Ứng dụng của đại số tuyến tính trong tổ hợp

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON Phan Th Sim NG DNG CA I S TUYN TNH TRONG T HP KHểA LUN TT NGHIP I HC H Ni Nm 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON Phan Th Sim NG DNG CA I S TUYN TNH TRONG T HP Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng KHểA LUN TT NGHIP I HC NGI HNG DN KHOA HC: TS Trn Vnh c H Ni Nm 2016 LI CM N Trc trỡnh by ni dung chớnh ca bn khúa lun, em xin by t lũng bit n sõu sc ti T.S Trn Vnh c ó tn tỡnh hng dn em cú th hon thnh ti ny Em cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti ton th cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, Trng i hc S phm H Ni ó dy bo em tn tỡnh sut quỏ trỡnh hc ti khoa Nhõn dp ny em cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn bờn em, ng viờn, giỳp em sut quỏ trỡnh hc v thc hin ti thc ny H Ni, ngy thỏng 05 nm 2016 Sinh viờn Phan Th Sim LI CAM OAN Khúa lun ny l kt qu nghiờn cu ca bn thõn em di s hng dn tn tỡnh ca thy giỏo T.S Trn Vnh c Trong nghiờn cu hon thnh ti nghiờn cu ny em ó tham kho mt s ti liu ó ghi phn ti liu tham kho Em xin khng nh kt qu ca ti "ng dng ca i s tuyn tớnh t hp" l kt qu ca vic nghiờn cu, hc v n lc ca bn thõn, khụng cú s trựng lp vi kt qu ca cỏc ti khỏc Nu sai em xin chu hon ton trỏch nhim H Ni, thỏng 05 nm 2016 Sinh viờn Phan Th Sim Mc lc Li m u 1 Mt s kin thc chun b 1.1 Mt s khỏi nim i s tuyn tớnh 1.2 Mt s khỏi nim c bn ca th Thit K Khi 10 2.1 nh ngha v vớ d 10 2.2 Mt iu kin v s tn ti thit k 13 2.3 Bt ng thc Fisher 16 ng Dng Trong Lý thuyt th 20 3.1 Ph bng th hai phn y 20 3.2 Khụng gian chu trỡnh 23 3.3 Lu thụng v ct: Xem xột li khụng gian chu trỡnh 29 Kim tra xỏc sut 35 4.1 Kim tra phộp nhõn ma trn 35 4.2 Kim tra xỏc sut cho tớnh cht kt hp 39 i Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim Kt lun 45 Ti liu tham kho ii 46 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim Li m u Lý chn ti Cựng vi s phỏt trin vi tc nhanh ca cụng ngh thụng tin, lý thuyt t hp v lý thuyt th ó tr thnh cỏc lnh vc quan trng v cn thit cho nhiu lnh vc khoa hc v ng dng i s tuyn tớnh l mt ngnh toỏn hc nghiờn cu v khụng gian vec-t, h phng trỡnh tuyn tớnh v cỏc phộp bin i tuyn tớnh gia chỳng Cỏc khỏi nim vec-t khụng gian vec-t, ma trn v cỏc nh thc l nhng cụng c rt quan trng i s tuyn tớnh Nú cú nhiu ng dng toỏn hc v cỏc ngnh khoa hc khỏc nh khoa hc t nhiờn, khoa hc kinh t, Cỏc cụng c ca i s tuyn tớnh giỳp gii quyt rt hiu qu nhiu bi toỏn t hp Vớ d nh, biu din ma trn k hoc ma trn liờn thuc ó l nhng cụng c chun cho tớnh toỏn trờn th Vỡ vy, di s nh hng ca giỏo viờn hng dn tụi chn ti: ng dng ca i s tuyn tớnh t hp. cho khúa lun nhm tỡm hiu v mt s ng dng ca i s tuyn tớnh t