1. P hép cộn g hai ma trận . Cho A = (aö)m X n> B= (bg)m x „ là hai ma trận cùng cấp m X n. Tổng A + B là một ma trận cùng cấp m X n, viết là C=A+B, c = (Cg) mà Cjj = a¡j + bg với mỗi cặp (i, j) ♦ Thí dụ 5. 1.2.2. P hép nhân một sô' với một ma trận. Cho sô' thực r và ma trận A = (a¡j)m X „ . Phép nhân sô' thực r với ma trận A sẽ cho ta một ma trận cùng câ'p vứi A, mỗi phần tử của nó là tích của r với các phần tử của A.!, . ( 2 3 -1 A — v5 1 3 1 -3 2 -2 -1 4 1 a thì : rA = (rag), 8 ♦ Thí dụ 6. f 1 2 -3 -1^ ' 3 6 -9 -3n A = 2 0 5 3 thì 3.A = 6 0 15 9 ,-2 1 0 -4/ -6 3 0 -12, Bạn đọc có thể thử thấy rằng hai phép toán trên đối vđi các ma trận cấp m X n thỏa các tính châ't sau: Cho A — (aịj)m xn > B = (bjk)nx p> c = (Cjj)m X n 1) A + B = B + A 2) (A + B) + c = A + (B + C) 3) 0 + A = A , trong đó 0 là ma trận không câp m X n. 4) Ma trận (-1)A = (-aij)m X n thỏa tính chất (-1) A + A = 0 5) (a + b)A = aA + bA với mọi số’ thực a, b. 6) a(A + B) = aA + aB. 7) (ab)A = a(bA). 8) l.A = A 1.2.3. Phép nhản hai ma trận . b^ji • Cho ma trận A = (aịịXn X n, B = (bý)n X P (chú ý số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B). Ta gọi ma trận c = (cik)m X p là tích của hai ma trận A và B và ký hiệu c = A.B nếu phần tử cik (nằm ở dòng i cột k của ma trận C) là tổng của các tích của các phần tử của dòng i của ma trận A nhân với các phần tử của cột k của ma trận B, tức là : 9 n c ik ~ a ij^jk j = l ♦ Thi du 7 . ' 2 '1 2 3 -f| -1 l ) 2 -1 1 0 = 5 7 ,-3 2 0 ) ,3 0 2 ly d -8 -7 1.2.4-Thídu áp dung . ♦ Thi du 8 . Bä T.M. có hai cda häng (viet tát lá Ch) bán häng dien tö. So hlcrng häng hóa bán ra trong tháng 1 vä tháng 2 cho bdi hai ma trän C, vä C2 : Tivi 14' Tivi 21' Ch, ( 10 2 Ch2l 4 1 Cassette Bang Video 40 35 15 20 = C, Tvfcmg tif _ (12 4 20 10) 2 ~ llO 3 15 löj Väy lUttng häng hóa bán ra cá 2 tháng dvlöc cho bdi ma trän Ci+ C2. c , + c 2 = 22 6 60 25 ^j 14 4 50 35 J ♦ Thi du 9. 10 [...]... điểm của k dòng i[, i2, Ik và k cột j ], j 2, jk và giả sử M’ là dinh thức con bù của định thức con M trong định thức D Ta định nghĩa p h ần bù đại số của M trong D là ; Ị_lýi' M' Đặc biệt phần bù đại sô" A,j của p h ần tử a,j trong đ ịn h thức D là : trong đó M,J là định thức con bù của p h ần tử a,j trong D 2.2.3 Định lý Laplace Giả sử tro n g đ ịnh thức D cấp n ta đã chọn k d òng (hoặc k cột) tùy... một nghịch thế nếu ij > iit và ij đứng trước (bên trái) ik trong hoán vị đó ♦ Thí dụ 2 Trong hoán vị 3241 ta có các nghịch thế lập nên từ các cặp (3,2), (3,1), (2,1), (4,1) Như vậy trong hoán vị này có tất cả 4 nghịch thế Còn trong hoán vị 1243 thì chỉ có một nghịch thế do cặp (4,3) tạo ra Một hoán vị được gọi là chẵn (lẻ), nếu số nghịch thế trong hoán vị đó là chẵn (lẻ) 2.1.3.Định nghĩa định thức cấp... trậ n nghị ch đ ả o a) Phương p h á p dùng đ ịn h thức Cho m a tr ậ n A k h ô n g suy b iế n : 'au a 1 1 •a tn 2 1 A = a2 a22- •a 2n U nl a n a mJ > 2 28 Xét định thức (Ai , và ký hiệu là phần bù đại A ,j số của phần tử a„ trong ¡Al Thế thì ma trận nghịch đảo của A là : fA „ r -4 II < a A 21• • A ( \ i ' 12 A 2 2 - • A n2 A 2n • A nn J 'A jn Chú V ; Phần bù đại sô' của phần tử cột i hàng j của ma... (C ij)pxq thl b) Ma trận đơn vị I„ có tính chất là với mọi ma trận A vuông cấp n ta có In A = A.In = A §2 ĐỊNH THỨC 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 2.1.1 H oán v ị Ở phổ thông