Ứng dụng của đạo hàm Cực đại cưc tiểu

Ứng dụng của đạo hàm Cực đại cưc tiểu tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...

1 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, ĐắcLắc Giáo viên: Lê Văn Tiến LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Chuyên đề ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Phần: Hàm số đơn điệu I. PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1) Tính đạo hàm y’ = f’(x) 2) Tìm nghiệm của f’(x) hoặc các điểm tại đó f’(x) không xác đònh. 3) Lập bảng xét dấu f’(x) (bảng biến thiên) để kết luận. BÀI TẬP: 1) Tìm khoảng đồng biến, nghòch biến của các hàm số sau: a) y = x 3 – x +1 b) y = - x 3 – 3x + 5 c) y = x 4 – 2x 2 + 3 d) y = x 1 1 3x − + e) y = 1 2 − − x x 2 x g) y = 2 2 3 1 x x x − + + h) ( ) 2 1 5 y x = − k) 100 x y x = + l) 3 2 6 x y x = − m) y = x – sinx n) y = x + 2cosx, x 5 ; 6 6 π π   ∈     o) y = 3 2 6 x x − 2) Xác đònh m để hàm số y = (m – 3)x - sinx nghòch biến trên ℝ HD: Hàm số nghòch biến trên ℝ ⇔ y’ = m – 3 – cosx 0 x ≤ ∀ ∈ ℝ . Đặt t = cosx, điều kiện | t| ≤ 1 Ta cần tìm m để f(t) = - t + m – 3 0 [ 1; 1] t ≤ ∀ ∈ − Ta có f(t) = - t + m – 3 0 [ 1; 1] f( 1) 0 m 2 0 m 2 t ≤ ∀ ∈ − ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ 3) Tçm m âãø hm säú : y = - 3 1 x 3 + (m - 1)x 2 + (m + 3)x - 4 âäưng biãún trãn (0, 3) . HD: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3) ⇔ y’= - x 2 + 2(m – 1)x + m +3 0 x (0; 3) ≥ ∀ ∈ ⇔ y’ có hai nghiệm x 1 ; x 2 thỏa mãn x 1 ≤ 0 ≤ 3 ≤ x 2 ⇔ 1f(0) 0 m -3 0 12 m 1f(3) 0 12 - 7m 0 7 − ≤ − ≤   ⇔ ⇔ ≥   − ≤ ≤   4) Tçm m âãø hm säú y = - 3 1 mx 3 - (m +1)x 2 + 3(m + 2)x + 3 1 luôn luôn âäưng biãún trên ℝ . HD: H àm số đồng biến trên ℝ ⇔ y’ = -mx 2 -2(m +1)x + 3(m + 2) 0 x ≥ ∀ ∈ ℝ + Trường hợp m = 0 ta có y’ = -2x + 6 không thể lớn hơn bằng 0 với mọi x. + Trường hợp m ≠ 0 ta có y’ 0 x ≥ ∀ ∈ ℝ 2 m < 0 m 0 2 3 2- 3 m - ' 0 2 2 4m 8m + 1 0 − >   + ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤   ∆ ≤ + ≤   5) Tçm m âãø y = 1 x mx3x2 2 − +− âäưng biãún trãn (3, +∞). HD: Ta có y = 2x -1 + m 1 x 1 − − Hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞) ⇔ 2 2 2(x - 1) (m 1) y' = 0 x (3; + ) (x - 1) − − ≥ ∀ ∈ ∞ ⇔ 2 2 0 1 2 x 1 0 ' 0 2 4 3 0 3 9 3 2(x-1) (m -1) 0 x > 3 x x m x m VTcó hai n thỏa x x − ≠ ∆ ≤   ⇔ − + − ≥ ∀ > ⇔ ⇔ ≤   ≤ ≤ − ≥ ∀   II. p dụng tính đơn điệu giải toán: 1) Chứng minh BĐT f(x) > g(x) trên khoảng (a; b) Phương pháp : Ta xét hàm h(x) = f(x) – g(x) trên (a; b) - Nếu hàm h(x) đồng biến trên (a; b) thì h(x) > h(a) với mọi x thuộc khoảng (a; b) - Nếu hàm h(x) nghòch biến trên (a; b) thì h(x) > h(b) với mọi x thuộc khoảng (a; b) Bài tập: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 1) tgx > sinx, 0 < x < 2 π . HD: Xét hàm số f(x) = tgx – sinx trên khoảng (0; 2 π ). Có f’(x) = 2 1 cos cos x x − > 0 ⇒ f(x) là hàm đồng biến trên (0; 