hp Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu v thit k khi, bt ng thc Fisher Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim Tỡm hiu v khỏi nim ph bng th hai phn y Tỡm hiu v cỏc khỏi nim ca khụng gian chu trỡnh, lu thụng v ct Tỡm hiu v kim tra xỏc sut cho phộp nhõn hai ma trn, kim tra xỏc sut cho tớnh kt hp Nhim v nghiờn cu a mt s ng dng ca i s tuyn tớnh vo cỏc bi toỏn t hp, th i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Mt s yu t ca i s tuyn tớnh v t hp Phm vi nghiờn cu: i s tuyn tớnh, lý thuyt t hp, lý thuyt th Cu trỳc ti Ngoi phn m u, kt lun, danh mc ti liu tham kho thỡ khúa lun bao gm chng: Chng 1: Mt s kin thc chun b Chng 2: Thit k Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim Chng 3: ng dng lý thuyt th Chng 4: Kim tra xỏc sut Phn ln khúa lun c tham kho t chng 13 ca cun sỏch Invitation to Discrete Mathematics ca Jiri Matousek v Jaroslav Nesetril Chng Mt s kin thc chun b Chng ny nờu li mt s khỏi nim s c thc dựng cho cỏc chng sau Mc ớch ca chng ny khụng nhm h thng cỏc khỏi nim ca i s tuyn tớnh v th 1.1 Mt s khỏi nim i s tuyn tớnh nh ngha 1.1 (Khụng gian vec-t) Cho V l mt hp khỏc rng , v K l mt trng Gi s V c m cỏc phn t kớ hiu , , trang b hai phộp toỏn, gm: (a) Phộp cng: +: V ì V V, ( , ) + (b) Phộp nhõn: :K ì V V, (, ) . tha nhng iu kin (hoc tiờn ) sau õy: Vi mi , K v V : vi mi , , (V1 ) + = ( + ) + ( + ) (V2 ) V : + = + = (V3 ) V, V : + = + = Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim Hỡnh 3.2: Hỡnh biu din in th v hiu in th m Bõy gi, chỳng ta mụ t tt c cỏc trng hp s dng ma trn liờn thuc lm iu ny, chỳng ta ỏnh s cỏc nh, V = {v1 , , } v cỏc cnh E = e1 , , em Kớ hiu ei cú ngha l cnh cú hng tng Mụ t khụng gian lu thụng ng vi cnh ei th cú hng G v khụng gian ct cú th c cho bi: nh lý 3.3 Cho th G bt k, khụng gian ct R c sinh bi cỏc hng ca ma trn liờn thuc D Khụng gian lu thụng C l phn bự trc giao ca khụng gian ct R, tc l C = {x Rm : xT y = vi mi y R} Chng minh Cho D = (dij ) l ma trn liờn thuc cp n ì m D dng thy rng mi hng l hiu in th (tng ng in th bng ti nh ca hng v ch khỏc) Tip theo, xột mt hiu s in th tựy ý g = p Cho mt cnh cú hng ej = (vr , vs ), ta cú g( ej ) = p(vr )p(vs ) = n dij p(vi ); iu ny c ch bng cỏch so sỏnh biu thc 3.4 vi nh i=1 ngha ca ma trn liờn thuc Vỡ th, nu ta coi hm s g nh mt hng vec-t, nú l t hp tuyn tớnh ca cỏc hng ca ma trn liờn thuc Vỡ th, cỏc hng to khụng gian ct R 32 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim Bõy gi, ta vit li iu kin 3.3 cho mt lu thụng f s dng ma trn liờn thuc T ng thc: xV :(x,v)E ta c f (x, v) = f (v, x) xV :(v,x)E f (x, v) (x,v)E f (v, x) = (v,x)E Cho v = vi , cú th c vit nh m f ( ej )dij = j=1 Hm s f, coi nh mt mt vec-t m phn t, ú cú mt tớch