2. Cơ sở Tọa độ
2.2. Cơ sở Số chiều
Định nghĩa. Một hệ vector của không gian được gọi là hệ vector độc lập tuyến tính tối
đại hay cơ sở của không gian đó nếu ta thêm vào hệ một vector bất kỳ của không gian thì hệ trở thành hệ vector phụ thuộc tuyến tính.
n
Nhận xét. Hệ vector
( ) ( ) ( )
{ 1 1, 0,..., 0 , 2 0,1,..., 0 ,..., 0, 0,...,1} n n
E = e = e = e = ⊂
là cơ sở của không gian nvà được gọi là cơ sở chính tắc.
♦ * Hệ E độc lập tuyến tính do ( ) ( ) 1 1e ... n ne 0 1,..., n 0,..., 0 1 ... n 0 λ + +λ = ⇒ λ λ = ⇒λ = =λ = . * Với x ∈ n bất kỳ ta có ( 1,..., n) 1 1 ... n x = x x =x e + +x en
tức là x biểu diễn tuyến tính được qua hệ E nên theo định lý 3.3, hệ {x e, ,...,1 en} phụ thuộc tuyến tính.♣
Định lý 3.5. Trong không gian vector , số lượng vector trong hai cơ sở bất kỳ là bằng nhau và bằng n.
n
♦ Giả sử E ={e1,...,ek} và F ={f1,...,fm} là hai cơ sở của không gian . Theo định nghĩa, hệ vector
n
{e fi, ,...,1 fm},i=1,k phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại không đồng thời bằng 0 sao cho
1, ,..., m , ,..., m λ λ λ ∈ 1 1 ... 0 i m e f f λ +λ + +λ m = .
Rõ ràng λ≠0, vì nếu λ=0 thì do hệ F độc lập tuyến tính nên λ1 =...=λm =0. Suy ra
1 1 ... m 1 ... m i m e λ f λ λ λ = − − − f n .
Vậy hệ biểu diễn tuyến tính qua cơ sở và do độc lập tuyến tính nên k theo định lý 3.4. Lý luận tương tự ta có m . Do đó . Hơn nữa theo nhận xét trên thì
.♦
E F E ≤m
k
≤ m =k
m = =k n
Định nghĩa. Số lượng vector ( trong một cơ sở của không gian được gọi là số chiều của không gian đó, ký hiệu .
)
n n
dim n =n
Nhận xét. Mọi hệ gồm vector độc lập tuyến tính của không gian đều là cơ sở của và số lượng các vector trong các hệ vector độc lập tuyến tính của không gian đều .
n n n
n
≤
Ví dụ. Hệ 3 vector E′ ={e1′ =(1,1,1 ,) e2′ =(1,1,2 ,) e3′ =(1,2, 3)} là độc lập tuyến tính nên nó
là một cơ sở của 3.