Ứng dụng của Đại số tuyến tính

Ứng dụng của Đại số tuyến tính tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh v...

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TS THIỀU ĐÌNH PHONG KHOA SP TOÁN HỌC - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHÁT TRIỂN TƯ DUY TRỪU TƯỢNG

Trong khi đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng thực tế cuộc sống, nó cũng có khía cạnh thanh lịch của nó, khía cạnh trừu tượng Khía cạnh này của môn học có một ứng dụng thực tế trong cuộc sống đó là giúp phát triển tư duy và ngôn ngữ Tại nhiều thời điểm trong quá trình công việc của bạn, bạn sẽ cần phải giải thích cho người khác hiểu những gì bạn đang làm, và thực sự lý do tại sao bạn đang làm nó Các "người khác" có thể bao gồm những người quản lý số tiền bạn cần đầu tư cho

dự án của bạn Thành công đòi hỏi phải có kỹ năng giao tiếp tốt, và chìa khóa để thuyết phục những người khác là phải rõ ràng về mặt ý tưởng của bạn Một điều bạn

có thể học hỏi từ các định nghĩa, định lý và chứng minh bạn sẽ thấy trong Đại số tuyến tính (và trong bất kỳ lĩnh vực nào của toán học thuần túy) là làm thế nào để có

tư duy rõ ràng và thể hiện rõ bản thân mình, để tránh sự hiểu lầm và nhầm lẫn Bạn

sẽ tìm thấy, trong việc học đại số tuyến tính, việc thực hành của bạn trong việc phân loại ra các ý tưởng (một số trong đó lúc đầu sẽ có vẻ khá kỳ lạ) sẽ giúp bạn tư duy một cách rõ ràng rành mạch Trong thực tế, điều đó có thể còn quan trọng hơn nhiều

so với bất kỳ kỹ năng kỹ thuật đặc biệt nào mà bạn có

Một lợi thế mà Đại số tuyến tính có được hơn các môn học khác trong việc nâng cao khả năng tư duy, đó là hầu hết các khái niệm, tính chất của Đại số tuyến tính đều có một giải thích hình học tương ứng Trong không gian chiều thấp, người

ta có thể "hình học hóa" các kết quả đại số tuyến tính, và điều ngược lại cũng đúng: đại số tuyến tính sẽ giúp phát triển các tố chất hình học của bạn Trực giác hình học bạn đã có sẽ được bổ sung bằng một "hình ảnh đại số", cái mà sẽ cho phép bạn, trong thực tế, có thể "nhìn thấy" trong không gian chiều cao hơn những cái mà các giác quan thông thường của chúng ta không thể tiếp cận được

ỨNG DỤNG TRONG HÓA HỌC

Ứng dụng 1: Cần 3 thành phần khác nhau A, B và C, để sản xuất một lượng hợp

chất hóa học nào đó A, B và C phải được hòa tan trong nước một cách riêng biệt trước khi chúng kết hợp lại để tạo ra hợp chất hóa học Biết rằng nếu kết hợp dung dịch chứa A với tỉ lệ 1.5 g/cm3 với dung dịch chứa B với tỉ lệ 3.6 g/cm3 và dung dịch chứa C với tỉ lệ 5.3 g/cm3 thì tạo ra 25.07 g hợp chất hóa học đó Nếu tỉ lệ của A, B,

C trong phương án này thay đổi thành tương ứng 2.5, 4.3 và 2.4 g/cm3 (trong khi thể tích là giống nhau), khi đó 22.36 g chất hóa học sẽ được tạo ra Cuối cùng, nếu tỉ lệ tương ứng là 2.7, 5.5 và 3.2 g/cm3, thì sẽ tạo ra 28.14 g hợp chất Thể tích của dung dịch chứa A, B và C là bao nhiêu?

Lời giải Gọi x, y, z tương ứng là thể tích (cm3) của phương án chứa A, B và C Khi

đó 1.5x là khối lượng của A trong trường hợp đầu, 3.6y là khối lượng của B và 5.3z

là khối lượng của C Cộng lại với nhau, ba khối lượng này sẽ tạo ra 25.07 g Do đó

1,5x3,6y5,3z25,07

Tương tự cho hai trường hợp còn lại, ta có hệ phương trình tuyến tính

1,5 3,6 5,3 25,072,5 4,3 2,4 22,362,7 5,5 3,2 28,14

nó chính là Định luật bảo toàn khối lượng được phát biểu như sau:

“Khối lượng không được tạo ra cũng không bị phá hủy trong bất kỳ phản ứng

hóa học nào Do đó việc cân bằng phương trình phản ứng hóa học đòi hỏi cùng một

số lượng nguyên tử trên cả hai vế của một phản ứng hóa học Khối lượng của tất cả các chất phản ứng (các chất đi vào một phản ứng) phải bằng khối lượng của sản phẩm (các chất được sản xuất bởi các phản ứng).”