vụ hng khụng vi hng th i ca ma trn D Vỡ f l trc giao ca mi hng ca D; thc ra, ta thy rng trc giao ca f vi tt c cỏc hng ca D l tng ng vi f l lu thụng Vỡ th, cỏc khụng gian vec-t C v R (coi nh khụng gian ca Rn ) l phn bự trc giao ca Chiu ca khụng gian ct R l gỡ? t nh lý trc, nú l chiu ca khụng gian to bi cỏc hng ca ma trn liờn thuc D Bng mt kt qu c bn ca i s tuyn tớnh ta ó s dng nhiu ln, s ny bng vi s chiu ca khụng gian c to bi cỏc ct ca D, v chỳng ta s i xỏc nh s chiu ny Xột dj ký hiu l ct th j ca D (tng ng vi cnh cú hng ej ) Xột mt vi hp ch s ct J {1, 2, , m}, v ta hi no hp cỏc ct {dj : j J} ph thuc tuyn tớnh Ph thuc tuyn 33 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim tớnh ngha l tn ti cỏc s cj , j J khụng bng khụng tt c cho jJ cj dj l vec-t khụng gm n thnh phn Ta vit li cỏc thnh phn riờng bit Thnh phn th i tng ng vi nh vi , ta c cj dij = jJ Nu ta nh ngha ct = cho t / J ta c iu kin 3.3 t nh ngha ca lu thụng v vy nờn c = (c1 , c2 , , cm ) l lu thụng khỏc khụng Vỡ th, giỏ ca c cha mt chu trỡnh Mt khỏc, nh chỳng ta ó bit, mi chu trỡnh C ú tn ti mt lu thụng khỏc khụng vi giỏ C Ta cú c hp ca cỏc ct {dj : j J} ph thuc tuyn tớnh v ch hp cnh {ej : j J} khụng cha chu trỡnh Do ú, hng ca ma trn D l n k, ú k l s thnh phn liờn thụng ca th G Túm li, ta ó chng minh: nh lý 3.4 Cho th G vi n nh, m cnh, v k thnh phn liờn thụng, khụng gian ct R cú chiu n k v khụng gian lu thụng C cú chiu l m n + k 34 Chng Kim tra xỏc sut Trong chng ny, chỳng ta xem xột mt s ng dng ca i s tuyn tớnh kim tra xỏc sut phộp nhõn hai ma trn vuụng v kim tra xỏc sut tớnh cht kt hp 4.1 Kim tra phộp nhõn ma trn Nhõn hai ma trn vuụng l phộp tớnh quan trng nhiu ng dng Mt thut toỏn khụng phc nhõn hai ma trn cp n ì n theo nh ngha ca phộp nhõn ma trn ũi hi n3 phộp tớnh s hc Nhng khỏ ngc nhiờn, nhiu thut toỏn cho phộp nhõn ma trn vi s phộp toỏn ớt hn nhiu K lc õy gn nht l thut toỏn ch cn thc hin O(n2,376 ) phộp tớnh Tuy vy, nú cha mt hng s thc ln n kớ hiu O(ã) nờn thut toỏn ny ch c quan tõm v mt lớ thuyt Nhng lý thuyt ngy cú th tham gia vo lnh vc thng mi ngy mai Bn cú th tng tng mt cụng ty phn mm bỏn mt chng trỡnh cú tờn gi l MATRIX WIZARD v nú cho phộp nhõn ma trn vuụng vi mt tc ỏnh sỏng Tuy nhiờn, t ng dng phộp 35 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim nhõn ma trn khỏ quan trng v kt qu sai s l thm khc, bn cú mun chc chn rng nhõn MATRIX WIZARD khụng ch nhanh nhng ỳng Bn cú th kim tra nú nhiu vớ d, nhng nu nú thnh cụng trờn nhiu bi kim tra iu ny l khụng cú ngha rng nú luụn luụn ỳng S phự hp nu cú mt chng trỡnh kim tra n gin vi MATRIX WIZARD: kim tra xem kt qu C cú ỳng l tớch ca hai ma trn A v B Tt nhiờn, mt chng trỡnh kim tra cú th s nhõn A v B v so sỏnh kt qu vi