Ứng dụng của đại số máy tính trong hình học đại số

Tiến hành nghiên cứu một số vấn đề chọn lọc trong Hình học đại số và các ứng dụng của đại số máy tính trong những vấn đề này.. Sau đây là các nội dung chính của đề tài trong nãm qua: + N

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

1 NCS ĐÀO PHƯ ƠNG BẮC

2 THS LÊ QUÝ THƯ ỜNG

HÀ N Ộ I- 2 0 0 7

A BÁO CÁO TÓM TẮT:

BÁO CÁO TÓM TẮT

a Tên đề tài, mã số:

Tên đề tài: ứ n g dụng của đại số máy tính trong hình học đại số

Mã số đề tài: QT - 06 - 03

b C hủ trì đề tài: TS Phó Đức Tài (Khoa Toán-Cơ-Tin học)

c Các cán bộ tham gia: NCS Đào Phương Bắc, ThS Lê Quý Thường

d M ục tiêu và nội dung nghiên cứu:

- Mục tiêu của đề tài: Xây dựng một nhóm nghiên cứu về Hình học đại số ở Khoa Toán-Cơ-Tin Tiến hành nghiên cứu một số vấn đề chọn lọc trong Hình học đại số và các ứng dụng của đại số máy tính trong những vấn đề này

- Nội dung của đề tài: Chúng tôi bắt đầu thực hiện đề tài vào 03/2006 Sau đây

là các nội dung chính của đề tài trong nãm qua:

+ Nghiên cứu về đường cong và mặt cong đại số có kỳ dị trên trường đặc

số hữu hạn: Hai năm trở lại đây, TS Phó Đức Tài cộng tác với GS Ichiro Shimada (Đại học Hokkaido, Nhật bản) nghiên cứu lĩnh vực này Chúng tôi đã chứng minh được dự đoán của Shioda về tính đơn hữu tỉ của mặt K3 trong một

số trường hợp, kết quả đầu tiên đã được công bố Chúng tôi tiếp tục để chứng minh dự đoán này trong những trường hợp còn lại

+ Nghiên cứu về kỳ dị suy biến: Đây là nội dung chính của luận văn cao học mà ThS Lê Quý Thường đã bảo vệ thành công vào 12/2006 Chúng tôi muốn phát triển lý thuyết của A ’Campo-Oka để nghiên cứu các bất biến tôpô của kì dị suy biến, cụ thể là hàm zêta, số Milnor, v.v

+ Nghiên cứu về nhóm đại số và lý thuyết biểu diễn: NCS Đào Phương Bắc tiến hành nghiên cứu bài toán số 14 của Hilbert, nghiên cứu mở rộng các kết quả của Grosshans, Sukhanov và Bogomolov về những nhóm đại số xác định trên trường đóng đại số cho trường số học

+ Nghiên cứu các thuật toán về đường cong elliptic và viết một gói lệnh cho phần mềm toán học Maple cho các thuật toán nàv: Đây là một chủ đề thời

sự, có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu lý thuyết lẫn ứng dụng ThS Lê Thị Minh Hải đã bảo vệ thành công vào 12/2006 về chủ đề này

+ Ngoài ra chúng tôi còn hướng dẫn 01 khóa luận tốt nghiệp đại học và

01 luận văn cao học khác về các chủ đề liên quan đến đề tài

+ Xêmina khoa học: Đề tài tài trợ cho xêmina khoa học thườnc kv của nhóm về Hình học đại số; tài trợ một phần cho xêmina về Đường cong elliptic

(xêmina liên kết với Ban Cơ yếu Chính phủ); tài trợ một phần cho xêmina

Đường cong đại số (chuỗi 4 bài giảng của GS Ngô Bảo Châu); tài trợ một phần

cho trường hè ứ n g dụng Đ ại s ố trong Hình học và Tôpô (Quảng Bình 08/2006).

