Ứng dụng của đại số máy tính trong hình học đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN TÊN ĐỂ TÀI: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI số MÁY TÍNH TRONG HÌNH HỌC ĐẠI số MÃ SỐ: QT - 06 - 03 CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI: TS P H Ó ĐỨC T À I CÁC CÁN BỘ THAM GIA: NCS ĐÀO PHƯƠNG BẮC THS LÊ QUÝ THƯỜNG HÀ N Ộ I- 0 A BÁO CÁO TÓM TẮT: BÁO CÁO TÓM TẮT a Tên đề tài, mã số: Tên đề tài: ứ ng dụng đại số máy tính hình học đại số Mã số đề tài: QT - 06 - 03 b C hủ trì đề tài: TS Phó Đức Tài (Khoa Toán-Cơ-Tin học) c Các cán tham gia: NCS Đào Phương Bắc, ThS Lê Quý Thường d Mục tiêu nội dung nghiên cứu: - Mục tiêu đề tài: Xây dựng nhóm nghiên cứu Hình học đại số Khoa Toán-Cơ-Tin Tiến hành nghiên cứu số vấn đề chọn lọc Hình học đại số ứng dụng đại số máy tính vấn đề - Nội dung đề tài: Chúng bắt đầu thực đề tài vào 03/2006 Sau nội dung đề tài nãm qua: + Nghiên cứu đường cong mặt cong đại số có kỳ dị trường đặc số hữu hạn: Hai năm trở lại đây, TS Phó Đức Tài cộng tác với GS Ichiro Shimada (Đại học Hokkaido, Nhật bản) nghiên cứu lĩnh vực Chúng tơi chứng minh dự đốn Shioda tính đơn hữu tỉ mặt K3 số trường hợp, kết công bố Chúng tơi tiếp tục để chứng minh dự đốn trường hợp lại + Nghiên cứu kỳ dị suy biến: Đây nội dung luận văn cao học mà ThS Lê Quý Thường bảo vệ thành công vào 12/2006 Chúng muốn phát triển lý thuyết A ’Campo-Oka để nghiên cứu bất biến tơpơ kì dị suy biến, cụ thể hàm zêta, số Milnor, v.v + Nghiên cứu nhóm đại số lý thuyết biểu diễn: NCS Đào Phương Bắc tiến hành nghiên cứu toán số 14 Hilbert, nghiên cứu mở rộng kết Grosshans, Sukhanov Bogomolov nhóm đại số xác định trường đóng đại số cho trường số học + Nghiên cứu thuật toán đường cong elliptic viết gói lệnh cho phần mềm tốn học Maple cho thuật toán nàv: Đây chủ đề thời sự, có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu lý thuyết lẫn ứng dụng ThS Lê Thị Minh Hải bảo vệ thành công vào 12/2006 chủ đề + Ngồi chúng tơi cịn hướng dẫn 01 khóa luận tốt nghiệp đại học 01 luận văn cao học khác chủ đề liên quan đến đề tài + Xêmina khoa học: Đề tài tài trợ cho xêmina khoa học thườnc kv nhóm Hình học đại số; tài trợ phần cho xêmina Đường cong elliptic I (xêmina liên kết với Ban Cơ yếu Chính phủ); tài trợ phần cho xêmina Đường cong đại số (chuỗi giảng GS Ngô Bảo Châu); tài trợ phần cho trường hè ứng dụng Đại s ố Hình học Tơpơ (Quảng Bình 08/2006) + Biên dịch sách phục vụ giang dạy: Dịch sách Đường cong đại sô' phức (Cambridge University Press, 1992) F Kirwan phục vụ cho việc giảng dạy chuyên đề đại học sau đại học + Nộp báo cáo chuẩn bị nghiệm thu: Cuối tháng 02/2007 + Tiến hành nghiệm thu đề tài: dự kiến tháng 03/2007 e Các kết đạt được: - Các kết đề tài báo cáo năm 2006: 01 báo cáo xêmina Hình học đại số Đại học khoa học tự nhiên Tôkyô (Nhật bản), 03 báo cáo Hội thảo 50 năm Khoa Toán-Cơ-Tin học, báo cáo xêmina khác - Một báo đăng tạp chí quốc tế có uy tín: Phó Đức Tài Ichiro Shimada, Unirationality of certain supersingular K3 surfaces in characteristic 5, Mamiscriptci Mathematics, Vol 121, 425-435 (2006) - Hai báo khác gửi tạp chí quốc tế: Phó Đức Tài, Dual of smooth quartics (với phẩn phụ lục viết H Tokunasa) Lê Quý Thườns, Zeta function of degenerate plane curve singularities - Viết gói lệnh Ellcurves cho phần mềm toán học Maple 10 Địa trang web gói lệnh: http://www.math.hokudai.ac.jp/~tai/Ellcurves/ - Các khóa luận đại học luận văn cao học liên quan đến đề tài dã bảo vệ thành công năm 2006: Khóa luân tốt nghiêp: ứng dụng đại sơ' máy tính hình học sinh viên Đỗ Thị Bích Phượng (lớp K47A1S) Luân văn cao hoc: Một s ố thuật toán đường cong elliptic học viên Lê Thị Minh Hải (Khóa 2004-2006) II Đường cong hĩcii tỷ có kỳ dị học viên Nguyễn Thị Quyên (Khóa 2004-2006) Hàm zêta kỳ dị suy biến học viên Lê Quý Thường (Khóa 2004­ 2006) f Tình hình kinh phí đề tài: - Kinh phí cấp để thực đề tài: 20.000.000 đ, thời gian thực đề tài la 12 tháng (từ 03/2006 đến 03/2007) - Kinh phí chi vào mục sau đây: + Các báo, báo cáo khoa học thù lao chuyên