C; bn khụng bit lm nhõn ma trõn nhanh nh MATRIX WIZARD thc hin v vỡ th mi li ớch t phộp nhõn nhanh s mt Nhng nú dng li nu ta cụng nhn mt vi xỏc sut nh ca sai s kim tra, nú thc s l rt n gin v hiu qu cho phộp nhõn ma trn n gin, chỳng ta gi thit rng ó xem xột cỏc ma trn gm cỏc s hu t, mc dự mi vic khụng i so vi cỏc ma trn trờn cỏc trng nh lý 4.1 (Kim tra phộp nhõn hai ma trn ca Freivald) Tn ti mt thut toỏn ngu nhiờn vi u vo l ba ma trn bt k A, B, C ( ) cp n ì n, nú thc hin O n2 phộp tớnh s hc, v tr li NG hoc KHễNG NG Nu AB = C thỡ thut toỏn luụn luụn núi rng NG Ngc li, nu AB = C thỡ thut toỏn tr li KHễNG NG vi xỏc sut nh nht l 12 , vi mi ma trn A, B, C Mt thut toỏn ngu nhiờn, chỳng ta cú th hiu thut toỏn ny cú th quyt nh mt cỏch ngu nhiờn Ta cú th tng tng rng bc no ú, nú s "tung ng xu " v tựy theo kt qu l sp/nga nú s tip tc thc hin thut toỏn 36 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim Trong trng hp, nu A, B, C l ma trn c nh vi AB = C, thut toỏn nh lớ thnh thong cú th tr li KHễNG NG v NG, ph thuc vo kt qu quyt nh ngu nhiờn ca nú nh lớ ũi hi rng tr li NG (l sai) cú xỏc sut khụng quỏ 12 Nhng i ó, iu ny ngha l nu phộp nhõn hon thnh bi MATRIX WIZARD l ỳng, kim tra ũi hi kt qu ỳng vi xỏc sut 12 ? No, iu ny cũn t hn hn nhiu so tin cy ca d bỏo thi tit! Tt, võng, nhng ú cũn s tinh vi khỏc: chỳng ta cú th chy kim tra thut toỏn vi ln cho ma trn A, B, C v cõu tr li n gin KHễNG NG phỏt hin AB = C Nu chỳng ta cho chy k cựng ma trn A, B, C vi AB = C xỏc sut chỳng ta c cõu tr li sai NG ( )2 v nh vy l tht bi, li phộp nhõn ch nhiu nht l 12 vỡ kt qu chy l c lp Cho vớ d, k = 50 xỏc sut ny l di 1015 Kh nng ny cũn nh hn so vi kh nng mỏy tớnh ang chy thut toỏn nhõn ma trn thỡ b phỏ hy bi kin hoc chin tranh ht nhõn xy vo th ti (Ngc li, nghe 50 tin d bỏo thi tit mt hng dng nh khụng cung cp thụng tin gn tuyt i thi tit ngy mai.) Vỡ vy, chỳng ta cú th trỡnh by li phn kt lun ca nh lớ nh sau: vi s ln chy ( ) O n2 log , xỏc sut ca cõu tr li sai cú th b chn bi , vi mi tham s > Chng minh nh lớ 4.1 Thut toỏn tht s l rt n gin 37 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim Chỳng ta chn mt vec-t ngu nhiờn x {0, 1}n , tt c cú 2n vec-t cú th vi cựng xỏc sut Ta tớnh vect y = ABxCx, ú x v y c xem nh ma trn cp n ì Nu y = ta tr li l NG, trỏi li ta tr li l KHễNG NG ( ) Nhõn mt vec-t vi mt ma trn n ì n cú th tớnh O n2 Cỏch tớnh ỳng ca phộp tớnh tớch ABx l A(Bx) ú ta ch cn nhõn ln ma ( ) trn vi vec-t Do ú, y cú th c tớnh O n2 bc Hin nhiờn, nu AB = C thỡ y = ABx Cx = (AB C) x = 0; ú, trng hp ny thut toỏn luụn luụn núi NG Vỡ vy gi thit AB = C v vit D = AB C Bõy gi, ta ch cũn phi chng minh b sau: B 4.1 Cho D l ma trn hu t cp n ì n bt k, cú ớt nht mt phn t x {0, 1}n