Ứng dụng của đại số tuyến tính trong tổ hợp

KHOA TOÁNPhan Thị Sim ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG TỔ HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Phan T

KHOA TOÁN

Phan Thị Sim

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG TỔ HỢP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Phan Thị Sim

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG TỔ HỢP

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Trần Vĩnh Đức

Hà Nội – Năm 2016

Trước khi trình bày nội dung chính của bản khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Vĩnh Đức đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài thực tập này.

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Phan Thị Sim

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn tận tình

của thầy giáo T.S Trần Vĩnh Đức.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết quả của đề tài

"Ứng dụng của đại số tuyến tính trong tổ hợp" là kết quả của việc nghiên cứu,

học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Phan Thị Sim

3.1 Phủ bằng đồ thị hai phần đầy đủ 203.2 Không gian chu trình 233.3 Lưu thông và cắt: Xem xét lại không gian chu trình 29

4.1 Kiểm tra phép nhân ma trận 354.2 Kiểm tra xác suất cho tính chất kết hợp 39

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Sim

Tài liệu tham khảo 46

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển với tốc độ nhanh của công nghệ thông tin, lýthuyết tổ hợp và lý thuyết đồ thị đã trở thành các lĩnh vực quan trọng

và cần thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học và ứng dụng

Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu về không gianvec-tơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữachúng Các khái niệm vec-tơ trong không gian vec-tơ, ma trận và cácđịnh thức là những công cụ rất quan trọng trong đại số tuyến tính Nó

có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành khoa học khác như khoahọc tự nhiên, khoa học kinh tế,

Các công cụ của đại số tuyến tính giúp giải quyết rất hiệu quả nhiềubài toán trong tổ hợp Ví dụ như, biểu diễn ma trận kề hoặc ma trậnliên thuộc đã là những công cụ chuẩn cho tính toán trên đồ thị Vì vậy,dưới sự định hướng của giáo viên hướng dẫn tôi chọn đề tài:

“Ứng dụng của đại số tuyến tính trong tổ hợp.”

cho khóa luận nhằm tìm hiểu về một số ứng dụng của đại số tuyến tínhtrong tổ hợp

2 Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu về thiết kế khối, bất đẳng thức Fisher.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Sim

• Tìm hiểu về khái niệm phủ bằng đồ thị hai phần đầy đủ.

• Tìm hiểu về các khái niệm của không gian chu trình, lưu thông và

cắt

• Tìm hiểu về kiểm tra xác suất cho phép nhân hai ma trận, kiểm tra

xác suất cho tính kết hợp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra một số ứng dụng của đại số tuyến tính vào các bài toán tổ hợp,

đồ thị

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Một số yếu tố của đại số tuyến tính và tổ

• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.

• Chương 2: Thiết kế khối.

• Chương 3: Ứng dụng trong lý thuyết đồ thị.

• Chương 4: Kiểm tra xác suất.

Phần lớn khóa luận được tham khảo từ chương 13 của cuốn sách

Invi-tation to Discrete Mathematics của Jiri Matousek và Jaroslav Nesetril.

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này nêu lại một số khái niệm sẽ được thực dùng cho các chươngsau Mục đích của chương này không nhằm hệ thống các khái niệm củađại số tuyến tính và đồ thị

1.1 Một số khái niệm đại số tuyến tính

Định nghĩa 1.1 (Không gian vec-tơ) Cho V là một tập hợp khác rỗng

mà các phần tử kí hiệu ⃗ α, ⃗ β, ⃗ γ, và K là một trường Giả sử V đượctrang bị hai phép toán, gồm:

Định nghĩa 1.2 (Độc lập tuyến tính) Trong không gian vec-tơ V, hệ

vec-tơ ( ⃗ α1, ⃗ α2, , ⃗ α n) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:

λ1α ⃗1 +· · · + λ n α ⃗ n = ⃗0 chỉ xảy ra khi λ1 = · · · = λ n = 0

Định nghĩa 1.3 (Phụ thuộc tuyến tính) Hệ vec-tơ ( ⃗ α1, ⃗ α2, , ⃗ α n) đượcgọi là phụ thuộc tuyến tính nếu hệ đó không độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.4 (Ma trận) Cho K là một trường và cho m, n là hai số nguyên dương Ta gọi một ma trận A cấp m × n là một bảng gồm m.n

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Sim

Định nghĩa 1.5 (Hạng của ma trận) Hạng của ma trận A là một số,

kí hiệu: rankA Hạng của ma trận A bằng cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A, nghĩa là rankA = r nếu có một định thức con cấp r của A khác 0 và mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của A

thì λ được gọi là giá trị riêng của A,

khi đó x được gọi là vec-tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ.