Một ví dụ chẳng hạn như việc xét phương trình hóa học sau đây:

C2H6 + O2 → CO2 + H2O

Cân bằng phương trình phản ứng này đồng nghĩa với việc tìm các giá trị x, y, z và t sao cho số lượng các nguyên tử của mỗi nguyên tố là bằng nhau ở cả hai vế của phương trình:

Do chúng ta đang tìm các giá trị của các biến x, y z, và t, nên chọn x=2 ta thu được

y=7, z= 4 và t=6 Phương trình cân bằng là:

2C2H6 + 7O2 → 4CO2 + 6H2O

ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT MÃ

1 Giới thiệu

Các thông điệp được truyền đi, như dữ liệu từ một vệ tinh, luôn là những thông tin đã bị gây nhiễu Do đó, một điều quan trọng đó là khả năng để mã hóa một tin nhắn theo cách mà sau khi tiếng ồn đã gây nhiễu nó, nó có thể được giải mã về dạng chính thống ban đầu Điều này được thực hiện đôi khi bằng cách lặp lại tin nhắn hai hoặc ba lần, một điều rất phổ biến trong các bài phát biểu của con người Tuy nhiên, việc sao chép dữ liệu được lưu trữ trên một đĩa nhỏ gọn, hoặc một đĩa mềm một hoặc hai lần đòi hỏi thêm không gian để lưu trữ Trong ứng dụng của ĐSTT này, chúng

ta sẽ xem xét cách thức giải mã một thông điệp sau khi nó bị bóp méo bởi một số loại tiếng ồn Quá trình này được gọi là mã hóa Một mã phát hiện lỗi trong một tin nhắn bị gây nhiêu được gọi là phát hiện lỗi Nếu, thêm vào đó, nó có thể sửa lỗi thì

nó được gọi là sửa lỗi Sẽ là khó khăn hơn nhiều để tìm cách sửa lỗi hơn so với các

mã phát hiện lỗi

2 Một số kỹ thuật mã hóa cơ bản

Hầu hết các tin nhắn được gửi đi dưới dạng các dãy ký tự của 0 và 1, chẳng hạn như 10101 hoặc 1010011, nên giả sử rằng chúng ta muốn gửi tin nhắn 1011

"Từ" nhị phân này có thể thay cho một từ thực tế, chẳng hạn như mua, hoặc một câu như mua cổ phiếu Một cách để mã hóa 1011 sẽ là việc đính kèm một "đuôi" nhị phân vào nó để sao cho nếu nó bị bóp méo, chẳng hạn như, 0011, chúng ta có thể phát hiện các lỗi Một trong những cái đuôi có thể là 1 hoặc 0, tùy thuộc vào việc chúng ta có lẻ hoặc một số chẵn của 1 trong các từ Bằng cách này, tất cả các từ mã hóa sẽ có một số chẵn của 1 Vì vậy, 1011 sẽ được mã hóa như 10111 Bây giờ nếu tin nhắn bị bóp méo đến 00.111 chúng ta biết rằng một lỗi đã xảy ra, bởi vì chúng ta chỉ nhận được một số lẻ của 1 Mã phát hiện lỗi này được gọi là kiểm tra ngang hàng

và nó quá đơn giản để có thể hữu ích Ví dụ, nếu hai chữ số đã được thay đổi, chương trình của chúng ta sẽ không phát hiện các lỗi, vì vậy điều này chắc chắn không phải

là một mã sửa lỗi Một phương pháp khác đó là việc mã hóa thông điệp bằng cách lặp lại nó hai lần, chẳng hạn như 10111011 Sau đó, nếu ta nhận được là 00.111.011, chúng ta biết rằng một trong hai phần bằng nhau đã bị bóp méo Nếu chỉ có một lỗi xảy ra, sau đó nó rõ ràng ở vị trí 1 là chương trình mã hóa này cũng cho kết quả thấp và không thường được sử dụng Chúng ta có thể có được kết quả tốt hơn bằng cách lặp lại thông điệp nhiều lần, nhưng sẽ mất không gian và thời gian

3 Một kỹ thuật mã hóa nâng cao: Mã Hamming

Trong những năm 1950, R.H Hamming đã giới thiệu một mã sửa lỗi đơn thú

vị cái mà trở thành một mã được biết đên với tên gọi là mã Hamming Trước khi

chúng ta có thể kiểm tra chi tiết của kỹ thuật đó, chúng ta cần một vài kiến thức nền tảng từ đại số tuyến tính

Không gian vectơ trên 2

Trong một khóa học đại số tuyến tính năm nhất tiêu biểu, lúc sinh viên được giới thiệu khái niệm của một không gian vectơ, từ “vô hướng” có nghĩa là một số thực hoặc một số phức Điều này có thể được tổng quát tới một phần tử bất kỳ của một trường cho trước

Một trường là một tập F với hai phép toán, cộng và nhân, thỏa mãn các tiên

đề sau đây:

1 Phép cộng khép kín: nếu x, y thuộc F, thì x+y cũng thuộc F

2 Phép nhân khép kín: nếu x, y thuộc F, thì xy cũng thuộc F

3 Phép cộng có tính kết hợp: nếu x, y, z thuộc F, thì (x+y)+z=x+(y+z)

4 Phép nhân có tính kết hợp: nếu x, y, z thuộc F, thì (xy)z=x(yz)

5 Luật phân phối: nếu x, y, z thuộc F, thì x(y+z)=xy+yz

6 Tồn tại phần tử 0: một phần tử của F thỏa mãn x+0=x với mọi x thuộc F

7 Tồn tại phần tử 1: một phần tử của F thỏa mãn x.1=x với mọi x thuộc F

8 Tồn tại phần tử đối: Nếu x thuộc F, thì tồn tại y thuộc F sao cho x+y=0

9 Tồn tại phần tử nghịch đảo của phần tử khác 0: Nếu x khác 0 và thuộc F thì tồn tại một phần tử y thuộc F sao cho xy=1

10 Luật giao hoán của phép cộng: Nếu x, y thuộc F, thì x+y=y+x

11 Luật giao hoán của phép nhân: Nếu x, y thuộc F, thì xy=yx

Đặc biệt, trong trường hợp p=2, trường

2 được ký hiệu bởi 2 Nó bao gồm chỉ hai phần tử là 0 và 1, tức là

Nhắc lại rằng cấu trúc không gian vectơ của n

trên xác định bởi hai phép toán

sau:

1 (x 1 ,…, x n )+ (y 1 ,…, y n )= (x 1 + y 1 ,…, x n +y n )

2 a(x 1 ,…, x n )= (ax 1 ,…,a x n ) nếu a là một số thực

Cấu trúc tương tự có thể được định nghĩa trên n2

Chúng ta trang bị n2 với phép cộng và phép nhân với vô hướng (nhân với 0 và 1) Chẳng hạn, trong 5

2 chúng ta có:

(1,0,1,1,0) + (0,1,1,1,1) = (1,1,0,0,1), 0.(1,1,0,1,0) = (0,0,0,0,0)

Khi đó, 2n

trở thành một không gian vectơ trên trường 2 (phép nhân ở đây là với

0 và 1) Tất cả các khái niệm cơ bản của không gian vectơ như độc lập tuyến tính, tập các tổ hợp tuyến tính, không gian con, chiều, không gian hàng, không gian không, … đều áp dụng được trong trường hợp này Điểm khác biệt lớn nhất với không gian vectơ n là n2 chứa một số hữu hạn các vectơ, cụ thể là 2n vectơ

4 Mã Hamming (7,4)

Cho trước hai số nguyên k≤ n, một không gian con của 2n

với chiều k được

gọi là một (n,k) mã tuyến tính Các phần tử của một mã tuyến tính được gọi là các

hệ phương trình tuyến tính thuần nhất HX=0 tương ứng với H Ta nói rằng H là một

ma trận kiểm tra cho mã Null(H) Ta giải hệ phương trình HX=0 để xác định Null(H)

Sử dụng phương pháp khử Gauss-Jordan (cùng với các phép toán số học của 2),

chúng ta thu được dạng bậc thang của H như sau:

Nhận xét Giả sử {e 1 ,…,e 7} là cơ sở chuẩn tắc của 72, khi đó He i =c i với

mọi i=1,…,7, và do đó không có vectơ e i nào thuộc Null(H) Như là một hệ quả, ta

có hai nhận xét sau:

1 Nếu v là một vectơ của Null(H), thì v+ e i không thuộc Null(H) với i=1,2,…,7

2 Nếu v là một vectơ của 72 sao cho Hv=c i với i nào đó, thì v+ e i là một vectơ

của Null(H) Hơn nữa, v+ e j không thuộc Null(H) với mọi j i

Bây giờ chúng ta sẽ giải thích quá trình giải mã Hamming và sửa lỗi:

5 Thuật toán sửa lỗi với mã Hamming (7,4)

Giả sử rằng chúng ta muốn gửi một từ u bao gồm 4 ký tự u 1 u 2 u 3 u 4 , và giả sử

rằng chúng ta biết trước rằng từ mã hóa có thể bị làm nhiễu bởi một việc thay đổi

chỉ một thành phần của nó Gọi w là từ thu được

1 Để mã hóa u, chúng ta tạo ra một tổ hợp tuyến tính v của các phần tử của cơ

sở B ở trên với 4 ký tự của u như là hệ số Chú ý rằng v có thể đạt được từ từ gốc bằng việc biểu diễn phép nhân ma trận v=[u 1 u 2 u 3 u 4 ]G, trong đó G là

ma trận ở trên Bởi xây dựng này, vectơ v thuộc Null(H) Chú ý rằng [u 1 u 2 u 3 u 4 ]G có thể cho ta một vectơ 7 ký tự trong đó 4 ký tự đầu biểu diễn

cho từ gốc

2 Tính Hw, trong đó H là ma trận được mô tả ở trên

3 Nếu Hw=0, thì w nằm trong Null(H) Do đó, một lỗi đơn có nghĩa là w không thuộc Null(H) bằng chú ý đầu tiên ở trên Chúng ta sẽ kết luận là không có sự sai lệch ở đây và u là 4 ký tự đầu tiên của w

4 Nếu Hw=c i với i nào đó, thì v+ e i là một vectơ của Null(H), và v+ e j không

thuộc Null(H) với mọi j i Điều này gợi ý một sự thay đổi thành phần thứ i

của w (từ 0 thành 1 hoặc từ 1 thành 0) và thu được một vectơ mới w’ Bốn ký

tự đầu của w’ biểu diễn cho từ u

Ta cùng minh họa các bước trên bởi hai ví dụ sau đây:

Ví dụ 1 Giả sử chúng ta nhận được tin nhắn là w=1100011 được mã hóa bởi mã

Hamming (4, 7) Giả sử rằng có nhiều nhất một lỗi trong quá trình chuyển phát thông tin, hãy tìm tin nhắn gốc

Lời giải

Ta có

1100

1 0

0011

Ví dụ 2 Giả sử rằng chúng ta nhận được tin nhắn là w=0101010 được mã hóa bởi

mã Hamming (4, 7) Giả sử rằng có nhiều nhất một lỗi sai trong truyền tin, tìm tin nhắn gốc

Lời giải

Ta có

0100

0 1

0010

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Chúng ta sẽ tìm hiểu các dao động điều hòa của một chuỗi tuyến tính các cơ quan không tương tác đồng nhất kết nối với mỗi cái khác và với các thiết bị đầu cuối

cố định bởi các lò xo đồng nhất

Đầu tiên, chúng ta nhắc lại Định luật II Newton về chuyển động:

Định luật II Newton về chuyển động

Tất cả mọi người một cách vô thức đều biết Luật này Ta đều biết rằng các vật nặng hơn đòi hỏi nhiều lực hơn để di chuyển cùng một khoảng cách so với các vật nhẹ hơn Định luật thứ hai này, tuy nhiên, cho chúng ta một mối quan hệ chính xác giữa lực, trọng lượng, và gia tốc:

Khi một vật chịu tác động của các ngoại lực, thì gia tốc chuyển động của vật

tỉ lệ thuận với hợp lực của các ngoại lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật

Định luật này được biết đến rộng rãi với phương trình sau đây:

trong đó F là hợp lực, m là khối lượng của vật mà lực F tác động lên nó và a là gia

tốc của vật Do gia tốc là đạo hàm cấp 2 của quãng đường tương ứng với thời gian, định luật trên có thể phát biểu dưới dạng

trong đó x'' là đạo hàm cấp hai của x đối với thời gian t

Vận tốc, lực, và gia tốc có độ lớn và hướng tương ứng với chúng Các nhà

khoa học và nhà toán học gọi đó là vectơ lượng (độ lớn cộng với hướng) Phương

trình ở trên thực tế là một phương trình vectơ và có thể được áp dụng trong mỗi một hướng thành phần

Một định luật thứ hai chúng ta cần là Định luật Hooke

Định luật Hooke được khám phá bởi nhà khoa học người Anh tên là Robert Hooke

vào năm 1660—nói rằng:

Lực tác dụng bởi một lò xo cuộn là tỷ lệ thuận với độ giãn của nó

Hằng số của tỉ lệ này được gọi là hằng số lò xo Độ giãn của lò xo là hiệu của độ dài

thực tế và độ dài tự nhiên của nó (tức là, độ dài của nó lúc không có lực tác động Lực tác động song song với trục của lò xo Rõ rang, Định luật Hooke chỉ đúng nếu

độ giãn của lò xo là đủ bé Nếu độ giãn quá lớn thì lò xo sẽ biến dạng vĩnh viễn,

hoặc thậm chí là gãy Những trường hợp như vậy nằm ngoài phạm vi của Định luật Hooke

Chúng ta hãy xét một trường hợp đơn giản đầu tiên của một khối được gắn với một

lò xo có một đầu được gắn với một bức tường thẳng đứng:

Nếu x(t) là vị trí của vật m từ vị trí cân bằng tại thời điểm t và k là hằng số lò xo, khi

đó định luật thứ hai của Newton về chuyển động cùng với định luật Hooke suy ra:

Đây là một trong những phương trình nổi tiếng nhất của vật lý Nó được biết tới như

là phương trình điều hòa Đặt w0  k ,

m w 0 được gọi là tần số của dao động

Nghiệm của phương trình điều hòa được biết đến rộng rãi là

( ) cos( )

x t A w t t (1)

trong đó A 0 là số thực dương biểu thị cho giá trị lớn nhất của x(t) Ta cũng có thể chỉ

ra rằng nghiệm của phương trình điều hòa có thể được viết dưới dạng

0( ) cos( ) v sin( ),

x t x w t w t

w

trong đó x 0 và v0 tương ứng là các giá trị của vị trí ban đầu của vật và vận tốc tại t

=0 của nó Chu kỳ của dao động được mô tả bằng công thức (1) là

w v

T được gọi là tần số tự nhiên của dao động

Tiếp theo, ta cùng tìm hiểu một vài trường hợp phức tạp hơn của dao động

Lực tác động lên vật đầu tiên có hai phần bởi Định luật Hooke: phần thứ nhất là –

kx 1 do lò xo bên trái và phần thứ hai là k(x 2 -x 1 ) do lò xo trung tâm Hợp lực tác động

  của hệ phương trình trên

Nhắc lại rằng giá trị riêng của A là các giá trị λ thỏa mãn phương trình:

b là một vectơ riêng của A ứng

với giá trị riêng 1, khi đó ta có AX=X, hoặc (A- I)X=0:

1 12

là dạng chéo hóa của ma trận A Chú ý rằng  1

A PDP , nên phương trình (*) ở trên trở thành

1 ứng với giá trị riêng 1 Thực tế là các thành phần

bằng nhau cho chúng ta biết rằng x 1 và x 2 luôn bằng nhau Do đó, hệ thống dao động qua lại nhưng lò xo ở giữa là không bao giờ bị kéo dãn Đó là, nếu như chúng ta có hai vật, gắn liền với một lò xo hằng số k Khi đó, dễ dàng thấy rằng sau đó tần số dao động được cho bởi

hợp này: mỗi vật được gắn vào một lò xo nén một khoảng cách x 1 và lò xo

khác kéo dãn một khoảng cách 2x 1 Đó là, nếu như vật được gắn vào một lò

xo đơn có hằng số là 3k Chúng ta biết rằng các tần số trong trường hợp này

Hai trường hợp đặc biệt này được gọi là các dạng chuẩn tắc của hệ thống Như

ta có thể đoán, chúng có tính chất là nếu hệ thống bắt đầu ra ở một trong các chế độ này, nó sẽ vẫ còn trong chế độ đó

Tất nhiên, những vấn đề nêu trên liên quan đến hai vật có thể được giải quyết

mà không nói về vectơ riêng Lợi ích của việc sử dụng các kỹ thuật đại số đó là rõ ràng hơn trong các trường hợp phức tạp hơn hai vật