chúng ta đã biết một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần Trong giáo trình này ta chỉ xét hoán vị cứa n số tự nhiên 1, 2, 3, , n và gọi là hoán... h â t với cột th ứ ba, ta được : II p 1 0 0 7 -1 = -4 -2 5 3 -4 -1 5 ( - 4)31 - 124 2.3 CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC Nếu tro n g định thức có nhiều dòng nhiều cột chứa p h ầ n tử 0 như trong th í dụ 9, th ì ta có thế dùng đ ịn h lý Laplace khai triể n trê n các dòng và cột đó T rong trường hợp tổng quát, ta có thể dùng hệ quả 2 và tín h c h ấ t 2 của đ ịnh thức đế’ làm triệ t tiêu các p h ầ n tử nằm dưới đường... đã xuất hiện nhiều sô' 0, ta có th ể áp dụng ngay định lý Laplace ♦ T hí dụ 11 Tính định thức 23 3 5 1 4 2 - 1 3 1 4 -2 2 0 -3 12-1 Nếu ta nhân dòng đầu với các số rồi cộng vào các dòng khác để làm triệt tiêu các phần tử ở cột 1 thì xuất hiện các phân số Vì vậy trước hết ta làm xuâ't hiện sô" 1 ỗ góc trên bên trái bằng một trong hai cách : hoặc nhân dòng thứ hai với -1 rồi cộng vào dòng đầu hoặc đổi... 15 5 / 3> 4 /3 10 / 3; Thật vậy, muôn tính sô' lượng vật liệu 1 mà phân xưởng 1 cần thì ta phải căn cứ sô' các sản phẩm mà Pxi sản xuất, mỗi loại sản phẩm cần bao nhiêu vật liệu mỗi loại (10 X 2) + (0 X 0) + (5 X 0) = 20 11 tức là lấy dòng 1 của ma trận A nhân với cột 1 của ma trận B rồi cộng lại 1.2.5 Tính c h â t củ a p h ép nh ân m a trận Sau đây là một số tính chất của phép nhân ma trận: a) Cho... đ ịnh thức con cấp 3 đều 1 11 b ằng không cả 4.2.CÁCH TÍNH HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN Để tín h h ạ n g của m ột m a trậ n A cấp m X n, ta dùng các phép biên đồi sơ cấp trê n các dòng (và có th ế các cột) của m a trậ n A đề đưa nó về dạng (1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 vO 0 0 0 0,1 • ° ì Khi ấy h ạ n g r của ma tr ậ n A b ằn g số các số 1 (trôn đường chéo) của ma trậ n đó ♦ T hí dụ 2 Tìm... - r a ’,j thì D„ = r D’n, trong đó D’„ có dạng ở trên Từ 4 tín h c h ấ t cơ bản đó chúng ta suy ra m ột sô" hệ quả sau đây Hê quả 1 ■ Nêu trong m ột định thức có hai dòng (hoặc hai cột) trù n g nhau, th ì định thức đó bằn g không T h ậ t vậy, nếu định thức D„ có hai dòng thứ i và thứ k trù n g nhau, th ì bằng cách trao đổi hai dòng dó cho nhau, đ ịn h thức D„ vẫn không đổi, trong khi đó theo tín h c... ấ t 2, đ ịnh thức D„ dổi dấu, Vậy D„ = -D„ hay D„ = 0 Ta củng suy ra được từ tính chảt 3 4 và hệ quả 1 Hè quả 2 Một đ ịnh thức sẽ không đổi nếu ta lây các phần tử bủa mọt dòng n h à n với cùng một số rồi cộng với các phần tử tương ứng của một dòng khác /7 Sau đ ây ta sẽ á p dụng hệ quả đó đế tín h định thức ♦ T h í dụ 6 Tính định thức 1 -3 õ 2 2 -4 3 -7 0 2 3 -1 5 -1 4 2 Ta sẽ là m cho các p h ầ . học nha trang 512.5 Tr 121 H JJ > Ạ I S Ố T U Y Ế N T Í N H DÙNG TRONG KINH TỂ GS.TSTRẦN VĂN HẠO ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG KINH TỂ NHÀ XUẤT BẲN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT 1997 LỜI NÓI ĐẦU Từ. C2 dùng cho các ngành kinh tế, Tài chính kế toán, Quản trị kinh doanh, Ngoại thương. Vì chương trình này có nhiều điểm khác biệt so vói chương trình và sách hiện đang dùng tại các Trường Đại. quyển sách cơ sỗ đầu tiên trong một bộ sách Toán dùng cho các ngành kinh tế. CHƯƠNG 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC > Phép toán trên các ma trận. > Định nghĩa và cách tính định thức. > Ma trận