2 π ) ⇒ f(x) > f(0) = 0 ⇒ tgx > sinx 2) ln(1+ x) < x với ∀ x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = ln(1 + x) – x trên (0; + ) ∞ 3) cosx > 1- 2 x 2 với ∀ x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = cosx + 2 x 2 - 1 trên (0; + ) ∞ 4) x α - 1 > α (x – 1) với α ≥ 2, x > 1. HD: Xét hàm số f(x) = x α - α (x – 1) – 1 trên (1; + ) ∞ 5) x - 6 x 3 < sinx với x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = x - 6 x 3 - sinx trên (0; + ) ∞ 6) e x > 1 + 2 x 2 với x > 0 , HD: Xét hàm số f(x) = e x - 2 x 2 - 1 trên (0; + ) ∞ 2) Giải pt trình f(x) = 0, bpt f(x) > 0 Phương pháp: - Xét tính đơn điệu của hàm số f(x). - Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghòch biến) thì ta có: 1) f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇔ x 1 = x 2 2) f(x 1 ) < f(x 2 ) ( hoặc f(x 1 ) > f(x 2 ) ) ⇔ x 1 < x 2 ( http:/ / www.blognguyenhang.com/ NG D NG C A Câu Tìm giá tr l n nh t M giá tr nh nh t m c a hàm s y  x4  x2  0;2 A M  5, m  Câu O HÀM (MIN MAX) B M  11, m  C M  3, m  D M  11, m  x 1 G i M , n l n l t giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s y  đo n x 3 0;3 Tính S  2M  3n T ng giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s B S  11 y   x  x2 là: A S 2 D S  C S  Câu A 14 Câu d B 4 G i M,m l n l C y   x4  Câu Câu D y   x4  x2  ph ng án A, B, C, D B y   x4  x2  t giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s y  x3  3x2 đo n  2;1 Tính giá tr c a T  M  m B T  4 C T  D T  24 A T  20 2x Cho hàm s y  có đ th (C) Tìm giá tr nh nh t c a h c a t ng kho ng cách t x m M thu c (C) t i hai đ ng th ng 1 : x   2 : y   B h  C h  D h  A h  x 4 Tìm giá tr nh nh t c a hàm s y  đo n 0;3 2x 1 A y  0;3 Câu D th hình bên đ th c a m t đ th c a hàm s i Hãy ch n ph ng án A y  x4  x2  Câu C Cho hàm s B y   0;3 C y  4 0;3 D y  1 0;3 y  f ( x) xác đ nh liên t c  2;2 , có đ th c a hàm s y  f '( x) nh hình bên Tìm giá tr x0 đ hàm s y  f ( x) đ t giá tr l n nh t  2;2 D x0  x 1 đo n G i M , m l n l t giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s y  2x 1 2;0 Giá tr bi u th c 5M  m b ng: A x0  Câu A  B x0  1 B 24 C x0  2 C  24 D Câu 10 T p h p d i ch a t t c giá tr c a tham s m cho giá tr l n nh t c a hàm s y  x2  x  m đo n  1;2 b ng A  5; 2    0;3 B  0;  C  6; 3   0;2 D  4;3 Câu 11 Cho hàm s y  x   x2 Giá tr nh nh t c a hàm s b ng: A 6 B 9 C D.0    Câu 12 Giá tr l n nh t c a hàm s y  3sin x  4sin x kho ng   ;  b ng :  2 A B.7 C D 1 http:/ / www.blognguyenhang.com/ Câu 13 Ch n kh ng đ nh đúng? A Hàm s có giá tr l n nh t b ng giá tr nh nh t b ng B Hàm s có giá tr l n nh t b ng C Không t n t i giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s D.Hàm s có giá tr l n nh t b ng x2  x  Câu 14 Giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s y  đo n  2;4 là: x 1 11 A f ( x)  2; max f ( x)  B f ( x)  2;max f ( x)   2;4  