ỨNG DỤNG TRONG MẬT MÃ

Mật mã học, với hầu hết mọi người, là việc giữ thông tin liên lạc một cách riêng tư Thực tế là, việc bảo vệ các thông tin liên lạc nhạy cảm đã được đặt là trọng tâm của mật mã trong suốt quá trình lịch sử của nó Mã hóa là việc chuyển đổi dữ liệu vào một số hình thức không đọc được Mục đích của nó là để đảm bảo sự riêng

tư bằng cách giữ các thông tin bí mật với bất cứ ai mà nó không có ý định truyền tải đến, ngay cả những người có thể xem dữ liệu được mã hóa Giải mã là quá trình ngược lại của mã hóa; nó là sự chuyển đổi dữ liệu được mã hóa trở về một số hình thức đọc được, hiểu được Mã hóa và giải mã yêu cầu sử dụng một số thông tin bí mật, thường được gọi là một chìa khóa Tùy thuộc vào các cơ chế mã hóa được sử dụng, các chìa khóa tương tự có thể được sử dụng cho cả mã hóa và giải mã, trong khi đối với các cơ chế khác, các chìa khóa được sử dụng để mã hóa và giải mã có thể khác nhau

Ngày nay, các chính phủ sử dụng các phương pháp phức tạp để mã hóa và giải mã các thông điệp Một loại mã, mà rất khó để phá vỡ, được tạo ra bằng việc sử dụng một ma trận lớn để mã hóa một thông điệp Người nhận thông điệp giải mã nó bằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo của ma trận đó Ma trận đầu tiên này được gọi là ma trận mã hóa và nghịch đảo của nó được gọi là ma trận giải mã

Từ việc chúng ta đang sử dụng một ma trận cấp 3x3, chúng ta ngắt tin nhắn trên thành một dãy của các vectơ cột gồm 3 hàng như sau:

Lưu ý rằng nếu cần thiết có thể thêm cách trống vào cuối của thông điệp để hoàn thành vector cuối cùng Bây giờ chúng ta mã hóa thông điệp bằng cách nhân mỗi vectơ trên với ma trận mã hóa Điều này có thể được thực hiện bằng cách viết các vectơ trên như là các cột của ma trận và thực hiện các phép nhân ma trận đó ma trận với ma trận mã hóa như sau:

Vì vậy, để giải mã thông điệp, thực hiện phép nhân ma trận

Ta nhận được ma trận

Các cột của ma trận này, được viết ở dạng tuyến tính, cho ta thông điệp ban đầu:

ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH INPUT-OUTPUT LEONTIEF

Giới thiệu Để hiểu và có thể vận dụng vào nền kinh tế của một quốc gia hoặc một

khu vực, người ta cần phải tìm ra một mô hình nhất định dựa trên các lĩnh vực khác nhau của nền kinh tế này Mô hình Leontief là một nỗ lực theo hướng này Dựa trên giả định rằng mỗi ngành công nghiệp trong nền kinh tế có hai loại nhu cầu: nhu cầu bên ngoài (từ bên ngoài hệ thống) và nhu cầu nội bộ (nhu cầu từ một ngành công nghiệp bởi ngành khác trong cùng một hệ thống), các mô hình Leontief biểu thị cho nền kinh tế như một hệ phương trình tuyến tính Các mô hình Leontief được phát minh vào những năm 30 bởi Giáo sư Wassily Leontief (ảnh trên), ông đã phát triển một mô hình kinh tế của nền kinh tế Hoa Kỳ bằng cách chia thành 500 thành phần kinh tế Vào ngày 18 tháng 10 năm 1973, Giáo sư Leontief đã được trao giải Nobel

về kinh tế cho những thành tựu của ông

1 Mô hình Leontief đóng

Xét một nền kinh tế bao gồm n ngành công nghiệp (hoặc thành phần) phụ thuộc

lẫn nhau S1, S2, , Sn Điều đó có nghĩa rằng mỗi ngành công nghiệp tiêu thụ một

số hàng hoá được sản xuất bởi các ngành công nghiệp khác, bao gồm cả chính nó (ví dụ, một nhà máy phát điện sử dụng một số điện riêng cho sản xuất) Chúng ta nói rằng một nền kinh tế là đóng nếu nó đáp ứng được mọi nhu cầu của mình; nghĩa là,

không có hàng bỏ đi hoặc nhập vào hệ thống Ký hiệu m ij là số đơn vị sản xuất bởi

ngành công nghiệp S i cần để sản xuất một đơn vị của ngành công nghiệp S j Nếu p k

là mức sản xuất của ngành công nghiệp S k , thì m ij p j là số các đơn vị sản xuất bởi

ngành công nghiệp S i và tiêu thụ bởi ngành công nghiệp S j Khi đó, tổng số đơn vị

sản xuất của ngành công nghiệp S i được cho bởi:

p 1 m i1 +p 2 m i2 +…+p n m in

Để nền kinh tế cân bằng, tổng sản phẩm của mỗi ngành công nghiệp phải bằng tổng sản phẩm tiêu thụ Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính:

Bây giờ chúng ta tìm vectơ P thỏa mãn phương trình AP=P với các thành

phần không âm và ít nhất một thành phần là dương

Ví dụ Giả sử rằng nền kinh tế của một vùng nào đó phụ thuộc vào ba ngành công

nghiệp: dịch vụ, sản xuất điện, dầu Giám sát hoạt động của ba ngành công nghiệp trong khoảng thời gian một năm, chúng ta đi đến các quan sát như sau:

1 Để sản xuất 1 đơn vị giá trị của dịch vụ, các ngành công nghiệp dịch vụ phải tiêu thụ 0,3 đơn vị sản xuất riêng của mình, 0,3 đơn vị điện lực và 0,3 đơn vị dầu để điều hành hoạt động của nó