môn: 6.500.000 đ (bao gồm việc chi phí cho đăng 01 báo tạp chí quốc tế, 03 báo cáo hội thảo khoa học thuê mướn khác) + Hội thảo xêmina khoa học: 7.500.000 đ (bao gồm: xêmina nhóm; xêmina liên kết hợp tác vớiBan yếu CP; xêmina mời chun gia giảng bài; cơng tác phí dự hội thảo) + Các chi phí hỗ trợ khoa học khác: 6.000.000 đ (bao gồm mục: văn phòng phẩm; thơng tin, liên lạc; chiphí nghiệp vụ chun mơn) CHỦ NHIỆM KHOA TOÁ N -CƠ -TIN HỌC (Ký ghi rõ họ tên) GS TS Nguyễn Hữu Dư CHỦ TR Ì ĐỀ t i (Ký ghi rõ họ tẽn) TS Phó Đức Tài TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC K H O A H ỌC T ự NHIÊN 111 PROJECT SUM M ARY a Title, code: Title: Applications of Computer Algebra in Algebraic Geometry Code: QT-06-03 b Head of the research group: Dr Phó Đức Tài (Department of Math.) c Other members of the research group: B.Sc Đào Phương Bắc, M.Sc Lê Quý Thường d Research aims and contents: - Research aims: Build a research team on Algebraic Geometry at Department of Mathematics Research on some topics in Algebraic Geometry and apply Computer Algebra in these topics - Contents of the project: We start our project in 03/2006 Main contents of the project: + Research on singular algebraic curves and singular algebraic surfaces on positive characteristic fields: Recent years, Dr Phó Đức Tài cooperate with Professor Ichiro Shimada (Hokkaido university, Japan) in this research We proved a conjecture of Shioda on unirationality of K3 surfaces for certain cases, we published one paper on this result We continue to prove the conjecture + Research on degenerate singularities: This is the main study in the master thesis in which Mr Lê Quý Thườns defended successfully in 12/2006 We want to develop the theory by A ’Campo-Oka to study topological invariants of degenerate singularities, such as zeta function, Milnor number, etc + Research on algebraic groups and representation theory: Mr Đào Phương Bắc are doing research on the Hilbert’s 14th problem, he try to extend the results of Grosshans, Sukhanov and Bogomolov on algebraic groups defined on algebraic closed fields to number fields + Research of algorithms on elliptic curves and write a package for mathematical software Maple: This is a hot topics, it has many applications, especially in cryptography Ms Lê Thị Minh Hải defended successfully in 12/2006 on this topic in her master thesis + We also supervise another 01 undergraduate thesis and 01 master thesis those relate to topic of the project IV + Scientific seminars: The project support for weekly seminar of our group on algebraic geometry; support partly for seminar on elliptic curve (cooperate seminar between our group and The Academy of Technical Cryptography); support partly for seminar on algebraic curves (this is a series of lectures of Prof Ngô Bảo Châu); support partly for summer school Applications o f Algebra in Geometry and Topology (Quang Binh 08/2006) + Translation suppose for education: We translate the book Complex Algebraic Curves (Cambridge University Press, 1992) of F Kirwan This book is used in teaching undergraduate and graduate courses + Submitted the final report: 02/2007 + Defend the project: 03/2007 e.Outcomes: - Talks at seminar and workshop in 2006: 01 talk at algebraic geometry seminar at Tokyo University of science (Japan); 03 talks at Workshop of 50 years Department of Mathematics; and several talks at other seminars - Published paper: Phó Đức Tài Ichiro Shimada, Unirationality of certain supersingular K3 surfaces in characteristic 5, Mamiscripta M athematics, Vol 121, 425-435 (2006) - Two papers submitted to international journals: Phó Đức Tài, Dual of smooth quartics (with an appendix written by H Tokunasa) Lê Quý Thường, singularities Zeta function of degenerate plane curve - Write a package Ellcurves for mathematical system Maple 10 The address of webpage: http://www.math.hokudai.ac.jp/~tai/Ellcurves/ - Undergraduate and master theses relate to the project in 2006: Undergraduate thesis: Applications o f