khỏc khụng Khi ú, xỏc sut ca y = Dx l vec-t ngu nhiờn khỏc khụng no ú nhiu nht bng 12 Chng minh b 4.1 Gi thit rng dij l phn t khỏc khụng ca D Ta chng t rng trng hp ny, yi = vi xỏc sut nhiu nht l 21 Ta cú yi = di1 x1 + di2 x2 + ã ã ã + din xn = dij xj + S ú S= dik xk k{1,2, ,n}\{k=j} Gi s ta chn cỏc giỏ tr ti v trớ x theo vic tung ng xu v mi ln tung quy nh mt giỏ tr ca xj (vic tung ng xu l c lp) Trc ln tung ny, s lng S ó c nh vỡ nú khụng ph thuc trờn xj Sau 38 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim ln tung, ta hoc li S khụng i (nu xj = 0) hoc cng vo mt s khỏc khụng dij (nu xj = 1) t nht mt hai trng hp ny, ta c mt s khỏc khụng Vỡ vy, xỏc sut ca y = nhiu nht l 21 Chng minh b ny cng l kt lun chng mỡnh ca nh lớ 4.2 Kim tra xỏc sut cho tớnh cht kt hp Cho S l mt hp v cho l phộp toỏn hai ngụi trờn S iu ny cú ngha l hai phn t bt k a, b S c gỏn vi phn t c S, v c cú ngha l a b Mt cỏch hỡnh thc, l mt ỏnh x S ì S S Bn ó bit phộp toỏn hai ngụi vi cỏc s Vớ d, "+" (phộp cng) l mt phộp tớnh hai ngụi trờn hp tt c cỏc s t nhiờn v "-" (phộp tr) l mt phộp toỏn hai ngụi tờn hp tt c cỏc s nguyờn Mt khỏc, "-" khụng l phộp toỏn hai ngụi trờn N v "/" (phộp chia) khụng l phộp toỏn hai ngụi trờn hp tt c cỏc s thc nh ngha ca chỳng ta Thụng thng cỏc phộp tớnh thng tha cỏc lut khỏc nhau, ging nh giao hoỏn (a+b = b+a) hoc kt hp ((a+b)+c = a+(b+c)) õy, chỳng ta s xem xột mt phộp toỏn tựy ý rng cú th khụng cú lut gỡ c v khỏ hn lon; chỳng ta khụng chc chỳng cú tớnh cht giao hoỏn, khụng chc chỳng cú tớnh cht kt hp, thm khụng cú gỡ c Trong i s, mt hp S vi mt phộp tớnh hai ngụi tựy ý trờn nú c gi l mt phng nhúm Chỳng ta s quan tõm ti trng hp S l hp hu hn v ta gi s rng phộp tớnh c xỏc nh t bng 4.1, vi trng hp S = {A, B, , }: 39 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim Hỡnh 4.1: Bng nh ngha phộp nhõn Chỳng tụi mun kim tra th phộp toỏn l kt hp hoc khụng Gi b ba (a, b, c) S l b ba kt hp nu (a b) c = a (b c) v b ba khụng phi kt hp nu ngc li Mt phng phỏp hin nhiờn l duyt qua tt c cỏc b ba (a, b, c) S v kim tra th chỳng cú tớnh cht kt hp Cho mi b ba (a, b, c), chỳng ta cn hai ln tra cu bng tỡm (a b) c Do ú, nu |S| = n s phộp tớnh cn cho phộp kim tra tớnh kt hp ny tng gn n n3 Chỳng ta s trỡnh by mt thut toỏn khộo lộo kim tra tớnh cht kt hp Rajagopalan v Schulman sỏng to Thut toỏn ny ch ( ) cn O n2 phộp tớnh Nú l thut toỏn ngu nhiờn v nú khụng a cõu tr li ỳng chc chn 100% nh lý 4.2 Cú mt thut toỏn ngu nhiờn vi cỏc tớnh cht sau Nú nhn u vo l mt phộp toỏn hai ngụi trờn mt hp n phn t cho ( ) di dng bng Thi gian chy l O n2 , v thut toỏn a cõu tr li KT HP hoc KHễNG KT HP Trong trng hp cú tớnh cht kt hp, thut toỏn luụn luụn thụng bỏo kt hp, v trng khụng kt