2 Để sản xuất 1 đơn vị điện, các nhà máy phát điện phải mua 0,4 đơn vị dịch

vụ, 0,1 đơn vị sản xuất riêng của mình, và 0,5 đơn vị dầu

3 Cuối cùng, công ty sản xuất dầu cần 0,3 đơn vị dịch vụ, 0,6 đơn vị điện lực và 0,2 đơn vị sản xuất riêng của mình để sản xuất 1 đơn vị dầu

Tìm năng lực sản xuất của mỗi ngành công nghiệp nhằm đáp ứng các nhu cầu bên ngoài và nội bộ, giả định rằng mô hình trên là đóng, tức là, không có hàng để lại hoặc nhập vào hệ thống

Lời giải Xét các ẩn như sau:

1 p 1= mức sản xuất của ngành công nghiệp dịch vụ

2 p 2= mức sản xuất của các nhà máy phát điện (điện)

3 p 3= mức sản xuất cho các công ty sản xuất dầu

Do mô hình là đóng, tổng lượng tiêu thụ phải bằng tổng lượng sản xuất Từ đây cho

ta hệ phương trình tuyến tính sau:

Ma trận vào – ra là

và hệ trên có thể viết lại thành (A-I)P=0 Chú ý rằng đây là hệ phương trình tuyến

tính thuần nhất có vô số nghiệm (và hệ quả là có 1 nghiệm không tầm thường) do mỗi cột trong ma trận hệ số có tổng bằng 1 Ma trận bổ sung của hệ thuần nhất này

là

Ta biến đổi sơ cấp ma trận đó thành

Để giải hệ, ta đặt p 3 =t (một tham số), khi đó nghiệm tổng quát là

và như chúng ta đề cập ở trên, các giá trị của các biến trong hệ này phải là không âm

nhằm làm cho mô hình có nghĩa; nói một các khác, t≥0 Lấy t=100 chẳng hạn, ta có

từ các cơ quan như cơ quan chính phủ Trong trường hợp này, gọi d i là yêu cầu từ

ngành công nghiệp thứ i bên ngoài, p i , và m ij ký hiệu như trong mô hình đóng ở trên, khi đó

với mỗi i Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính viết dạng ma trận như sau: trong đó P và A ký hiệu như ở trên và

Tất nhiên, chúng ta yêu cầu ở đây là ma trận I-A phải khả nghịch, điều đó có thể không phải luôn luôn đúng Nếu, them vào đó, (I-A) -1 có các phần tử không âm, thì

các thành phần của vectơ P là không âm và do đó chúng có thể chấp nhận được như

là các nghiệm của mô hình này Ta nói trong trường hợp này rằng A là ma trận sản

xuất

Ví dụ Xét một nền kinh tế mở với 3 ngành công nghiệp: khai thác than, nhà máy

phát điện và một nhà máy chế tạo ô tô Để sản xuất 1 $ than, các hoạt động khai thác khoáng sản phải mua $ 0.1 sản phẩm riêng của mình, $ 0,30 điện và 0,1 $ giá trị của

ô tô để vận chuyển của nó Để sản xuất 1 $ điện, phải mất $ 0,25 than, $ 0.4 của điện

và 0,15 $ của ô tô Cuối cùng, để sản xuất 1 $ giá trị của ô tô, các nhà máy ô tô phải mua 0,2 $ than, $ 0,5 điện và tiêu thụ 0,1 $ của ô tô Giả sử rằng trong khoảng thời gian một tuần, nền kinh tế có nhu cầu từ bên ngoài khoảng 50.000 $ giá trị của than, 75.000 $ giá trị của điện, và 125.000 $ giá trị của ô tô Tìm năng lực sản xuất của mỗi ngành công nghiệp trong khoảng thời gian một tuần để đáp ứng chính xác cả nhu cầu nội bộ và nhu cầu bên ngoài

Lời giải Ma trận vào – ra của nền kinh tế là

và vectơ nhu cầu là

Bởi phương trình (*) ở trên, ta có P= (I-A)-1d, trong đó

Sử dụng phương pháp khử của (hoặc công thức B -1 =(1/det(B))adj(B)), ta tính được

Suy ra

Nên, tổng sản lượng của các hoạt động khai thác than phải là 229.921,59 $, tổng sản lượng cho các nhà máy phát điện là 437.795,27 $ và tổng sản lượng cho nhà máy tự động sản xuất là 237.401,57 $

ƯNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT KHỬ

Giới thiệu Nhiều vấn đề trong đại số tuyến tính (và nhiều ngành khoa học khác) dẫn

tới việc giải quyết một hệ phương trình tuyến tính của một số biến Điều này có nghĩa là tìm nghiệm chung cho một số phương trình "đa thức" bậc 1 (siêu phẳng) Trong nhiều trường hợp, chúng ta đang phải đối mặt với hệ phương trình "phi tuyến" của các phương trình đa thức của nhiều hơn một biến Một các hình học hóa, điều này có nghĩa là tìm điểm chung của một số "mặt" Giống như phương pháp khử Gauss cho các hệ tuyến tính, lý thuyết khử nói chung là về việc khử một số lượng

ẩn số từ một hệ phương trình đa thức của một hay nhiều biến để có được một hệ phương trình tương đương đơn giản hơn

Một cách để tìm ra nghiệm chung của các phương trình đa thức là giải từng phương trình riêng biệt và sau đó so sánh tất cả các nghiệm Đây không phải là một cách hiệu quả nhất nếu mục tiêu chỉ là để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của hệ

Để hiểu tầm quan trọng của lý thuyết khử, chúng ta bắt đầu bằng việc xét ví dụ đơn giản sau

Ví dụ Xét một hệ phương trình bậc hai của một ẩn x:

Chúng ta tìm một điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm của hệ

Nếu f(x) và g(x) có một nghiệm chung, thì chúng phải có một nhân tử tuyến tính chung, chẳng hạn là L Đặt

Khi đó cả q 1 (x) và q 2 (x) phải là tuyến tính, và ta có thể viết dưới dạng

(chọn dấu “-“ trong q 2 (x) sẽ có ý nghĩa ở phần sau) với các hằng số A 1 , B 1 , A 2 và B 2 Bây giờ, từ

Ta có

Một cách tường minh, ta có

Khai triển và nhóm các hạng tử cùng bậc trong phương trình trên ta được:

Phương trình này là đúng với mọi x nếu các hệ số của x, x 2 , x 3 và hệ số tự do bằng 0

Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính sau với các ẩn được sắp xếp theo thứ tự là: A 2 ,

B 2 , A 1 , B 1:

Để hệ này có nghiệm không tầm thường thì ma trận hệ số của nó phải là ma trận suy biến, tức là định thức của nó phải bằng 0:

Điều này tương đương với

do định thức của một ma trận bằng định thức ma trận chuyển vị của nó Định thức

này được gọi là kết thức (Sylvester) của f(x) và g(x) Chú ý rằng kết thức trong

trường hợp này là định thức của ma trận cấp 4x4 bao gồm các hệ số của hai đa thức cùng với 0 ở được sắp xếp theo một cách đặc biệt

Sau đây là định nghĩa của kết thức:

Định nghĩa Cho

là hai đa thức bậc tương ứng là m và n sao cho a m ≠ 0 và b n ≠ 0 Nếu m ≤ n, ta định

nghĩa kết thức của f(x) và g(x) là định thức sau:

Chú ý rằng Res(f(x), g(x)) là định thức của một ma trận vuông cấp (m+n)

có nghiệm nếu và chỉ nếu Res(f(x), g(x))=0

Ví dụ 1 Không giải các phương trình đa thức, chứng minh rằng hệ phương trình sau

có nghiệm:

Lời giải Ta tính kết thức của hai đa thức

Do đó, các đa thức f(x), g(x) có một nghiệm chung bởi định lý trên

Ta có thể sử dụng định lý trên để xác định nếu một hệ phương trình đa thức của nhiều hơn một biến có nghiệm Điểm chốt ở đây là xem các đa thức trong hệ như là các đa thức của một biến với các hệ số đa thức theo các biến còn lại Ví dụ tiếp theo

sẽ minh họa cho ý tưởng này

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau:

Lời giải Ta có thể xem hệ này như là các đa thức của biến y với các hệ số là đa thức của x:

Để hệ có nghiệm, ta phải có:

Điều này tương đương với

Vấn đề sau đó được rút gọn tới việc giải một phương trình đa thức của một biến x

Mặc dù giải phương trình này không dễ dàng, ta có thể sử dụng một phương pháp

số học để ước lượng các nghiệm Các nghiệm này tương ứng với các hoành độ của các giao điểm Chú ý rằng hệ gốc có thể viết lại dưới dạng

Nên bất kỳ nghiệm nào của hệ đề là một giao điểm của một elip và một đường tròn cái mà ta có thể xác định được bằng hình học

ỨNG DỤNG TRONG DI TRUYỀN HỌC

Các sinh vật sống thừa hưởng từ cha mẹ của chúng nhiều đặc điểm cơ thể của họ Các gen của cha mẹ xác định những đặc điểm này Nghiên cứu về các gen này được gọi là Di truyền học; nói cách khác di truyền học là một nhánh của sinh học chuyên nghiên cứu về tính di truyền Đặc biệt, di truyền quần thể là một nhánh của di truyền học chuyên nghiên cứu về cấu trúc di truyền của một số dân nhất định và tìm cách giải thích việc truyền lại các thay đổi về gen từ thế hệ này sang thế hệ khác như thế nào Các gen quy định sự di truyền những đặc điểm như giới tính, màu mắt, tóc (đối với con người và động vật), hình dạng lá và màu sắc cánh hoa (cho cây)

Có một số loại thừa kế; một trong những quan tâm đặc biệt đối với chúng ta là loại NST thường trong đó mỗi tính trạng di truyền được giả định là bị chi phối bởi một gen duy nhất Thông thường, có hai dạng khác nhau của các gen ký hiệu là A

và a Mỗi cá nhân trong một dân số mang một cặp gen; các cặp được gọi là kiểu gen của cá nhân Điều này cho ba kiểu gen có thể cho mỗi tính trạng di truyền: AA, Aa

và aa (aA là di truyền giống như Aa)

Ví dụ Trong một quần thể động vật nào đó, một dạng NST quy định màu mắt Kiểu

gen AA và Aa có đôi mắt màu nâu, trong khi kiểu gen aa có đôi mắt màu xanh Gen

A được cho là một gen trội hơn gen a Một con vật được gọi là trội nếu nó có gen

AA, gọi là vật lai nếu có gen Aa, và lặn nêu có gen aa Điều này có nghĩa rằng các kiểu gen AA và Aa là không thể phân biệt dựa trên bề ngoài Mỗi con vật được thừa hưởng một gen từ bố mẹ một cách ngẫu nhiên Với kiểu di truyền của cha mẹ, chúng

ta có thể xác định xác suất của các kiểu gen của con cái Giả sử rằng, trong quần thể động vật này, phân bố ban đầu của các kiểu gen được cho bởi các vectơ

trong đó các thành phần biểu thị cho tỉ lệ của động vật có kiểu gen AA, Aa và aa ban