2;4 2;4 2;4 11 D f ( x)  2; max f ( x)  C f ( x)  2; max f ( x)   2;4 2;4  2;4 2;4    Câu 15 Tìm giá tr nh nh t c a hàm s y  sin x  cos2 x  sin x  đo n   ;   2 23 B C D A 27 27 Câu 16 G i M , m l n l t giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s y  x   x2 Khi đó: A M  m  2  B M  m  D M  m  2 C M  m  2  6 Câu 17 Giá tr nh nh t c a hàm s y  x  64  x b ng A  61 Câu 18 Hàm s y B  65 2x x 1 C D 32 đo n  x  có giá tr l n nh t giá tr nh nh t tho mãn đ ng th c A y4 max  y4  B y4 max  y4  C y4 max  y4  16 D y4 max  y4  Câu 19 G i M , m l n l t giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s y  x  cos x   0;  Tính M  m     B   C  D  A   4 Câu 20 Tìm giá tr nh nh t c a hàm s y  x2  kho ng (0; ) x A y  1 C y   0;   0;  D Không t n t i y B y   0;  Câu 21 Câu 8: Hàm s A  0;  y  sin x(1  cos x) đ t giá tr l n nh t  0;   x b ng bao nhiêu? 3 Câu 22 Giá tr nh nh t c a hàm s A  2 B  C kho ng 1;  là: x 1 B 2 C  D  y  x D  2 http:/ / www.blognguyenhang.com/ 3x2  x  Câu 23 Cho hàm s y  T p h p sau t p giá tr c a hàm s ? x2  15  B  ;5  C  2;4 D  2;3 A 3; 4 2  Câu 24 Tìm t t c giá tr c a m đ đ ng th ng (d ) : y   x  m c t đ th (C ) : y  m phân bi t A,B cho đ dài AB ng n nh t B m  C m  A m  Câu 25 Tìm giá tr l n nh t M c a hàm s y  x4  x2  đo n 0;  A M=9 B M  C M=6 16 x m (m s th c) tho mãn y  max y  Câu 26 Cho hàm s y  1;2 1;2 x 1 đúng? A  m  B m  C  m  1  Câu 27 Tìm giá tr nh nh t m c a hàm s y  x2  đo n  ;  x 2  17 B m  10 C m  A m  ln x Câu 28 Tìm GTLN c a hàm s y  [1;e3 ] : x ln y y A max B max C max y 3 [1;e ] [1;e ] [1;e ] e e Câu 29 Tìm GTNN c a hàm s y  x  [-3;2] : A y  B y  1 C y  [-3;2] [-3;2] Câu 30 G i M, m l n l A 16 B [-3;2] D m   x 1 t i2 2x D.M=1 M nh đ d i D m  D m  y D max [1;e ] e D y  1 [-3;2] t GTLN GTNN c a hàm s y  x    x Tính M + n: 12   10 C 16   10 D 18 3 Chuyên đề 11: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa Đònh nghóa y f )(x : Cho hàm số = [] xác đònh trên khoảng (a;b) [ ] ) 2 () 1 ( 21 :);( 2 , 1 f xfxfxxbaxx <⇒<∈∀⇔ đn b)(a; trên (tăng) biếnđồng • • [] [ ] ) 2 () 1 ( 21 :);( 2 , 1 f xfxfxxbaxx >⇒<∈∀⇔ đn b)(a; trên (giảm) biếnnghòch 69 x y x y 1 x 2 x )( 1 xf )( 2 xf a bO )(f (f 2 x ) 1 x a b 1 x 2 x )(:)( xfyC = 1. Điều kiện cần của tính đơn điệu: Đònh lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) • [] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈∀≥⇒ b)(a;x ' f b)(a; khoảngtrên (tăng) biếnđồng f 0)(x • [] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈∀≤⇒ b)(a;x 0)( ' f xb)(a; khoảngtrên (giảm) biếnnghòch f 2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu: Đònh lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) [ ] b)(a; trên (tăng) biếnđồngb)(a;x 0(x) ' f f ⇒∈∀> ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ • • [ ] b)(a; trên (giảm) biếnnghòchb)(a;x 0(x) ' f f ⇒∈∀< ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ • [ ] b)(a; trên đổi khôngb)(a;x 0(x) ' f f ⇒∈∀= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x a b )(' xf )(xf + x a b )(' xf )(xf − Đònh lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) [] b)(a; trên (tăng) biếnđồng b)(a; của điểm hạnhữu sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng b)(a;x 0(x) ' f f ⇒ ∈∀≥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ [] b)(a; trên (giảm) biếnnghòch b)(a; của điểm hạnhữu sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng b)(a;x 0(x) ' f f ⇒ ∈∀≤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Minh họa đònh lý: Đònh lý 4 70 : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) • [] f ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈∀≥⇔ b)(a;x 0(x) ' fb)(a; trên (tăng) biếnđồng • [] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈∀≤⇔ b)(a;x 0(x) ' fb)(a; trên (giảm) biếnnghòch f • [] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈∀=⇔ b)(a;x 0(x) ' fb)(a; trên đổi không f x a b )(' xf )(xf + 0 x 0 + x a b )(' xf )(xf − 0 x 0 − 3. Phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số: y f )(x = ta có thể thực hiện như sau: Muốn xét chiều biến thiên của hàm số Bước 1: Tìm miền xác đònh của hàm số : D=? Bước 2: Tính và xét dấu )( ' xf )( ' xf Bước 3: Dựa vào đònh lý điều kiện đủ để kết luận. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số: 1) xxy −= 4 2) 1 2 3 + + = x x y 3) 1 2 2 − = x x y 4) 5) xx ey +− = 2 x x e y = 6) xxy ln 2 2 1 −= 7) x x y ln = 8) xxy −+−= 42 9) 2 2 xxy −+= Bài 2: Cho hàm số 23)12( 2 2 3 3 1 )( +−+++−== axaxxxfy (1). Tìm a để hàm số nghòch biến trên R Bài 3: Tìm m để hàm số 4)3( 2 )1( 3 3 1 −++−+−= xmxmxy đồng biến trên khoảng (0;3) Bài 4: Cho hàm số 3 2 )32( 2 )1( 3 3 1 )( −−+−+== xmxmxxfy (1) a) Với giá trò nào của m, hàm số (1) đồng biến trên R b) Với giá trò nào của m, hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1;+∞) Bài 5: Cho hàm số 1 2)( − ++== x m xxfy (1) Tìm a để hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng xác đònh của nó Bài 6: Cho hàm số 1 13)2( 2 2 )( − +−++− == x mxmx xfy (1) Tìm a để hàm số (1) nghòch biến trên mỗi khoảng xác đònh của nó Bài 7: Cho hàm số : mx mxmx y − ++−+− = 1)1(2 2 . Đònh m để hàm số đồng biến trong khoảng (1; + ∞ ) Bài 8: Chứng minh rằng: với mọi xtgxx 3sin2 >+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 ;0 π x Bài 9: Chứng minh rằng: 3 3 x xtgx +> với mọi ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 ;0 π x Bài 10: Chứng minh rằng: xtgx π 4 ≤ với mọi ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ 4 ;0 π x Bài 11: Cho hàm số 32 1 (2 1) 2 3 yxax axa =−+−−+ Tìm a để hàm số nghòch biến trong khoảng (-2;0) Bài 12: Cho hàm số (1) 1 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 126 Chuyeân ñeà 13: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Trong