hp, nú phỏt hin tớnh cht khụng kt hp vi xỏc sut ớt nht l (vi mi phộp toỏn ) 40 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim Chng minh nh lý 4.2 Cho S l mt hp cú n phn t u tiờn ta nh ngha khụng gian vec-t trờn GF (2) cú liờn quan ti S iu ny s ging nh nh ngha trờn khụng gian chu trỡnh ca mt th Cho V l hp tt c n-b gm cỏc s hoc v cú cỏc thnh phn l ch s bi cỏc phn t ca S Cho a S v v V , ta t (v)a {0, 1} l thnh phn ca v tng ng vi phn t a Ngoi ra, cho mt phn t a S, cho va l vec-t c trng ca {a}; ngha l vec-t vi thnh phn tng ng vi a bng v vi cỏc thnh phn khỏc bng Tp hp V cú th coi nh l mt khụng gian vec-t trờn trng phn t GF (2), nú li c xem xột liờn quan ging khụng gian chu trỡnh ca mt th Vec-t l cng v nhõn bi mt phn t ca GF (2) theo tng thnh phn T ú, ta s tip xỳc vi mt vi cỏc loi i tng khỏc Ta s phõn bit chỳng kớ hiu nh sau: kớ t u, v, w i din cho cỏc phn t ca V , ngha l n-b ca v 1, cỏc kớ t Hy Lp , , l cỏc phn t ca GF (2) ngha l hoc v a, b, c, p, q, r l cỏc phn t ca S Ta nh ngha phộp tớnh hai ngụi cựng kớ hiu trờn V Cho u, v S, hp uv = (u)a (v)b vab a,bS Mt khỏc, phộp nhõn (v)a (v)b l trờn GF (2), kt qu nhõn vab nh mt vec-t v tng l phộp cng ca cỏc vec-t trờn V lm iu ny 41 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim trc giỏc hn, ta gi s S = {p, q, r} v vit u = p vp + q vq + r vr = p vp + q vq + r vr Tt nhiờn, p , q , r {0, 1} l cỏc thnh phn ca uv cho v cng tng t tỡm vec-t u v, u tiờn ta phỏ ngoc (p vp + q vq + r vr ) (p vp + q vq + r vr ) = p p (vp vp ) + p q (vp vq ) + ã ã ã + r r (vr vr ) Vy thỡ biu thc "ó c rỳt gn" s dng nh ngha va vb = vab cho tt c a, b S Ta khng nh rng phộp toỏn trờn V l kt hp v ch trờn S l kt hp Rừ rng, nu (a, b, c) l b ba khụng cú tớnh kt hp trờn S, vi (a b) c = p = q = a (b c), ta cú (va vb ) vc = vp = vq = va (vb vc ) D dng kim tra phộp tớnh kt hp ca trờn V cho mt phộp toỏn kt hp trờn S Cho thut toỏn kim tra tớnh kt hp, ta nh ngha mt ỏnh x g : V V cho bi: g(u, v, w) = [(u v) w] [u (v w)] Tt c cỏc giỏ tr ca g l v chi l kt hp (trờn V v trờn S) Chỳ ý rng nu vec-t u, v V, u v cú th c tớnh toỏn s dng O(n2 ) phộp tớnh s dng bng xỏc nh trờn S Vỡ th, g(u, v, w) cú th c ỏnh giỏ cng O(n2 ) bc Thut toỏn 4.1 Chn cỏc vec-t u, v, w V ngu nhiờn v c lp (Cỏc vec-t 2n vec-t ca V cú xỏc sut c chn l u l bng 42 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim nhau) Tớnh g(u, v, w) v a cõu tr li KT HP nu g(u, v, w) = v KHễNG KT HP nu ngc li Bõy gi, ta ch cũn phi chng minh rng, cho mt phộp tớnh khụng kt hp , cõu tr li KHễNG KT HP c tr li vi xỏc sut ớt nht l 18 iu ny ngha l xỏc sut b ba (u, v, w) V khụng kt hp l ớt nht 81 lm iu ny, ta c nh mt vi b ba khụng kt hp (a, b, c) S Hai b ba (u1 , u2 , u3 ) v (v1 , v2 , v3 ) gi