Định nghĩa 1.7 (Đồ thị có hướng) G là một cặp có thứ tự (V, E), ở

đây V là một tập hợp, còn E là một tập con của tích Đề-các V × V , tức

là E là một quan hệ hai ngôi trên V

Các phần tử của V được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của E được gọi

là các cung của đồ thị có hướng G Cụ thể hơn, nếu (a,b) ∈ E thì (a, b)

được gọi là cung của G với đỉnh đầu là a, đỉnh cuối là b và có hướng đi

từ a tới b.

Định nghĩa 1.8 (Đồ thị vô hướng) G là một cặp có thứ tự G = (V, E),

ở đây V là một tập, còn E là tập với các phần tử là tập lực lượng 2 trên

V

Các phần tử của V cũng được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của E được gọi là các cạnh của đồ thị vô hướng G Nếu e = {a, b} là một cạnh

của G thì a và b được gọi là các đỉnh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh

liên thuộc với e Ta cũng kí hiệu các cạnh {a, b} ngắn gọn là ab.

Định nghĩa 1.9 (Hành trình, chu trình) Một hành trình trong G (Giả

sử G=(V,E) là một đồ thị vô hướng) là một dãy các đỉnh v0v1v2· · ·v n

sao cho với mọi i = 0, 1, 2, , n − 1, {v i , v i+1 } là một cạnh của G.

Một hành trình được gọi là khép kín nếu đỉnh đầu và đỉnh cuối của nó

trùng nhau

Chu trình: là một hành trình khép kín.

Định nghĩa 1.10 (Liên thông và thành phần liên thông) Một đồ thị

(có hướng, vô hướng) G = (V, E) được gọi là liên thông yếu hay cũng gọi tắt là liên thông, nếu với hai đỉnh v i và v j khác nhau bất kỳ của G tồn tại một hành trình vô hướng trong G với đỉnh đầu là v i và đỉnh là v j.Trong trường hợp ngược lại, đồ thị đồ thị được gọi là không liên thông

Đồ thị con liên thông G ′ = (V ′ , E ′) của một đồ thị (có hướng, vô hướng)

G = (V, E) được gọi là một thành phần liên thông của G.

Định nghĩa 1.11 (Cây) Một đồ thị vô hướng không liên thông có

khuyên và không có chu trình được gọi là cây.

Định nghĩa 1.12 (Rừng) Một đồ thị vô hướng không có khuyên (không

nhất thiết phải là liên thông) và không có chu trình được gọi là rừng.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Sim

Định nghĩa 1.13 (Đồ thị hai phần đầy đủ) Đơn đồ thị G = (V, E) sao

cho V = V1∪ V2, V1∩ V2 = ∅, V1 ̸= ∅, V2 ̸= ∅ và mỗi cạnh của G được nối

bởi một đỉnh trong V1 và một đỉnh trong V2 được gọi là đồ thị hai phần Nếu một đồ thị hai phần G = (V1 ∪ V2, E) sao cho với mọi v1 ∈ V1, v2 ∈

V2, (v1, v2) ∈ E thì G được gọi là đồ thị hai phần đầy đủ.

Định nghĩa 1.14 (Ma trận kề) Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có

hướng V = {v1, v2, , v n } Khi đó ma trận kề của đồ thị G là ma trận

Dễ thấy rằng ma trận kề A của đồ thị có hướng G hoàn toàn xác định

G Vì vậy, ma trận kề A được coi là một biểu diễn của G.

Định nghĩa 1.15 (Ma trận liên thuộc) Giả sử G = (V, E) là đồ thị có

hướng với V = {v1, v2, , v n } và E = {e1, e2, , e m } Khi đó ma trận

liên thuộc của đồ thị G là ma trận

1, nếu v i là đỉnh đầu của e j ,

−1, nếu v i là đỉnh đầu nhưng không là đỉnh cuối của e j ,

0, nếu v i không liên thuộc với e j

Ma trận liên thuộc B cũng hoàn toàn xác định đồ thị có hướng G Vì vậy, B cũng được coi là một biểu diễn của G.