+ Biên dịch sách phục vụ giang dạy: Dịch cuốn sách Đường cong đại sô'

phức (Cambridge University Press, 1992) của F Kirwan phục vụ cho việc giảng

dạy chuyên đề đại học và sau đại học

+ Nộp báo cáo chuẩn bị nghiệm thu: Cuối tháng 02/2007

+ Tiến hành nghiệm thu đề tài: dự kiến trong tháng 03/2007

e Các kết quả đạt được:

- Các kết quả của đề tài đã được báo cáo trong năm 2006: 01 báo cáo tại

xêmina Hình học đại số ở Đại học khoa học tự nhiên Tôkyô (Nhật bản), 03 báo

cáo tại Hội thảo 50 năm Khoa Toán-Cơ-Tin học, và các báo cáo tại các xêmina

khác

- Một bài báo đã được đăng trên tạp chí quốc tế có uy tín:

Phó Đức Tài và Ichiro Shimada, Unirationality of certain supersingular

K3 surfaces in characteristic 5, Mamiscriptci Mathematics, Vol 121, 425-435

(2006)

- Hai bài báo khác đã gửi các tạp chí quốc tế:

1 Phó Đức Tài, Dual of smooth quartics (với phẩn phụ lục được viết bởi

- Các khóa luận đại học và luận văn cao học liên quan đến đề tài dã bảo vệ

thành công trong năm 2006:

Khóa luân tốt nghiêp:

1 ứ n g dụng của đại sô' máy tính trong hình học của sinh viên Đỗ Thị

Bích Phượng (lớp K47A1S)

Luân văn cao hoc:

1 Một s ố thuật toán về đường cong elliptic của học viên Lê Thị Minh

Hải (Khóa 2004-2006)

2 Đường cong hĩcii tỷ có kỳ dị của học viên Nguyễn Thị Quyên (Khóa

2004-2006)

3 Hàm zêta của kỳ dị suy biến học viên Lê Quý Thường (Khóa 2004­

2006)

f Tình hình kinh phí của đề tài:

- Kinh phí được cấp để thực hiện đề tài: 20.000.000 đ, trong thời gian thực hiện

đề tài la 12 tháng (từ 03/2006 đến 03/2007)

- Kinh phí được chi vào các mục sau đây:

+ Các bài báo, báo cáo khoa học và thù lao chuyên môn: 6.500.000 đ

(bao gồm việc chi phí cho đăng 01 bài báo tạp chí quốc tế, 03 báo cáo hội thảo khoa học và các thuê mướn khác)

+ Hội thảo và xêmina khoa học: 7.500.000 đ

(bao gồm: xêmina của nhóm; xêmina liên kết hợp tác với Ban cơ yếu CP;xêmina mời chuyên gia giảng bài; công tác phí đi dự hội thảo)

+ Các chi phí hỗ trợ khoa học khác: 6.000.000 đ

(bao gồm các mục: văn phòng phẩm; thông tin, liên lạc; chi phí nghiệp vụchuyên môn)

TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌ C K H O A H Ọ C T ự N H IÊN

PRO JECT SU M M AR Y

a Title, code:

Title: Applications of Computer Algebra in Algebraic Geometry

Code: QT-06-03

b Head of the research group: Dr Phó Đức Tài (Department of Math.)

c Other m em bers o f the research group: B.Sc Đào Phương Bắc, M.Sc Lê

Quý Thường

d Research aim s and contents:

- Research aims: Build a research team on Algebraic Geometry at Department

of Mathematics Research on some topics in Algebraic Geometry and apply Computer Algebra in these topics

- Contents of the project: We start our project in 03/2006 Main contents of the project:

+ Research on singular algebraic curves and singular algebraic surfaces

on positive characteristic fields: Recent years, Dr Phó Đức Tài cooperate with Professor Ichiro Shimada (Hokkaido university, Japan) in this research We proved a conjecture of Shioda on unirationality of K3 surfaces for certain cases,

we published one paper on this result We continue to prove the conjecture

+ Research on degenerate singularities: This is the main study in the master thesis in which Mr Lê Quý Thườns defended successfully in 12/2006

We want to develop the theory by A ’Campo-Oka to study topological invariants of degenerate singularities, such as zeta function, Milnor number, etc

+ Research on algebraic groups and representation theory: Mr Đào Phương Bắc are doing research on the Hilbert’s 14th problem, he try to extend the results of Grosshans, Sukhanov and Bogomolov on algebraic groups defined

on algebraic closed fields to number fields

+ Research of algorithms on elliptic curves and write a package for mathematical software Maple: This is a hot topics, it has many applications, especially in cryptography Ms Lê Thị Minh Hải defended successfully in 12/2006 on this topic in her master thesis

+ We also supervise another 01 undergraduate thesis and 01 master thesis those relate to topic of the project

+ Scientific seminars: The project support for weekly seminar of our

group on algebraic geometry; support partly for seminar on elliptic curve

(cooperate seminar between our group and The Academy of Technical

Cryptography); support partly for seminar on algebraic curves (this is a series

of 4 lectures of Prof Ngô Bảo Châu); support partly for summer school

Applications o f Algebra in Geometry and Topology (Quang Binh 08/2006).