bài này chúng ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến và nghịch biến) của hàm số. Đồng thời sẽ xét các ứng dụng của tính đơn điệu trong việc chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. A. TÓM TẮT GIÁO KHOA Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và f là hàm số xác định trên K. I) ĐỊNH NGHĨA • Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 x , x K, x x f x f x ∀ ∈ < ⇒ < • Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 x , x K, x x f x f x ∀ ∈ < ⇒ > Minh họa: -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 x y K=(-1;0) K=(1/2;1) y=f(x)=x 4 -2x 2 +2 • Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải • Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải • Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. II) CÁC ĐỊNH LÝ 1) Định lý 1: Cho hàm số y f (x) = có đạ o hàm trên K. a) N ế u hàm s ố f (x) đồng biến trên K thì f '(x) 0 ≥ v ớ i m ọ i x K ∈ b) N ế u hàm s ố f (x) nghịch biến trên K thì f '(x) 0 ≤ v ớ i m ọ i x K ∈ • [ f(x) đồ ng bi ế n trên K] ⇒ [ f '(x) 0 ≥ v ớ i m ọ i x K ∈ ] • [ f(x) ngh ị ch bi ế n trên K] ⇒ [ f '(x) 0 ≤ v ớ i m ọ i x K ∈ ] 2) Định lý 2: Cho hàm s ố y f (x) = có đạ o hàm trên K. a) N ế u ( ) f ' x 0 > v ớ i m ọ i x K ∈ thì hàm s ố f (x) đồng biến trên K b) N ế u ( ) f ' x 0 < v ớ i m ọ i x K ∈ thì hàm s ố f (x) nghịch biến trên K c) N ế u ( ) f ' x 0 = v ớ i m ọ i x K ∈ thì hàm s ố f (x) không đổi trên K • [ f '(x) 0 > v ớ i m ọ i x K ∈ ] ⇒ [ f(x) đồ ng bi ế n trên K] • [ f '(x) 0 < v ớ i m ọ i x K ∈ ] ⇒ [ f(x) ngh ị ch bi ế n trên K] • [ f '(x) 0 = v ớ i m ọ i x K ∈ ] ⇒ [ f(x) không đổ i trên K] Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 128 Chú ý quan trọng: Khoảng K trong định lý trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nữa khoảng. Khi đó phải bổ sung giả thiết "Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nữa khoảng đó". Cụ thể • Nếu hàm số liên tục trên đọan [ ] a; b và có đạo hàm f '(x) 0 > trên khoả ng ( ) a; b thì hàm s ố f đồ ng bi ế n trên đọan [ ] a; b • N ế u hàm s ố liên tục trên đọ an [ ] a; b và có đạ o hàm f '(x) 0 < trên kho ả ng ( ) a; b thì hàm s ố f ngh ị ch bi ế n trên đọan [ ] a; b 3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm s ố y f (x) = có đạ o hàm trên K. a) N ế u ( ) f ' x 0 ≥ v ớ i m ọ i x K ∈ và ( ) f ' x 0 = ch ỉ t ạ i m ộ t s ố đ i ể m h ữ u h ạ n thu ộ c K thì hàm s ố f (x) đồ ng bi ế n trên K. b) N ế u ( ) f ' x 0 ≤ v ớ i m ọ i x K ∈ và ( ) f ' x 0 = ch ỉ t ạ i m ộ t s ố đ i ể m h ữ u h ạ n thu ộ c K thì hàm s ố f (x) ngh ị ch bi ế n trên K. Tính đơn điệu của hàm số bậc ba 4) Định lý 4: Cho hàm s ố b ậ c ba ( ) ( ) 3 2 y f x ax bx cx d a 0 = = + + + ≠ , ta có ( ) 2 f ' x 3ax 2bx c = + + . a) Hàm s ố ( ) ( ) 3 2 y f x ax bx cx d a 0 = = + + + ≠ đồng biến trên » ⇔ ( ) 2 f ' x 3ax 