Chương 2

Thiết Kế Khối

Trong chương này chúng ta xem xét một số ứng dụng của đại số tuyếntính trong thiết kế khối, một lĩnh vực quan trọng và có nhiều ứng dụngcủa tổ hợp Công cụ chủ yếu được sử dụng ở đây là các kết quả về sốchiều và hạng của ma trận

Cho V là tập hợp hữu hạn và cho B là hệ tập con của tập hợp V Để

nhấn mạnh hệ tập hợp B trên tập hợp V, ta viết nó như một cặp có thứ

tự (V, B) (Chú ý cặp (V, B) như vậy có thể là được xem như tổng quát

hoá của khái niệm của đồ thị, được gọi là siêu đồ thị; các điểm của V

là thì gọi các đỉnh và các tập hợp của B được gọi là các siêu cạnh.) Nếu

tất cả các tập hợp B ∈ B có cùng lực lượng là k, ta nói rằng (V, B) là k-đều.

Định nghĩa 2.1 Cho v, k, t, và λ là các số nguyên Chúng ta giả sử

v > k ≥ t ≥ 1 và λ ≥ 1 Thiết kế khối kiểu t-(v, k, λ) là hệ tập hợp

(V, B) thoả mãn các điều kiện sau :

Dưới đây là một vài ví dụ cơ bản minh hoạ định nghĩa này

Ví dụ 2.1 Cho V là tập hợp hữu hạn và k là một số nguyên Chúng ta

đặt B = (V

k

)(nói cách khác, B gồm mọi tập con k phần tử của tập V ).

Cặp (V, B) này được gọi là thiết kế khối tầm thường.

Dễ kiểm tra rằng (V, B) là một thiết kế khối t-(v, k, λ), trong đó

t ∈ {1, 2, , k} có thể lựa chọn tùy ý, v = |V |, và λ = (v −t

k −t

) (Để thấy

điều này rõ hơn, ta nhận xét rằng mọi tập con gồm t phần tử của V

được chứa trong chính xác B = (v −t

k −t

)

khối B ∈ B).

Ví dụ 2.2 Cho V là 1 tâp hợp với lực lượng v; và k ≥ 1 là một số

nguyên dương và là một ước của v Ta phân hoạch các phần tử của

V thành các tập con gồm k phần tử rời nhau B1, B2, · · · , B v/k và đặt

B = {B1, B2, , B v/k}

Khi đó (V, B) là thiết kế khối kiểu 1-(v, k, 1).

Ví dụ 2.3 Cho V = {0, 1, 3, 4, 5} và B chứa các bộ ba sau: {0, 1, 2}, {0, 2, 3}, {0, 3, 4}, {0, 4, 5}, {0, 1, 5}, {1, 2, 4}, {2, 3, 5}, {1, 3, 4}, {2, 4, 5}, {1, 3, 5} Khi đó (V, B) một thiết kế khối kiểu 2-(6, 3, 2).

Thiết kế khối này có thể định nghĩa một cách xây dựng hơn như sau

Xét một đồ thị chu trình với các đỉnh 1, 2, , 5; và thêm một đỉnh 0.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Sim

Hệ B gồm tất cả các tập 3 đỉnh chứa đúng một cạnh của chu trình; xem

hình dưới đây:

Ví dụ này thể hiện trực quan rằng thiết kế khối tạo thành tính đềunào đó Thường không dễ xây dựng thiết kế khối của kiểu đã cho, vàcâu hỏi cơ bản trong lĩnh vực này là câu hỏi tồn tại

Bài toán 2.1 Cho các số v, k, λ, t, hãy quyết định xem liệu có tồn tại

thiết kế khối kiểu t-(v, k, λ) hay không?

Thiết kế khối vẫn đang được sử dụng rộng rãi bởi các nhà thống kêtrong thiết kế thí nghiệm Đây là động cơ của những khái niệm đượcgiới thiệu ở trên

Hãy tưởng tượng ta muốn đánh giá các cách xử lý một loại cây nào đó

(để diệt sâu bệnh chẳng hạn) Có v kiểu xử lý Chúng ta sẽ so sánh các

cách xử lý bằng một loạt các thí nghiệm Trong mỗi thí nghiệm chúng

ta có k kiểu xử lý; được cho bởi yêu cầu kỹ thuật thí nghiệm Mỗi thí

nghiệm sẽ tạo ra một khối các xử lý được cần kiểm tra Về nguyên tắc

chúng ta phải kiểm tra tất cả các k-bộ, hoặc khối xử lý có thể, nhưng

trong điều kiện thí nghiệm, cách kiểm tra tầm thường này (vì thế có tên

là "thiết kế khối tầm thường") là quá tốn kém ngay cả cho những giá

trị nhỏ của k và v Vì lý do này, các nhà thống kê bắt đầu sử dụng thiết

kế khối, ở đó không cần kiểm tra tất cả mọi k-bộ có thể mà chỉ một số

khối được lựa chọn Tất nhiên điều này sẽ dẫn đến lỗi, vì thử nghiệm

là không đầy đủ: một vài khối không được xem xét, và vì thế một sốảnh hưởng lẫn nhau của các xử lý sẽ bị bỏ qua Để bù đắp cho thiếu sótcủa phương pháp thử nghiệm không đầy đủ này, chúng ta yêu cầu rằng