l tng ng nu u1 v u2 phự hp thnh phn nhng cú th thnh phn tng ng l a (ngha l u1 u2 = va , GF (2)), v1 v v2 phự hp ti mi v trớ tr thnh phn ca b v w1 , w2 ch khỏc thnh phn c Mi lp tng ng cú chớnh xỏc thnh phn Ta chng t mi lp cha ớt hn mt b ba khụng kt hp B 4.2 Cho (a,b,c) l b ba khụng kt hp c nh Cho u, v, w V , tn ti , , GF (2) cho g(u + va , v + vb , w + vc ) = Chng minh Ta chng minh tng: = g(u + va , v + vb , w + vc ) ,,GF (2) khỏc khụng Bng nh ngha ca phộp tớnh trờn V, ta c, vi mi u, v, w V , g(u, v, w) = (u)p (v)q (w)r vg(p,q,r) p,q,rS 43 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim Thay biu thc ny vo tng v i ch th t, ta c = p,q,rS (u + va )p (v + vb )q (w + vc ) vg(p,q,r) ,,GF (2) Tng du ngoc c vit li, s dng tớnh phõn phi trờn GF (2) nh sau: (u + va )p (v + vb )q (w + vc )r ,,GF (2) = [(u)p + (u + va )p ] [(v)q + (v + vb )q ] [(w)r + (w + vc )r ] = (2u + va )p (2v + 2vb )q (2w + 2vc )r = (va )p (vb )q (vc )r vỡ = + = GF (2) Vy thỡ, s hng khỏc khụng ch cú th c cho p = a, q = b, c = r v vỡ = vg(a,b,c) = Chng minh c b v cng kt thỳc chng minh nh lý 4.2 44 Khúa lun tt nghip i hc Phan Th Sim KT LUN i s tuyn tớnh c s dng nhiu toỏn hc Qua ti ny, ta thy rừ ng dng ca nú chng minh mt s ni dung thit k khi, ph th, kim tra xỏc sut Nú ỏp ng cỏc ũi hi khỏc ca cỏc ng dng Mt khỏc, ti ny gúp phn th hin c mi liờn h gia cỏc lnh vc toỏn hc vi Lun khụng cú kt qu mi Vic trỡnh by ca lun da trờn chng 13 ca cun sỏch Invitation to Discrete Mathematics ca Jiri Matousek v Jaroslav Nesetril Do kin thc cũn hn hp, bi thc chuyờn ngnh khú trỏnh nhng sai sút, em rt mong nhn c s úng gúp tn tỡnh ca cỏc thy, cụ v bn c ti khúa lun cu em c hon chnh hn 45 Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] on Qunh, Khu Quc Anh, Nguyn Anh Kit, T Mõn v Nguyn Doón Tun, i s tuyn tớnh v hỡnh hc gii tớch, NXB HQG H Ni [2] Ngụ c Tõn (2004), Lý thuyt t hp v th, B sỏch toỏn cao cp Vin toỏn hc, NXB HQG H Ni [B] Ti liu ting Anh [3] Jiri Matousek v Jaroslav Nesetril (2008), Invitation to Discrete Mathematics, 2nd edition, Oxford University Press 46 ... suất cho tính kết hợp Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa số ứng dụng đại số tuyến tính vào toán tổ hợp, đồ thị Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Một số yếu tố đại số tuyến tính tổ hợp •... Ứng dụng đại số tuyến tính tổ hợp. ” cho khóa luận nhằm tìm hiểu số ứng dụng đại số tuyến tính tổ hợp Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu thiết kế khối, bất đẳng thức Fisher Khóa luận tốt nghiệp Đại. .. Lý thuyết Đồ thị Trong chương xem xét số ứng dụng đại số tuyến tính lý thuyết đồ thị Với công cụ chủ yếu sử dụng tổ hợp tuyến tính, vec-tơ riêng, ma trận phép biến đổi tuyến tính chúng 3.1 Phủ