2bx c 0 x = + + ≥ ∀ ∈ » b) Hàm s ố ( ) ( ) 3 2 y f x ax bx cx d a 0 = = + + + ≠ nghịch biến trên » ⇔ ( ) 2 f ' x 3ax 2bx c 0 x = + + ≤ ∀ ∈ » B. THỰC HÀNH GIẢI TOÁN I. CÁC DẠNG NG DNG CA O HM TèM CC TR HM S Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu 2 Lời cảm ơn Trong suốt thời gian thực hiện khoá luận tốt nghiệp ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi còn nhận đợc sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Công Nghệ, Trờng Đại học Hùng Vơng. Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Trần Công Tấn Trần Công TấnTrần Công Tấn Trần Công Tấn- Giảng viên Khoa Toán - Công Nghệ, Trờng Đại học Hùng Vơng. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hớng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện khoá luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tôi lĩnh hội đợc những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Công nghệ, tới gia đình, bạn bè là những ngời luôn sát cánh bên tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng nh khi tôi thực hiện và hoàn chỉnh khoá luận này. Mặc dù đề tài đã đợc chuẩn bị và nghiên cứu một cách kĩ lỡng, về thời gian cũng nh nội dung nhng không khỏi có những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận đợc sự góp ý của các bạn sinh viên, và đặc biệt là của các thầy giáo, cô giáo đang giảng dạy bộ môn Toán để khoá luận đợc hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Phú Thọ, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Hậu ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài Đạo hàm là một trong những kiến thức khá quen thuộc ñối với học sinh Trung học phổ thông cũng như sinh viên các trường Cao Đẳng và Đại học. Nội dung này của giải tích ñược ñề cập rất sớm trong chương trình: Đại số và giải tích bậc Trung học phổ thông và xuyên suốt trong các năm học Cao ñẳng và Đại học tiếp theo. Mặc dù vậy ñể nắm vững khái niệm, tính chất của ñạo hàm ñồng thời ứng dụng ñược ñạo hàm vào giải các bài toán trong giải tích, vật lý, các bài toán về kinh tế cũng như các bài toán thực tế lại là một vấn ñề hoàn toàn không ñơn giản. Trong những năm học Trung học phổ thông, học sinh ñã làm quen với khái niệm ñạo hàm, bước ñầu ñã biết vận dụng tìm cực trị của hàm số một biến trong giải tích và ứng dụng trong vật lý tìm vận tốc, gia tốc của một chuyển ñộng. Đó mới chỉ là những bài toán ñơn giản, chưa phải là bài toán khó và phức tạp. Song nhiều học sinh vẫn còn mắc sai lầm trong việc giải các bài toán dùng ứng dụng của ñạo hàm mà nguyên nhân chính là việc học sinh chưa nắm vững khái niệm ñạo hàm, chưa biết khảo sát hàm số, chưa biết cách làm một bài toán ứng dụng ñạo hàm… Đạo hàm và ứng dụng của nó ngày càng ñược mở rộng, ñặc biệt là trong các trường Cao ñẳng, Đại học. Không chỉ giới hạn trong việc tìm cực trị của hàm số một biến như Trung học phổ thông mà ñạo