Computer Algebra in Geometry by student Đỗ Thị Bích Phượng (Class: K47A1S) Master theses: SomỀ algorithms on elliptic curves by student Lê Thị Minh Hải (Course 2004-2006) Rational curves with singularities by student Nguyễn Thị Quyên (Course 2004-2006) Zeta functions o f degenerate singularities by student Lê Quý Thường (Course 2004-2006) VI B PHẦN CHÍN H BÁO CÁO: VII Mục lục Lời mở đ ầ u Nội dung I Các chù đề nghiên cứu khoa học đề t i Phân loại đường cong mật cong đại số có kì d ị 2 Nghiên cứu giải kỳ dị bất biến tôpô kỳ d ị Đường cong elliptic ứng dụng Nghiên cứu nhóm đại số lý thuyêt biểu diễn .7 Đường cong hữu tỉ có kỳ dị Úng dụng đại số máy tính hình h ọ c II Các hoạt động khác đề t i III Kết đề tài Kết luận .11 Tài liệu tham k h ả o 12 c Phụ lục: 15 Photocopy báo, bìa luận vãn Đại học, Thạc sỹ Tóm tắt cơng trinh NCKH cá n h â n Scientific Project Phiếu đăng ký kết quà nghiên c ứ u viii 30 D T Pho, I Shimada Since the line at infinity Loo c p intersects C f at a single point [ : : ] with multiplicity , and [0 : : 0] is a smooth point o f C f , the pull-back o f L x to X f is a union o f two smooth rational curves that intersect each other at a single point with multiplicity Let L f be one o f the two rational curves, and put If := [ L f ] e N S ( X f ) Then h f and I f generate a lattice ( hf I f ) o f rank in N S ( X f ) whose intersection matrix is equal to In particular, the discriminant o f (h f j f ) is - Note that T, f and {Ilf, I f ) are orthogonal in N S ( X f ) Therefore N S ( X / ) contains a sublattice T, f © ( / ỉ / , //■) of rank 22 and discriminant —5 Thus X f is supersingular, and ( X f ) < In order to prove the second assertion o f Theorem 1, we define an even lattice So o f rank 2 with signature ( 1, ) and discriminant —56 by So ■= X 5Aa © p induced by \ H\ Let Y h -> p X be the Stein factorization o f ^IWI- Then Yh —^ IP” is a finite double coverins branched along a curve C h c IP2 o f degree By the property (ii) o f s {l7), we see that S in g(K //) consists o f ,4 -singular points, and hence S in g ( C // ) also consists o f Ẩ 4-singular points By Proposition 1, there exists an element f € u such that C h is isomorphic to c f Then X is isomorphic to X f □ R em ark In [21], it is proved that a normal K surface with 5/U-singular points exists only in characteristic Classification of overlattices Let F c So be a fundamental system of roots of X c So (see Ebeling [6 ] for the definition and properties of a fundamental system o f roots.) Then F consists o f x vectors e-(j) a = 4, = 5) such that e I(ji e i( n if j Ỷ j ' or |i - i'\ > if j = j ' and Ị/ - / 'I = —2 if j = j ' and / = ỉ", (see Fig 1-) We put A u t(F h) : = | | Ễ ( ) I g ( F) = F g ( h) = h ) where O( So) is the orthogonal eroup o f the lattice 5() Then Aut( F ii) is isom or­ phic to the a u t o m o r p h i s m croup ot the D \n k in diucrum ot typo / \ 4, and hcncc It is isomorphic to the semi-direct product (± p Xs5 Note that Aut( F, h) acts on the dual lattice (So) ’ o f So in a natural \\av, and hence it acts on the set o f even 43 D T Pho, I Shimada o o -o— ,(j) o ,(j> ,U) Fig T h e Dy nki n diagram o f type A ị overlattices o f So- We classify all even overlattices o f So with the properties (ii) and (iii) in Claim up to the action o f A u t(F , h) The main tool is Nikulin’s theory o f discriminant forms o f even lattices [ 11], T he set F u { / ; , / ) o f vectors form a basis o f So- Let (tjJy = = 5) , hv and r be the basis o f (So)v dual to F u Ih, /} We denote by c the discriminant group (5 o )v /5 o o f So, and by G pr : ( S o ) v the natural projection Then G is isomorphic to r f © Fs with basis p r ( ( t ' j U ) v' ), , pr((e-(15)) v ) p r ( / ? v )- W i t h r e s p e c t t o t hi s b a s i s , w e d e n o t e t h e e l e m e n t s o f c b y [.XI *5 I V ] w i t h X \ * , y e F The discriminant form q : c — Q / Z of So is given by , 4.1 ,_ € F5 among X X\ z > X ? , X5 and b is the number of ± € F among X I _ _ -VS Note that (v) =