+ Translation suppose for education: We translate the book Complex

Algebraic Curves (Cambridge University Press, 1992) of F Kirwan This book

is used in teaching undergraduate and graduate courses

+ Submitted the final report: 02/2007

+ Defend the project: 03/2007

e Outcomes:

- Talks at seminar and workshop in 2006: 01 talk at algebraic geometry seminar

at Tokyo University of science (Japan); 03 talks at Workshop of 50 years -

Department of Mathematics; and several talks at other seminars

- Published paper:

Phó Đức Tài và Ichiro Shimada, Unirationality of certain supersingular

K3 surfaces in characteristic 5, Mamiscripta M athematics, Vol 121, 425-435

(2006)

- Two papers submitted to international journals:

1 Phó Đức Tài, Dual of smooth quartics (with an appendix written by

Bích Phượng (Class: K47A1S)

Master theses:

(Course 2004-2006)

2 Rational curves with singularities by student Nguyễn Thị Quyên

(Course 2004-2006)

3 Zeta functions o f degenerate singularities by student Lê Quý Thường

(Course 2004-2006)

B PHẦN CHÍN H BÁO CÁO:

Mục lục

Lời mở đ ầ u 1

Nội dung chính 2

I Các chù đề nghiên cứu khoa học của đề t à i 2

1 Phân loại đường cong và mật cong đại số có kì d ị 2

2 Nghiên cứu giải kỳ dị và các bất biến tôpô của kỳ d ị 5

3 Đường cong elliptic và các ứng dụng 7

4 Nghiên cứu về nhóm đại số và lý thuyêt biểu d iễ n 7

5 Đường cong hữu tỉ có kỳ dị 8

6 Úng dụng của đại số máy tính trong hình h ọ c 9

II Các hoạt động khác của đề t à i 9

III Kết quả của đề tài 9

Kết luận 11

Tài liệu tham k h ả o 12

c Phụ lục: 15

1 Photocopy các bài báo, bìa các luận vãn Đại học, Thạc s ỹ

2 Tóm tắt các công trinh NCKH của cá n h â n

3 Scientific Project

4 Phiếu đăng ký kết quà nghiên c ứ u

Lời mở đầu

Đại số máy tính ngày nay là một công cụ không thể thiếu được trong việc nghiên cứu toán học nói chung và hình học đại số nói riêng Đề tài này bao gồm các vấn đề chọn lọc trong hình học đại số dưới đây: (Trong đó các vấn đề 1,3,5,6 cần đến công cụ đại số máy tính; còn vấn đề 2 chúng tôi sẽ viết thuật toán và lập trình trong Maple để tính toán thực hành giải kì dị đường cong.)

Ba chủ đề chính của đề tài:

1 Phân loại kỳ dị của đường cong và mặt cong đại số

2 Nghiên cứu giải kỳ dị và các bất biến tôpô của kỳ dị

3 Đường cong elliptic và các ứng dụng

Ngoài ra còn các chủ đề khác:

4 Nghiên cứu về nhóm đại số và lý thuyết biểu diễn

5 Đường cons hữu tỉ có kỳ dị

6 ứng dụng của đại số máy tính trong hình học

Sáu chủ đề trên mặc dù là nằm trong chuyên ngành hình học đại số, nhưng nội dung khá độc lập với nhau VI vậy trong phần mở đầu này chúng tôi không giới thiệu từng nội dung một Người đọc có thể xem ở phần Báo cáo tóm tắt ở đầu tập sách này, hoặc chi tiết hơn ở các phần sau

Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi đã có được nhiều sự hợp tác của các cơ quan bạn, các đồng nghiệp Chúng tôi chân thành cảm ơn tất cả sự hợp tác và giúp đỡ đó

Hà nội, tháng 02 năm 2007,

Chủ trì đề tài,

Phó Đức Tài

Nội dung chính

Dưới đây là sáu chủ đề chính mà nhóm nghiên cứu của chúng tôi cùng các sinh viên đã thực hiện trong khuôn khổ của đề tài

1 Phân loại đường cong và mặt cong đại số có kì dị

Vấn đề phân loại kỳ dị của đường và mặt đại số là một trong những bài toán cổ điển của hình học đại số Chúng tôi đã nghiên cứu chủ đề này trong nhiều năm nay Trong năm 2006, chúng tôi có xuất bản bài báo dưới đây:

Phó Đức Tài và Ichiro Shimada, Unirationality of certain supersingular K3

surfaces in characteristic 5, Mamiscripta Mathematics, Vol 121, 425-435

(2006)