hàm ñược ứng dụng mở rộng trong các bài toán tìm cực trị của hàm số nhiều biến, các bài toán cực trị có ñiều kiện của hàm số nhiều biến, hàm ẩn. Lúc này, ñể giải quyết các vấn ñề ñó lại là một bài toán khó. Yêu cầu người học không chỉ vững vàng về kiến thức cơ bản của ñạo hàm như ñịnh nghĩa tính chất, ứng dụng, mà còn ñòi hỏi người học phải có tư duy toán học phát triển, ñồng thời ứng dụng ñạo hàm ở mức ñộ cao hơn, phải biết sử dụng và kết hợp một cách khéo léo các công cụ trong ñại số tuyến tính và hình học giải tích ñể hỗ trợ và phát triển ứng dụng ñó. Chính vì vậy ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 4 không ít sinh viên ngành Toán nói chung và sinh viên Sư phạm Toán nói riêng còn gặp nhiều khó khăn, còn lúng túng khi gặp các bài toán ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số. Với mong muốn: Làm sao ñể các sinh viên nói chung, ñặc biệt là các sinh viên Sư phạm Toán nói riêng ñược trang bị ñầy ñủ các kiến thức trong việc học tập nghiên cứu ứng dụng của ñạo hàm, từ ñó mở rộng các ứng dụng ñó trong thực tiễn giảng dạy, ñưa các ứng dụng của khoa học vào ñời sống. Đặc biệt với mục ñích ñưa ra một hệ thống tập chung, phân loại kiến BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM - Tính đơn điệu hàm số - Cực trị hàm số - Ứng dụng đạo hàm - Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Các câu hỏi tính đơn điệu hàm số Câu Hàm số y = − x3 + 3x − đồng biến khoảng: Chọn câu trả lời A ( −∞;1) B ( 0; ) C ( 2; +∞ ) D ¡ Câu Các khoảng nghịch biến hàm số y = − x3 + 3x − là: Chọn câu trả lời A ( −∞;1) va ( 2; +∞ ) B ( 0; ) C ( 2; +∞ ) D ¡ Câu Các khoảng nghịch biến hàm số y = x3 − 3x − là: Chọn câu trả lời A ( −∞; −1) B ( 1; +∞ ) C ( −1;1) D ( 0;1) Câu Hàm số y = x+2 nghịch biến khoảng: x −1 Chọn câu trả lời A ( −∞;1) va ( 1; +∞ ) B ( 1; +∞ ) C ( −1; +∞ ) D ¡ \ { 1} Câu Các khoảng đồng biến hàm số y = x3 − x là: Chọn câu trả lời A ( −∞; −1) va ( 1; +∞ ) B ( −1;1) C [ −1;1] D ( 0;1) Câu Các khoảng nghịch biến hàm số y = x3 − x + 20 là: Chọn câu trả lời A ( −∞; −1) va ( 1; +∞ ) B ( −1;1) C [ −1;1] D ( 0;1) Câu Các khoảng đồng biến hàm số y = x3 − 3x + là: Chọn câu trả lời A ( −∞;0 ) va ( 1; +∞ ) B ( 0;1) C [ −1;1] D ¡ Câu Các khoảng nghịch biến hàm số y = x3 − 3x − là: Chọn câu trả lời A ( −∞;0 ) va ( 1; +∞ ) B ( 0;1) C [ −1;1] D ¡ \ { 0;1} Câu Các khoảng đồng biến hàm số y = − x3 + 3x + là: Chọn câu trả lời A ( −∞;0 ) va ( 2; +∞ ) B ( 0; ) C [ 0; 2] D ¡ Câu 10 Các khoảng nghịch biến hàm số y = − x3 + 3x + là: Chọn câu trả lời A ( −∞;0 ) va ( 2; +∞ ) B ( 0; ) C [ 0; 2] D ¡ Câu 11 Các khoảng đồng biến hàm số y = x3 − x + x − là: Chọn câu trả lời   A ( −∞;1) va  ; +∞ ÷ 3    B 1; ÷ 7  C [ −5;7]  D ( 7;3) Câu 12 Các khoảng nghịch biến hàm số y = x3 − x + x − là: Chọn câu trả lời   A ( −∞;1) va  ; +∞ ÷ 3    B 1; ÷ 7  C [ −5;7]  D ( 7;3) Câu 13 