ít nhất mỗi cặp cách xử lý xuất hiện cùng nhau trong cùng một số thửnghiệm- khối Sơ đồ cho chuỗi các thí nghiệm này đúng là một thiết kế

khối kiểu 2-(v, k, λ) Nếu chúng ta yêu cầu rằng mỗi bộ ba cách xử lý phải xuất hiện trong cùng một số, λ, thử nghiệm, ta được một thiết kế khối kiểu 3-(v, k, λ), và v.v .

Thiết kế khối khác nhau xuất hiện dưới tên gọi khác nhau trong tài

liệu: chẳng hạn như, thiết kế khối không đầy đủ được cân bằng (hay còn gọi là BIBD) cho thiết kế của kiểu 2-(v, k, λ), hệ Steiner (cho λ = 1),

cấu hình chiến thuật (cho t > 2), v.v

2.2 Một điều kiện đủ về sự tồn tại thiết kế khối

Ta dẫn ra dưới đây một điều kiện cần dùng đại số

Điều kiện nguyên Rõ ràng không phải luôn tồn tại một thiết kế khối

kiểu t-(v, k, λ) trên mọi tập, cụ thể cho mọi giá trị của v Ví dụ, thiết kế kiểu 1-(v, k, 1) là một phân hoạch tập V thành các tập k phần tử, và vì thế v phải là bội của k Định lý sau mô tả điều kiện cần quan trọng cho

sự tồn tại của thiết kế khối của kiểu t-(v, k, λ).

Định lý 2.1 (Điều kiện đủ) Nếu thiết kế khối kiểu t − (v, k, λ) tồn tại,

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Simvậy thì các phân số sau phải là những số nguyên:

là một thiết kế khối kiểu t − (v, k, λ) Cố định một số nguyên s với

Mặt khác, cho M là số của khối chứa tập hợp S Vì mỗi khối B chứa

M = λ

(v −s

t −s

)(k −s

Ví dụ 2.4 (Hệ bộ ba Steiner) Đây là ví dụ "đầu tiên" không tầm

thường của thiết kế khối kiểu t-(v, k, λ) thu được cho t = 2, λ = 1, k = 3.

Đây là hệ bộ ba trong đó mỗi cặp của điểm chứa trong chính xác một

bộ ba Nói cách khác, đó là cách phủ tất cả các cạnh của đồ thị đầy đủbằng các tam giác không chung cạnh

Trong trường hợp này, điều kiện nguyên từ định lí 2.1 đòi hỏi các số

v(v − 1)

v − 1

2

phải là số các nguyên Từ đây, dễ suy ra hoặc v ≡ 1 (mod 6) hoặc v ≡ 3

(mod 6) Do đó v là một trong các số 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, Với mọi giá trị như vậy của v, thiết kế khối kiểu 2-(v, 3, 1) tồn tại Các thiết

kế khối như vậy được gọi là hệ bộ ba Steiner Với v = 7, bộ ba Steiner

là mặt phẳng chiếu cấp 2 (mặt phẳng Fano) Với v=9, ta có hệ Steinersau:

Đây có thể được xem như mặt phẳng aphin, phát sinh từ mặt phẳng

xạ ảnh cấp 3 bằng cách xóa đi một đường thẳng và mọi điểm của nó

Thiết kế khối không đầy đủ cân bằng Với t = 2 (tức là nếu ta yêu

cầu mỗi cặp trong đúng λ k bộ từ B), điều kiện nguyên thể hiện như

sau:

λ(v − 1) ≡ 0 (mod k(k − 1)) λ(v − 1) ≡ 0 (mod k − 1)

(2.1)

Điều kiện này nói chung không đủ Nhưng ta có kết quả khó và quantrọng sau đây:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Sim

Định lý 2.2 (Định lý Wilson) Với mọi cách chọn số k ≥ 1 và λ ≥ 1,

có số v0(k, λ) sao cho với mọi v ≥ v0(k, λ) thỏa mãn trọn vẹn điều kiện

nguyên 2.1, thiết kế khối kiểu 2-(v, k, λ) tồn tại.