Dưới đây là tóm tắt nội dung của bài báo:

Một mặt đại số X được gọi là mặt K3 nếu nó có ước chính tắc (canonical

divisor) Kx tầm thường và số Betti thứ nhất b](X)=0 Ta có định lý Torelli:

Hai mặt K3 là đẳng cấu nếu tồn tại phép đẳng cự Hoclge giữa đối đồng điều chiểu 2 của chúng với hệ s ố nguyên (là các dàn) Vì vậy việc phân loại mặt

K3 dẫn đến việc phân loại các dàn hay các dạng toàn phương nhờ vào lý thuyết cửa Nikulin Xem các tài liệu tham khảo [CS99], [E02], [N79] và [S04] Việc phân loại này cần nhiều sự trợ giúp của Đại số máy tính

Chúng tôi nghiên cứu trên trường đóng đại số k.

Một mặt K3, X, được gọi là siêu lạ (theo định nghĩa của Shioda [S74]) nếu số Picard của X bằng 22 Mặt siêu lạ K3 chỉ tồn tại trong trường đặc số lớn hơn khôns Năm 1975, trong bài báo [A75], Artin chứng minh rằng, nếu

X là một mặt K3 siêu lạ thì biệt thức của dàn Néron-Severi NS(X) của Xviết

được dưới dạng -p2ơ<XÌ, ở đó ơ(X) là một số nguyên dương bé hơn hoặc bằng

10 Số nguyên ơ (X ) được gọi là bất biến Artin của X.

Một mặt s được gọi là đơn hữu tỉ (unirational) nếu trường hàm k(S) của s

chứa một trường mở rộnơ siêu việt thuần túy của I, hoặc một cách tương

đương tồn tại một ánh xạ hữu tỉ dominant từ mặt phẳng xạ ảnh đến s Trong

[S74] Shioda chứng minh rằng, nếu một mặt xạ ảnh trơn s là đơn hữu tỉ, thì

số Picard của s bằng số Betti thứ hai của nó Artin và Shioda đưa ra dự đoán

chiều ngược lại cũng đúng cho các mặt K3 (xem chẳng hạn trong [S77]):

D ự đoán: Mọi m ặt K3 siêu lạ đều là đơn hữu tỉ.

Trong bài báo này chúng tôi xét dự đoán trên trong trường đặc số 5 Giả

sử k là một trường có đặc số bằng 5 Xét không gian các đa thức biến X bậc

6, kí hiệu bởi k { x ỉ6 Giả sử u là không gian con của k[xl6, bao gồm các đa thức f(x ) thuộc k[x]6 sao cho phương trình bậc năm f ’(x)=0 không có nghiệm bội Rõ ràng u là một tập con mở trù mật của k[xl6 Với m ỗ i/th u ộ c

u , kí hiệu Cf là đường cong xạ ảnh bậc 6 mà phần affine của nó được định

nghĩa bởi

y 5 -f(x ) = 0.

Giả sử Y f—> p 2 là phủ 2 lá của p 2 với phần rẽ nhánh là Cf, và giả sử x^ ->

Yf là giải kì dị cực tiểu của Yf Kết quả chính của bài báo là:

Đ ịnh lý: N ế u f là một đa thức trong u , thì Xflà một mặt K3 siêu lạ với

ơ(Xf) < 3 Ngược lại, nếu X là một mặt K3 siêu lạ với ơ(Xf) < 3, thì tồn tại

đa thức f trong u sao cho X đẳng cấu với X ị

Do phần affine của Yf định nghĩa bởi YV2 - y5 - f(x), vì vậy trường hàm k(Xf) bằng k(\v,x,y), và nó chứa trong mở rồng trường siêu việt thuần túy

k (w l/5,x l/5) của k Từ đó ta có hệ quả sau:

Hệ q u ả : Mọi mặt K3 siêu lạ trong đặc số 5 với bất biến Artin < 3 đều là đơn

Các trường hợp (i) và (ii) được chứng minh bởi Rudakov và Shafarevich trong [RS78,RS81] Trường hợp (iii) của suy ra từ việc kết hợp 2 kết quả của Ogus và của Shioda [S77], Ogus chứng minh mỗi mặt K3 siêu lạ trong đặc

số p > 0 với bất biến Artin ơ < 2 là mặt Kummer, còn kết quả của Shioda là mỗi mặt K um m er đều là đơn hữu tỉ