đầu Ta xét một loạt các thí nghiệm mà trong đó ta cho con cái lai giống với con đực trội Chúng ta tiếp tục cho lai giống AA, Aa và aa với AA Ta quan tâm đến xác suất của các con sinh ra là AA, Aa, aa hoặc trong mỗi trường hợp này

Xét sự lai giống giữa AA và AA Do con sẽ có một gen từ bố và một gen từ mẹ,

nó sẽ có dạng AA Do đó xác xuất của AA, Aa, và aa lần lượt là 1, 0 và 0 Tất cả con

sẽ có mắt màu nâu

Xét sự lai giống giữa Aa và AA Lấy một gen từ bố và từ mẹ, chúng ta có các khả năng AA, AA, aA, và aA Do đó xác suất của AA, Aa, và aa tương ứng là và

0 Tất cả các con đều có mắt màu nâu

Xét trường hợp còn lại là sự lại giống giữa kiểu gen aa với AA Chỉ có một khả năng là aA Do đó xác suất của AA, Aa, và aa tương ứng là 0, 1 và 0 Không con nào

có mắt màu xanh

Ta kết luận rằng sự lai giống với kiểu gen AA sẽ tạo ra các con chỉ có mắt màu

nâu Tiếp theo chúng ta sẽ kiểm tra tỉ lệ các kiểu gen khởi đầu sẽ thay đổi từ thế hệ

này sang thế hệ khác như thế nào Để làm điều đó, chúng ta ký hiệu X n là vectơ phân

phối của các kiểu gen trong thế hệ thứ n Bởi nhận xét trên, tỉ lệ của các kiểu gen

AA, Aa và aa trong thế hệ thứ nhất có thể biểu diễn tương ứng là

1.(1/3)+(1/2)(1/3)+0(1/3), 0(1/3)+(1/2)(1/3)+1.(1/3), 0.(1/3)+ 0.(1/3)+ 0.(1/3)

Nói cách khác, X 1 =AX 0, trong đó

được gọi là ma trận chuyển đổi Tổng quát, X n =AX n-1 Cụ thể hơn, ta có:

Nhận xét rằng kiểu gen aa biến mất sau thế hệ khởi đầu và kiểu gen Aa trở nên ít

dần ở mỗi thế hệ kế tiếp Rõ rang rằng dãy này hội tụ về vectơ

ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC

Cho các điểm cố định trong mặt phẳng hoặc trong không gian 3 chiều, nhiều vấn

đề yêu cầu việc tìm các số liệu hình học qua các điểm này Các ví dụ chúng ta sẽ thấy ở phần này đòi hỏi việc giải hệ phương trình tuyến tính và tính định thức

Ứng dụng 1 Cho A1 =(x1, y1) và A2 =(x2, y2) là hai điểm cố định trong mặt phẳng Tìm phương trình đường thẳng L qua A1 và A2

Lời giải Gọi M= (x, y) là điểm tùy ý trên L, khi đó ta có thể tìm 3 hằng số a, b, và c

sao cho

Do A1 và A2 thuộc L, ta có

Từ đó, ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 3 phương trình 3 ẩn a, b,c như sau

Do ta biết rằng sẽ có một đường thẳng qua A1 và A2, nên hệ thuần nhất này có ít nhất

một nghiệm (a, b, c) Tuy nhiên, nếu (a, b, c) là một nghiệm, thì k(a, b, c) cũng là một nghiệm với mọi k và hệ có vô số nghiệm Do đó, định thức của ma trận hệ số

phải bằng 0:

Lấy ví dụ, nếu A1 =(-1, 2) và A2= =(0,1), thì phương trình đường thẳng L trong trường hợp này là:

Hay x + y - 1=0

Ứng dụng 2 Cho 3 điểm A1 =(x1, y1), A2 =(x2, y2) và A3 =(x3, y3) không thẳng hàng trong mặt phẳng, tìm phương trình của đường tròn đi qua ba điểm này

Lời giải Nếu M=(x, y) là một điểm bất kỳ trên đường tròn, thì ta có thể viết

trong đó a, b, c và d là các hằng số Thay tọa độ 3 điểm trên vào phương trình cho ta

một hệ thuần nhất bốn phương trình của bốn ẩn a, b, c và d:

Tương tự Ví dụ 1, hệ có vô số nghiệm Suy ra định thức:

Chẳng hạn, để tìm phương trình đường tròn đi qua các điểm A1 (1, 0), A2 (-1, 2) và

A3 (3, 1), ta viết

Và thu được phương trình sau khi rút gọn là

Tất nhiên, ta có thể viết lại thành

Đây là đường tròn có tâm là (7/6, 13/6) và bán kính là 37 / 18

Ứng dụng 3 Phương trình của quỹ đạo của các hành tinh

Với ứng dụng này, ta cần các kiến thức sau

1 Phương trình tổng quát của một đường conic trong mặt phẳng (parabol, hyperbol, elip) được cho bởi Ax2+Bxy+Cy2+Dy+E=0 trong đó A, B, C, D, và E là các hằng

Giả sử rằng các điểm này là:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình tổng quát ở trên, ta thu được định thức:

Sau khi khai triển và rút gọn định thức, ta thu được phương trình của quỹ đạo là:

Ứng dụng 4 Giả sử chúng ta có 3 điểm không thẳng hàng A1 =(x1, y1, z1), A2 =(x2,

y2, z2) và A3 =(x3, y3, z3) trong không gian Tìm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm đó

Lời giải Phương trình tổng quát của một mặt phẳng là

Chú ý rằng, giống như trên, việc nhân phương trình này với một hằng số khác 0 cho

ta một phương trình của cùng mặt phẳng đó