Nói cách khác, điều kiện nguyên cũng đủ cho t = 2 nếu tập hợp cơ sở

là đủ lớn Định lý không nói gì về các giá trị bé của v: chẳng hạn như,

về sự tồn tại của thiết kế khối kiểu 2-(k2 + k + 1, k + 1, 1).

kế khối

Định lý 2.3 (Bất đẳng thức Fisher) Cho (V, B) là một thiết kế khối kiểu 2-(v, k, λ) với v > k Khi đó |B| ≥ |V | Do đó, thiết kế các phép thử cho v cách xử lý đòi hỏi ít nhất v thí nghiệm.

Chú ý rằng thiết kế khối với |B| = |V | tồn tại (ví dụ, mặt phẳng xạ

ảnh hữu hạn) Vậy thì, theo nghĩa nào đó, bất đẳng thức Fisher là tối

ưu Ví dụ sau đây minh họa sức mạnh của nó

Ví dụ 2.5 Bất đẳng thức Fisher chỉ ra rằng không có thiết kế khối kiểu

2-(16, 6, 1) Thật vậy, theo định lí 2.1, số các khối phải là 16.15 6.5 = 8 < 16.

Đồng thời, điều kiện nguyên được thỏa mãn cho tham số này: Ta đã kiểm

cha rằng số khối là nguyên, và số r = 155 = 3 cũng là một số nguyên.

Ta cũng có thể kiểm tra rằng thiết kế khối kiểu (21, 6, 1) và kiểu (25, 10, 3) cũng bị loại trừ bởi bất đẳng thức Fisher, mặc dù chúng lại

2-thỏa mãn điều kiện nguyên

Bất đẳng thức Fisher có thể được chứng minh bằng cách ứng dụngđại số tuyến tính, chứng minh này được khám phá ra bởi nhà toán học

Ấn Độ R.C.Bose Trước khi bắt đầu chứng minh, chúng ta xem xét khái

niệm ma trân liên thuộc của hệ tập hợp (V, B); đây là một khái niệm

tương tự như ma trận liên thuộc của đồ thị

Ta ký hiệu các phần tử của tập hợp V bởi x1, x2, , x v và các tậphợp của B bởi B1, B2, , B b Ta định nghĩa một ma trận A = (a ij) cấp

v × b, với các hàng tương ứng là các điểm của V và các cột tương ứng

với các tập hợp trong B, cho bởi công thức

Ma trận A được gọi là ma trận liên thuộc của hệ tập hợp (V, B).

Chứng minh bất đẳng thức Fisher Cho một thiết kế khối (V, B) có ma

trận liên thuộc A = (a ij ) Ma trận chuyển vị của A, A T , có cấp b × v,

và do đó tích ma trận AA T có cấp v × v Ta chứng minh rằng ma trận

M = AA T có dạng rất đơn giản

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Sim

Xét phân tử m ij của M Do định nghĩa của tích hai ma trận, ta có:

là định thức của nó khác không Áp dụng các phép toán đơn giản cho

có r > λ, và vì vậy det M ̸= 0 Vì thế, ma trận M có hạng là v Nhưng

nếu ta có b < v thì hạng của ma trận A và A T sẽ nhỏ hơn thực sự v, và

do đó ma trận M = AA T sẽ có hạng nhỏ hơn v (ở đây chúng ta sử dụng một tính chất đơn giản của hạng ma trận) Ta kết luận rằng b ≥ v Bất

đẳng thức Fisher được chứng minh

Ứng dụng hạng của ma trận này đã trở thành cơ sở của nhiều chứngminh (quan trọng) trong tổ hợp

Chương 3

Ứng Dụng Trong Lý thuyết Đồ thị

Trong chương này chúng ta xem xét một số ứng dụng của đại số tuyếntính trong lý thuyết đồ thị Với công cụ chủ yếu được sử dụng là tổ hợptuyến tính, vec-tơ riêng, ma trận và các phép biến đổi tuyến tính giữachúng

Câu hỏi sau đây bắt nguồn từ bài toán trong lý thuyết mạng truyềnthông:

Bài toán 3.1 Tập hợp các cạnh của một đồ thị đầy đủ K n có thể được

biểu diễn như một hợp rời nhau của các tập hợp cạnh m đồ thị hai phần đầy đủ Giá trị m = m(n) nào là nhỏ nhất có thể?

Một khả năng biểu biểu diễn E(K n) như một hợp rời nhau của các

tập hợp cạnh của n − 1 đồ thị hai phần đầy đủ sử dụng các đồ thị kiểu

K 1,n i ("hình sao") Hình 3.1 là một phủ rời nhau cho n = 5.

Để cho một phủ rời nhau với n tùy ý, giả thiết rằng E(K n −1) đã biểu