Để chứng minh định lý trên, chúng tôi chứng tỏ rằng mỗi mặt K3 siêu lạ

trong đặc số p > 0 với bất biến Artin ơ< 3 song hữu tỉ với mặt K3 chuẩn tắc

với kì dị 5A4, mặt K3 này là một phủ 2 lá của p 2, và sau đó chứng tỏ rằng

mạt K3 này đẳng cấu với Y ị với m ộ t / n à o đó thuộc u Chứng minh bước thứ

nhất cần dùng đến định lý cấu trúc của dàn Néron-Severi của các mặt K3 siêu lạ (xem [RS78]) Để chứng minh bước thứ hai, chúng tôi khảo sát các đường cong bậc 6 với kì dị 5A4

Hiện tại cùng với giáo sư Ichiro Shimada, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu

dự đoán này Trong tháng 3/2007, giáo sư Ichiro Shimada sẽ sang trường ta giảng bài cho học viên, NCS; báo cáo xêmina; và thảo luận khoa học với nhóm chúng tôi

2 Nghiên cứu giải kỳ dị và các bất biến tôpô của kỳ dị

Dưới đây là một vài nét chính trong hướng nghiên cứu này Đây là nội dung luận văn thạc sỹ của anh Lê Quý Thường [V3] dưới sự hướng dẫn của TS Phó Đức Tài (Anh Thường đã viết lại luận văn thành một bài báo tiếng Anh gần 20 trang và đã gửi đăng tạp chí.)

Điểm kì dị của tập đại số là đối tượng cơ bản trong hình học đại số và là tâm điểm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học lớn trong suốt thế kỷ qua Các nghiên cứu sâu sắc đã được thực hiện như giải kì dị, phân thớ Milnor,

Với mỗi siêu mặt V xác định bởi đa thức nhiều b iến /(z) của C[z], z=(z0,

z„) có kì dị tại gốc toạ độ, J Milnor đã xây dựng một phân thớ đặc trưng cho kì

dị đó, sau này gọi là phân thớ Milnor ([M68]) Phân thớ này cho phép nghiên cứu kì dị một cách hiệu quả từ phương diện tôpô, mang lại những hiểu biết về

tôpô của siêu mặt V trong lân cận của các điểm kì dị Khi nghiên cứu về phân thớ đặc trưng của kì dị phức, Milnor rất chú ý đến các liên (link) K (liên hệ với

lý thuyết nút), các thớ F và đồng phôi đơn đạo h Những kết quả của ông trong

lĩnh vực này đem đến cho chúng ta một cái nhìn đầy đủ và sâu sắc về tôpô của

kì dị phức, đặc biệt là kì dị cô lập

Các nghiên cứu về đơn đạo của kì dị phức cho những kết quả hết sức

thú vị Chẳng hạn, khi n khác 2, đa tạp K là một mặt cầu tôpô nếu và chỉ nếu giá trị của đa thức đặc trưng A (?) của h* tại r = l khả nghịch trong z (xem

[M68], tr 68); hoặc, khi n lẻ thì đa thức đặc trưng A(0 hoàn toàn xác định cấu trúc khả vi của K (xem [M68], tr 69), Bên cạnh đó, hàm zeta của đơn đạo h,

với mối quan hệ mật thiết với đa thức đặc trưng của /2* và nhiều bất biến quan trọng khác như số Milnor, đa thức Alexander, chuỗi Poincaré, các cặp Puiseux, nửa nhóm của kì dị, đã trở thành một trong những bất biến quan trong nhất trong lý thuyết kì dị Hơn nữa, với nguồn gốc từ lý thuyết số, hàm zeta của đơn đạo còn phản ánh được các tính chất của trường hàm, vành địa phương của kì dị

và liên hệ được nhiều đối tượng khác nhau trong hình học và số học

Được thúc đẩy bởi các nghiên cứu về phân thớ Milnor, hàm zeta của đơn đạo được nghiên cứu rất mạnh mẽ từ những năm 70 của thế kỷ XX bởi nhiều nhà toán học tên tuổi Không lâu sau khi N A'Campo ([AC75]) đưa ra

một phương pháp xuất sắc tính hàm zeta bằng giải kì dị, A N Varchenko đã

có được lời giải đầy đủ cho bài toán tìm hàm zeta của kì dị không suy biến của các tập đại số (giải tích) phức Cần nói thêm rằng, ở thời điểm đó, sự phát triển của hình học xuyến và các phép giải xuyến (khởi đầu bởi G Kempf, F Knudsen, D Mumford, B Saint-Donat, ) đã hỗ trợ rất lớn cho công trình này của Varchenko