Các khoảng đồng biến hàm số y = x3 − 3x + x là: Chọn câu trả lời  A  −∞;1 −  3 ÷ va ÷    ; +∞ ÷ 1 + ÷    B 1 −   3 3 ;1 + ; ÷ C −  2 ÷ 2    D ( −1;1) Câu 14 Các khoảng nghịch biến hàm số y = x3 − 3x + x là: Chọn câu trả lời  A  −∞;1 −  3 ÷ va ÷    ; +∞ ÷ 1 + ÷    B 1 −   3 3 ;1 + ; ÷ C −  2 ÷   2  D ( −1;1) Câu 15 Các khoảng đồng biến hàm số y = x3 − x + x là: Chọn câu trả lời A ( −∞;1) va ( 3; +∞ ) B ( 1;3) C [ −∞;1] D ( 3; +∞ ) Câu 16 Các khoảng nghịch biến hàm số y = x3 − x + x là: Chọn câu trả lời A ( −∞;1) va ( 3; +∞ ) B ( 1;3) C [ −∞;1] D ( 3; +∞ ) Câu 17 Các khoảng đồng biến hàm số y = x3 − x + là: Chọn câu trả lời   A ( −∞;0 ) va  ; +∞ ÷ 3    B  0; ÷ 2   C ( −∞;0 ) D ( 3; +∞ ) Câu 18 Các khoảng nghịch biến hàm số y = x3 − x + là: Chọn câu trả lời   A ( −∞;0 ) va  ; +∞ ÷ 3    B  0; ÷ 2   C ( −∞;0 ) D ( 3; +∞ ) Câu 19 Các khoảng đồng biến hàm số y = 3x − x3 là: Chọn câu trả lời  1 1   1  1 A  −∞; − ÷ va  ; +∞ ÷ B  − ; ÷ C  −∞; − ÷ 2 2  2   2  Câu 20 Các khoảng nghịch biến hàm số y = 3x − x là: Chọn câu trả lời 1  D  ; +∞ ÷ 2  1  1   1 A  −∞; − ÷ va  ; +∞ ÷ B  − ; ÷ 2  2   2 1  C  −∞; − ÷  1  D  ; +∞ ÷ 2  2 Câu 21 Các khoảng đồng biến hàm số y = x3 − 12 x + 12 là: Chọn câu trả lời A ( −∞; −2 ) va ( 2; +∞ ) B ( −2; ) C ( −∞; −2 ) D ( 2; +∞ ) Câu 22 Các khoảng nghịch biến hàm số y = x3 − 12 x + 12 là: Chọn câu trả lời A ( −∞; −2 ) va ( 2; +∞ ) B ( −2; ) C ( −∞; −2 ) D ( 2; +∞ ) Câu 23 Khoảng nghịch biến hàm số a.(0;3) khác y = x3 − 3x2 + b.(2;4) Câu 24 Khoảng đồng biến a (-∞; -1) (0; 1) Câu 25 Hàm số c.(0; 2) y = − x4 + 2x + b.(3;4) y= a (-∞; 2) án khác x x−2 d Đáp án là: Hãy chọn câu trả lời c.(0;1) d (-∞; -1); nghịch biến khoảng nào? Hãy chọn câu trả lời b (2; +∞); c.Nghịch biến khoảng xác định d Đáp Câu 26 Hàm số y = x3 − 3x + 3x + 2016 a.Nghịch biến tập xác định d.Đồng biến TXĐ Câu 27 Hàm số b.đồng biến (-5; +∞) c.đồng biến (1; +∞) y = −x + 4x a.Nghịch biến (2;4) b.Nghịch biến (3;5) c.Nghịch biến x ∈ [2; 4] D.Cả A,C Câu 28 (Chọn câu trả lời nhất) Hàm sơ y = x − 12 x nghịch biến trên: a (-∞; 0) b.(0; 9) c.(9; + ∞) Câu 29 Chọn câu trả lời hàm sơ a.Đồng biến (- ∞ ; 0) b Đồng biến (0; + ∞ ) d Đồng biến /(- ∞ ; 0) , (0; + ∞ ) y= d.( -∞; 9) x2 − x c Đồng biến /(- ∞ ; 0) ∪ Câu 30 Hàm số sau đồng biến tập xác định nó: a y ... Ch n kh ng đ nh đúng? A Hàm s có giá tr l n nh t b ng giá tr nh nh t b ng B Hàm s có giá tr l n nh t b ng C Không t n t i giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s D .Hàm s có giá tr l n nh t... a hàm s y  x2  đo n  ;  x 2  17 B m  10 C m  A m  ln x Câu 28 Tìm GTLN c a hàm s y  [1;e3 ] : x ln y y A max B max C max y 3 [1;e ] [1;e ] [1;e ] e e Câu 29 Tìm GTNN c a hàm. .. m  2  B M  m  D M  m  2 C M  m  2  6 Câu 17 Giá tr nh nh t c a hàm s y  x  64  x b ng A  61 Câu 18 Hàm s y B  65 2x x 1 C D 32 đo n  x  có giá tr l n nh t giá tr nh nh t