Hàm zeta sau đó còn được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học khác như w Ebeling, A Campillo, s M Gusein-Zade, F Delgado, K Saito,

M Oka, B Teissier, Trong giai đoạn này hàm zeta được nghiên cứu trong mối quan hệ với các đối tượng khác, như chuỗi Poincaré của vành địa phương, đối ngẫu Saito, nửa nhóm của kì dị, Mặt khác, với việc xây dựng được các tháp giải Tschim hausen bằng các phép biến đổi xuyến, A'Campo và Oka ([A 096]) đã chỉ ra một phương pháp khác tính hàm zeta của kì dị đường cong phẳng phức bất khả quy suy biến và mở ra khả năng tính được kì dị suy biến tổng quát của đường cong phẳng phức và các đa tạp đại số (giải tích) phức (nếu

mở rộng khái niệm về các đa thức xấp xỉ Tschimhausen)

Nội dung của hướng nghiên cứu này của chúng tôi là phát triển phương pháp của A ’Campo và Oka để tìm hàm zeta của kì dị suy biến của đường cong phức trong trường hợp tổng quát Kết quả chính của nó là Định lý sau đây

Đ ịnh lý ch ín h : Hàm zeta của kì dị suy biến (C,0) bằng

ao= nc<0 LlCcto,eeù(rf ) G^vự,)

trong đó <£,(/), <^c (0 được xác định như sau:

3 Đường cong elliptic và các ứng dụng

Dưới đây là một vài nét chính trong hướng nghiên cứu này Đây là nội dung luận văn thạc sỹ của chị Lê Thị Minh Hải [VI] dưới sự hướng dẫn của TS Phó Đức Tài

Đường cong elliptic là một đối tượng quan trọng trong toán học Lịch sử phát triển của đường cong elliptic đã trải qua một thời gian dài và nhừng ứng dụng của đường cong elliptic đang tiếp tục được khám phá Gần đây, những ứng dụng quan trọng của đường cong elliptic đã được phát hiện trong lý thuyết mật mã (xem [W03]), trong sự phân tích các số nguyên lớn, trong việc giải các phương trinh Diophante, chẳng hạn bài toán Fermat (xem [W03]) Đối với hai ứng dụng đâu, việc tính toán thực hành trên các đường cong elliptic với hệ số lớn là vấn đề mấu chốt Vì vậy cần thiết phải có các thuật toán hiệu quả cho việc tính toán Một trong các vấn đề chính là đưa ra thuật toán để tính toán

nhóm M ordell-W eil, tức là nhóm của các điểm hữu tỉ trên các đường cong

elliptic

Nhóm Mordell-Weil là một nhóm aben hữu hạn sinh Phần hữu hạn của

nó, còn được gọi là nhóm x o ắ n , có thể tính được dễ dàng nhờ định lý Nagell-

Lutz, trong khi đó việc tính toán phần tự do thì lại vô cùng khó khán Có hai thuật toán chính để tính phần tự do Thuật toán thứ nhất dựa theo ý tưởng của Manin trong, từ đó Gebel và Zimmer đã lập trình trong phân mêm đại sô máy

tính SIMATH Thuật toán thứ hai dựa theo ý tưởng của Birch và Swinnerton- Dyer trong [BS63], được Cremona viết thành chương trình mwrank trong C++

tôi xây dựng dựa theo lý thuyết từ các tài liệu [C77], [ST92] và [W03]

4 Nghiên cứu về nhóm đại số và lý thuyết biểu diễn

Đây là chủ đề mà NCS Đào Phương Bắc, một thành viên của nhóm, đang trong quá trình là nghiên cứu sinh

Các nhóm con quan sát được và nhóm con Grosshans được xuất hiên tự nhiên trong việc nghiên cứu bài toán số 14 của Hilbert về tính hữu hạn sinh của vành hàm bất biến và những dạng mở rộng của bài toán này Khi làm việc với những nhóm đại số xác định trên trường đóng đại số thì đã có những tiêu chuẩn đẹp của F Grosshans [G97], A Sukhanov [S90] và F Bogomolov [B79] Trong hướng nghiên cứu này, chúng tôi có một số tiêu chuẩn mới nhận được cho những nhóm này xác định trên trường số học (là những trường không đóng đại số).

Một số tài liệu tham khảo chính cho hướng nghiên cứu này ngoài 3 tài liệu trên, bao gồm: [B91], [K78] và [M94],

Anh Đào Phương Bắc và giáo sư hướng dẫn đã công bố một bài báo [NB05] Trong năm 2006, anh Bắc đã có một số kết quả mới về chủ đề này và đã báo cáo tại hội thảo khoa học Hiện tại đang chuẩn bị công bố bài báo thứ hai

5 Đường cong hữu tỉ có kỳ dị

Dưới đây là một vài nét chính trong hướng nghiên cứu này Đây là nội dung luận văn thạc sỹ của chị Nguyễn Thị Quyên [V3] dưới sự hướng dẫn của TS Phó Đức Tài

Nội dung luận văn là trình bày ứng dụng của D-kết thức cho việc nghiên cứu kì dị của đ ư ờ n s cong hữu tỉ M ở đầu là các kết quả của A.van den Essen- J.T.Yu ([vdE97], 1997) và J.Gutierrez-R.Rubio-J.T.Yu ([GRY02], 2002), đều

đăng trên Proc o f AMS M ột kết quả của họ cho biêt tọa độ của các điêm kì dị

có thể tính được thông qua tham sổ hóa của đường cong hữu tỉ Chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu xem liệu có bất biến nào của các điểm kì dị có thể tính được thông qua tham số hóa này?

Dựa vào ví dụ phong phú của bảng phân loại đường cong hữu tỉ bậc bổn,

chúng tôi đã phát hiện ra bất biến ô của các kì dị của đường cong hữu tỉ bậc

bốn có thể đọc được thông qua khai triển của D-kết thức Chúng tôi đưa ra dự đoán cho trường hợp tổng quát:

D ự đoản: Cho đường cong c được cho dưới dạng tham sổ x=f(t), y=g(t) Giả

sử D-kết thức của f(t), g(t) có phân tích

^ = c [ ] ( í - i , )

/=ltrong đó ej là các số nguyên và tất cả các Sj thuộc bao đóng của K và đôi một

khác nhau Giả s ử p là một điểm kì dị của c và p=(f(si),g(si))= =(f(sk)>g(sk)),

k<r Khi đó bất biến địa phương tại điểm kì dị p là ỏp=(e/ ek)/2.

Trong [V3] chị Quyên đã đưa ra nhiều ví dụ phức tạp mà dự đoán đúng và chứng minh một trường hợp khá đơn giản đầu tiên cho một lớp các đường cong

có phương trình y? - y q = 0.

Khẳng định dự đoán đúng hay sai vẫn còn bỏ ngõ, vì vậy vấn đề này hứa hẹn nhiều điều thú vị để tiếp tục nghiên cứu

6 Úng dụng của đại số máy tính trong hình học

Trong khóa luận tốt nghiệp [V2] dưới sự hướng dẫn của TS Phó Đức Tài, sinh viên Đỗ Thị Bích Phượng đã có những nghiên cứu ứng dụng của cơ sở Grobner, bài toán khử biến trong vành đa thức vào các bài toán hình học phổ thông Đặc biệt là bài toán quỹ tích, nhờ vào các phần mềm đại số máy tính để tính cơ sở Grốbner, từ đó có thể sáng tạo được nhiều bài toán quỹ tích khác nhau

II Các hoạt động khác của đề tài+ Xêmina khoa học: Đề tài tài trợ cho xêmina khoa học thường kỳ của nhóm về Hình học đại số; tài trợ một phần cho xêmina về Đường cong elliptic (xêmina liên kết với Ban Cơ yếu Chính phủ); tài trợ một phần cho xêmina Đường cong đại số (chuỗi 4 bài giảng của GS Ngô Bảo Châu); tài trợ một phần

cho trường hè ứ ng dụng Đại s ố trong Hình học và Tôpô (Quảng Bình 08/2006).

+ Biên dịch sách phục vụ giảng dạy: Dịch cuốn sách Đường cong đại s ố phức (Cambridge University Press, 1992) của F Kirwan phục vụ cho việc giảng

dạy chuyên đề đại học và sau đại học

III Kết quả của đề tài

- Các kết quả của đề tài đã được báo cáo trong năm 2006, bao gồm:

+ 01 báo cáo tại xêmina Hình học đại số ở Đại học khoa học tự nhiên Tôkyô (Nhật bản):

Phó Đức Tài, On intersection num ber o f plane curves.

+ 03 báo cáo tại Hội thảo 50 nãm Khoa Toán-Cơ-Tin học:

Đào Phương Bắc, Các tiêu chuẩn cho nhóm con quan sát được và nhóm

con G rosshans trên trường bất kỳ.

Phó Đức Tài, Vấn đ ề phân loại đường và mặt cố kì dị.

Lê Quý Thường, Hàm zêta của kì dị suy biến.

+ Và các báo cáo tại các xêmina khác; bài giảng cho sinh viên ở trường

hè Toán học ở Quảng Bình

- Một bài báo đã được đăng trên tạp chí quốc tế có uy tín:

Phó Đức Tài và Ichiro Shimada, Unirationality of certain supersingular

K3 surfaces in characteristic 5, Manuscripta Mathematics, Vol 121, 425-435

(2006)

- Hai bài báo khác đã gửi các tạp chí quốc tế:

1 Phó Đức Tài, Dual of smooth quartics (với phần phụ lục được viết bởi

Khóa luân tốt nghiẽp:

1 ứ n g dụng của đại s ố máy tính trong hình học của sinh viên Đỗ Thị

Kết luận

Sau một năm thực hiện đề tài, chúng tôi tự nhận thấy là đã hoàn thành được các mục tiêu đặt ra ban đầu, đó là:

- Xây dựng một nhóm nghiên cứu Hình học đại số tại Khoa Toán

- Tiến hành nghiên cứu một số vấn đề chọn lọc trong Hình học đại số, bước đầu đã thu được kết quả Công bố một số kết quả thông qua việc đăng bài báo và báo cáo tại các xêmina và hội thảo chuyên ngành

- Phát triển đào tạo: Hướng dẫn sinh viên, học viên cao học làm khóa luận và luận văn tốt nghiệp; Biên dịch sách tham khảo chuyên ngành

- Hợp tác nghiên cứu khoa học với các nhóm trong và ngoài nước

Một số định hướng phát triển nghiên cứu sau khi kết thúc đề tài:

Các hướng nghiên cứu 1,2 và 3 sẽ là ưu tiên hàng đầu: Hướng 1 và

2 đây vẫn là vấn đề lâu dài về mặt lý thuyết, hướng 3 có thể phát triển thêm bằng cách hướng dẫn sinh viên và học viên làm luận văn

Chúng tôi tiếp tục xây dựng đội ngũ cho nhóm nghiên cứu về Hình học đại số, duy trì và phát triển các hợp tác nghiên cứu trong và ngoài nước

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[VI] Lê Thị Minh Hải, Một số thuật toán về đường cong elliptic, Luận văn cao học,

Trường Đ H K H T N H N , 2006.

[V2] Đỗ Thị Bích Phượng, ứng dụng của đại số máy tính trong hình học, Khóa luận

tốt nghiệp đại học, Trường ĐH KHTN HN, 2006

[V3] Nguyên Thị Quyên, Đường cong hữii tỉ có kỳ dị, Luận văn cao học, Trường ĐH

K H T N H N , 2006.

[V4] Lê Quý Thường, Hàm zeta của kỳ dị suy biêh, Luận văn cao học, Trường ĐH

K H T N H N , 2006.

Tiếng nước ngoài

[AC75] A'Campo, N.: La fonction zêta d' une monodromie, Comment Math Helv 50

(1 9 7 5 X 2 3 3 -2 4 8

[ A 0 9 6 ] A 'Cam po, N and O ka, M.: G eom etry o f plane curves via Tschirnhausen

resolution tower, Osaka J Math 33 (1996), 1003-1033.

[AGR95] Alonso, c , Gutierrez, J and Recio, T.: A rational funtion decomposition

algorithm by nearseparated polynomials, J Symbolic Computation 19 (1995), 527­

[B79] Bogomolov, F.A : H olom orphic tensors and vector bundles on projective

varieties, Math U.S.S.R Irzvestiya 13, 499-555 (1979).

[B91] Borel, A.: Linear Algebraic Groups Second enlarged edition GTM 126

B erlin-H eid elberg-N ew Y o rk : springer 1991.

[CS99] C onw ay, J.H and Sloane, N.J.A.: S p h e r e p a c k in g s , la ttic e s a n d q r o u p s , 3rd edn In: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften vol 290 Springer, Berlin

H eidelberg N ew Y ork (1999)

[C77] Cremona, J.E.: Algorithms for modular elliptic curves, Cambridge University

Press, C am bridge, 1977.

[E02] Ebeling, w : Lattices and codes, revised ed In: Advanced Lectures in

M athem atics Friedr V ie w eg & Sohn, B raunschw eig (2002)

[G97] Grosshans, F.: Algebraic Homogeneous Spaces and Invariant Theory Lecture